教师资格证考试用书中公2019国家教师资格考试专用教材数学学科知识与教学能力高级中学

《中公版·2019国家教师资格考试专用教材：数学学科知识与教学能力（高级中学）》是中公教育教师资格考试研究院研发团队在深入研究历年教师资格考试高中数学真题及考试大纲的基础上，精心编写而成。

（一）师资力量雄厚

本书是由中公教育教师资格考试研究院教资研发团队，在多年教师资格考试培训课程的基础上，推出的契合大纲、真题的教师资格考试辅导图书。

（二）契合考试大纲

本书依据考试大纲编写，紧随考试形式变化，分析命题规律，优化图书内容，将真题和考点紧密结合起来。

（三）图书体系完备

本书整体使用双色设计，详细讲解重难点，层次分明，并在正文部分穿插例题、经典真题、知识拓展等版块，对教材要点进行必要的拓展延伸，便于考生巩固提高。

（四）图书实用高效

本书设置了应试攻略、牛刀小试，学练结合，科学备考。

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教材和历年真题试卷搭配使用效果更佳！ 

《中公版·2019国家教师资格考试专用教材：数学学科知识与教学能力（高级中学）》根据教师资格高中数学考试真题以及考试大纲，构架起以数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能四个模块有机结合的庞大知识体系，是一本针对国家教师资格考试高级中学数学的教材。本教材条理清晰，结构严谨，从考试重点和考试要点出发，深入浅出地向考生讲解各个知识点，使考生能透彻地理解知识点。

本书严格依据考试大纲，紧扣真题考点，依照教师资格考试大纲进行知识构建，并在书中设置例题、经典真题、知识拓展、牛刀小试练等版块。例题帮助考生更好地理解巩固知识点；经典真题为考生呈现了历年有代表性的真题；牛刀小试选取难度适中、契合真题的练习题，满足考生学练结合的需要。

数学学科知识与教学能力应试攻略
Ⅰ高等数学基础知识
第一章 摇数学分析
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇极限
第二节 摇函数连续性
第三节 摇一元函数微分学
第四节 摇一元函数积分学
第五节 摇级数
第六节 摇多元函数微积分学
牛刀小试
第二章 摇高等代数
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇多项式
第二节 摇行列式
第三节 摇矩阵
第四节 摇线性方程组
第五节 摇二次型
第六节 摇特征值与特征向量
第七节 摇线性空间
第八节 摇线性变换
第九节 摇欧氏空间
牛刀小试
第三章 摇空间解析几何
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇空间坐标系与向量
第二节空间的平面与直线
第三节 摇曲面及曲线方程
牛刀小试
第四章 摇概率论与数理统计
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇随机事件与概率
第二节 摇随机变量及其分布
第三节 摇随机变量的数字特征
第四节 摇大数定律与中心极限定理
第五节 摇数理统计的基本概念
牛刀小试
Ⅱ高中数学学科知识
第一章 摇集合、逻辑与算法初步
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇集合与逻辑
第二节 摇算法初步
牛刀小试
第二章 摇函数
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇函数概念
第二节 摇基本初等函数
第三节 摇三角函数
牛刀小试
第三章 摇方程、不等式与数列
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇方程
第二节 摇不等式
第三节 摇数列
牛刀小试
第四章 摇立体几何
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇直线与平面
第二节投影与视图
牛刀小试
第五章 摇解析几何
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇直线与方程
第二节 摇圆与方程
第三节 摇圆锥曲线
第四节极坐标与参数方程
牛刀小试
第六章 摇向量与复数
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇向量
第二节 摇复数
牛刀小试
第七章 摇推理证明与排列组合
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇推理与证明
第二节 摇排列、组合与二项式定理
牛刀小试
第八章 摇数学史
考点聚焦
考点梳理
牛刀小试
第一章高中数学课程概述
考点聚焦
考点梳理
第一节高中数学课程的性质和基本理念
第二节数学学科核心素养与课程目标
牛刀小试
第二章高中数学的课程内容
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇高中数学课程的结构
第二节高中数学课程的内容
牛刀小试
第三章学业质量
考点聚焦
考点梳理
第一节学业质量概述
第二节数学学科核心素养的水平划分
牛刀小试
第四章 摇课程标准的实施建议
考点聚焦
考点梳理
第一节教学与评价建议
第二节学业水平考试与高考命题建议
第三节 摇教材编写建议
第四节 摇地方与学校实施课程标准的建议
牛刀小试
第一章 摇教学原则、过程与方法
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇教学原则
第二节 摇教学过程
第三节教学方法
牛刀小试
第二章 摇数学对象的教学
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇概念教学
第二节 摇命题教学
第三节 摇推理教学
第四节 摇问题解决教学
第五节 摇数学思想方法的渗透
牛刀小试
第三章 摇学习方式
考点聚焦
考点梳理
第一节合作学习
第二节探究学习和自主学习
牛刀小试
第一章 摇教学设计
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇数学课堂教学设计概述
第二节 摇数学教学设计工作
牛刀小试
第二章 摇教学实施
考点聚焦
考点梳理
第一节 摇课堂导入技能
第二节 摇课堂提问技能
第三节 摇有效数学教学
第四节 摇课堂结束技能
第五节 摇现代信息技术教学技能
牛刀小试
第三章 摇教学评价
考点聚焦
考点梳理
第一节评价概述
第二节 摇数学课堂教学评价
第三节 摇数学学习评价
牛刀小试
全国教师资格证统考辅导课程
中公教育·全国分部一览表（373）

　　第一章数学分析
　　1.本章知识在历年考试中大多以选择题、简答题和解答题的形式出现。
　　2.在历年考试中，数列极限与函数极限、函数间断点的判断、一元函数导数与微分、定积分与不定积分、级数是考查的重点。考生在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活运用。
　　第一节极限
　　一、实数的完备性
　　（一）实数的完备性
　　1.确界
　　定义1设S为R中的一个数集，若数η满足：
　　①对一切x∈S，都有x≤η，即η是S的上界；
　　②对任何?琢＜η，存在x0∈S，使得x0＞?琢，即η又是S的最小上界，
　　则称数η为数集S的上确界，记作η=supS。
　　定义2设S为R中的一个数集，若数?孜满足：
　　①对一切x∈S，都有x≥?孜，即?孜是S的下界；
　　②对任何?茁＞?孜，存在x0∈S，使得x0＜?茁，即?孜又是S的最大下界，
　　则称?孜为数集S的下确界，记作?孜=infS。
　　上确界与下确界统称为确界。
　　2.单调数列
　　若数列an的各项满足关系式an≤an+1，则an为递增数列；若数列an的各项满足关系式an≥an+1，则称an为递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列。
　　3.区间套
　　设闭区间列an，bn具有如下性质：①an，bn?劢an+1，bn+1，n=1，2，…；②（bn-an）=0，则an，bn为闭区间套，或简称区间套。
　　4.聚点
　　聚点：设S为数轴上的点集，?孜为定点（它可以属于S，也可以不属于S）。若?孜的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?孜为点集S的一个聚点。
　　5.开覆盖
　　S为数轴上的点集，H为开区间的集合，即H的每一个元素是形如（?琢，?茁）的开区间。若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。
　　（二）关于实数完备性的六个基本定理
　　1.确界原理
　　确界原理：设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
　　2.单调有界定理
　　单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
　　3.区间套定理
　　区间套定理：若an，bn是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点?孜，使得?孜∈an，bn，n=1，2，…，即an≤?孜≤bn，n=1，2，…。
　　4.有限覆盖定理
　　海涅-博雷尔（Heine-Borel）有限覆盖定理：设H为闭区间a，b的任一（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖a，b。
　　5.聚点定理
　　魏尔斯特拉斯（Weierstrass）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。
　　6.柯西收敛准则
　　柯西（Cauchy）收敛准则：数列an收敛的充要条件是对任意给定ε＞0，存在N＞0，使得当n，m＞N时，有an-am＜ε成立。
　　上述关于实数完备性的六个基本定理是等价的。
　　二、极限
　　（一）极限的概念
　　1.数列极限
　　设{xn}为数列，a为一个常数，则xn=a?圳对任意的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，有|xn-a|　　注：（1）数列极限xn=a的含义：当n无限增大时，数列的值无限趋近于a。
　　（2）对应极限过程n→∞要注意两点，一是这里的无穷一定是正无穷，二是n只能取正整数。
　　若数列{xn}的极限为a，则称数列{xn}收敛于a；若数列{xn}没有极限，则称数列{xn}不收敛，或称数列{xn}为发散数列。
　　几个常用极限:①Ｃ＝Ｃ（Ｃ为常数），②＝０（ｋ∈Ｎ，ｋ是常数），③对于任意实常数ａ，当ａ＜１时，ａｎ＝０；当ａ＝１时，若ａ＝１，则ａｎ＝１，若ａ＝－１，则ａｎ＝（－１）ｎ不存在；当ａ＞１时，ａｎ不存在。
　　2.函数极限
　　设函数f（x）的定义域为R，A为一个常数，则f（x）=A?圳对任意的ε>0，存在X>0，使得当|x|>X时，有|f（x）-A|　　类似可定义f（x）=A，f（x）=A。
　　注：（1）函数极限f（x）=A的含义：当x的绝对值无限增大时，函数值无限趋近于A。注意这里的x可以是正的也可以是负的。
　　（2）f（x）=A的充分必要条件是f（x）=f（x）=A。
　　函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，A为一个常数，则f（x）=A?圳对任意的ε>0，存在δ>0，当0　　注：（1）注意这里的自变量是在x0的去心邻域内取值的，即x→x0表示x无限地接近但是不等于x0，所以极限f（x）和函数f（x）在点x=x0处的取值是没有关系的，f（x0）是否发生改变、甚至函数f（x）在点x=x0处是否有定义都不影响极限f（x）。
　　（2）注意x→x0表示x可以从左、右任意一边趋近于x0，如果限定x只能从x0的左边或右边趋近于该点就可以得到左、右极限的概念。
　　3.函数的单侧极限
　　设函数f（x）在点x0的某一左邻域内有定义，A为一个常数。如果对任意的ε>0，存在δ>0，当-δ　　设函数f（x）在点x0的某一右邻域内有定义，A为一个常数。如果对任意的ε>0，存在δ>0，当0　　定理f（x）存在的充分必要条件是f（x）和f（x）都存在且相等。
　　（二）极限的基本性质与两个重要极限
　　1.数列极限的基本性质
　　性质1（极限的不等式性质）设xn=a，yn=b，若a＞b，则?埚N，当n＞N时，xn＞yn；若n＞N时，xn≥yn，则a≥b。
　　性质2（收敛数列的有界性）设xn收敛，则xn有界（即?埚常数M＞0，xn≤M，n=1，2，…）。
　　数列极限的四则运算法则：如果xｎ＝ａ，yｎ＝ｂ，那么（１）（xｎ±yｎ）＝ａ±ｂ；（２）（xｎ·yｎ）＝ａ·ｂ；（３）＝（ｂ≠０）。
　　特别地，如果Ｃ是常数，那么（Ｃ·xｎ）＝Ｃ·xｎ＝Ｃａ。
　　2.函数极限的基本性质
　　性质1（极限的不等式性质）设f（x）=A，g（x）=B，若A＞B，则?埚δ＞0，当0＜x-x0＜δ时，f（x）＞g（x）；若f（x）≥g（x）（0＜x-x0＜δ），则A≥B。
　　推论（极限的局部保号性）设f（x）=A＞0（或<0），则对任意的正数r　　f（x）＞r＞0（或f（x）　　性质2（函数极限的局部有界性）设f（x）=A，则f（x）在x0的某空心邻域U0（x0，δ）=x|0＜x-x＜δ内有界，即?埚δ＞0，M＞0，使得0＜x-x0＜δ时，f（x）≤M。
　　函数极限的四则运算法则：如果ｆ（ｘ）＝A，ｇ（ｘ）＝B，那么（１）（ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ））＝A±B；（２）（ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ））＝A·B；（３）＝（B≠０）。
　　特别地，如果Ｃ是常数，那么（Ｃ·ｆ（ｘ））＝Ｃｆ（ｘ）；［ｆ（ｘ）］ｎ＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｎ*）。
　　四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个极限的情况。
　　【例题1】求极限：－。
　　【解析】－＝＝＝＝＝＝。
　　3.两个重要极限
　　=1，（1+）x=e（（1+x）=e，=1）
　　（三）无穷小量的比较
　　1.无穷小量阶的比较
　　设lim?琢（x）=lim?茁（x）=0且?茁（x）≠0，则
　　（1）若lim=0，则称?琢（x）是?茁（x）的高阶无穷小量；
　　（2）若lim=∞，则称?琢（x）是?茁（x）的低阶无穷小量；
　　（3）若lim=C≠0，则称?琢（x）和?茁（x）是同阶无穷小量；
　　（4）若lim=1，则称?琢（x）和?茁（x）是等价无穷小量，记作?琢（x）～?茁（x）；
　　（5）若lim=C≠0（k>0），则称?琢（x）是?茁（x）的k阶无穷小量。
　　2.常用的等价无穷小量
　　当x→0时
　　x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln（1+x）~ex-1~（a＞0且a≠1），
　　（1+x）a-1~ax，1-cosx~x2，x-sinx~x3。
　　（四）求极限的方法
　　求极限的方法很多，以下结合例题介绍几种常用的、简单的求极限的方法。
　　1.利用变量替换法与两个重要极限
　　【例题2】求w=ｘ2（3-3）。
　　【解析】先改写成
　　w=·3（3-1）x（x+1）。
　　作变量替换，令t=3-1，则x→∞时t→0且x（x+1）=，
　　于是w=·3··lｎ３=lｎ３。
　　【例题3】求极限。
　　【解析】根据重要极限（1+x）=e，得=1+=1+=e2。
　　例题3为“1∞”型极限，计算此类极限一般的方法是利用重要极限（1+x）=e（或1+=e）来“凑”出相应的幂，但“凑”幂的过程有时会很繁琐，而且容易出现错误，下面介绍一种简单有效的方法。
　　如果limuv是“1∞”型极限，那么limuv=elim（u-1）v。事实上该公式可以利用重要极限及极限的四则运算得到limuv=[1+（u-1）]=elim（u-1）v。
　　所以例题3的另一种解答：=1+=e=e2。
　　2.利用等价无穷小因子替换
　　若x→a时，无穷小量?琢（x）~?琢*（x），β（x）~β*（x）（即=1，=1），则=。（等式两边其中之一极限存在或为∞，则另一边也是且相等）
　　【例题4】极限=（）。
　　A.0B.C.1D.
　　【答案】C。解析：利用等价无穷小量，当x→0时，x~ex-1。本题中（tanx-sinx）=0，所以=1。所以极限==esinx=1。
　　3.利用洛必达法则
　　【例题5】求w=。
　　【解析】先作恒等变形
　　w=，然后用等价无穷小因子替换，
　　x→0时，sinx~x，ln（1+）~，
　　于是w===·=2·。
　　最后用洛必达法则得
　　w=2=×=。
　　4.分别求左右极限的函数极限
　　【例题6】求下列极限f（x）：
　　f（x）=arctan。
　　【解析】注意：e=+∞，arctan=；e=0，arctan=-。
　　f（x）=·arctan=1·=，f（x）=·arctan=（-1）·（-）=。因此，f（x）=。
　　5.利用夹逼法
　　用夹逼定理求极限xn，就是要将数列xn放大与缩小成zn≤xn≤yn，要想放缩成功，必须保证极限yn与zn易求且相等。