数学基本问题的MATLAB解法

1、本书的定位是：用计算机语言打通数学。本书并不是讲MATLAB软件，而是讲解如何用MATLAB编程来解决数学问题。

2、面向初学者，尤其是对数学并不很擅长的读者。本书整体上体现出——数学知识的铺垫、MATLAB解决数学问题的思路、MATLAB编程的详细过程。

 

本书面向数学与工程计算，主要讲解了MATLAB 2017a软件基础、初等数学专题概要、高等数学基本问题、线性代数与矩阵论基本问题、概率论与数理统计基本问题、数值分析基本问题、CASIO fx—991CN X（中文版）函数科学计算器简介七方面的内容。本书适合大中专院校理工科学生学习使用，也可供广大科研人员、学者、工程技术人员及MATLAB专业人员参考。

第1章  MATLAB R2017a软件基础 / 001

1.1  MATLAB概述 1

1.1.1  MATLAB与Simulink简介 1

1.1.2  MathWorks公司官方网站对MATLAB软件的描述 1

1.1.3  MATLAB的系统组成 2

1.2  MATLAB基础知识 3

1.2.1  MATLAB R2017a的主界面 4

1.2.2  MATLAB R2017a的通用命令 4

1.2.3  数据类型 6

1.2.4  运算符 10

1.2.5  软件层面的数组与矩阵 12

1.3  MATLAB R2017a编程基础 15

1.3.1  命令行窗口与脚本编辑器 15

1.3.2  变量 15

1.3.3  MATLAB的控制流 17

1.3.4  文件的结构 23

1.3.5  程序调试 25

1.4  可执行程序exe文件的编译 26

1.5  其他数学软件简介 27

1.5.1  Mathematica简介 27

1.5.2  Maple简介 27

第2章  初等数学专题概要 / 28

2.1  数学的起源与发展 28

2.1.1  从未开化到文明 28

2.1.2  数制简介 28

2.1.3  数与量纲的发展简史 30

2.2  常数与常数运算 32

2.2.1  四则运算及其混合运算 32

2.2.2  用MATLAB进行常数运算 32

2.3  代数式与代数运算 33

2.3.1  MATLAB符号数学计算基础 33

2.3.2  用MATLAB进行合并同类项 33

2.3.3  用MATLAB去括号 34

2.3.4  用MATLAB进行高次多项式嵌套 34

2.3.5  用MATLAB进行因式分解 34

2.3.6  用MATLAB进行代数式化简 35

2.3.7  函数求值和换元 35

2.3.8  用MATLAB进行有理多项式展开 36

2.3.9  用MATLAB解简单代数方程 37

2.4  坐标系与简单坐标变换 38

2.4.1  直角坐标与极坐标的互化 39

2.4.2  函数表达式的直角坐标与极坐标互化 39

2.5  基本初等函数与函数运算 40

2.5.1  基本初等函数的范畴 40

2.5.2  基本初等函数值的MATLAB计算 40

2.5.3  用MATLAB生成复合函数 40

2.5.4  用MATLAB生成反函数 41

2.5.5  用MATLAB观察一次函数 41

2.5.6  用MATLAB观察二次函数 43

2.5.7  用MATLAB观察三角函数 45

2.5.8  用MATLAB观察指数和对数函数 47

2.5.9  MATLAB任意一元函数图像发生器 48

2.6  初等统计学概要 50

2.6.1  用MATLAB简单计算平均数 50

2.6.2  计数原理 51

2.7  数域的扩充与复数 52

2.7.1  无解的一元二次方程与虚数的引入 52

2.7.2  用MATLAB进行复数基本运算 52

第3章  高等数学基本问题 / 54

3.1  函数与极限 54

3.1.1  数列与函数极限的概念 54

3.1.2  函数极限的笔算方法简介 56

3.1.3  函数极限的MATLAB计算 57

3.1.4  连续性与间断点的概念 58

3.1.5  用MATLAB观察函数的连续性和间断点 59

3.1.6  闭区间上的连续函数 60

3.1.7  用MATLAB计算函数的极值和最值 61

3.1.8  用MATLAB求函数零点 62

3.2  导数与微分 63

3.2.1  导数的定义与几何意义 63

3.2.2  笔算求导法则与常用公式 65

3.2.3  显函数导数的MATLAB求法 65

3.2.4  隐函数求导的笔算方法简介 67

3.2.5  隐函数导数的MATLAB求法 68

3.2.6  参数方程所确定的函数的导数 70

3.2.7  用MATLAB求参数方程所确定的函数导数 70

3.2.8  微分简介 71

3.3  微分中值定理与导数的应用 72

3.3.1  微分中值定理简介 72

3.3.2  几何与工程实际问题的微分学原理 74

3.3.3  函数的单调性和凹凸性 77

3.3.4  用MATLAB找曲线的拐点 78

3.3.5  渐近线 79

3.3.6  曲率的概念 79

3.4  不定积分 81

3.4.1  不定积分的概念 81

3.4.2  不定积分的笔算求法简介 81

3.4.3  用MATLAB求函数的不定积分 84

3.5  定积分 85

3.5.1  定积分的概念与性质 85

3.5.2  积分上限函数 87

3.5.3  用MATLAB对积分上限函数求导 88

3.5.4  函数定积分的笔算方法简介 88

3.5.5  函数定积分与广义积分的MATLAB计算 90

3.5.6  广义积分的MATLAB审敛 91

3.5.7  Γ函数简介 92

3.6  定积分的应用 93

3.6.1  定积分的元素法简介 93

3.6.2  几何问题的微积分原理 93

3.6.3  工程实际问题的微积分原理 97

3.7  常微分方程 99

3.7.1  常微分方程的概念 99

3.7.2  微分方程的分类与笔算解法简介 100

3.7.3  用MATLAB解常微分方程（组） 104

3.8  空间解析几何简介 106

3.8.1  向量及其简单运算 106

3.8.2  内积、叉积和混合积的MATLAB计算 108

3.8.3  空间方程的概念 108

3.8.4  平面及其方程 108

3.8.5  空间直线及其方程 109

3.8.6  曲面及其方程 110

3.8.7  空间曲线方程 113

3.8.8  用MATLAB绘制空间方程曲面 114

3.9  多元函数微分法 116

3.9.1  多元函数的概念 116

3.9.2  二元函数的极限 116

3.9.3  二元函数极限的笔算方法简介 117

3.9.4  二元函数极限的MATLAB计算 117

3.9.5  多元函数的连续性 117

3.9.6  用MATLAB观察二元函数的连续性 117

3.9.7  偏导数的概念 118

3.9.8  多元函数偏导数的笔算求法简介 120

3.9.9  多元函数偏导数的MATLAB求法 122

3.9.10  全微分的概念 125

3.9.11  全微分的MATLAB求法 126

3.9.12  多元函数微分学的几何应用 126

3.9.13  方向导数及其笔算方法简介 128

3.9.14  方向导数的MATLAB计算 128

3.9.15  梯度与场论简介 129

3.9.16  多元函数梯度的MATLAB计算 130

3.9.17  多元函数极值的计算方法 131

3.10  重积分 132

3.10.1  二重积分的概念 132

3.10.2  二重积分的笔算方法简介 133

3.10.3  二重积分的MATLAB计算 136

3.10.4  三重积分的概念 138

3.10.5  三重积分的笔算方法简介 138

3.10.6  三重积分的MATLAB计算 141

3.10.7  几何与工程实际问题的重积分原理 141

3.10.8  黎曼积分简介 145

3.11  曲线积分与曲面积分 146

3.11.1  曲线积分的概念 146

3.11.2  曲线积分的笔算方法简介 147

3.11.3  曲线积分的MATLAB计算 148

3.11.4  两类曲线积分的联系 150

3.11.5  格林公式及其应用 151

3.11.6  曲面积分的概念 152

3.11.7  曲面积分的笔算方法简介 154

3.11.8  曲面积分的MATLAB计算 155

3.11.9  两类曲面积分的联系 157

3.11.10  高斯公式及其应用 157

3.11.11  通量与散度 158

3.11.12  曲面上通量的MATLAB计算 160

3.11.13  向量场散度的MATLAB计算 161

3.11.14  斯托克斯公式简介 162

3.11.15  环流量与旋度 162

3.11.16  向量场环流量的MATLAB计算 163

3.11.17  向量场旋度的MATLAB计算 164

3.12  无穷级数 165

3.12.1  常数项级数的概念和审敛简介 165

3.12.2  函数项级数的概念和审敛简介 167

3.12.3  泰勒公式简介 168

3.12.4  函数的泰勒展开式的笔算方法简介 169

3.12.5  用MATLAB求函数的泰勒展开式 171

3.12.6  Taylor Tool泰勒分析模块 172

3.12.7  二元函数的泰勒公式简介 173

3.12.8  欧拉公式简介 174

3.12.9  一致收敛性简介 174

3.12.10  用MATLAB进行级数求和 175

3.12.11  傅里叶级数 176

3.12.12  函数展开成傅里叶级数的笔算方法简介 178

3.12.13  用MATLAB求函数的傅里叶级数 181

3.13  常用积分变换简介 182

3.13.1  傅里叶变换及其反变换的MATLAB求法 182

3.13.2  快速傅里叶变换的MATLAB求法 183

3.13.3  拉普拉斯变换及其反变换的MATLAB求法 183

3.13.4  Z变换及其反变换的MATLAB求法 184

第4章  线性代数与矩阵论基本问题 / 186

4.1  行列式 186

4.1.1  行列式的引入与概念 186

4.1.2  四阶以内行列式的笔算方法简介 188

4.1.3  行列式的MATLAB计算 189

4.2  矩阵及其运算 190

4.2.1  线性方程组与矩阵 190

4.2.2  用MATLAB构造特殊矩阵 192

4.2.3  矩阵运算的规则简介 192

4.2.4  矩阵的运算的MATLAB实现 193

4.2.5  逆矩阵 195

4.2.6  矩阵的笔算求逆简介 195

4.2.7  逆矩阵和伴随阵的MATLAB计算 197

4.2.8  克拉默法则 198

4.2.9  分块矩阵简介 199

4.3  线性方程组 200

4.3.1  矩阵的初等变换 200

4.3.2  矩阵化行最简形的笔算简介 201

4.3.3  用MATLAB化矩阵为行最简形 202

4.3.4  矩阵的秩 202

4.3.5  矩阵的笔算求秩 203

4.3.6  用MATLAB求矩阵的秩 203

4.3.7  线性方程组的解 203

4.3.8  线性方程组的MATLAB求解 205

4.4  向量组的线性相关简介 207

4.4.1  向量组与线性相关 207

4.4.2  向量组的秩 209

4.4.3  线性相关与线性方程组的解 209

4.5  相似矩阵及二次型 209

4.5.1  向量的正交化 209

4.5.2  施密特正交化的笔算简介 210

4.5.3  正交空间的MATLAB求法 212

4.5.4  方阵的特征值与特征向量 214

4.5.5  特征值与特征向量的笔算简介 215

4.5.6  特征值与特征向量的MATLAB计算 215

4.5.7  相似矩阵与对角化 216

4.5.8  用相似变换矩阵进行矩阵对角化的笔算简介 216

4.5.9  相似变换矩阵和矩阵对角化的MATLAB求法 218

4.5.10  二次型标准化 219

4.5.11  二次型标准化的笔算方法简介 220

4.5.12  二次型标准化的MATLAB实现 222

4.6  线性空间与线性变换简介 225

4.6.1  线性空间与线性子空间基本概念 225

4.6.2  酉空间与欧氏空间简介 227

4.6.3  线性变换简介 227

4.6.4  多维空间的特征值与特征向量 230

4.7  多项式矩阵与Jordan标准形 231

4.7.1  λ-矩阵的概念 231

4.7.2  Smith标准形的笔算求法简介 231

4.7.3  不变因子与初等因子 232

4.7.4  不变因子与初等因子的笔算简介 232

4.7.5  Jordan标准形 233

4.7.6  Jordan标准形的笔算求法简介 234

4.7.7  Jordan标准形与相似变换P矩阵的MATLAB求法 234

4.7.8  通过机算的Jordan标准形反求不变因子和Smith标准形 235

4.7.9  Cayley-Hamilton定理和最小多项式简介 236

4.8  矩阵分析及矩阵函数 237

4.8.1  矩阵序列的极限 237

4.8.2  矩阵序列极限的MATLAB计算 237

4.8.3  矩阵级数 237

4.8.4  矩阵级数的MATLAB求和与审敛 238

4.8.5  函数矩阵的极限 239

4.8.6  函数矩阵极限的MATLAB计算 239

4.8.7  函数矩阵的微分和积分 239

4.8.8  函数矩阵的微分和积分的MATLAB求法 240

4.8.9  数量函数关于矩阵的微分 241

4.8.10  数量函数关于矩阵的微分的MATLAB求法 242

4.8.11  向量函数对向量的微分 242

4.8.12  矩阵函数的概念 243

4.8.13  矩阵函数的笔算求法简介 243

4.8.14  矩阵函数的MATLAB求法 246

4.9  矩阵线性常微分方程 247

4.9.1  线性定常系统的状态方程 248

4.9.2  常系数线性非齐次方程组的笔算求解简介 249

4.9.3  常系数齐次线性方程组的MATLAB求解 250

4.9.4  常系数非齐次线性方程组的MATLAB求解 251

4.9.5  动态微分方程的笔算求解简介 252

4.9.6  动态微分方程的MATLAB求解 253

4.9.7  转移矩阵与时变系统的定解 254

4.9.8  状态转移矩阵的笔算求法简介 255

4.9.9  非齐次时变系统的定解问题 256

4.9.10  非齐次时变系统定解的笔算求法简介 256

4.10  广义逆矩阵简介 257

4.10.1  左逆A_L^(-1)与右逆A_R^(-1)的概念 258

4.10.2  广义逆矩阵A^-的笔算实例 258

4.10.3  广义逆矩阵的MATLAB计算 258

4.10.4  超定矛盾方程组的最小二乘解 259

4.10.5  超定矛盾方程组的MATLAB求解 259

4.10.6  欠定矛盾方程组的最小二乘解 260

4.10.7  欠定矛盾方程组的MATLAB求解 260

第5章  概率论与数理统计基本问题 / 262

5.1  用MATLAB生成随机变量 262

5.1.1  二项分布的概念及其随机变量的MATLAB生成 262

5.1.2  泊松分布的概念及其随机变量的MATLAB生成 262

5.1.3  正态分布的概念及其随机变量的MATLAB生成 263

5.1.4  其他主要分布随机数的产生 263

5.2  概率分布函数 263

5.2.1  随机变量的分布函数的概念 263

5.2.2  随机变量的分布函数的笔算求法简介 263

5.2.3  函数累积概率值的MATLAB计算 264

5.3  概率密度计算 265

5.3.1  连续型随机变量及其概率密度的概念 265

5.3.2  概率密度的笔算方法简介 265

5.3.3  均匀分布的概率密度简介 266

5.3.4  指数分布的概率密度简介 267

5.3.5  正态分布的概率密度简介 267

5.3.6  函数的概率密度的MATLAB求法 268

5.4  随机变量的数字特征 268

5.4.1  数学期望的定义 268

5.4.2  数学期望的笔算方法简介 269

5.4.3  数学期望（平均值）的MATLAB计算 269

5.4.4  几何平均数与调和平均数的概念及MATLAB计算 269

5.4.5  中位数的定义及其MATLAB计算 270

5.4.6  众数的概念及其MATLAB计算 271

5.4.7  极差的概念及其MATLAB计算 271

5.4.8  方差和标准差的概念 271

5.4.9  方差的笔算简介 271

5.4.10  方差和标准差的MATLAB计算 272

5.4.11  协方差与相关系数的定义 272

5.4.12  协方差与相关系数的MATLAB计算 272

5.4.13  MATLAB的数据排序操作 272

5.5  大数定律及中心极限定理简介 272

5.5.1  大数定律 273

5.5.2  中心极限定理 273

5.6  抽样分布简介 274

5.6.1  抽样分布基本概念 274

5.6.2  χ^2分布简介 275

5.6.3  学生氏分布简介 276

5.6.4  F分布简介 276

5.7  参数估计 277

5.7.1  点估计的概念 277

5.7.2  最大似然估计和矩估计的笔算方法简介 279

5.7.3  用MATLAB进行最大似然估计 280

5.7.4  用MATLAB进行矩估计 280

5.7.5  其他参数估计函数 280

5.7.6  区间估计的概念 281

5.7.7  用MATLAB进行区间估计 282

5.8  线性回归分析 282

5.8.1  线性回归的概念 282

5.8.2  一元线性回归的最小二乘估计 283

5.8.3  一元线性回归的MATLAB实现 283

5.8.4  多元线性回归的最小二乘估计 284

5.8.5  多元线性回归的MATLAB实现 285

5.9  MATLAB统计作图 289

5.9.1  累积分布函数图形 289

5.9.2  用最小二乘法拟合直线 289

5.9.3  绘制正态分布概率图形 290

5.9.4  样本数据盒图 291

5.9.5  参考线绘制 292

5.9.6  样本概率图形 293

5.9.7  正态拟合直方图 294

第6章  数值分析基本问题 / 295

6.1  数值法的由来与算法简介 295

6.1.1  数值法的由来 295

6.1.2  认识算法及其复杂性 296

6.1.3  算法、程序、代码、软件四词的辨析 296

6.1.4  数值解与解析解的区别与联系 296

6.2  误差及其计算 297

6.2.1  误差的来源与分类 297

6.2.2  绝对误差、相对误差与有效数字 297

6.3  向量范数与矩阵范数 298

6.3.1  向量范数 298

6.3.2  矩阵范数 299

6.3.3  矩阵范数的笔算简例 299

6.3.4  范数的MATLAB计算 300

6.3.5  矩阵的条件数 300

6.3.6  矩阵的条件数的MATLAB计算 300

6.3.7  病态线性方程组简介 300

6.4  数据插值 301

6.4.1  插值问题的引入 301

6.4.2  一元函数插值的概念 302

6.4.3  用MATLAB进行一维插值 303

6.4.4  二元函数插值的概念 305

6.4.5  用MATLAB进行二维插值 307

6.4.6  用MATLAB进行三维插值 310

6.4.7  用MATLAB进行n维插值 311

6.4.8  常用插值效果类比 312

6.4.9  Runge现象简介 313

6.5  数据逼近 314

6.5.1  逼近问题概述 314

6.5.2  Chebyshev最佳一致逼近的原理 314

6.5.3  设置自定义函数路径 315

6.5.4  用MATLAB进行Chebyshev最佳一致逼近 316

6.5.5  最佳平方逼近的原理 317

6.5.6  最佳平方逼近多项式的笔算方法简介 319

6.5.7  用MATLAB实现函数的最佳平方逼近 320

6.6  曲线与曲面拟合 321

6.6.1  拟合与估计的由来 321

6.6.2  曲线拟合的概念 322

6.6.3  函数的最小二乘拟合曲线的笔算简例 322

6.6.4  含数学模型的线性最小二乘曲线拟合 323

6.6.5  含数学模型的非线性最小二乘曲线拟合 325

6.6.6  指数模型拟合 326

6.6.7  Kalman滤波简介 327

6.6.8  Malthus和Logistic人口增长模型简介 327

6.6.9  曲面拟合的概念 328

6.6.10  最小二乘曲面拟合的笔算简例 329

6.6.11  MATLAB的Curve Fitting曲面拟合工具箱 330

6.7  常微分方程的数值解法 333

6.7.1  微分方程及其数值计算概述 333

6.7.2  解数值微分方程的常用算法简介 334

6.7.3  显式常微分方程初值问题的MATLAB求解 337

6.7.4  隐式常微分方程初值问题的MATLAB求解 339

6.7.5  延迟微分方程的MATLAB求解 340

6.7.6  含边界条件的常微分方程的MATLAB求解 342

6.7.7  工程常用的常微分方程简介 344

6.8  偏微分方程的数值解法 345

6.8.1  偏微分方程及其定解问题概述 346

6.8.2  偏微分方程（组）数值解的MATLAB求法 346

6.8.3  MATLAB中的二阶偏微分方程求解函数简介 348

6.8.4  数学物理方程及其推导简介 352

6.8.5  麦克斯韦方程组简介 353

6.8.6  薛定谔方程简介 354

6.9  关于《数值分析》中其他问题的一些说明 355

6.10  未来接口——认识泛函 355

6.11  世界的本质浅谈 356

第7章  CASIO fx-991CN X（中文版）函数科学计算器简介 / 358

7.1  电子计算器的认识与分类 358

7.1.1  算术计算器 358

7.1.2  科学计算器 358

7.1.3  图形编程计算器 359

7.1.4  行业计算器 359

7.2  CASIO fx-991CN X函数科学计算器功能简介 359

7.2.1  计算器型号的意义 359

7.2.2  CASIO官方旗舰店对fx-991CN X产品的描述 359

7.2.3  CASIO fx-991CN X的重要功能与算法介绍 360

7.3  美国德州仪器TI Nspire CX CAS彩屏图形计算器简介 361

附录  MATLAB R2017a常用指令与函数速查 / 362

参考文献 / 368

后记 / 369

 

MATLAB是一个用于设计人工智能模型和人工智能驱动的数学系统。这个强有力的数学工具，受到万千数学家、工程师的信赖，其程序代码简单易懂，可以胜任初等数学、高等数学、线性代数、矩阵论、概率论与数理统计、数理方程、数值分析等众多数学学科的复杂计算工作。其强大的绘图功能可以输出2维、3维图像，并可以用颜色表示第4维、用时间表示第5维，可以适用于各类科学学科的绘图任务。除基础数学计算外，该系统还可胜任深度学习、计算机视觉、信号处理、金融分析、机器人科学和控制系统等领域的研发设计。MATLAB的工具箱经过系统地开发、严格地测试，并有全面的帮助文档，可以给用户提供人性化的GUI，方便操作，且输出信息的丰富。

通过对MATLAB数学软件的研究，可以使数学专业人员和各工程领域的专业人士进行高效的数学计算、分析、设计，甚至迈向生产，在很大程度上淘汰笔算，为科学研究和工程计算提供强大动力。对于学校教育，MATLAB软件有望使学生深入理解数学问题、培养数学学习兴趣，开启一种数学学习新方法，甚至开启数学教育新方法。

最后，函数科学计算器和图形编程计算器相当于一台手持式计算机，可以实现专业的数学计算，某些特定的型号也可以实现某些行业要求的特定计算，适合数学工作者和专业技术人员在没有电子计算机的场合使用。

本书第 1 章讲解MATLAB2017a的软件基础知识，该章可能略微枯燥，理论多、实例少，但是却是读者顺利学习本书的前提。第 2 章讲初等数学重要专题，顺带对数学史和物理量进行简要地科普，本章是作者认为一个完备的数学教育应该具有的内容。第 3章到第 6 章为高等数学及以上部分，理论结合实例详细讲解大学本科和硕士阶段可能会接触的每一种题型的计算机辅助求解方法，在较大程度上淘汰繁琐难懂的笔算，开启一种数学学习新方法。第 7 章以一款真正的科学计算器，卡西欧某型号函数科学中文计算器为主，介绍了当今手持计算器的发展、分类。

本书由王元昊、曾红编著。

由于时间有限，书中难免有一些不足之处，恳请广大读者给以批评指正。如有需要与作者探讨的问题，可发邮件至[email protected]。

编著者