描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787518052073
在完成数独题目的过程中
你一定沉浸在
“因为”“所以”“如果”“那么”“肯定”“可能”“只有”“可以”“一定”“不一定”“一定不会”
等一系列判断中
既提高了你的专注力
还培养了你的逻辑思维能力
让你越玩越聪明！
我们拿到一道题目的时候，盘面内有很多空格。我们需要的是合理地填补这种空格，让终得到的答案完全符合规则。接下来看一看标准数独的元素。我们需要了解的元素有：行，列，宫，坐标等，这些对于理解数独的规则和阅读有关解题的方法都是必要条件。观察图2。拿到一道数独题目，首先要有行、列（Row Column）的概念。每道九宫标准数独题目，必然有从上到下的9 行和从左到右的9 列。对这9 行和9 列有很多种命名方式，本书中，我们规定从上到下的9 行分别是A~I 行，从左到右的9 列分别是1~9 列。在规定了行列的概念之后，我们对于盘面上的小方格进行观察，一共是9×9 共81 个小方格，这些小方格我们命名为单元格（Grid）。为了指出某一个特定的单元格，我们会使用“某一行第几个小方格”这样的表述，例如“第三行第四格”。同时，我们在之前对于行列进行了命名，所以我们也可以使用“C 行（第三行）第四列（第四单元格）”这样的命名法，然后更加简化地称给出了很多数字作为线索，这些题目给定的数字我们称之为已知数。我们要做的事情就是通过给定的已知数，去探索空白单元格里应该填入哪些数字。此外，盘面内有九个宫（Box），按照从左到右、从上到下的顺序，分别是～第九宫。
第１节 余数法
我们来看看余数法。
余数法是指，一个单元格里面有8 个数字都不能填的时候，这个单元格里一定是剩余的那个数字。观察图1，星格所在的行里有数字1、4、5、6，列里有2、3、7、8，因此这个单元格一定是数字9。
第2 节 排除法
按照规则，每行（列、宫）内数字不重复，意味着对于任何一个已经有确定数字的单元格而言，它所在的行（列、宫）内不会再次出现这一数字。
观察图2 的左图，B2 格内是数字1，那么根据规则，所有灰色单元格内都不能是数字1。这是基础的排除法。在此基础上观察右图，右图里有4 个已知的数字1，那么根据推理，图中灰色单元格内也都不能是1，进而可以发现，第三宫中，1只能填在一个地方，那么很显然，星格内一定是数字1。
在数独实际题目中，宫内排除法是常用的技巧。我们用线条来表示排除，用一道例题进行示意。观察图3 的左图，是一道简单的九宫数独题目。我们可以选数字1 作为观察对象。观察题目可发现，第三、四、五、七、八、九宫中都有数字1，所以我们要判断、二、六宫内的数字1 能填在哪里，也就是在这些宫里面找数字1 的宫内排除。先看宫，我们用线条表示排除法，经过排除可以知道，宫内只有星格可以填1，所以数字1 一定填在那里，用坐标表示就是C3=1。
当然，举一反三，除了宫内排除法以外还有行列排除法。这一点请大家看图3 右图，第七列的1 只能在星格里，原理和宫排除法是一样的，只是观察对象转化为行列而已。
第3 节 区块法
首先我们来说明一下什么是区块。在某些单元格里必然存在某个数字，这些单元格就构成了关于该数字的区块。那么，区块有什么作用呢？实际上，区块有辅助观察排除和辅助获得余数两种作用。
在图4 所示的例题（左图）中，5 对于第四宫进行排除，得到圆圈内（右图）有一个5 的区块。这个区块里面一定有数字5，所以结合行列排除法可以排除C3 的5，得到宫的5 在星格里。
我们再来观察难度高一点的图5。在这里，列的5 必然在圆圈的区块中（右图），排除宫其他位置的5，结合行列排除法得到行的5 在星格。
再来看一个区块余数的例子。观察图6 例题（左图），可以发现第二宫的1区块，第八宫的2区块。结合第五宫里的已知数3、6和第六行的已知数4、5、7、8，能得到余数E5=9。
第4 节 数对
观察图7，我们可以发现F6 和F9 都只能是4 或8，因此这两个单元格必然是一个4 和一个8，这样这一行其他格子里就没有4 和8 了。这样的观察方法我们叫作显性数对，意思是某两个格子里必然是某两个数。在这道题中，我们能够很明显地看到，星格原本是3、4、8 三个可能，通过显性数对排除后，星格里只可能是3。
有显性就必然有隐性，我们再来看看图8，在图中，第二行的4 和5 只能在B4 和B6 两个单元格里，这两个单元格的位置被占据了，就不能再填入别的数字，因此9 不能填到这两个里，结合行列排除法得到第二行的9 在星格里。
数对法的核心在于，某两个单元格内只能是某两个数字（但是顺序未知）。这样，这两个单元格内就不能填进别的数字，这些单元格共同影响的区域里也不能再出现这两个数字。一句很简单的口诀是“隐性占位，显性删减”，大家可以自己体会一下。
……
☆变形数独
第1 节 杀手数独
杀手数独是指在标准数独的基础上，有一些虚线框，框内数字不能重复，角标数字为框内数字之和。
技巧1：45 法则
每行、每列、每宫填入数字1~9，意味着这一行、列、宫的和是45。然后可以通过运算得到一些特定单元格的值，例如图1 的左图，第九行里有4 个虚线框，它们的和是44，那么剩下一个星格里的数字必定为1。同理，可以得到另两个星格的数字。这个技巧比较简单，在99% 的题目里，步需要观察的就是45 法则。但是，45 法则不仅仅是将框内数字加起来，也有很多的简化步骤。例如，图1 左图的第九行，可以将12、15、12、5 的个位数相加，发现和尾数是4，而总和是45，得到星格是1。这种在比较复杂的情况下会极大缩减计算量。例如，有的情况要计算两行甚至三行的和，与90 或者135 来进行比对，这种情况下只算尾数会简便很多。当然，尾数也有弊端。例如目标是某两个单元格的和，就不建议只计算尾数。如用尾数算出来两个单元格的和尾数是3，那么可能是3，也可能是13。这时，需要全部加一遍来计算。
关于45 法则怎样计算也有讲究。图2 是一道题目的半边，解题的时候可以使用45 法则计算右边5 列（图中未给出数值）的和，然后和225 比对，也可以计算左边4 列的和。而在这个图里，的方法肯定是用45 法则算出来每一列下方的数字，然后利用15 进行计算。
技巧2：数字的拆分
有一些组合有固定的拆分方法。我们把B 个数字的和A 这件事记作A[B]。很显然有3[2]=1 2、4[2]=1 3等组合。一个确定了拆分的虚线框，我们往往可以将其当作数对或者数组使用。当然更多的情况是结合45 法则，排除某个单元格的候选等，对于一个拆分进行分组讨论。
比如，我们手里有一个7[2] 的拆分，这两个单元格都不能是3，也都不能是1，那么3 4 和1 6 两种拆分法就否决了，所以这个拆分是2 5；或者，其中一个单元格只能是1 或者6，那么这里也一定是1、6数对。
观察图1 的右图，我们可以看见，4[2] 的1 和3 构成了数对，对于3[2] 的1 和2 进行了排除，得到四角星格是2。接下来观察15[5]，是1、2、3、4、5的组合，而10[4] 是1、2、3、4 的组合，能得到五角星格是5。还有一些固定数字的拆分大概如下所示：
3[2]，4[2]，5[2]，6[2]，14[2]，15[2]，16[2]，17[2]；
6[3]，7[3]，23[3]，24[3]；
10[4]，11[4]，12[4]，29[4]，30[4]；
15[5]，16[5]。其中，有一些是必须要记住的，现在我们来找一找规律，看看要记住的是哪些：
① 1 2 … n 和 1 2 … n (n 2) 这两种，且都只有一种拆分法。
② 常见的两种拆分的有 5[2]、6[2]、14[2]，等等。
大家有没有发现我们没有讨论5 个数以上的拆分？在5 个数以上的时候，用45 法则，讨论框里没有的数是怎样拆分呢？即反向拆分，从而获得虚线框的拆分。
技巧3：拆分必含
研究一个拆分8[3]，它必然有两种形式：8=1 2 5或者8=1 3 4。这样可以发现，拆分8 必然含有数字1，这就是拆分必含。这种必含往往当作区块来使用。我们需要记住的必含包括：
8[3]、13[4] 必含1；12[4] 必含1 和2；22[3]、27[4] 必含9；28[4] 必含8 和9。
技巧4：极值估算
换一个角度观察。我们研究一个拆分20[3] 的时候，因为两个数相加的值是17，所以另一个数字小也要是3，这种方法叫作极值估算。
继续说刚才的8[3] 拆分，很明显，这种拆分里面不能含9 和8，由于两个数的和小也是3，所以第三个单元格里也只能是5 了，这是另一种形式的极值估算。
极值估算有什么作用呢？观察图3 左图，1 不能在29[4] 或者11[2] 中，结合排除法，1在C3；右下角中，9不能在12[4]、9[2]或者8[2] 中，那么也很容易得到第九宫的9 在I7。
技巧5：拆分冲突
观察两个拆分6[2] 和5[2]。6[2]=1 5 或者2 4，5[2]=1 4 或者2 3。那么如图3 右图所示，5 和6 在一个宫里会出现什么情况？ 5 是1 4 的时候6 无法拆分，6 是2 4 的时候5 无法拆分。这就是拆分冲突。常见的拆分冲突就是5[2] 和6[2]，还有14[2] 和15[2]。图3 中大家可以多多观察。
在图3 右图左边列，10[2] 不能是1 9 或者2 8，所以只能是3 7 或者4 6。同理，9[2]只能是3 6 或者4 5。很明显，这里也有拆分冲突，10不能是4 6，9 不能是3 6。
当然，更多的拆分冲突是只能否定一部分的可能性。例如5[2] 和7[2] 冲突的时候，5[2]不能是3 4。
技巧6：差值估算
观察图4 左图，两个虚线框内数字相加和是37，而第五行一整行的和是45，这意味着星格比灰色格大8，那么显然，星格是9，灰色格是1。
技巧7：虚线框限制
这是很少见的情况。观察图4 右图，虚线框内很明显是除了2 以外的8 个数字，这8 个数字都能影响E4，得到E4=2。
技巧8：虚线框内区块
观察图5，8 必然在灰色部分，利用虚线框内数字不重复的规则，得到第九宫星格是8。
第2 节 锯齿数独
锯齿数独是指在标准数独的基础上，宫变成了不规则形状的数独。在这里
不一定要遵守每个3×3 标准宫的规则，粗线围成的就是宫，盘面内一共9 个宫（如图6 所示）。在排除余数、区块、数对方面，其他都与标准数独一致，只是宫的形状有所变化。
锯齿数独的基本技巧也不难，需要注意如下几个技巧：
技巧1：等价
观察图7，在左图中，A1和B2是等价的，A9和B8是等价的……在右图中，只画出了锯齿的一个宫，但是这个图很有代表性，F4 格无论是几，这个数在锯齿宫中只能在E5 格，这是另一种等价。
技巧2：LoL
这个技巧实际上是等价的一种拓展使用。观察图8 左图，画出了3 个宫，左边也有3 列，通过观察容易明白，圆形部分的两个单元格和菱形部分的两个单元格等价。右图是这种等价的另一种表示形式，图中也有3 个宫，是3 组1~9，下方两行是两组1~9，那么剩下的凸出的9 个格便构成了一个额外区域，这个额外区域里也是一组1~9。这个技巧的名字叫LoL。
技巧3：特殊区块及共同影响区域
观察图9 的图示。在这个画出的宫中，3 只能在E6 和F5。很显然，无论3 在哪一个单元格，星格里都没有3，这就是基于锯齿数独特殊宫内结构的特殊区块。右图中，圆圈内是8 和9，排除下方共同影响的位置的8 和9。
第3 节 窗口数独
窗口数独是指在标准数独的基础上，四个额外的窗口宫内也是数字1~9 不重复。
窗口数独的技巧主要是前文锯齿数独的LoL 技巧，但是又略有不同。
技巧1：LoL 及其推论
由前文锯齿数独相关技巧，3 个椭圆形内是1 组1~9。一道题目，有四个这样的宫。我们进一步观察，每道题目是九组1~9，四个窗口宫占据四组，四个LoL 宫占据四组，还有一组额外宫，是剩下9 个单元格组成的（图10 右图所示）。在窗口数独里，一共有十八个宫。
图10 LoL宫（左图），角宫（右图）
技巧2：共同影响区域删减
观察图11 方形框里面的3 个单元格，这3 个单元格是7、8、9 数组，删除共同影响区域的7、8、9数组。
第4 节 无缘数独
无缘数独是指在标准数独的基础上，任意一个数，其周围8 个数都不能与之相同，即对角相邻的数字也不能相同。无缘数独有一个特征就是针对于此规则，从斜向也可以进行一些排除，从而得到一些新的结论。与此同时，也出现了新的区块。
技巧1：特殊区块删减
观察图12 左图，宫有个1 的区块。按照无缘数独的规则，这个区块可以排除D2 和E2 两个单元格的1，原理大家可以考虑一下。这种特殊区块是无缘数独常见的。右下角部分，框内的5 区块也可以排除F8 的5。仔细想一想也可以发现，就算没有G8=4 这个条件，5 在G7、G8 和G9 之中时候，F8都不能是5。
技巧2：共同影响区域
观察图12 的右图。宫里的1 必然在A2 或者B3，在A2 的时候通过行列排除法删减A4 的1，在B3 的时候通过无缘规则排除A4 的1。因此得到结论A4 不能是1。右下角的情况更为复杂一些，G7、G8、H7 都可能是7，大家可以观察到，有两个共同影响区域的数字7 被排除了。
这些技巧在行列排除法里也可以使用，不过观察难度大一点，如图13所示。
……
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