描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787115355744丛书名: 图灵原创
编辑推荐
畅销著作《思考的乐趣》作者顾森**力作
数学之趣与文字之美的完美融合
256道精选趣题带你畅游数学的海洋
让你在苦思冥想后产生恍然大悟的惊叹
《浴缸里的惊叹》源自阿基米德的那句“Eureka”，是那种苦思冥想后恍然大悟的奇妙感觉。本书精选自作者顾森十余年来精心收集的数学趣题，广泛包含了几何、组合、行程、数字、概率、逻辑、博弈、策略等诸多类别。其中既有小学奥数当中的经典题目，又有***的著名难题。多数题目都很简单，基本不需要繁复的计算或者艰深的专业知识，只需动脑或动手就可以想出答案，但想出所有答案也不是那么容易，有利于激发读者进一步探索数学问题的兴趣。
作者顾森中文专业的背景在这本书中体现得淋漓尽致，本书完美地融合了数学之趣与文字之美，不仅能让数学爱好者耳目一新，也能让文科生们大开眼界。
数学之趣与文字之美的完美融合
256道精选趣题带你畅游数学的海洋
让你在苦思冥想后产生恍然大悟的惊叹
《浴缸里的惊叹》源自阿基米德的那句“Eureka”，是那种苦思冥想后恍然大悟的奇妙感觉。本书精选自作者顾森十余年来精心收集的数学趣题，广泛包含了几何、组合、行程、数字、概率、逻辑、博弈、策略等诸多类别。其中既有小学奥数当中的经典题目，又有***的著名难题。多数题目都很简单，基本不需要繁复的计算或者艰深的专业知识，只需动脑或动手就可以想出答案，但想出所有答案也不是那么容易，有利于激发读者进一步探索数学问题的兴趣。
作者顾森中文专业的背景在这本书中体现得淋漓尽致，本书完美地融合了数学之趣与文字之美，不仅能让数学爱好者耳目一新，也能让文科生们大开眼界。
内容简介
《浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题》是一本趣题集，里面的题目全部来自于作者顾森十余年来的精心收集，包括几何、组合、行程、数字、概率、逻辑、博弈、策略等诸多类别，其中既有小学奥数当中的经典题目，又有*的著名难题，但它们无一例外都是作者心目中的“好题”：题目本身简单而不容易，答案出人意料却又在情理之中，解法优雅精巧令人拍案叫绝。作者还有意设置了语言和情境两个类别的问题，希望让完全没有数学背景的读者也能体会到解题的乐趣。
《浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题》是一个疯狂数学爱好者的数学笔记，主要面向小学生、初中生和高中生，以及所有掌握基础的数学运算知识、善于思考的读者，适合作为数学兴趣班的数学培训教材。
《浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题》是一个疯狂数学爱好者的数学笔记，主要面向小学生、初中生和高中生，以及所有掌握基础的数学运算知识、善于思考的读者，适合作为数学兴趣班的数学培训教材。
目 录
1. 几何问题
2. 组合问题
3. 行程问题
4. 时钟问题
5. 数字问题
6. 序列问题
7. 算账问题
8. 概率问题
9. 逻辑问题
10. 博弈问题
11. 策略问题
12. 语言问题
13. 情境问题
14. 以及其他30个问题
2. 组合问题
3. 行程问题
4. 时钟问题
5. 数字问题
6. 序列问题
7. 算账问题
8. 概率问题
9. 逻辑问题
10. 博弈问题
11. 策略问题
12. 语言问题
13. 情境问题
14. 以及其他30个问题
在线试读
谁支付了啤酒钱
据说，曾经在某一段时间里，美国和加拿大的货币汇率出了问题：把9美元带到加拿大去，可以换成10个加元；把9加元带到美国去，可以换成10个美元。于是，就出现了这么一个往返于美加边境的酒鬼：他用10美元在美国买了杯1美元的啤酒，把找回来的9个美元带到加拿大去，换成10加元；然后在加拿大又买了1加元的啤酒，把找回来的9个加元带到美国，再换成10美元……如此反复，他就可以不花一分钱，免费喝到无穷多的啤酒！问题出现了：究竟是谁支付了啤酒钱？
答案：他用自己的劳动支付了啤酒。他以一个贸易商的角色往返于两地之间，并把赚到的钱花在了啤酒上。不要老想着货币汇率的问题了，其实整个过程的实质很简单，就相当于他从美国买了很多特产带到加拿大去卖，再在加拿大买了很多特产带到美国去卖，如此反复并不断获利，再用赚来的钱买啤酒罢了。
另类的俄罗斯轮盘赌
俄罗斯轮盘赌是史上最酷的决斗方式之一。左轮手枪的转轮中有六个弹槽。在其中一个弹槽中放入一颗子弹，然后快速旋转转轮，再把它合上。参与决斗的两个人轮流对准自己的头部扣动扳机，直到其中一方死亡。这是一场真男人游戏，双方胜负的概率各占50%，游戏没有任何技巧可言，命运决定了一切。
为了让游戏更加刺激，这一回我们稍微改变一下游戏规则。在转轮的连续三个弹槽中放入子弹，然后旋转并合上转轮。这一次，你是打算先开枪还是后开枪呢？
你应该选择后开枪，因为后开枪的人幸存的概率更高。为了算出双方存活的概率，我们只需要考虑所有6种可能的子弹位置即可。不妨用字母B来表示有子弹的弹槽，用字母E来表示空的弹槽。我们便能列出下面这张表：
B B B E E E → 先开枪者死B B E E E B → 先开枪者死B E E E B B → 先开枪者死E E E B B B → 后开枪者死E E B B B E → 先开枪者死E B B B E E → 后开枪者死可见，先开枪者死亡的概率高达2/3，是后开枪者死亡概率的两倍。
可以算出，当转轮里位置相连的子弹数分别为1、2、3、4、5、6时，先开枪者死亡的概率分别为1/2、2/3、2/3、5/6、5/6、1。看来，并不是所有游戏都是先下手为强啊。
蓝眼睛岛上的故事
某座岛上有200个人，其中100个人的眼睛是蓝色的，另外100个人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的颜色，也没法看到自己眼睛的颜色。他们可以通过观察别人的眼睛颜色，来推断自己的眼睛颜色；除此之外，他们之间不能有任何形式的交流。每天午夜都会有一艘渡船停在岛边，所有推出自己眼睛颜色的人都必须离开这座岛。所有人都是无限聪明的，只要他们能推出来的东西，他们一定能推出来。岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则。
有一天，一位大法师来到了岛上。他把岛上所有人都叫来，然后向所有人宣布了一个消息：岛上至少有一个人是蓝色的眼睛。
接下来的每一个午夜里，都会有哪些人离开这座岛？
答案：从第1个午夜到第99个午夜，没有任何人离开这座岛；到第100个午夜，所有100个蓝眼睛将会同时离开。
为什么？大家不妨先这样想：什么情况下第一天就会有人离开这座岛？很简单。假如岛上只有一个蓝眼睛，那么当他听说岛上至少有一个蓝眼睛之后，他就知道了自己一定就是那个蓝眼睛，因为他看到的其他所有人都是棕色的眼睛。因而，当天夜里他就会离开这座岛。好了，如果岛上只有两个蓝眼睛呢？他们在第一天都无法立即推出自己是蓝眼睛，但在第二天，每个人都发现对方还在，就知道自己一定是蓝眼睛了。这是因为，每个人都会这么想：如果我不是蓝眼睛，那么对方昨天就会意识到他是蓝眼睛，对方昨天夜里就应该消失，然而今天竟然还在这儿，说明我也是蓝眼睛。最后，这两个人将会在第二天夜里一并消失。
类似地，如果岛上有三个蓝眼睛，那么每个人到了第三天都发现另外两个人还没走，便能很快推出，这一定是因为自己是蓝眼睛。所以，这三个蓝眼睛将会在第三个午夜集体离开。不断地这样推下去，最终便会得出，如果岛上有100个蓝眼睛，那么每个人都会在第100天意识到自己是蓝色的眼睛，于是他们将会在第100个午夜集体离开。
很多人都会对这段解释非常满意，然而细心的朋友却会发现一个问题：在大法师出现之前，每个人都能看见99个蓝眼睛，因此每个人都知道“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”这件事情。那么，大法师的出现究竟有什么用呢？这是一个很好的问题。它的答案是：大法师的行为，让“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”的消息成为了共识。
在生活当中，我们经常会遇到与共识有关的问题。让我们来看这么一段故事。A、B两人有事需要面谈，他们要用短信的方式约定明天的见面时间和地点。不过，两人的时间都非常宝贵，只有确信对方能够出席时，自己才会到场。A给B发短信说，“我们明天10:00在西直门地铁站见吧”。不过，短信发丢了是常有的事情。为了确信B得知了此消息，A补充了一句，“收到请回复”。B收到了之后，立即回复：“已收到，明天10:00不见不散”。不过，B也有他自己的担忧：A不是只在确认我要去了之后才会去吗？万一对方没有收到我的确认短信，届时没有到场让我白等一中午怎么办？因此B也附了一句：“收到此确认信请回复”。A收到确认信之后，自然会回复“收到确认信”。但A又产生了新的顾虑：如果B没收到我的回复，一定会担心我因为没收到他的回复而不去了，那他会不会也就因此不去了呢？为了确保B收到了回复，A也在短信末尾加上了“收到请回复”。这个过程继续下去，显然是没完没了。其结果是，A、B两人一直在确认对方的信息，但却始终无法达成这么一个共识：“我们都将在明天10:00到达西直门地铁站”。
有的人或许会说，那还不简单，A给B打个电话不就行了吗？在生活当中，这的确是上述困境的一个最佳解决办法。有意思的问题出来了：打电话和发短信有什么区别，使得两人一下就把问题给解决了？主要原因可能是，打电话是“在线”的，而发短信是“离线”的。在打电话时，每个人都能确定对方在听着，也能确定对方确定自己在听着，等等，因此两人说的任何一句话，都将会立即成为共识：不但我知道了，而且我知道你知道了，而且我知道你知道我知道了……
大法师当众宣布“岛上至少有一个蓝眼睛”，就是让所有人都知道这一点，并且让所有人都知道所有人都知道这一点，并且像这样无限嵌套下去。这就叫做某条消息成为大家的共识。让我们来看一下，如果这个消息并没有成为共识，事情又会怎样。
为了简单起见，我们还是假定岛上只有两个蓝眼睛。这两个人都能看见对方是蓝眼睛，因而他们都知道“岛上至少有一个蓝眼睛”。但是，由于法师没有出现，因此他俩都不知道，对方是否知道“岛上有蓝眼睛”这件事。所以，到了第二天的时候，之前的推理就无法进行下去了——每个人心里都会想，对方没有离开完全有可能是因为对方不知道“岛上有蓝眼睛”这件事。
类似地，如果岛上有三个蓝眼睛，那么除非他们都知道，所有人都知道所有人都知道了“岛上有蓝眼睛”这件事，否则第三天的推理是不成立的——到了第三天，会有人觉得，那两个人没走仅仅是因为他们不知道对方也知道“岛上有蓝眼睛”这件事罢了。继续扩展到100个蓝眼睛的情形，你会发现，“互相知道”必须得嵌套100层，才能让所有推理能顺利进行下去。
实际上，我们的题目条件也是不完整的。“岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则”这句话应该改为“上面这些条件和规则是岛上所有人的共识”，或者说“岛上所有人都知道上面这些条件和规则，并且所有人都知道所有人都知道，等等等等”。如果没有这个条件，刚才的推理也是不成立。比方说，虽然所有人都是无限聪明的，但是如果大家不知道别人也是无限聪明的，或者大家不知道大家知道别人也是无限聪明的，推理也会因为“昨晚他没走仅仅是因为他太笨了没推出来”之类的想法而被卡住。下一章的博弈问题当中，共识的概念也会起到很大的作用。
这是一道非常经典的问题，网络漫画网站XKCD把它称作是“世界上最难的逻辑谜题”。我至少见过这个问题的四种不同的版本。John Allen Paulos的Once Upon A Number里写过一个大女子主义村的故事：村子里有50个已婚妇女，每个妇女都不知道自己的男人是否有外遇，但却可以观察到其他妇女的男人是否有外遇。规定，只要哪个妇女推出了自己的男人有外遇，当晚她就必须把自己的男人杀死。有一天，村子里来了一位女族长。女族长宣布，岛上至少有一个妇女，他的男人有外遇。实际上，每个妇女的男人都有外遇。那么最后究竟会发生什么呢？村子里的人将会度过49个平静的晚上，到第50天则会出现彻彻底底的大屠杀。
另一个与疯狗有关的版本也大致如此：村子里每个人都养了一条狗，每个人都不知道自己的狗是不是疯了，但都可以观察到别人家的狗是不是疯狗。只要推出自己的狗是疯的，当天晚上就必须用枪把它杀死。有一天，村里来了一个人，宣布了至少有一条疯狗的消息，然后前2天平安无事，第3天夜里出现了一阵枪响，问村子里实际上有多少疯狗？答案是，3条。
最后还有一个戴帽子的版本。老师给5个小孩儿每个人头上都戴了一顶黑帽子，然后告诉大家，至少有一个人头上戴着的是黑色的帽子。接下来，老师向大家提问：“知道自己戴着黑帽子的请举手”，连问四次没有反应，到了第五次则齐刷刷地举手。有的地方把“戴着黑帽子”换成“额头上点了一个墨点”，然后老师让大家推测自己额头上是否有墨点。这本质上也是一样的。
……
据说，曾经在某一段时间里，美国和加拿大的货币汇率出了问题：把9美元带到加拿大去，可以换成10个加元；把9加元带到美国去，可以换成10个美元。于是，就出现了这么一个往返于美加边境的酒鬼：他用10美元在美国买了杯1美元的啤酒，把找回来的9个美元带到加拿大去，换成10加元；然后在加拿大又买了1加元的啤酒，把找回来的9个加元带到美国，再换成10美元……如此反复，他就可以不花一分钱，免费喝到无穷多的啤酒！问题出现了：究竟是谁支付了啤酒钱？
答案：他用自己的劳动支付了啤酒。他以一个贸易商的角色往返于两地之间，并把赚到的钱花在了啤酒上。不要老想着货币汇率的问题了，其实整个过程的实质很简单，就相当于他从美国买了很多特产带到加拿大去卖，再在加拿大买了很多特产带到美国去卖，如此反复并不断获利，再用赚来的钱买啤酒罢了。
另类的俄罗斯轮盘赌
俄罗斯轮盘赌是史上最酷的决斗方式之一。左轮手枪的转轮中有六个弹槽。在其中一个弹槽中放入一颗子弹，然后快速旋转转轮，再把它合上。参与决斗的两个人轮流对准自己的头部扣动扳机，直到其中一方死亡。这是一场真男人游戏，双方胜负的概率各占50%，游戏没有任何技巧可言，命运决定了一切。
为了让游戏更加刺激，这一回我们稍微改变一下游戏规则。在转轮的连续三个弹槽中放入子弹，然后旋转并合上转轮。这一次，你是打算先开枪还是后开枪呢？
你应该选择后开枪，因为后开枪的人幸存的概率更高。为了算出双方存活的概率，我们只需要考虑所有6种可能的子弹位置即可。不妨用字母B来表示有子弹的弹槽，用字母E来表示空的弹槽。我们便能列出下面这张表：
B B B E E E → 先开枪者死B B E E E B → 先开枪者死B E E E B B → 先开枪者死E E E B B B → 后开枪者死E E B B B E → 先开枪者死E B B B E E → 后开枪者死可见，先开枪者死亡的概率高达2/3，是后开枪者死亡概率的两倍。
可以算出，当转轮里位置相连的子弹数分别为1、2、3、4、5、6时，先开枪者死亡的概率分别为1/2、2/3、2/3、5/6、5/6、1。看来，并不是所有游戏都是先下手为强啊。
蓝眼睛岛上的故事
某座岛上有200个人，其中100个人的眼睛是蓝色的，另外100个人的眼睛是棕色的。所有人都不知道自己眼睛的颜色，也没法看到自己眼睛的颜色。他们可以通过观察别人的眼睛颜色，来推断自己的眼睛颜色；除此之外，他们之间不能有任何形式的交流。每天午夜都会有一艘渡船停在岛边，所有推出自己眼睛颜色的人都必须离开这座岛。所有人都是无限聪明的，只要他们能推出来的东西，他们一定能推出来。岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则。
有一天，一位大法师来到了岛上。他把岛上所有人都叫来，然后向所有人宣布了一个消息：岛上至少有一个人是蓝色的眼睛。
接下来的每一个午夜里，都会有哪些人离开这座岛？
答案：从第1个午夜到第99个午夜，没有任何人离开这座岛；到第100个午夜，所有100个蓝眼睛将会同时离开。
为什么？大家不妨先这样想：什么情况下第一天就会有人离开这座岛？很简单。假如岛上只有一个蓝眼睛，那么当他听说岛上至少有一个蓝眼睛之后，他就知道了自己一定就是那个蓝眼睛，因为他看到的其他所有人都是棕色的眼睛。因而，当天夜里他就会离开这座岛。好了，如果岛上只有两个蓝眼睛呢？他们在第一天都无法立即推出自己是蓝眼睛，但在第二天，每个人都发现对方还在，就知道自己一定是蓝眼睛了。这是因为，每个人都会这么想：如果我不是蓝眼睛，那么对方昨天就会意识到他是蓝眼睛，对方昨天夜里就应该消失，然而今天竟然还在这儿，说明我也是蓝眼睛。最后，这两个人将会在第二天夜里一并消失。
类似地，如果岛上有三个蓝眼睛，那么每个人到了第三天都发现另外两个人还没走，便能很快推出，这一定是因为自己是蓝眼睛。所以，这三个蓝眼睛将会在第三个午夜集体离开。不断地这样推下去，最终便会得出，如果岛上有100个蓝眼睛，那么每个人都会在第100天意识到自己是蓝色的眼睛，于是他们将会在第100个午夜集体离开。
很多人都会对这段解释非常满意，然而细心的朋友却会发现一个问题：在大法师出现之前，每个人都能看见99个蓝眼睛，因此每个人都知道“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”这件事情。那么，大法师的出现究竟有什么用呢？这是一个很好的问题。它的答案是：大法师的行为，让“岛上至少有一个人是蓝色的眼睛”的消息成为了共识。
在生活当中，我们经常会遇到与共识有关的问题。让我们来看这么一段故事。A、B两人有事需要面谈，他们要用短信的方式约定明天的见面时间和地点。不过，两人的时间都非常宝贵，只有确信对方能够出席时，自己才会到场。A给B发短信说，“我们明天10:00在西直门地铁站见吧”。不过，短信发丢了是常有的事情。为了确信B得知了此消息，A补充了一句，“收到请回复”。B收到了之后，立即回复：“已收到，明天10:00不见不散”。不过，B也有他自己的担忧：A不是只在确认我要去了之后才会去吗？万一对方没有收到我的确认短信，届时没有到场让我白等一中午怎么办？因此B也附了一句：“收到此确认信请回复”。A收到确认信之后，自然会回复“收到确认信”。但A又产生了新的顾虑：如果B没收到我的回复，一定会担心我因为没收到他的回复而不去了，那他会不会也就因此不去了呢？为了确保B收到了回复，A也在短信末尾加上了“收到请回复”。这个过程继续下去，显然是没完没了。其结果是，A、B两人一直在确认对方的信息，但却始终无法达成这么一个共识：“我们都将在明天10:00到达西直门地铁站”。
有的人或许会说，那还不简单，A给B打个电话不就行了吗？在生活当中，这的确是上述困境的一个最佳解决办法。有意思的问题出来了：打电话和发短信有什么区别，使得两人一下就把问题给解决了？主要原因可能是，打电话是“在线”的，而发短信是“离线”的。在打电话时，每个人都能确定对方在听着，也能确定对方确定自己在听着，等等，因此两人说的任何一句话，都将会立即成为共识：不但我知道了，而且我知道你知道了，而且我知道你知道我知道了……
大法师当众宣布“岛上至少有一个蓝眼睛”，就是让所有人都知道这一点，并且让所有人都知道所有人都知道这一点，并且像这样无限嵌套下去。这就叫做某条消息成为大家的共识。让我们来看一下，如果这个消息并没有成为共识，事情又会怎样。
为了简单起见，我们还是假定岛上只有两个蓝眼睛。这两个人都能看见对方是蓝眼睛，因而他们都知道“岛上至少有一个蓝眼睛”。但是，由于法师没有出现，因此他俩都不知道，对方是否知道“岛上有蓝眼睛”这件事。所以，到了第二天的时候，之前的推理就无法进行下去了——每个人心里都会想，对方没有离开完全有可能是因为对方不知道“岛上有蓝眼睛”这件事。
类似地，如果岛上有三个蓝眼睛，那么除非他们都知道，所有人都知道所有人都知道了“岛上有蓝眼睛”这件事，否则第三天的推理是不成立的——到了第三天，会有人觉得，那两个人没走仅仅是因为他们不知道对方也知道“岛上有蓝眼睛”这件事罢了。继续扩展到100个蓝眼睛的情形，你会发现，“互相知道”必须得嵌套100层，才能让所有推理能顺利进行下去。
实际上，我们的题目条件也是不完整的。“岛上的所有人都非常清楚地知道上面这些条件和规则”这句话应该改为“上面这些条件和规则是岛上所有人的共识”，或者说“岛上所有人都知道上面这些条件和规则，并且所有人都知道所有人都知道，等等等等”。如果没有这个条件，刚才的推理也是不成立。比方说，虽然所有人都是无限聪明的，但是如果大家不知道别人也是无限聪明的，或者大家不知道大家知道别人也是无限聪明的，推理也会因为“昨晚他没走仅仅是因为他太笨了没推出来”之类的想法而被卡住。下一章的博弈问题当中，共识的概念也会起到很大的作用。
这是一道非常经典的问题，网络漫画网站XKCD把它称作是“世界上最难的逻辑谜题”。我至少见过这个问题的四种不同的版本。John Allen Paulos的Once Upon A Number里写过一个大女子主义村的故事：村子里有50个已婚妇女，每个妇女都不知道自己的男人是否有外遇，但却可以观察到其他妇女的男人是否有外遇。规定，只要哪个妇女推出了自己的男人有外遇，当晚她就必须把自己的男人杀死。有一天，村子里来了一位女族长。女族长宣布，岛上至少有一个妇女，他的男人有外遇。实际上，每个妇女的男人都有外遇。那么最后究竟会发生什么呢？村子里的人将会度过49个平静的晚上，到第50天则会出现彻彻底底的大屠杀。
另一个与疯狗有关的版本也大致如此：村子里每个人都养了一条狗，每个人都不知道自己的狗是不是疯了，但都可以观察到别人家的狗是不是疯狗。只要推出自己的狗是疯的，当天晚上就必须用枪把它杀死。有一天，村里来了一个人，宣布了至少有一条疯狗的消息，然后前2天平安无事，第3天夜里出现了一阵枪响，问村子里实际上有多少疯狗？答案是，3条。
最后还有一个戴帽子的版本。老师给5个小孩儿每个人头上都戴了一顶黑帽子，然后告诉大家，至少有一个人头上戴着的是黑色的帽子。接下来，老师向大家提问：“知道自己戴着黑帽子的请举手”，连问四次没有反应，到了第五次则齐刷刷地举手。有的地方把“戴着黑帽子”换成“额头上点了一个墨点”，然后老师让大家推测自己额头上是否有墨点。这本质上也是一样的。
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