信号与系统——基于MATLAB的方法

教学资源
? 教学课件  配书教案（PPT）可到清华大学出版社网站本书页面下载。
? 学习辅导  《信号与系统——基于MATLAB的方法》配套视频课程（智慧树平台和超星平台，谭鸽伟、冯桂、黄公彝、胡朝炜主讲）。
? 实验指导  《信号与系统实验指导书》（黄公彝等编著）。

本书特色
本教材严格参照教育部《普通高等学校本科专业目录（2012年）》、教育部高等学校电子电气基础课程教学指导分委员会《电子电气基础课程教学基本要求》编写。在总结教学团队丰富教学经验的基础上，从实际应用的角度出发，阐述连续与离散信号、连续与离散线性时不变系统的基本概念、基本原理和分析方法，培养学生的抽象思维能力和综合应用知识解决工程问题的能力，为进一步学习新知识、研究新问题，打好理论基础。
? 易教易学 系统阐述理论的同时，以MATLAB应用为手段，将经典理论与现代计算技术相结合，注重概念，突出应用，图文并茂，有利于读者理解与掌握本课程知识点。
? 前后衔接 强调知识内容和分析方法的前后连贯性，并妥善处理好前期课程和后续课程的衔接性。
? 认知规律 从认识和理解的规律编排内容，将抽象问题形象化，将复杂问题简单化，将零散问题系统化，并借助MATLAB将抽象理论具象化。
? 层次分明 采用先“信号分析”后“系统分析”、先“连续”后“离散”、先“时域”后“变换域”的讲解模式，既体现了信号与系统两者之间在理论分析上相对独立、在内容上相互并行的特点，又遵循了先易后难、循序渐进的教学原则。
? 技术前沿 介绍信息科学领域的新进展，激发读者学习兴趣，启迪创新思想。 

本书按照高等院校“信号与系统”课程教学的基本要求编写而成，以三大变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换）为主线，以理论分析和MATLAB应用为手段，将经典理论与现代计算技术相结合，介绍了信号与系统的基本理论和分析方法，能帮助读者快速理解并掌握本课程知识点。为了便于教学和加深读者对基本概念的理解，同时利于读者自检，本书每章后面都附有习题。
本书概念清晰、系统性强、特色鲜明、使用方便，可作为高等工科院校通信工程、电子信息工程、电子科学与技术、自动化、计算机科学与技术等专业“信号与系统”课程的教材或教学参考书，也可作为本学科及其相近学科的工程技术人员的参考资料。

谭鸽伟 华侨大学信息与科学工程学院副教授，通信工程专业负责人。长期从事SAR信号处理及其运动补偿、无线通信、多载波通信、模式识别等领域的教学与研究工作。先后讲授“信号与系统”“随机信号分析”“模拟电子技术”“数字电子技术”“小波分析”“随机过程”等多门本科生及研究生课程。发表学术论文40余篇，其中SCI、EI检索20余篇。主持及参研国家级、省部级及企业合作科研项目10余项，出版专著1部。
冯桂 华侨大学信息与科学工程学院教授，信息与通信工程学科负责人。长期从事信号与信息处理、多媒体通信、基于特征的自适应文本/图像/视频数字水印技术理论、基于生物特征的安全系统等领域的教学和研究工作。先后讲授 “信号与系统” “信息论与编码” “矩阵理论” “图像分析” “数字图像处理”等多门本科生及研究生课程。发表学术论文100余篇，其中SCI、EI检索40余篇。主持及主研国家级、省部级及企业合作科研项目20余项，获教学成果奖5项，获国家发明专利授权2项，出版教材2部。

目录

第0章绪论

0.1信号与系统

0.2连续和离散

0.2.1连续表示和离散表示

0.2.2导数和差分

0.2.3积分和累加

0.2.4微分方程和差分方程

0.3复数和实数

0.3.1复数和向量

0.3.2复变函数

0.3.3相量和正弦信号

0.4MATLAB软件介绍

0.4.1数值计算

0.4.2符号计算

第1章连续时间信号

1.1引言

1.2信号的描述和分类

1.2.1信号的描述

1.2.2信号的分类

1.3连续时间信号

1.3.1信号的基本运算

1.3.2偶信号和奇信号

1.3.3周期信号和非周期信号

1.3.4典型连续时间信号

1.4连续时间信号的分解

1.4.1信号的交直流分解

1.4.2信号的冲激函数分解

1.4.3信号的阶跃函数分解

习题

第2章连续时间系统的时域分析

2.1引言

2.2系统的分类

2.2.1系统的初始状态

2.2.2系统的响应

2.2.3系统的分类

2.3卷积及其性质

2.3.1卷积

2.3.2任意函数与δ(t)、ε(t)卷积

2.3.3卷积的性质

2.3.4卷积的图解法

2.3.5常用信号的卷积

2.4LTI系统的响应

2.4.1LTI系统的数学模型与传输算子

2.4.2LTI系统的零输入响应

2.4.3LTI系统的零状态响应

2.4.4LTI系统的完全响应及其分解

习题

第3章傅里叶级数与傅里叶变换

3.1引言

3.2周期信号的傅里叶级数

3.2.1周期信号的傅里叶级数

3.2.2周期信号的频谱

3.2.3周期信号的功率

3.3非周期信号的傅里叶变换

3.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换

3.3.2非周期信号的频谱函数

3.3.3典型信号的傅里叶变换

3.3.4傅里叶变换的性质

3.3.5周期信号的傅里叶变换

3.4LTI连续系统的频域分析

3.4.1系统的频率响应函数

3.4.2系统函数H(jω)的求取

3.4.3系统的频域分析

3.4.4无失真传输

习题

第4章拉普拉斯变换和拉普拉斯分析

4.1引言

4.2拉普拉斯变换

4.2.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换

4.2.2双边拉普拉斯变换的收敛域

4.2.3单边拉普拉斯变换

4.2.4常用信号的单边拉普拉斯变换

4.3单边拉普拉斯变换的性质

4.4单边拉普拉斯逆变换

4.4.1部分分式展开法

4.4.2象函数部分分式展开的MATLAB实现

4.5连续系统的拉普拉斯分析

4.5.1微分方程描述的连续系统的拉普拉斯分析

4.5.2电路系统的拉普拉斯分析

4.5.3系统函数描述的连续系统的拉普拉斯分析

4.6系统函数与系统特性

4.6.1H(s)的零点和极点

4.6.2H(s)的零极点分布决定系统的时域特性

4.6.3H(s)的零极点分布决定系统的频率特性

4.6.4系统的稳定性

4.7连续系统的s域模拟

4.7.1基本运算器的s域模型

4.7.2连续系统的s域模拟

习题

第5章傅里叶分析和拉普拉斯分析的应用

5.1引言

5.2连续信号的抽样定理

5.3傅里叶分析在通信系统中的应用

5.3.1信号的调制和解调

5.3.2信号的抽样和恢复

5.3.3数字滤波器设计

5.4拉普拉斯分析在经典控制中的应用

5.4.1控制系统的数学模型

5.4.2控制系统数学模型的建立

5.4.3控制系统数学模型参数的获取

习题

第6章离散信号与系统的时域分析

6.1引言

6.2离散时间信号

6.2.1离散时间信号的运算和分类

6.2.2基本离散时间信号

6.3卷积和

6.3.1卷积和的定义

6.3.2卷积和的计算方法

6.4离散系统的算子方程

6.5离散系统的零输入响应

6.5.1简单系统的零输入响应

6.5.2一般系统的零输入响应

6.6离散系统的零状态响应

6.6.1离散信号的时域分解

6.6.2基本信号δ(k)激励下的零状态响应

6.6.3一般信号f(k)激励下的零状态响应

习题

第7章Z变换

7.1引言

7.2Z变换的定义和收敛域

7.2.1Z变换的定义

7.2.2Z变换的收敛域

7.2.3常用序列的Z变换

7.3Z变换的性质

7.4Z逆变换

7.4.1幂级数展开法

7.4.2部分分式展开法

7.4.3Z逆变换的MATLAB实现

7.5离散系统的Z域分析

7.5.1离散信号的Z域分解

7.5.2基本信号zk激励下的系统的零状态响应

7.5.3一般信号f(k)激励下的系统的零状态响应

7.6离散系统差分方程的Z域解

7.6.1差分方程的Z域解

7.6.2离散系统的频率响应

7.6.3离散系统频率响应的MATLAB实现

7.6.4离散时间系统零极点分布图的MATLAB实现

7.7离散系统的系统函数与系统特性的关系

7.7.1H(z)的零点和极点

7.7.2H(z)的零点、极点与时域响应

7.7.3H(z)与离散系统的频率响应

7.7.4H(z)与离散系统的稳定性

习题

第8章系统的状态空间分析

8.1引言

8.2状态空间描述

8.3连续系统状态空间方程的建立

8.3.1由电路图直接建立状态空间方程

8.3.2由微分方程或信号流图建立状态空间方程

8.3.3串联和并联系统的状态空间方程

8.3.4用MATLAB建立系统的状态空间方程

8.4连续系统状态空间方程的求解

8.4.1状态空间方程的时域解法

8.4.2状态空间方程的s域解法

8.4.3用MATLAB求解连续时间系统的状态空间方程

8.5离散系统的状态空间分析

8.5.1离散系统状态空间方程的建立

8.5.2离散系统状态空间方程的时域解法

8.5.3离散系统状态空间方程的Z域解法

8.5.4用MATLAB求解离散时间系统的状态空间方程

8.6系统函数矩阵与系统稳定性

习题

前言
 “信号与系统”课程是高等工科院校通信工程、电子信息工程、自动化、电子科学与技术、计算机科学与技术等专业的一门重要的专业基础课程。该课程的主要任务是： 为学生学习后续课程和今后工作奠定必要的理论基础，培养学生养成良好的学习习惯和科学的思维方法，着力提高学生应用系统的思想和方法分析和解决客观世界实际问题的能力。随着信息科学与技术的迅速发展，该课程的应用领域也越来越广泛，几乎遍及各个工程技术学科。由于信号是信息的载体，系统是信息处理的手段，因此，作为研究信号与系统基本理论和方法的“信号与系统”课程，必然要与信息科学技术的发展趋势相一致，为此，本书编者结合自身教学改革与实践的成果，在参阅国内外相关优秀教材的基础上，编写了本教材。
本书根据电子信息类专业教学指导委员会关于“信号与系统”课程教学基本要求，贯彻工科专业基础课教材立足于“加强基础，精选内容； 结合实际，逐步更新； 突出重点，利于教学”的指导思想精心编写而成。在构架上，本书采用先“信号分析”后“系统分析”，先“连续”后“离散”，先“时域”后“变换域”的模式，既体现了信号与系统两者之间理论分析上相对独立和内容上相互并行的特点，又遵循了先易后难、循序渐进的教学原则。在编写上，本书强调基本理论、基本概念和基本方法，遵循由浅入深、循序渐进的教学规律，系统地组织教学内容，以MATLAB应用为手段，将经典理论与现代计算技术相结合，注重概念，突出应用，图文并茂，有利于读者理解与掌握本课程知识点。同时，本书注重重点和难点的诠释与分析，为了便于教学和加深读者对基本概念的理解并方便读者的自查自检，本书配有大量例题和习题。
本书主要阐述信号的时域与变换域分析，线性时不变系统的描述与特性，信号通过线性时不变系统的时域与变换域分析方法，并简要介绍了频域分析与复频域分析在通信系统和控制系统等方面的应用。
本书绪论介绍信号与系统的基本概念及MATLAB软件平台； 第1章介绍常用连续时间信号、连续时间信号的基本运算与分解； 第2章介绍系统的分类、卷积及其性质以及LTI系统响应的求解； 第3章介绍周期信号的傅里叶级数、非周期信号的傅里叶变换及其性质、LTI连续系统的频域分析方法； 第4章介绍拉普拉斯变换及其性质、单边拉普拉斯的逆变换、连续系统的拉普拉斯分析、系统函数和系统稳定性、连续系统的s域模拟； 第5章介绍连续信号的抽样定理、傅里叶分析在通信系统中的应用、拉普拉斯分析在经典控制中的应用； 第6章介绍离散时间基本信号、离散信号的卷积和、离散系统的算子方程、离散系统响应的求解； 第7章介绍Z变换及其性质、Z逆变换、离散系统的Z域分析、差分方程的Z域解、离散系统的频率响应、离散系统函数与系统特性的关系、离散系统的稳定性； 第8章介绍状态空间描述、连续系统状态空间方程的建立、连续系统状态空间方程的求解、离散系统状态空间分析、系统函数矩阵和系统稳定性。
本书绪论、第1章、第4章和第8章由谭鸽伟执笔，第2章和第3章由冯桂执笔，第5章和第7章由黄公彝执笔，第6章由胡朝炜执笔，全书由谭鸽伟统稿。
在本书的编写过程中得到华侨大学教务处、信息科学与工程学院有关领导和老师的关心与协作，以及清华大学出版社盛东亮编辑、MathWorks公司卓金武先生的大力支持， 在此一并致以诚挚的感谢。
由于编者水平有限且时间比较仓促，书中难免有欠妥之处，恳请广大同行和读者批评指正。
编者2018年10月15日于厦门

第3章
CHAPTER 3

傅里叶级数与傅里叶变换

3.1引言
信号可以用时间函数来表示，第2章学习了在时域中分析和研究信号的特性。除了时域分析以外，信号还可以在频域中进行分析和研究，频域分析法即傅里叶分析法，是信号与系统变换域分析的基础。信号具有频率特性： 一个复杂的信号可以分解成许多不同频率的正弦函数的线性组合，各个正弦分量的幅度和相位按频率的高低排列形成了信号的频谱。

图31法国数学家傅里叶

对信号进行频谱分析及其应用至今已有近两百年的历史。1822年法国数学家傅里叶(J.Fourier，1768—1830，见图31)在研究热传导理论时提出并证明了周期函数展开为正弦级数的原理，之后泊松(Poisson)、高斯(Gauss)等人将这一成果应用到电学中，经过多年的发展，这种分析方法已广泛应用于电学、力学、量子物理学等众多的科学与技术领域中，如今傅里叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可或缺的重要工具。
本章介绍信号及系统的傅里叶分析，在介绍周期信号的傅里叶级数和信号频谱概念的基础上，讨论傅里叶变换及其性质，以及傅里叶分析方法在连续时间信号与系统分析中的应用。
3.2周期信号的傅里叶级数
周期信号是一种周而复始、无始无终的信号。
其表达式为

f(t) = f(t T)(31)
式中，T是满足式(31)的最小的非零正值，称为信号f(t)的基波周期，其倒数f0=1/T是信号的基波频率。
3.2.1周期信号的傅里叶级数
按高等数学的知识我们知道，任何周期为T的周期函数f(t)，若满足狄里赫利条件：
(1) 在一个周期内，函数f(t)为连续或只含有有限个第一类间断点；
(2) 在一个周期内，函数f(t)的极值点为有限个；
(3) 在一个周期内，函数f(t)是绝对可积的，即满足
∫t0 Tt0|f(t)|dt则周期函数f(t)可以展开为三角函数的线性组合
f(t)=a02 a1cosω0t a2cos2ω0t … b1sinω0t b2sin2ω0t …

=a02 ∑∞n=1(ancosnω0t bnsinnω0t)(33)
式中, a0=2T∫t0 Tt0f(t)dt

an=2T∫t0 Tt0f(t)cosnω0tdt

bn=2T∫t0 Tt0f(t)sinnω0tdt

其中，ω0=2π/T是周期函数f(t)的基波角频率，有时也简称为基波频率。一般可取t0=-T/2。
式(33)称为周期函数f(t)的三角形式的傅里叶级数展开式。
若将式(33)中相同的频率项合并，还可以将一般三角形式的傅里叶级数展开式化为如下标准的三角形式的傅里叶级数展开式。
f(t)=a02 ∑∞n=1(ancosnω0t bnsinnω0t)

=a02 ∑∞n=1a2n b2nana2n b2ncosnω0t bna2n b2nsinnω0t

=c02 ∑∞n=1cn(cosφncosnω0t-sinφnsinnω0t)

=c02 ∑∞n=1cncos(nω0t φn)(34)
这两种三角形式傅里叶级数展开式系数的关系为
c0=a0,cn=a2n b2n,φn=-arctanbnan

sinφn=-bna2n b2n,cosφn=ana2n b2n

an=cncosφn,bn=-cnsinφn
利用欧拉公式，我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数。欧拉公式如下
cosnω0=12(ejnω0 e-jnω0)

sinnω0=1j2(ejnω0-e-jnω0)
e±jnω0=cosnω0±jsinnω0(35)
将式(35)代入式(34)，得到如下复指数形式的傅里叶级数展开式
f(t)=c02 ∑∞n=1cncos(nω0t φn)

=c02 ∑∞n=1cn2ej(nω0t φn) e-j(nω0t φn)

=c02 ∑∞n=1cn2ejnω0tejφn ∑∞n=1cn2e-jnω0te-jφn

=c02 ∑∞n=1cn2ejnω0tejφn ∑-∞n=-1c-n2ejnω0te-jφ-n

=c02 ∑∞n=1cn2ejnω0tejφn ∑-1n=-∞cn2ejnω0tejφn

=∑∞n=-∞cn2ejnω0tejφn(36)
令Fn=cn2ejφn，得到周期函数f(t)的复指数形式的傅里叶级数展开式为
f(t)=∑∞n=-∞Fnejnω0t(37)
其中系数
Fn=1T∫t0 Tt0f(t)e-jω0tdt=12cn(cosφn jsinφn)(38)
Fn通常是复数，可以表示成模和幅角的形式
Fn=|Fn|ejφn
三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅，但在指数形式中，Fn要与相对应的F-n合并，构成第n次谐波分量的振幅和相位。
指数形式与三角形式系数之间的关系为
F0=a02=c02

Fn=|Fn|ejφn=12(an jbn)=12cnejφn

F-n=12(an-jbn)=12cne-jφn

φn=-arctanbnan

Fn F-n=2Re［Fn］=an

j(Fn-F-n)=j2Im［Fn］=bn(39)
3.2.2周期信号的频谱

通过傅里叶级数展开，我们把周期函数f(t)表示为三角函数的线性组合。而三角函数表达的是一种单一频率的信号，因此将周期函数表达成傅里叶级数展开式，可以从频率的角度来描述信号。
一个周期信号与另一个周期信号的区别，在时域中表现为波形不同； 而在频域中则表现为Fn不同，即振幅和相位的不同。因而振幅和相位是在频域中研究信号f(t)的关键。
把振幅及相位随ω变化的曲线称为信号的频谱图。利用频谱图可方便、直观地表示一个信号中包含有哪些频率分量，以及各频率分量所占的比重。
前面已述，周期信号的复振幅Fn一般为nω0的复函数，因而描述其特点的频谱图一般有两个： 一个称为振幅频谱，简称幅度谱，它是以ω为横坐标、振幅为纵坐标所画的谱线图； 另一个称为相位频谱，简称相位谱，它是以ω为横坐标、相位为纵坐标所画的谱线图。
在信号的复振幅Fn为ω的实函数的特殊情况下，其复振幅与变量(ω)的关系也可以用一个图绘出。
信号的时域波形与频谱都是实际存在的，例如我们可以通过示波器来观察信号的时域波形，通过频谱分析仪观察信号的频谱。声波有频谱，图像也有频谱，频谱与时域波形一样具有实际意义。