度量 一首献给数学的情歌

　　这是一首献给数学的情歌，让你看一看过一种数学生活会是什么样子，也就是一个人将大部分的精力都用在思考想象的数学现实上。
　　这是一本关于数学的坦诚的、个人化的书，字里行间充满了作者思考的真正的书，向你展示数学家都在做什么，以及他们为什么要这么做。
　　这也是一个很好的几何学和微积分的替代教程，让数学不再令人望而却步，让你也重新爱上数学。 

　　在2002年一篇曾引发数学界巨大反响的文章《一个数学家的叹息》中，保罗·洛克哈特猛烈抨击了美国中小学数学教育的现状：学生只是被要求记住公式，并在练习题中反复套用，而这一创造性过程应有的兴奋、喜悦乃至痛苦和挫败却不见了。
　　在洛克哈特看来，数学是一门艺术，而老师教授数学的方法应该是，向学生诚实地传递自己对于这门学科的热爱，激发和激励他们与生俱来的好奇心，并帮助和引导他们实际投身到这段迷人的旅途中去。
　　本书正是洛克哈特这一思想的最好体现。他对数学的热爱在字里行间显露无遗，同时他也不讳言旅途的艰难。本书分为两个部分，分别介绍了对形状和运动的度量。他以平实的语言将几何学和微积分的复杂概念以及两者之间的精妙关联解释得清晰易懂，生动展示了数学家都在做什么，以及他们为什么要这么做。

　　保罗·洛克哈特（Paul Lockhart）在大概十四岁时对数学产生兴趣（他特别指出，不是由于学校的数学课程），并开始大量的阅读。大学上了一个学期，他就退学，以专心研究数学，同时靠编程和当小学老师维生。后来他与加州大学洛杉矶分校的数学家恩斯特·施特劳斯（Ernst Strauss）合作，一同发表了多篇论文，并成为该校的研究生。1990年在哥伦比亚大学获得博士学位后，他先后在加州大学伯克利分校的数学科学研究中心（MSRI）和布朗大学任职，并在加州大学圣克鲁斯分校任教。他当时的主要研究方向是自守形式和丢番图几何。在高校教授数学多年后，他开始厌倦，决定回去教小孩子。他在2000年加入纽约的独立学校圣安妮学校（Saint Ann’s School），并任教至今。

现实与想象
论数学问题
第一部分 大小和形状
我们开始考察抽象的几何图形。——马赛克图案与角度的度量。——等比例缩放与比例。——长度、面积与体积。——穷竭法及其应用。——多边形与三角学。——圆锥曲线与射影几何。——机械曲线。
第二部分 时间和空间
关于数学中的运动的一些思考。——坐标系与维度。——运动作为一种数值关系。——向量表示与相对运动。——速度的度量。——微分学及其诸多应用。——临末给读者的一些鼓励。
致谢

 

　　我只想说：要是我在高中时遇到这本书和这位老师，大学时我就会选数学专业。
　　这本书让我惊叹不已。这个人是在用数学写诗。认为这不可能做到？那读读这本书，你会惋惜原来自己错过了这一艺术形式。
　　——叶夫根尼·特里连茨基（Yevgeniy Triletskiy），amazon.com读者评论
　　在这本书中，我会尝试着去描述我对数学的感觉，并向你展示一些最漂亮、最激动人心的发现。……本书属于个人化的写作，我希望我能够用平白易懂同时不乏趣味的方式来传达这些深邃而迷人的思想。……我将假定你喜欢美好的事物，并且很想学习它们。在阅读的旅程中，你唯一需要的只有常识和天生的好奇心。因此，请保持轻松。艺术是用来欣赏的，而本书就是一本关于艺术的书。
　　——保罗·洛克哈特

　　有很多不同的现实同时存在着，当然其中就包括我们自己生活在其中的物理现实。还有那些与物理现实十分相似的想象世界，比如其他的一切都与物理现实完全一样，只是其中的我五年级的时候不再尿裤子的想象世界；又比如在公交车上有一位头发乌黑的漂亮姑娘向我转过身来，然后我们开始聊天并最终坠入爱河的想象世界。请相信我，有很多这样的想象世界，只是它们既不在这儿，也不在那儿。
　　我想谈谈一个不同的地方，我将要称呼它为“数学现实”。在我的脑海里，一直有着这样的一个世界，各种漂亮的形状和模式四处飘动，并做着各种令人好奇、使人惊讶的事情，这些事情让我身心愉悦并陶醉其中。那真是一个神奇的地方，我很爱它！
　　事实是，物理现实是一场灾难。它太复杂了，任何事情都不是表面看上去的那样简单：其中的物体会热胀冷缩，而原子则会飞来飞去。特别是，没有任何东西能够在真正的意义上被度量。我们不知道一株小草真正的高度，在物理现实中，任何度量都必然只能够是粗略的近似。这也并不能够说坏，这只是物理现实的性质。最小的微粒也不是一个点，最细的金属丝也不能说是一条直线。
　　另一方面，数学现实则是想象的。它可以像我想的那样简单精致，同时我能够拥有那些我在现实生活中不可能拥有的美好事物。虽然我的手里永远不可能握着一个真正的圆，但在我的头脑中却可以装一个这样的圆，而且我可以度量它。数学现实是我自己创造的一个美丽仙境，我可以探索它、思考它，也可以和朋友们讨论它。
　　由于各种各样的原因，人们纷纷对物理现实产生了浓厚的兴趣。天文学家、生物学家、化学家以及其他学科的科学家们都尝试着去探索它的工作原理，并试图向我们描述它。
　　在这本书中，我想要描述的是数学现实。找出模式，找出隐藏在其背后的工作原理，这就是包括我在内的数学家们努力去做的事情。
　　关键是，我同时拥有物理现实和数学现实，它们都很漂亮、有趣（当然也不免有些吓人）。物理现实很重要是因为我就生活在其中，数学现实很重要则是因为它已然是我生命的一部分。在生活中，我同时拥有这两个美好的事物；亲爱的读者，你也和我一样。
　　在本书中，我们将会设计模式，找到形状和运动的模式，然后我们试着去理解这些模式并对它们进行度量。我确信我们将会看见美好的事物。
　　但是亲爱的读者，我也不想对你们撒谎，这同时也是一项非常艰苦的工作。数学现实就像是一片无垠的丛林，其中充满了无数迷人的奥秘，但它绝不会轻易吐露其中的秘密。让我们做好奋斗的准备吧，无论是智力方面，还是创造力方面。事实上，我不知道还有哪一项人类活动对想象力、洞察力以及创造力有如此高的要求。不过，无论怎样，我都要做这件事，因为我情不自禁要这样做。一旦你走进这片丛林，你就再也不能够真正地离开，它会让你魂牵梦绕、流连忘返。
　　因此，我诚挚地邀请你踏上这段神奇的旅程！同时，我也很希望你能够热爱这片丛林，并被它的魅力所征服。在这本书中，我会尝试着去描述我对数学的感觉，并向你展示一些最漂亮、最激动人心的发现。请不要期望书中有任何注解、参考文献或者类似的学术性的内容。本书属于个人化的写作，我希望我能够用平白易懂同时不乏趣味的方式来传达这些深邃而迷人的思想。
　　同时，我也期望这一过程是平缓的。我不会把你当作孩子而不让你接受真理的洗礼，也不会因为旅途艰难而向你道歉。领会一种新的思想需要花费几个小时甚至几天，这一点也不奇怪，要知道最开始的时候人们为了领会它甚至花了几个世纪！
　　我将假定你喜欢美好的事物，并且很想学习它们。在阅读的旅程中，你唯一需要的只有常识和天生的好奇心。因此，请保持轻松。艺术是用来欣赏的，而本书就是一本关于艺术的书。数学并不是一次比赛或者竞赛，而是你在与自己的想象力玩耍。愿你有一段美好的阅读时光！