研究生考试用书 中公2020考研数学考前冲刺5套卷（数学三）（新大纲）

《中公版·2020考研数学：考前冲刺5套卷（数学三）（新大纲）》一、捕捉核心考点，突出命题重点
本书的试卷严格按照2020年考研新大纲的要求研发，题型、题量及试题难度均与新大纲和真题保持一致。每套试卷的答案解析侧重剖析试题精髓，重点点拨解题思路，尤其每个题目都包含【考点分析】，帮助考生熟悉题目考点，厘清解题思路，做到举一反三，针对薄弱科目进行提升。
二、一套一册装订，方便考生自测
本书每一套冲刺试卷和答案解析装订成一册，共5套题，方便考生携带练习，模拟考场进行自检自测，给考生身临其境的感觉。
三、研究生考试自习室，体验智能时代学习的快捷
购书享有中公教育研究生考试自习室多样增值服务，内含：备考资料轻松学，在线题库任意练，公开课程随时看。考生可利用碎片化时间，随时随地上自习。 

《中公版·2020考研数学：考前冲刺5套卷（数学三）（新大纲）》考研数学（三）试卷包含微积分、线性代数、概率论与数理统计三个科目，试卷共150分，其中微积分分值占总分的56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。试卷题型包含选择题8个，填空题6个，解答题（包括证明题）9个。
本书专为参加2020年考研数学（三）的考生量身定做，全书共包括5套考前冲刺试卷，每套试卷的题型、题量和难易程度均与大纲和真题保持一致。每道题目均包含【考点分析】和【解析】或【证明】，考点分析指出本题的解题突破口和基本步骤，题目解析（或证明）详细严谨，思路清晰，有助于考生做一道题会一类题，个别题目为一题多解，帮助考生拓展解题思路。

2020年全国硕士研究生招生考试数学（三）
考前冲刺试卷1

2020年全国硕士研究生招生考试数学（三）
考前冲刺试卷2

2020年全国硕士研究生招生考试数学（三）
考前冲刺试卷3

2020年全国硕士研究生招生考试数学（三）
考前冲刺试卷4

2020年全国硕士研究生招生考试数学（三）
考前冲刺试卷5

数学（三）
（科目代码：303）
考前冲刺试卷3
题型选择题填空题解答题总计
分值（分）322494150
自测（分）
2020年全国硕士研究生招生考试
数学（三）考前冲刺试卷3
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
（1）x→0时，下列无穷小量阶数最高的是（）
（A）1+x2-1-x2。（B）3×3-4×4+5×5。
（C）ex2-cosx。（D）∫1-cosx0sint2tdt。
（2）已知f（x）的导函数图像如图所示，则f（x）在（0,+∞）上（）
（A）有3个驻点，3个极值点，3个拐点。
（B）有2个驻点，2个极值点，2个拐点。
（C）有3个驻点，2个极值点，3个拐点。
（D）有3个驻点，2个极值点，1个拐点。
（3）设幂级数∑∞n=1an（x-1）n在x=-1处条件收敛，则∑∞n=1nan（x+1）n在x=1.5处（）
（A）绝对收敛。（B）条件收敛。
（C）发散。（D）收敛性无法判断。
（4）函数f（x）=（x2+y2）sin1x2+y2,（x,y）≠（0,0）,0,（x,y）=（0,0）在x=0处（）
（A）不连续但偏导数存在。（B）偏导数不存在但连续。
（C）可微但偏导数不连续。（D）偏导数连续。
（5）设A=111131111,B=200030000，则矩阵A和B（）
（A）合同且相似。（B）合同不相似。
（C）相似不合同。（D）既不相似，也不合同。
（6）设A,B均为3阶非零矩阵，满足AB=O，其中B=1-112a1-a2aa-aa2-2，则（）
（A）若a=2，则r（A）=1。（B）若a≠2，则r（A）=2。
（C）若a=-1，则r（A）=1。（D）若a≠-1，则r（A）=2。
（7）已知X的分布函数为F（x），概率密度为f（x），a为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是（）
（A）f（x+a）。（B）f（-x）。
（C）af（ax）。（D）2f（x）F（x）。
（8）已知随机变量X,Y均服从正态分布N（μ,σ2），且P{max{X,Y}≥μ}=a（0 （A）a2。（B）1-a2。
（C）a。（D）1-a。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9）limn→∞1n4+n+1+2n4+2n+2+…+nn4+n2+n=。
（10）设f（x）=xsin2x，则f（2017）（0）=。
（11）二阶常系数非齐次线性微分方程y″-2y′+5y=excos2x的通解为y（x）=。
（12）差分方程yx+1-2yx=x2的通解为。
（13）设A,B均为三阶矩阵，将A的第一行加到第二行得到A1，将B的第二列和第三列交换得到B1，若A1B1=10102030-3，则AB=。
（14）设随机变量X1,X2相互独立，X1服从正态分布N（μ,σ2），X2的分布律为P{X2=1}=P{X2=-1}=12，则X1X2的分布函数间断点个数为。
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
设曲线L过点（1,1），L上任意一点P（x,y）处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若PT=OT。试求曲线L的方程。
（16）（本题满分10分）
求函数f（x,y）=xy-43x-y在由抛物线y=4-x2（x≥0）与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
（17）（本题满分10分）
设f（x）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且f（0）=f（1）=0，若f（x）在［0,1］上的最大值为M>0。设n>1，证明：
（Ⅰ）存在c∈（0,1），使得f（c）=Mn；
（Ⅱ）存在互不相同的ξ,η∈（0,1），使得1f′（ξ）-1f′（η）=nM。
（18）（本题满分10分）
设Ia=Da（x+y）2-π3y-6dxdy，其中Da为曲线y=a2-x2（a>0）与y=3x所围成的区域，则
（Ⅰ）求Ia；
（Ⅱ）求a的值使得Ia最小。
（19）（本题满分10分）
设有幂级数∑∞n=11n+2nn2xn。求：
（Ⅰ）该幂级数的收敛半径与收敛域；
（Ⅱ）该幂级数的导数在收敛区间内的和函数。
（20）（本题满分11分）
已知线性方程组x1+x2+x3+x4=-1，4×1+3×2+5×3-x4=-1，3×1+x2+4×3+2×4=0，ax1+x2+3×3+bx4=1有无穷多解，求a,b的值并求其通解。
（21）（本题满分11分）
设二次型xTAx=ax21+2×22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，实对称矩阵A满足AB=O，其中B=101000101。
（Ⅰ）用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换；
（Ⅱ）判断矩阵A与B是否合同，并说明理由。
（22）（本题满分11分）
已知随机变量X的概率密度为fX（x）=xe-x,x>0,0,x≤0,当X=x（x>0）时，Y服从（0,x）上的均匀分布。
（Ⅰ）求（X,Y）的联合概率密度；
（Ⅱ）求关于Y的边缘概率密度fY（y）及条件概率密度fX|Y（x|y）；
（Ⅲ）判断随机变量X,Y是否独立，并说明理由。
（23）（本题满分11分）
设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N（μ,σ2）的简单随机样本，样本均值和样本方差分别为X和S2。记T=X2+kS2，已知统计量T是μ2的无偏估计。求k并在μ=0时计算D（T）。
2020年全国硕士研究生招生考试
数学（三）考前冲刺试卷3参考答案及解析
一、选择题
（1）【答案】D
本题考查无穷小量阶数的比较，（A）、（B）、（C）三项可按照泰勒公式展开然后比较阶数，（D）项通过洛必达法则求极限得出同阶无穷小量xn中n的取值。
【解析】（A）项，
1+x2-1-x2=1+x2-1+1-1-x2，
其中1+x2-1～12×2，1-1-x2～12×2，故
1+x2-1-x2=12×2+o（x2）+12×2+o（x2）=x2+o（x2），
可知1+x2-1-x2～x2。
（B）项，3×3-4×4+5×5=3×3+o（x3），可知3×3-4×4+5×5～3×3。
（C）项，ex2-cosx=ex2-1+1-cosx，其中ex2-1～x2，1-cosx～12×2，可知
ex2-cosx=x2+o（x2）+12×2+o（x2）=32×2+o（x2），
可知ex2-cosx～32×2。
（D）项，假设∫1-cosx0sint2tdt和xn同阶，计算极限
limx→0∫1-cosx0sint2tdtxn=limx→0sin（1-cosx）21-cosxsinxnxn-1=2limx→0sin（1-cosx）2nxn=2limx→014x4nxn,
可见，要使极限为非零常数，必有n=4。
综上所述，本题选（D）。
（2）【答案】C
本题考查导函数图像的性质，即如何通过观察导函数图像了解函数本身的特征。需要掌握在导函数图像中找驻点、极值点、拐点的方法。
【解析】驻点为导数等于0的点，即导函数图像与横坐标的交点，共3个；极值点为该点两端导数符号不一致的点，图中有2个；拐点为导函数的极值点，根据图像可知有3个点。
（3）【答案】C
本题先通过已知条件得出收敛半径，然后确定∑∞n=1nan（x+1）n的收敛区间，通过判断x＝1.5是否属于收敛区间而确定级数在该点是否收敛。
【解析】因为级数∑∞n=1an（x-1）n在x=-1处条件收敛，则其收敛半径为R=2，所以∑∞n=1nan（x+1）n的收敛区间为（-3,1），而x=1.5不在收敛区间内，所以∑∞n=1nan（x+1）n在x=1.5处发散。
（4）【答案】C
本题考查二元函数的连续性、偏导数的存在性以及可微性。函数可微能得出函数连续与可偏导，反之不成立；一阶偏导数连续可得出函数可微，反之不成立；函数连续和可偏导相互均不能推得。
【解析】连续性：
limx→0y→0f（x,y）=limx→0y→0（x2+y2）sin1x2+y2=0=f（0,0），
所以函数f（x,y）在（0,0）点连续。
偏导数：
f′x（0,0）=limx→0f（x,0）-f（0,0）x-0=limx→0x2sin1x2x=limx→0xsin1x2=0，
所以函数f（x,y）在（0,0）处对x的偏导数存在。同理可验证函数f（x,y）在（0,0）处对y的偏导数存在。所以函数f（x,y）在（0,0）处的偏导数存在。
全微分：
limΔx→0Δy→0（Δx）2+（Δy）2sin1（Δx）2+（Δy）2（Δx）2+（Δy）2=limΔx→0Δy→0（Δx）2+（Δy）2sin1（Δx）2+（Δy）2=0，
所以函数f（x,y）在（0,0）处可微。
偏导数连续性：
f′x（x,y）=2xsin1x2+y2-xx2+y2cos1x2+y2,（x,y）≠（0,0）,0,（x,y）=（0,0）,
limx→0y→0f′x（x,y）=limx→0y→02xsin1x2+y2-xx2+y2cos1x2+y2
=limx→0y→02xsin1x2+y2+limx→0y→0-xx2+y2cos1x2+y2
=limx→0y→0-xx2+y2cos1x2+y2,
令y=kx，limx→0-xx2+（kx）2cos1x2+（kx）2=-11+k2limx→0cos1x2+（kx）2，极限不存在，所以函数f′x（x,y）在（0,0）处不连续。
（5）【答案】B
本题考查矩阵的相似与合同。两个实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同，两个实对称矩阵合同的充要条件是正、负特征值的个数相同。
【解析】因为
λE-A=λ-1-1-1-1λ-3-1-1-1λ-1=λ（λ-1）（λ-4），
所以A的特征值为0,1,4。
两个实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同，两个实对称矩阵合同的充要条件是正、负特征值的个数相同。
（6）【答案】A
本题考查矩阵的秩，非零矩阵的秩大于等于1，若Am×nBn×t=O，则r（A）+r（B）≤n。
【解析】因为AB=O，所以r（A）+r（B）≤3。当a=2时，r（B）=2，所以r（A）≤3-r（B）=1；另一方面，A为3阶非零矩阵，所以r（A）≥1，从而r（A）=1。
（7）【答案】C
本题考查概率密度的基本性质，如果f（x）为概率密度函数，则f（x）≥0，∫+∞-∞f（x）dx=1。
【解析】由题设可知f（x）为概率密度函数，故f（x）≥0，∫+∞-∞f（x）dx=1。F（x）为分布函数，故F（x）≥0，从而f（x+a），f（-x），2f（x）F（x）大于等于0，并且容易验证它们的积分等于1，而af（ax）在a<0时小于0，故不一定为概率密度函数。
（8）【答案】C
本题考查正态分布的性质以及最大值、最小值函数的分布。
【解析】由题设可知
P{max{X,Y}≥μ}=1-P{max{X,Y} 而P{min{X,Y} =P{X =1-P{X 从而P{min{X,Y} 二、填空题
（9）【答案】12
本题考查利用夹逼准则求极限。
【解析】该题极限形式为无穷多项和式极限，则可使用夹逼准则进行计算。
1+2+…+nn4+n2+n≤1n4+n+1+2n4+2n+2+…+nn4+n2+n≤1+2+…+nn4+n+1，
两边取极限可得
limn→∞1+2+…+nn4+n+1=limn→∞n（n+1）2n4+n+1=12，limn→∞1+2+…+nn4+n2+n=limn→∞n（n+1）2n4+n2+n=12，
由夹逼准则可知，原极限为12。