数学方法论稿（修订版）

   什么是数学思想？什么是数学方法？数学思想方法怎样进行分类？数学思想方法是否应该有一个层次性的概括？《数学方法论稿(修订版)》企图给一个回答。《数学方法论稿(修订版)》(作者张奠宙、过伯祥、方均斌、龙开奋)适合从事相关研究工作的人员参考阅读。

　　《数学方法论稿（修订版）》为90年代出版的《数学方法论稿》的第二版，作者张奠宙先生为数学教育方面的泰斗，此次他特地根据新形式对原书进行大面积的修订。原书所在的丛书曾获得五个一图书奖提名奖。

　　张奠宙，浙江奉化人，1933年出生。1956年毕业于华东师范大学数学系数学分析研究生班。1986年任华东师范大学数学系教授。1995一1998年任国际数学教育委员会执行委员。1999年当选为国际欧亚科学院成员。现兼任《高中数学课程国家标准》研制组两组长之一。1995年获全国优秀教师奖章。1997年获全国教师奖（曾宪梓奖）一等奖。

　　长期担任数学分析和函数论课程的教学。数学研究领域为泛函分析。在《中国科学》、《数学学报》等杂志发表算子谱论的论文多篇。

　　在教学之余，从事现代数学史研究。有《陈省身传》、《20世纪数学史话》、《20世纪数学经纬》、《中国现代数学史略》、《中国数学教育史话》等著作。并有一批论文（英文）在《MathematicalIntelligencer》等杂志发表。

　　1986年以后，从事数学教育研究。主持“教育部数学教育高级研讨班”15年。著有《现代数学与中学数学》、《数学教育研究导引》、《数学方法论稿》、《中国数学双基教学》等10余种。

修订版前言

第一篇 数学方法通论

第一章 数学方法综述

第一节 方法与数学方法

第二节 数学方法的内容和范围

第三节 数学方法的四个层次

第二章 重大数学方法与哲学范畴

第一节 数学方法·形式与内容

第二节 数理逻辑方法·原因与结果

第三节 几何方法·时间与空间

第四节 微积分方法·运动和静止

第五节 概率方法·偶然和必然

第六节 模糊数学方法-同一与差异

第七节 分析方法·局部与整体

第八节 计算方法·量，质，度

第九节 控制论方法·可能与现实

第十节 数学模型方法·实践与认识

第三章 数学中使用的一般科学方法

第一节 数学中的观察与实验

第二节 数学方法不等于逻辑方法·数学直觉

第三节 设定数学猜想的一般方法·归纳与类比

第四节 数学证明方法

第五节 数学证明的一般方法-化归与逻辑

第四章 构建数学知识的常用数学方法

第一节 数学表示方法

第二节 等价变换方法

第三节 公理化方法和结构主义

第四节 同构方法

第五节 不变量与不变性质

第五章 数学应用中的常用数学方法

第一节 概率统计方法

第二节 函数分析方法

第三节 优化决策方法

第四节 近似方法与计算机方法

第二篇 中学数学方法的原理、原则

第六章 形式化原则

第一节 数学的形式化

第二节 中学数学里的半形式化系统

第三节 数学概念的形式化

第四节 数学问题的各种不同形式之间的转换

第五节 运用形式化原则指导数学解题教学

第七章 简单性原理

第一节 简单性原理的含义

第二节 中学数学内容由简到繁的发展

第三节 用简单性原理指导解题

第八章 等价变换原则

第一节 等价变换原则的含义

第二节 中学数学中的等价变换

第三节 用等价变换原则指导解题

第九章 映射反演原则

第一节 映射反演原则的含义

第二节 中学数学中的映射类型

第三节 用映射反演原则指导解题

第十章 逐次逼近渐进原则

第一节 逐次逼近渐进原则的含义

第二节 中学数学解题中的逐次逼近渐进思想

第十一章 系统化原理

第一节 从发生的角度看数学方法的系统化原理

第二节 从联系与区别的角度看数学方法的系统化原理

第三节 从发展的角度看数学方法的系统化原理

第四节 从运用的角度看数学方法的系统化原理

附录 用波利亚问句诠释本篇 的原理、原则

第三篇 数学思想方法与数学教育

第十二章 数学思想方法的教学

第一节 掌握数学思想方法是数学教学的高端目标

第二节 数学思想方法的教学特点

第三节 数学思想方法的教学类型

第四节 数学思想方法培养的阶段性简析

第五节 一些教学案例的设计

修订版后记

　　第一篇 数学方法通论

　　第一章数学方法综述  　

　　第一节　方法与数学方法

　 《辞海》中未收录“方法”辞条。实际上，“方法”是一种元概念。它和“物质”“运动”“集合”等概念一样，不能逻辑地精确地定义，只能概略地描述。例如，可把“方法”说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的办法、手段、途径等的统称。这里的“办法”“手段”“途径”等，就都和“方法”大体上是“同义词”，并非“属”和“种差”式的严格定义。

   但是，人们却熟知“方法”的含义，也从未有什么大的争论。一个通俗的比喻是：要过河，必须采用架桥和造船等方法，“不解决桥和船的问题，过河就是一句空话”。因此，方法是相对于某一目的而言的。方法是人的一种活动，人在活动中为达到某一目的，可以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行。这便是方法的真实含义了。

   方法和规律有密切关系。为了达到预想的目的(如过河)，人们所采取的方法可以有多种选择，发挥主观能动性(如架桥、坐船、游泳，甚至乘飞机)，但是任何“成功的方法”必需符合客观规律。你要坐船过河，就必须造船，造船必须遵循阿基米得(Archimedes)的浮力定律，违背了这条规律，船浮不起来，过河的目的也就达不到了。

   于是，人们对方法进行研究，这便产生了“方法论”，或称“方法学”。当然，这也是一种描述而已。如果放在哲学层面来分析，方法论和世界观是统一的。马克思主义哲学认为，用世界观去指导认识世界和改造世界，就是方法论。

   现在，我们可以来谈数学方法。顾名思义，数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法。数学方法论则是对古往今来的数学知识进行概括、分类、评介以及如何运用的论述。

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