图像处理中的数学修炼

探索图像处理中的数学问题，帮助读者夯实基础、强化所学，更能帮助读者建立一条连接数学和图像处理世界的桥梁。

 

本书系统地介绍了图像处理技术中所涉及的数学基础。在前四章中，笔者设法化繁为简，从众多繁冗的数学知识中萃取了在学习和研究图像处理技术时所必须的内容，以期有效地帮助读者筛选出*为必要的理论基础，包括微积分、场论、变分法、复变函数、偏微分方程、泛函分析、概率论和统计学等。本书的后半部分每章围绕一个主题详尽地介绍了一些实际应用中的技术，这部分内容涉及到的子话题和具体算法十分丰富，其中很多都是当前研究的热点。更重要的是，在后四章里，读者将反复用到本书前半部分所介绍的数学原理。这不仅能帮助读者夯实基础、强化所学，更能帮助读者建立一条连接数学和图像处理世界的桥梁，做到学以致用。本书可作为图像处理和机器视觉等领域的从业人员的技术指导资料，也可作为大专院校相关专业师生研究或学习的参考书籍。

左飞  博士，技术作家、译者。著作涉及人工智能、图像处理和编程语言等多个领域，其中两部作品的繁体版在中国台湾地区发行。同时，还翻译出版了包括《编码》在内的多部经典著作。曾荣获“受读者喜爱的IT图书作译者奖”。其技术博客非常受欢迎，累计拥有超过400万的访问量。

目录

 

第1章必不可少的数学基础

 

1.1极限及其应用

 

1.1.1数列的极限

 

1.1.2级数的敛散

 

1.1.3函数的极限

 

1.1.4极限的应用

 

1.2微分中值定理

 

1.2.1罗尔中值定理

 

1.2.2拉格朗日中值定理

 

1.2.3柯西中值定理

 

1.2.4泰勒公式

 

1.2.5黑塞矩阵与多元函数极值

 

1.3向量代数与场论

 

1.3.1牛顿莱布尼茨公式

 

1.3.2内积与外积

 

1.3.3方向导数与梯度

 

1.3.4曲线积分

 

1.3.5格林公式

 

1.3.6积分与路径无关条件

 

1.3.7曲面积分

 

1.3.8高斯公式与散度

 

1.3.9斯托克斯公式与旋度

 

本章参考文献

 

第2章更进一步的数学内容

 

2.1傅里叶级数展开

 

2.1.1函数项级数的概念

 

2.1.2函数项级数的性质

 

2.1.3傅里叶级数的概念

 

2.1.4傅里叶变换的由来

 

2.1.5卷积定理及其证明

 

2.2复变函数论初步

 

2.2.1解析函数

 

2.2.2复变积分

 

2.2.3基本定理

 

2.2.4级数展开

 

2.3凸函数与詹森不等式

 

2.3.1凸函数的概念

 

2.3.2詹森不等式及其证明

 

2.3.3詹森不等式的应用

 

2.4常用经典数值解法

 

2.4.1牛顿迭代法

 

2.4.2雅可比迭代

 

2.4.3高斯迭代法

 

2.4.4托马斯算法

 

本章参考文献

 

第3章泛函分析及变分法

 

3.1勒贝格积分理论

 

3.1.1点集的勒贝格测度

 

3.1.2可测函数及其性质

 

3.1.3勒贝格积分的定义

 

3.1.4积分序列极限定理

 

3.2泛函与抽象空间

 

3.2.1线性空间

 

3.2.2距离空间

 

3.2.3赋范空间

 

3.2.4巴拿赫空间

 

3.2.5内积空间

 

3.2.6希尔伯特空间

 

3.2.7索伯列夫空间

 

3.3从泛函到变分法

 

3.3.1理解泛函的概念

 

3.3.2变分的概念

 

3.3.3变分法的基本方程

 

3.3.4理解哈密尔顿原理

 

3.3.5等式约束下的变分

 

3.3.6巴拿赫不动点定理

 

3.3.7有界变差函数空间

 

本章参考文献

 

第4章概率论与统计学基础

 

4.1概率论的基本概念

 

4.2随机变量数字特征

 

4.2.1期望

 

4.2.2方差

 

4.2.3矩与矩母函数

 

4.2.4协方差与协方差矩阵

 

4.3基本概率分布模型

 

4.3.1离散概率分布

 

4.3.2连续概率分布

 

4.4概率论中的重要定理

 

4.4.1大数定理

 

4.4.2中央极限定理

 

4.5随机采样

 

4.5.1随机采样分布

 

4.5.2蒙特卡罗采样

 

4.6参数估计

 

4.6.1参数估计的基本原理

 

4.6.2单总体参数区间估计

 

4.6.3双总体均值差的估计

 

4.6.4双总体比例差的估计

 

4.7假设检验

 

4.7.1基本概念

 

4.7.2两类错误

 

4.7.3均值检验

 

4.8极大似然估计

 

4.8.1极大似然法的基本原理

 

4.8.2求极大似然估计的方法

 

4.9贝叶斯推断

 

4.9.1先验概率与后验概率

 

4.9.2共轭分布

 

本章参考文献

 

第5章子带编码与小波变换

 

5.1图像编码的理论基础

 

5.1.1率失真函数

 

5.1.2香农下边界

 

5.1.3无记忆高斯信源

 

5.1.4有记忆高斯信源

 

5.2子带编码基本原理

 

5.2.1数字信号处理基础

 

5.2.2多抽样率信号处理

 

5.2.3图像信息子带分解

 

5.3哈尔函数及其变换

 

5.3.1哈尔函数的定义

 

5.3.2哈尔函数的性质

 

5.3.3酉矩阵与酉变换

 

5.3.4二维离散线性变换

 

5.3.5哈尔基函数

 

5.3.6哈尔变换

 

5.4小波及其数学原理

 

5.4.1小波的历史

 

5.4.2小波的概念

 

5.4.3多分辨率分析

 

5.4.4小波函数的构建

 

5.4.5小波序列展开

 

5.4.6离散小波变换

 

5.4.7连续小波变换

 

5.4.8小波的容许条件与基本特征

 

5.5快速小波变换算法

 

5.5.1快速小波正变换

 

5.5.2快速小波逆变换

 

5.5.3图像的小波变换

 

5.6小波在图像处理中的应用

 

本章参考文献

 

第6章正交变换与图像压缩

 

6.1傅里叶变换

 

6.1.1信号处理中的傅里叶变换

 

6.1.2数字图像中的傅里叶变换

 

6.1.3快速傅里叶变换的算法

 

6.2离散余弦变换

 

6.2.1基本概念及数学描述

 

6.2.2离散余弦变换的快速算法

 

6.2.3离散余弦变换的意义与应用

 

6.3沃尔什阿达马变换

 

6.3.1沃尔什函数

 

6.3.2离散沃尔什变换及其快速算法

 

6.3.3沃尔什变换的应用

 

6.4卡洛南洛伊变换

 

6.4.1主成分变换的推导

 

6.4.2主成分变换的实现

 

6.4.3基于KL变换的图像压缩

 

本章参考文献

 

第7章无所不在的高斯分布

 

7.1卷积积分与邻域处理

 

7.1.1卷积积分的概念

 

7.1.2模板与邻域处理

 

7.1.3图像的高斯平滑

 

7.2边缘检测与微分算子

 

7.2.1哈密尔顿算子

 

7.2.2拉普拉斯算子

 

7.2.3高斯拉普拉斯算子

 

7.2.4高斯差分算子

 

7.3保持边缘的平滑处理

 

7.3.1双边滤波算法应用

 

7.3.2各向异性扩散滤波

 

7.3.3基于全变差的方法

 

7.4数学物理方程的应用

 

7.4.1泊松方程的推导

 

7.4.2图像的泊松编辑

 

7.4.3离散化数值求解

 

7.4.4基于稀疏矩阵的解法

 

7.5多尺度空间及其构建

 

7.5.1高斯滤波与多尺度空间的构建

 

7.5.2基于各向异性扩散的尺度空间

 

本章参考文献

 

第8章处理彩色图像

 

8.1从认识色彩开始

 

8.1.1什么是颜色

 

8.1.2颜色的属性

 

8.1.3光源能量分布图

 

8.2CIE色度图

 

8.2.1CIE色彩模型的建立

 

8.2.2CIE色度图的理解

 

8.2.3CIE色度图的后续发展

 

8.3常用的色彩空间

 

8.3.1RGB颜色空间

 

8.3.2CMY/CMYK颜色空间

 

8.3.3HSV/HSB颜色空间

 

8.3.4HSI/HSL颜色空间

 

8.3.5Lab颜色空间

 

8.3.6YUV/YCbCr颜色空间

 

8.4色彩空间的转换方法

 

8.4.1RGB转换到HSV的方法

 

8.4.2RGB转换到HSI的方法

 

8.4.3RGB转换到YUV的方法

 

8.4.4RGB转换到YCbCr的方法

 

8.5基于直方图的色彩增强

 

8.5.1普通直方图均衡

 

8.5.2CLAHE算法

 

8.5.3直方图规定化

 

8.6暗通道先验的去雾算法

 

8.6.1暗通道的概念与意义

 

8.6.2暗通道去雾霾的原理

 

8.6.3算法实现与应用

 

本章参考文献

 

附录

 

法国数学家小传

 

德国数学家小传

 

英国数学家小传

 

其他数学家小传

 

本附录参考文献

前言

2002年，国际计算机学会将当年度的图灵奖颁给了因提出RSA公钥加密算法而闻名于世的罗纳德·李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·阿德曼三人。与RSA公钥加密体制密切相关的一个数学基础就是“中国剩余定理”，这也是现代数学中以中国之名命名的定理，在某种程度上它也成为了中国古代数学成就的一个重要代表。我国古代数学名著《孙子算经》中记载的“物不知数”问题是中国剩余定理的一个典型算例。后来，南宋数学家秦九韶在他的《数书九章》中推广了“物不知数”问题，提出了“大衍求一术”，为求解中国剩余定理问题提供了系统化的数学理论。西方世界直到18世纪，才对类似问题展开系统研究。德国的高斯得出类似“大衍求一术”的结论则到了19世纪，比秦九韶晚了近700年。秦九韶曾在《数书九章》的序言中写道： “其用本太虚生一，而周流无穷，大则可以通神明，顺性命； 小则可以经世务，类万物……若昔推策以迎日，定律而知气。髀矩浚川，土圭度晷。天地之大，囿焉而不能外，况其间总总者乎？”这段话译成现代汉语就是： “为了应用，人们要认识世界的规律，因而产生了数学。数学具有广泛的应用性。从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生； 从小的方面说，数学可以经营事务，分类万物……过去，历算家们用筹算推演，制定天文历法； 发现自然规律，预测季节变化。用髀、矩测山高河深，用圭表量日影，以定时刻与节气。宇宙如此之大，尚且不能置于数学之外，那么宇宙之中的各种各样的事物，难道能离开数学吗？”由此可见，在古代，人们已经意识到了数学的重要性。事实上，作为现代科学技术的重要基础，数学甚至也在直接或间接地影响着一个国家的综合国力。古今中外，许多名流志士，甚至很多本来并非数学家出身的人，都在著述或谈话中论及了数学之于国力的影响。例如，19世纪中国杰出的数学家李善兰在列强环伺、国势衰微的民族危难之际便感慨道： “呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算学明也。”无独有偶，在万里之外的西方世界，拿破仑则更为直接地指出： “一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。数学的发展和至善与国家繁荣昌盛密切相关。”回过头来看我们要谈的数字图像处理技术，数学对其的影响可能更为直接。总所周知，数字图像处理技术的研究与开发对数学基础的要求很高，一些不断涌现的新方法中，眼花缭乱的数学推导令很多期待深入研究的人望而却步。一个正规理工科学生大致已经具备了包括微积分、线性代数、概率论在内的数学基础。但在分析一些图像处理算法的原理时，好像感觉还是无从入手。实际中所涉及的问题主要归结为如下几个原因： ①微积分、线性代数、概率论这些是非常重要的数学基础，但显然不是这些课程中所有的内容都在图像处理算法中有直接应用； ②当你将图像处理和数学分开来学的时候，其实并没有设法建立它们二者的联系； ③一些新方法或者所谓的高大上算法的基础已经超过了上面三个数学课程所探讨的基本领域，这又涉及偏微分方程、变分法、复变函数、实变函数、泛函分析等； ④如果你不是数学科班出身，要想自学上面所谈到所有内容，工作量实在太过繁杂，恐怕精力也难以顾及。长久以来，笔者结合自己对图像处理的学习和实践，大致总结了一部分图像处理研究中所需的数学原理基础。这些内容主要涉及微积分、向量分析、场论、泛函分析、偏微分方程、复变函数、变分法等。正如前面所提到的，如果要系统地学习上述这些数学理论的全部内容，对于一个非数学专业出身的人来说可能并不现实。于是笔者尝试总结、归纳、提取了上面这些数学课程在研究图像处理时容易碰到也需要知道的一些知识点，然后采取一种循序渐进的方式将它们重新组织到了一起。并结合具体的图像处理算法讨论来讲解这些数学知识的运用。从而建立数学知识与图像处理之间的一座桥梁。这部分内容主要是笔者日常研究和学习的一个总结。初笔者也只是把这部分文章发到了自己的技术博客上，而且尽管此前笔者仅是断断续续地撷取了其中的一部分发到了网上，已经有读者表现出了浓厚的兴趣。不知不觉中，这个系列专栏的文章日积月累，内容渐渐丰富，个人感觉确实已经形成了一个相对比较完整的体系，于是便有了各位现在看到的这本书。本书旨在对图像处理技术中所涉及的数学原理给出一个相对系统的讲述。全书共分8章，其中前4章主要是一些数学基础方面的内容，包括微积分、场论、变分法、复变函数、偏微分方程、泛函分析、概率论和统计学等。而这部分内容所给出的正是笔者认为在学习和研究图像处理技术时所必须的数学知识。当然，仅仅有理论仍然是不足的。本书的后半部分每章围绕一个主题详尽地介绍了一些实际应用中的图像处理技术，这部分内容也相当地凝练，涉及的子话题和具体算法十分丰富，其中很多都是当前研究的热点。更重要的是，在后4章里，读者将反复用到本书前半部分所介绍的数学原理。这样一来不仅能帮助读者夯实基础、强化所学，更能帮助读者建立一条连接数学和图像处理世界的桥梁，做到学以致用。在阅读本书时，有两种方式可供读者选择。如果你数学基础尚可，那么可以试着从第5章开始看起，如果对一些遇到的术语、公式不甚了解，可以再翻回前面的内容，做有针对性的查阅。如果你的数学基础略显薄弱，或者曾经学过，但眼下所剩无几，那么你也可以从头看起，帮助自己建立一个相对完整而扎实的数学思维体系。当然由于本书的知识内容是高度凝练的，无法做到包山包海，因此仍然建议那些有一定微积分基础的人作为本书的目标读者。换言之，具有普通大专院校工科数学基础的读者就可以阅读本书。万丈高楼平地起，基础不牢，地动山摇。很多人在学习和研究图像处理算法时都感觉有一道无形的屏障挡在眼前，总是力不从心。虽然自己也似乎看了很多资料，但是遇到一些实际问题时，又不知道该从何入手。或许，你所欠缺的恰恰是一个夯实的理论基础。正如笔者常说的一句玩笑话： “如果连基本的求导还不甚了解，那么即使傅立叶本人亲自来给你讲傅立叶变换，你也是无福消受的。”但如果你是图像处理的同道中人，或者你正在学习、研究和运用图像处理技术，那么笔者相信，你一定能从本书中有所收获！总的来说，我不太喜欢翻开一本信息技术相关的工具书，里面密密麻麻的全部都是代码。所以，我希望能够在我的书中留下更多空间去讨论原理和思路。鉴于这并不是一本教导人们如何开发图像处理程序的书，或者更准确地说这是一本介绍数学在图像处理中的应用的书，所以我们并不要求读者阅读本书前已经掌握了某种特定的计算机语言。然而，在介绍某些比较晦涩的算法时，使用一些必要的代码来辅助解释也是很有必要的，而且有时这也的确是直截了当容易被接受的方式。所以本书中确实涉及某些用MATLAB编写的代码，但它们的占比是极其有限的。在有必要使用代码来演示说明算法原理的时候，我们也仅是给出了算法核心部分的相关代码。事实上，笔者更习惯于在博客中上传代码，而非把它们全部罗列到书中去挤占篇幅。如果读者对书中所涉及的算法实现有需要，可以从笔者在CSDN上的技术博客中（http： //blog.csdn.net/baimafujinji）下载到相应的源代码。更重要的是，如果读者在阅读本书时遇到一些困难，或者有一些需要跟作者沟通的问题时，都可以在该博客上通过留言的方式来跟笔者进行交流。无冥冥之志者，无昭昭之明，无惛惛之事者，无赫赫之功。我衷心地希望本书的读者能够在图像处理领域既有昭昭之明，亦有赫赫之功。后虽然有点俗套，但笔者还是想说： 自知论道须思量，几度无眠一文章。由于时间和能力有限，书中纰漏在所难免，真诚地希望各位读者和专家不吝批评、斧正。左飞

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