摩擦学原理（第5版）

历经时间检验的经典摩擦学著作！ 

《摩擦学原理（第5版）》反映了摩擦学研究进展以及作者和同事们从事该领域研究的成果，系统地阐述摩擦学的基本原理与应用，全面反映现代摩擦学的研究状况和发展趋势。 全书共22章，由润滑理论与润滑设计、摩擦磨损机理与控制、应用摩擦学等三部分组成。除摩擦学传统内容外，还论述了摩擦学与相关学科交叉而形成的研究领域。本书针对工程实际中各种摩擦学现象，着重阐述在摩擦过程中的变化规律和特征，进而介绍基本理论和分析计算方法以及实验测试技术，并说明它们在工程中的实际应用。 《摩擦学原理（第5版）》可作为机械设计与理论专业的研究生教材和高等院校机械工程各类专业师生的教学参考书，亦可供从事机械设计和研究的工程技术人员参考。

Part OneLubrication Theory and Lubrication Design

Chapter 1Properties of lubrication film

1.1Lubrication states

1.2Density of lubricants

1.3Viscosity of fluids

1.4NonNewtonian properties and rheological model

1.5Lubricant wettability

1.6Measurement and exchange of viscosity

References

Chapter 2Basic theory of hydrodynamic lubrication

2.1Reynolds equation

2.2Hydrodynamic lubrication

2.3Basic elasticity theory of contact problems

2.4Elastohydrodynamic lubrication (inlet analysis)

2.5Grease lubrication

2.6Elastohydrodynamic lubrication state diagrams

References

Chapter 3Numerical methods of lubrication calculation

3.1Numerical solutions of Reynolds equation

3.2Numerical solutions of energy equation

3.3Numerical solutions of elastohydrodynamic lubrication

3.4Multigrid level method used in lubrication problems

References

Chapter 4Lubrication design of typical mechanical elements

4.1Slider and thrust bearing

4.2Journal bearing

4.3Hydrostatic bearing

4.4Squeezing bearing

4.5Dynamic bearing

4.6Gas bearing

4.7Rolling contaet bearing

4.8Gear lubrication

4.9Cam lubrication

References

Chapter 5Lubrication of special fluid medias

5.1Magneto fluid lubrication

5.2Micropolar fluid lubrication

5.3Liquid crystal lubrication

5.4Double electric layer effect in water thin film lubrication

5.5Emulsion lubrication

References

Chapter 6Transformation of lubrication states and nano thin film lubrication

6.1Transformation of lubrication states

6.2Nano film lubrication of liquid

6.3Numerical analysis of thin film lubrication

6.4Nano film lubrication of gas

References

Chapter 7Boundary lubrication and additives

7.1Types of boundary lubrication

7.2Theory of boundary lubrication

7.3Additives of lubricant

References

Chapter 8Lubrication failure and mixed lubrication

8.1Influence of roughness and material viscoelastic property on lubrication

failure

8.2Influence of fluid limiting shear stress on lubrication failure

8.3Influence of temperature on lubrication failure

8.4Mixed lubrication state

References

Part TwoFriction and Wear Mechanisms and Friction Control

Chapter 9Surface topography and surface contacts

9.1Parameters of surface topography

9.2Statistic parameters of surface topography

9.3Rough surface contacts

References

Chapter 10Soliding friction and its applications

10.1Basic characteristics of friction

10.2Macro friction theory

10.3Micro friction theory

10.4Sliding friction

10.5Other friction problems and friction control

References

Chapter 11Fretting friction and its applications

11.1Development and classification of fretting tribology

11.2Theory of fretting friction

11.3Approches of improving fretting performance

11.4Researches on the applications of fretting tribology

References

Chapter 12Rolling friction and its applications

12.1Basic theories of rolling friction

12.2Wheelrail rolling friction and thermal analysis

12.3Application of rolling friction theory in design of lunar rover

vehicle

References

Chapter 13Wear characteristics and mechanisms

13.1Wear classification

13.2Abrasive wear

13.3Adhesive wear

13.4Fatigue wear

13.5Corrosion wear

References

Chapter 14Macro wear laws and wear theories

14.1Materials of friction pair

14.2Curves of wear processes

14.3Surface quality and wear

14.4Adhesive wear theory

14.5Energy wear theory

14.6Spalling theory and fatigue wear theory

14.7Wear calculation

References

Chapter 15Antiwear designs and surface coatings

15.1Choice of lubricants and additives

15.2Principles of friction pair material choice

15.3Surface coatings

15.4Measurement of coating properties

References

Chapter 16Tribological experiments and state detection

16.1Methods and equipments of tribological experiments

16.2Measurement of wear

16.3State analysis of friction surface

16.4Detection of wear states

16.5Analysis of wear failure

References

Part ThreeApplied Tribology

Chapter 17Micro tribology

17.1Micro friction

17.2Micro contact and adhesive phenomena

17.3Micro wear

17.4Molecular film and boundary lubrication

References

Chapter 18Metal forming tribology

18.1Mechanics basics in forming technology

18.2Forge tribology

18.3Drawing tribology

18.4Milling tribology

18.5Cutting tribology

References

Chapter 19Biological tribology

19.1Fundamental of mechanics on biological soft tissue

19.2Characteristics of liquid lubricant of joints

19.3Men and animal joint lubrication

19.4Friction and wear of joint

19.5Study on other biological tribology

References

Chapter 20Space tribology

20.1Space machinery and features of space tribology

20.2Analysis of space tribological properties

20.3Space lubricants

20.4Features of space lubrication

20.5Accelerating life tests and equipments

References

Chapter 21Ocean tribology

21.1Ocean enriro ment and ocean tribology characteristics

21.2Systems and equipments in ocean tribology

21.3Tribology characteristics of ocean materials

21.4Derelopment trend of ocean tribology

References

Chapter 22MEMS tribology

22.1Tribological problems in MEMS

22.2Friction analysis of MEMS

22.3Study on micromotor friction

22.4Wear analysis of MEMS

References

ChineseEnglish List and Index

 

清华大学摩擦学国家重点实验室于1984年开始筹建，1988年通过国家验收并正式成立，成为我国摩擦学领域重要的基础性研究和人才培养基地，一直致力于服务国家的现代化建设，迄今已走过30余年的历程。与此同时，温诗铸教授撰写的《摩擦学原理》著作于1988年末定稿，1990年初正式出版发行，迄今也走过近30年历程。在这一过程中，根据科学研究持续发展，我们不断充实和扩展学科内容，相继修订再版。该书可作为培养机械工程学科以摩擦学为研究方向、机械设计与理论专业研究生的学位课程教材，也可作为从事相关学科领域科学技术人员的参考书。《摩擦学原理》自出版以来得到从事机械工程科技工作的同行们的热情支持，得以广泛引用，对于推动摩擦学知识传播和科学技术发展起到重要作用。1992年，本书获得第六届全国优秀科技图书二等奖。在这近30年期间，《摩擦学原理》从初版到历次修订共发行了4版。篇幅逐版增加，由初版40.9万字，扩充到第4版67.5万字，增加了近60%，所阐述的科学内容在深度和广度方面都有很大的发展。从《摩擦学原理（第2版）》开始，邀请了在清华大学摩擦学国家重点实验室工作多年的黄平教授共同编写。黄平教授在摩擦学研究中取得了丰硕的创新成果，对于不断提高本书的学术水平做出了重要贡献。2012年，根据英国Wiley出版社的要求，我们在中文版《摩擦学原理（第4版）》的基础上出版了英文版Principles of Tribology。2015年，再次应Wiley出版社的要求，作者进一步充实和补充内容，Principles of Tribology（2nd Edition）于2017年8月在国外出版发行，同年10月在中国大陆出版发行。科学实践使我们深刻认识到科技著作必须跟随着科学技术的日益发展而不断充实提高，我们需要努力发现本学科发展的新原理新技术，同时也要密切关注未来社会生产提出的挑战和需求。为此，在《摩擦学原理（第5版）》的编写过程中，我们力争做到推陈出新。为此，我们邀请清华大学摩擦学国家重点实验室在科学研究中做出突出贡献的青年学者田煜和马丽然共同参与编写。他们学风严谨踏实，具有开拓进取和求实创新的精神，一贯坚持深入科学研究实践。在本学科及其相关领域，积累了较全面的认识。本书由他们对于全书进行进一步整合修订，同时，根据近年来科学技术的发展补充了新的内容。在本书编写中，我们力图全面系统地反映当今摩擦学的基本内容，同时，介绍新近的研究进展以及未来发展趋势。对于本学科的经典内容作了进一步精炼。本书引用了国内外许多学者的研究成果，作者对于他们为摩擦学发展做出的贡献，及为本书出版给予的热情支持，表示最衷心的感谢！
作者2018年1月于清华大学

第3章润滑计算的数值解法

各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体黏性流动，描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程，它的普遍形式是
xρh3ηpx yρh3ηpy=6Uρhx Vρhy 2ρht（31）
这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状或工况条件下的润滑问题，无法用解析方法求得精确解。随着电算技术的迅速发展，数值法成为求解润滑问题的有效途径。数值法是将偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。它的一般原则是： 首先将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分微小，以至于可以认为在各单元内的未知量（例如油膜压力p）相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。然后，通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即将它转化为一组线性代数方程。该代数方程组表示了各个单元的待求未知量与周围各单元未知量的关系。最后，根据Gauss消去法或者GaussSeidel迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。用来求解雷诺方程的数值方法很多，最常用的是有限差分法、有限元法和边界元法，这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程，但是却近似地满足边界条件。能量方程和弹性变形方程是流体润滑问题中考虑热效应和表面弹性变形时必须求解的重要方程，在本章中也将介绍它们的数值解法。近年发展的多重网格法在润滑计算中得到广泛的应用。本章的最后还将介绍如何用多重网格法求解微分方程和积分方程。3.1雷诺方程的数值解法3.1.1有限差分法
根据边界条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题。在流体润滑计算中，有限差分法的应用最为普遍。现将有限差分法求数值解的步骤和方法说明如下。 首先，将所求解的偏微分方程量纲一化。这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同时用量纲一化参数表示的解具有通用性。然后，将求解域划分成等距的或不等距的网格。图31为等距网格，在X方向有m个节点，Y方向有n个节点，总计m×n个节点。网格划分的疏密程度根据计算精度要求确定。有时为提高计算精度，可在未知量变化剧烈的区段内细化网格，即采用两种或几种不同间距的分格，或者采用按一定比例递减的分格方法。

图31等距网格划分

如果用代表所求的未知量(例如油膜压力p)，则变量在整个域中的分布可以用各节点的值来表示。根据差分原理，任意节点O(i,j)的一阶和二阶偏导数都可以由其周围节点的变量值来表示。

如图32所示，如果采用中差分公式，则变量在O(i,j)点的偏导数为

图32差分关系

xi,j=i 1,j-i-1,j2Δx
yi,j=i,j 1-i,j-12Δy（32）
2x2i,j=i 1,j i-1,j-2i,j(Δx)2
2y2i,j=i,j 1 i,j-1-2i,j(Δy)2（33)

在求解域的边界上或者根据计算要求也可采用前差分公式，即
xi,j=i 1,j-i,jΔx
yi,j=i,j 1-i,jΔy（34)
或者用后差分公式，即
xi,j=i,j-i-1,jΔx
yi,j=i,j-i,j-1Δy（35a)
通常，中差分的精度最高，若采用下面的中差分表达式，则精度更高，例如

xi,j=i 1/2,j-i-1/2,jΔx（35b）
以表示润滑膜压力，将雷诺方程写成二维二阶偏微分方程的标准形式，即
A2x2 B2y2 Cx Dy=E
式中，A、B、C、D和E均为已知量。将上述方程应用到各个节点，根据中差分公式（32）和式（33)用差商代替偏导数，即可求得各节点的变量i,j与相邻各节点变量的关系。这种关系可以写成
i,j=CNi,j 1 CSi,j-1 CEi 1,j CWi-1,j G（36）
式（36）中各系数值随节点位置而改变。其中
CN=BΔy2 D2ΔyK
CS=BΔy2-D2ΔyK
CE=AΔx2 C2ΔxK
CW=AΔx2-C2ΔxK
G=-EK,K=2AΔx2 BΔy2

方程（36）是有限差分法的计算方程，对于每个节点都可以写出一个方程，而在边界上的节点变量应满足边界条件，它们的数值是已知量。这样，就可以求得一组线性代数方程。方程与未知量数目相一致，所以可以求解。采用消去法或迭代法求解代数方程组，并使计算结果满足一定的收敛精度，最终求得整个求解域上各节点的变量值。以下介绍流体润滑问题的有限差分法求解。1. 流体静压润滑在稳定工况下，流体静压润滑的油膜厚度h为常数，若不考虑相对滑动和热效应，则黏度η也是常数。这时雷诺方程可简化为Laplace方程，即
2p=2px2 2py2=0（37）
将上式量纲一化，令x=XA，y=YB，A、B为几何尺寸； p=Ppr，pr为油腔压力； α=A2/B2； 则量纲一化雷诺方程为
2PX2 α2PY2=0（38）
求解方程（38）的边界条件为（1） 在油腔内P=1； （2） 在四周边缘上P=0。将中差分公式（33）代入基本方程（38）得
Pi 1,j Pi-1,j-2Pi,jΔX2 αPi,j 1 Pi,j-1-2Pi,jΔY2=0（39）
给出边界条件即可由方程（39）求得油膜压力分布的数值解。2. 流体动压润滑用于不可压缩流体动压润滑轴承的雷诺方程为
xh3ηpx yh3ηpy=6Uhx（310）
当h是x、y的已知函数时，对于等黏度润滑问题而言，方程（310）是线性的。对于变黏度润滑问题，则需要考虑黏度随温度或压力的变化，特别是呈非牛顿性的润滑剂的黏度还受各点速度梯度的影响，则方程（310）变成非线性偏微分方程，求解过程较为复杂。1） 准二维问题求解在润滑问题的工程计算中，往往采用准二维简化方法。其要点是对于二维变化的油膜压力，预先给定沿某一坐标方向（如轴向）的变化规律，再将这一规律代入二维的雷诺方程，即变换为容易求解的一维问题。根据Ocvirk对无限短轴承的分析，油膜压力p沿Y方向（即轴向）的分布规律为抛物线，即
p=pc(1-Y)（311）
式中，pc为轴向中间断面上的压力； Y为量纲一化坐标； 为指数。实践表明，将轴向压力分布指数取为2适合大多数有限长轴承的情况。下面以斜面楔形滑块的等黏度润滑计算为例说明雷诺方程的准二维解法。图33所示为有限长斜面滑块。

图33斜面滑块

若令
x=XB
y=YL
p=P6ηUBh20
α=B2L2
h=h01 Xh1-h0h0=Hh0
代入式（310）后得量纲一化基本方程： 
2PX2 α2PY2 3HdHdXPX=1H3dHdX（312）
这种形式的方程被称为Poisson方程。再将P=Pc（1-Y2）代入方程（312），则变换成只含变量Pc和X的方程，即可求解中间断面上量纲一化压力Pc随X的变化。因而
2PcX2 3HdHdXPcX-2αPc=1H3dHdX
或
2PcX2 aPcX bPc=c （313）
方程（313）中各系数值为
a=3HdHdx
b=-2α=-2B2L2
c=1H3dHdX
差分方程可写成
Pi CEPi-1 CWPi 1=G
式中，CE、CW、G是由a、b、c表达的系数。

图34径向轴承展开
2） 二维问题求解通常的径向滑动轴承设计采用等黏度润滑计算，即假定润滑膜具有相同的黏度，同时认为间隙h只是x的函数，而不考虑安装误差和轴的弯曲变形。

将轴承表面沿平面展开，如图34所示，并代入x=Rθ，dx=Rdθ，则雷诺方程变为
θh3pθ h3R22py2=6UηRdhdθ（314）
若令

y=YL/2
α=(2R/L)2
h=c(1 εcosθ)=Hc
p=P6UηRc2
代入后，得量纲一化雷诺方程

θH3Pθ αH32PY2=dHdθ
2Pθ2 α2PY2-3εsinθ1 εcosθPθ=-εsinθ(1 εcosθ)2 （315）
以上各式中，R为轴承半径； L为轴承长度； ε为偏心率，ε=e/c，e为偏心距，c为半径间隙。然后，应用差分公式得出式（36）形式的计算方程。由于变量P是二维变化的，所以代数方程包含5个系数。对于径向轴承，方程（315）中两个自变量的变化范围是： 在轴向中间断面处，Y=0； 在边缘处，Y=1。而θ在0~2π之间变化，这一问题的边界条件为 （1） 轴向方向。在边缘Y=1处，P=0； 在中间断面Y=0处，PY=0。（2） 圆周方向。按雷诺边界条件，即油膜起点在θ=0处，取P=0； 油膜终点在发散区间内符合P=0及P/θ=0的地方。油膜终点的位置必须在求解过程中加以确定，是浮动边界条件。即应用迭代法求解代数方程组时，在每次迭代过程中，对于P<0的各节点令P=0，最终可以自然地确定油膜终点位置。等黏度润滑计算的另一个困难问题是如何确定黏度的数值。在流体动压润滑中，黏性摩擦使得油膜中各点的温度不同，因而黏度也不同。精确的方法是根据温度场进行变黏度润滑计算，显然，这是相当复杂的。为了考虑温度的影响，等黏度计算中采用有效黏度ηe代入雷诺方程。有效黏度值应根据轴承有效温度Te的大小来确定。假设由摩擦功转化的热量全部由油流带走，则热平衡方程为

FU=JcVρQΔT
ΔT=FUJcVρQ=2pηU2RLJcVρQc

式中，ΔT为润滑油温升； F为轴颈摩擦力，由Πeтpoв摩擦可得，F=2πUηRL/c； U为滑动速度； J为热功当量； cV为比定体热容； ρ为密度； Q为容积流量； η为黏度； R和L为轴承的半径和长度； c为半径间隙。显然，有效温度Te介于轴承入口油温和出口油温之间，因此，写成
Te=Ti kΔT
式中，Ti为入口油温； k值介于0与1之间。王应龙等［1］对可倾瓦轴承的润滑计算得出，有效温度取作0.9乘以各瓦块的平均温度时，按等黏度计算的承载量与变黏度润滑计算和实验结果十分接近。有效黏度是求解雷诺方程的基本参数，它的数值取决于温升，而温升的确定又依赖于求解雷诺方程。这种相互制约的关系必须采用反复迭代的方法求解。3.1.2有限元法与边界元法下面对润滑计算中的有限元法与边界元法作简要的介绍。1. 有限元法有限元法是从弹性力学计算中发展起来，继而在流体润滑计算中得到应用的一种数值计算方法。与有限差分法比较，有限元法的主要优点是： 适应性强、受几何形状的限制较少、可处理各种定解条件、单元大小和节点可以任意选取、计算精度较高。但是，有限元法计算方程的构成比较复杂。应用有限元法必须先按照变分原理推导出所求解方程的泛函。用于不可压缩流体润滑计算的雷诺方程普遍形式为
xh312ηpx yh312ηpy=12(hU)x 12(hV)y ht（316）

图35润滑区有限元划分

写作矢量形式
·h312ηp=12·(hU) h·（317）
式中，=ix jy； U为速度矢量； h·=ht。
如图35所示，润滑区域划分成若干个三角形单元。在边界上存在两类边界条件，即在sp边界上压力为已知量，p=p0； 在sq边界上流量为已知量，q=q0。

设在e单元中的压力为pe，则定义e单元的泛函Je为

Je=-A-h312ηpe·pe hU·pe-2h·pedA 2∫sqq0peds（318）
式中，A为积分面积； s为积分长度。如果润滑区域共划分为n个单元，各单元泛函的总和应为
J=∑ne=1Je
根据变分原理，泛函存在极值或驻定值的必要条件是它的变分为零，即
δJ=∑ne=1δJe=0（319）
由欧拉拉格朗日公式可以证明： 符合上述边界条件由雷诺方程（317）求得的解p(x,y)，能够满足泛函驻定值条件（319）。反之，由驻定值条件（319）求得的解p(x,y)，必然是雷诺方程（317）在上述边界条件下的解。这样，有限元法是将不能直接积分求解的二维雷诺方程转化为求泛函的驻定值，而由式（319）建成的计算方程可以求解。通常，有限元法的求解过程可归纳如下： （1） 将求解域划分成若干三角形或者四边形单元； （2） 按变分原理写出所求解方程的泛函； （3） 建立插值函数，即以单元各节点上的变量数值表示单元内任意点的数值； （4） 根据驻定值条件建立在单元内节点未知量的代数方程组； （5） 用叠加方法建立总体节点未知量的代数方程组； （6） 求解代数方程组。2. 边界元法边界元法是20世纪70年代末发展起来的数值计算技术。它的基本特点是通过数学方法建立求解域内未知量与边界上未知量之间的关系，这样，只需要将边界划分成若干个单元，求解边界上未知量，进而推算求解域内未知量。所以，边界元法的主要优点是代数方程数很少，同时显著地减少了数据量，尤其是在求解二维和三维问题时更加突出。
图36阶梯滑块

此外，边界元法的计算精度高于有限元法，并且可以方便地计算混合问题。然而，建立边界元法的计算方程在数学上十分困难。
目前边界元法主要应用于分析弹性力学和传热学问题。作者［2］在1980年以Rayleigh阶梯滑块为例介绍了边界元方法在润滑计算中的应用。如图36所示，阶梯滑块依润滑膜厚度不同可分为Ω1、Ω2两部分。每一部分油膜的压力p所遵循的雷诺方程为
2p=2px2 2py2=0（320）

根据对称性只需分析滑块的一半，即OBCE部分。其总边界s可分成s1和s2两类，s=s1 s2。边界条件分别为： 在s1边界上p=p0=0； 在s2边界上q=py=q0=0。引入一个能满足基本方程（320）的权函数P，根据加权残数方法可得
∫Ω(2p)PdΩ=∫s2(q-q0)Pds-∫s1(p-p0)Qds
式中，Q=P/Y。 经过数学分析，求得本问题的权函数为
P=ln1r2π
式中，r为i点至各点的距离。求解域中任意点的未知量pi与边界上积分的关系为
pi ∫spQds=∫sqPds（321）
同样，边界上任意点的未知量pi与边界上积分的关系为
12pi ∫spQds=∫sqPds（322）

图37边界元划分
由式（322）求得边界上各点未知量后，利用式（321）即可计算域内各点未知量。将求解域边界划分成n个单元。为简单起见，采用如图37所示的直线单元，以n段直线代替实际边界。同时取单元的中点为节点，并假定各单元上未知量相等或按线性变化。

将方程（322）应用到等值单元的边界上，即
12pi ∑nj=1pj∫sjQds=∑nj=1qj∫sjPds（323）
每个节点有p和q两个变量，共有2n个变量。其中，有n1个p值和n2个q值根据边界条件给出，且n1 n2=n，所以只有n个未知量。由式（323）得到n个代数方程，因此，整个方程组具有确定解，即可求得边界上各节点的p和q值。然后由方程（321）计算域内各点的未知量。方程（321）的离散形式为
pi=∑ni=1qi∫sjPds-∑nj=1pj∫sjQds
3.1.3数值解法的其他问题1. 参数变换当径向轴承的偏心率较大（例如ε>0.8），或者楔形滑块具有较大的倾斜角时，最小油膜厚度hmin值很小，而在hmin附近膜厚的变化率dh/dx数值很高，这就会造成在hmin附近很窄的区间内油膜压力急剧变化。此时，除非采用非常细密的网格，否则计算结果严重失真，而很密的网格又将使计算工作量增加。此外，压力在很小区间内的急剧变化，常常导致雷诺方程的求解过程不稳定。为了克服这一困难，可以进行参数变换。对于流体润滑计算，常用的变换关系为M=ph3/2，称为Vogenpohl变换。将M=ph3/2代入雷诺方程直接求解变量M，然后再根据变换关系计算出p的数值。当hmin数值很小时，在它附近的p值剧增，如果以M为变量，M的数值不至于变得很大。同时，M值在hmin附近的变化也较平缓。所以，采用M作为变量可以获得较高的计算精度。2. 数值积分对于流体润滑问题，在求得压力分布以后，为了计算承载量、摩擦力和流量等都需要应用数值积分方法。这里，以图33所示的斜面滑块为例说明计算方法的基本要点。（1） 承载量
W=pdxdy
W*=Wh206UηLB2=PdXdY

（2） 摩擦力
F=τdxdy=ηUhh2pxdxdy
F*=Fh0UηLB=1H3HPXdXdY
（3） 容积流量

Qx=∫Uh2-h312ηpxdy
Q*x=QxULh0=∫H2-H32PXdY=∫q*xdY
Qy=∫-h312ηpydx
Q*y=QyULh0=∫α-H32PYdX=∫q*ydX

以上各式中，W*、F*、Q*x、Q*y、q*x和q*y为量纲一化变量。用数值方法计算以上积分通常采用Simpson法则。例如，计算沿X方向的流量Q*x时有
Q*x=13(m-1)ΔY(q*x1 4q*x2 2q*x3 4q*x4 … q*xm)
式中，m为节点数，采用Simpson法则时，m须为奇数； q*x1，q*x2,…,q*xm为各节点的流量； ΔY为节点之间步长。计算W*和F*要连续应用Simpson法则两次，先按一个方向积分，然后将计算结果沿另一方向数值积分。此外，在计算F*、Q*x、Q*y时，还需预先计算各节点的P/X或P/Y数值，对于内部节点，采用中差分公式（32）不难求得它们的数值。而对于边缘上的节点，则可应用三点抛物线公式计算。假设压力分布函数为p=ax2 bx c，则
px=2ax b
即
px1j=b
根据各点压力求得b值后，即得
px1j=4p2j-p3j-3p1j2Δx
3. 计算公式与多元回归法数值方法的优点是对于复杂的问题能够给出较准确的解，这对于某些重要的设计和理论研究无疑是有效的手段。然而，数值方法在使用上的缺点是它求解的是个别的具体算例，缺乏一般的通用性。为了增加数值解的通用性，可以将若干组计算数据采用多元回归方法归纳成拟合公式。先列出影响某一性能P的各个相关参数A、B、C、D、…，然后，根据经验资料选择适当的函数表示各个相关参数与该性能的关系，通常采用指数函数的形式，即
P=KAaBbCcDd…
最后，根据一组数量足够的（例如500个）理论计算或者实验测量的数据，采用多元回归法确定上式中的常数K和指数a、b、c、d等的数值。显然，这样确定的拟合公式不可能十分准确地符合全部数据，而只能是具有一定的可信度。同时，还必须进行反复试算和修改才能得到满意的结果。4. 突变膜厚（阶梯）的处理在雷诺方程（31）的左端项中，记流量系数为
ρh3η=k
如果利用中差分式
xi,j=i 1/2,j-i-1/2,jΔx
因为流量系数k是x的函数，在计算过程中一般只知道在网格点i-1、i和i 1上的流量系数值ki-1、ki和ki 1，所以需要用这些已知的节点流量系数表示控制容积中间界面i-1/2处的流量系数值ki-1/2以及中间界面i 1/2处的流量系数值ki 1/2。因此，需要确定计算中间界面流量系数ki-1/2、ki 1/2的方法。下面的讨论针对不均匀流量系数的情况，这种不均匀性可能是由阶梯突变产生的，也可能是由温度分布的不均匀导致的。一般用中间差分求中间界面流量系数ki-1/2的最简单和直观的方法是假设k在i-1和i之间呈线性变化，于是有

ki-1/2=(1-α)ki-1 αki（324）
式中，α是插入因子，按下式计算： 
α≡(δx)i-1/2-(δx)i-1/2
式中，（δx）i-1/2代表i-1到i间的距离； （δx）i-1/2-为i-1/2到i-1的距离。如果界面i-1/2位于节点i-1到节点i的中点，那么由式（324）得到α=0.5，即ki-1/2是ki-1与ki的算术平均值。在膜厚突变（阶梯）情况下这种简单化的做法会导致相当不准确的结果，因此，它不能准确地处理流量系数的突然变化问题。有一种简单而且要比这种做法好得多的替代办法可以采用。在阐明这种替代的方法时，需要指出： 我们主要关心的不是流量系数在界面i-1/2上的局部值的大小，而是要得到一个通过压力降求得描述的界面流量Qi-1/2的正确表达式，