考研数学轻松学 中公2020考研轻松学线性代数的奥秘

《中公版·2020考研轻松学：线性代数的奥秘》本书以“考研复习新思维”为定位，主要有以下3个特点：
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本书通过详尽的解析点拨作答思路，让考生在零基础的情况下也能轻松get解题方法，大大提升学习效果。 

《中公版·2020考研轻松学：线性代数的奥秘》以近20年真题为导向，以考试大纲为基准，在中公教育研究生考试研究院全年授课讲义、习题的基础之上整合、扩充、优化而来，内容覆盖了中公考研全年各阶段主体的教学内容，汇集了中公考研数学老师多年一线教学及辅导实践沉淀下来的核心与精华，也融合了每年数万名中公学员学习过程中所提出的意见与建议。我们在成书过程中力求突出特色和亮点，具体体现在：
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第一章行列式
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、基本性质()
三、行列式展开定理()
四、常用公式定理()
题型精讲()
一、低阶数值型行列式的计算()
二、高阶数值型行列式的计算()
三、抽象型行列式的计算()
四、克拉默法则的运用()
专题精练()
一、低阶数值型行列式的计算()
二、高阶数值型行列式的计算()
三、抽象型行列式的计算()
四、克拉默法则的运用()
参考答案及解析()
第二章矩阵
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、矩阵的概念及其运算()
二、逆矩阵()
三、初等变换与初等矩阵()
题型精讲()
一、矩阵的运算()
二、逆矩阵的计算()
三、与伴随矩阵有关的问题()
四、矩阵方程()
五、矩阵可逆性的讨论()
六、初等变换与初等矩阵()
专题精练()
一、矩阵的运算()
二、逆矩阵的计算()
三、与伴随矩阵有关的问题()
四、矩阵方程()
五、矩阵可逆性的讨论()
六、初等变换与初等矩阵()
参考答案及解析()
第三章秩
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、重要公式定理()
题型精讲()
一、秩的基本概念及基本运算()
二、秩的常用公式()
专题精练()
一、秩的基本概念及基本运算()
二、秩的常用公式()
参考答案及解析()
第四章向量
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、重要公式定理()
三、内积与正交()
四、向量空间（*数学一）()
题型精讲()
一、线性表出的判定与证明()
二、线性相关与线性无关的判定与证明()
三、内积与正交()
四、向量空间（*数学一）()
专题精练()
一、线性表出的判定与证明()
二、线性相关与线性无关的判定与证明()
三、内积与正交()
四、向量空间（*数学一）()
参考答案及解析()
第五章线性方程组
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、解的判定()
三、解的结构()
题型精讲()
一、线性方程组解的判定()
二、齐次线性方程组的通解()
三、非齐次线性方程组的通解()
四、综合问题()
五、同解与公共解()
专题精练()
一、线性方程组解的判定()
二、齐次线性方程组的通解()
三、非齐次线性方程组的通解()
四、综合问题()
五、同解与公共解()
参考答案及解析()
第六章特征值与特征向量
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、基本概念()
二、常用公式定理()
题型精讲()
一、数值型矩阵特征值与特征向量的计算()
二、抽象型矩阵特征值与特征向量的计算()
三、综合讨论()
专题精练()
一、数值型矩阵特征值与特征向量的计算()
二、抽象型矩阵特征值与特征向量的计算()
三、综合讨论()
参考答案及解析()
第七章相似与相似对角化
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、相似()
二、相似对角化()
三、实对称矩阵()
题型精讲()
一、相似关系的判断与计算()
二、相似对角化()
三、实对称矩阵()
专题精练()
一、相似关系的判断与计算()
二、相似对角化()
三、实对称矩阵()
参考答案及解析()
第八章二次型
复习精导()
一、考试内容及要求()
二、历年真题分布统计()
考点精析()
一、二次型及其合同标准形()
二、惯性指数与合同规范形()
三、正定二次型()
题型精讲()
一、二次型及其矩阵()
二、二次型的合同标准形()
三、惯性指数与合同规范形()
四、正定二次型()
专题精练()
一、二次型及其矩阵()
二、二次型的合同标准形()
三、惯性指数与合同规范形()
四、正定二次型()
参考答案及解析()

　　线性代数的奥秘
　　第一章行列式
　　第一章行列式
　　一、考试内容及要求
　　行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理，方阵乘积的行列式，线性方程组的克拉默（Cramer）法则。
　　1了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
　　2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
　　3了解方阵乘积的行列式的性质。
　　4会用克拉默法则。
　　二、历年真题分布统计
　　2000—2019年数学一本章真题分布统计
　　年份低阶数值型
　　行列式的计算高阶数值型
　　行列式的计算抽象型
　　行列式的计算克拉默
　　法则的运用总计
　　2000年
　　2001年3分3分
　　2002年
　　2003年
　　2004年4分4分
　　2005年4分4分
　　2006年4分4分
　　2007年
　　2008年
　　2009年
　　2010年
　　2011年
　　2012年4分4分
　　2013年4分4分
　　2014年4分4分
　　2015年4分4分
　　2016年4分4分
　　2017年
　　2018年4分4分
　　2019年
　　总计12分4分23分39分
　　2000—2019年数学二本章真题分布统计
　　年份低阶数值型
　　行列式的计算高阶数值型
　　行列式的计算抽象型
　　行列式的计算克拉默
　　法则的运用总计
　　2000年
　　2001年
　　2002年
　　2003年4分4分
　　2004年4分4分
　　2005年4分4分
　　2006年4分4分
　　2007年
　　2008年
　　2009年
　　2010年4分4分
　　2011年
　　2012年4分4分8分
　　2013年4分4分
　　2014年4分4分
　　2015年4分4分
　　2016年
　　2017年
　　2018年
　　2019年4分4分
　　总计12分32分44分
　　2000—2019年数学三本章真题分布统计
　　年份低阶数值型
　　行列式的计算高阶数值型
　　行列式的计算抽象型
　　行列式的计算克拉默
　　法则的运用总计
　　2000年3分3分
　　2001年
　　2002年
　　2003年
　　2004年
　　2005年
　　2006年4分4分
　　2007年
　　2008年4分4分
　　2009年
　　2010年4分4分
　　2011年
　　2012年4分4分8分
　　2013年4分4分
　　2014年4分4分
　　2015年4分4分
　　2016年4分4分
　　2017年
　　2018年4分4分
　　2019年
　　总计12分31分43分
　　行列式是线性代数中最基本的运算之一，贯穿于整个学科，其计算方法灵活多变，是考生接触线性代数面临的第一道关卡。从历年考试情况来看，题型主要包括数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算两部分。其中，抽象型行列式的计算是主体，近20年考试中占60%以上，这一部分的考题需要考生结合后续章节的相关公式和运算，对考生的综合能力要求比较高。数值型行列式又包括低阶和高阶两种情况，需要考生结合行列式的性质、展开定理以及常用公式进行计算，这类问题在线性方程组以及特征值与特征向量部分有重要的运用，需要引起考生重视。此外，本章还涉及行列式的一个应用问题，即克拉默法则，主要和线性方程组的内容结合起来考查，在本章我们只需要了解。
　　一、基本概念
　　（一）排列与逆序
　　n级排列：将1，2，3，…，n这n个自然数打乱顺序之后按照任意次序排列起来的一个数组。例如：2，5，3，1，7，4，6就是一个7级排列。易知，n级排列一共有n!个。
　　逆序：在一个n级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，称这两个数构成一个逆序。一个n级排列i1，i2，…，in中逆序的总数，称为n级排列i1，i2，…，in的逆序数，记作τ（i1，i2，…，in）。
　　如果n级排列i1，i2，…，in的逆序数是偶数，则i1，i2，…，in称为偶排列；如果n级排列i1，i2，…，in的逆序数是奇数，则i1，i2，…，in称为奇排列。
　　（二）行列式
　　n阶行列式a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann：行列式中所有取自不同行不同列元素乘积的代数和，即a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann=∑i1，i2，…，in（-1）τ（i1，i2，…，in）a1i1a2i2…anin。
　　对于初学者来说，最困难的是正确理解行列式的定义，我们从如下五个方面予以说明。
　　①由于n级排列共有n!个，可知n阶行列式的完全展开式中共有n!项。
　　②要注意区分行列式和矩阵A=a11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn。首先，从概念上讲，行列式是一个运算法则，其运算结果是一个数（或函数），是展开式中n!项的代数和，而矩阵是一个数表，二者从本质上讲有区别。其次，从形式上看，行列式的行数和列数必须一样（即行列式都是“正方形”的），而矩阵中两者可以不一样。
　　③行列式的定义中，最核心的是“不同行”“不同列”以及“代数和”这三个限制语。行列式的完全展开式的n!项中，每一项都是取自不同行不同列n个元素的乘积，而“代数”两字表示是有符号的（每一项的符号都是由其行指标排列的逆序数决定的）。
　　④行列式的定义也可以写成
　　a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann=∑j1，j2，…，jn（-1）τ（j1，j2，…，jn）aj11aj22…ajnn。
　　⑤从定义出发可以直接推出二阶行列式、三阶行列式，上三角行列式和下三角行列式的计算公式：
　　abcd=ad-bc，
　　a1a2a3b1b2b3c1c2c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2，
　　a11a12…a1n0a22…a2n00…ann=a110…0a21a22…0an1an2…ann=a11a22…ann，
　　a11…a1，n-1a1na21…a2，n-10an1…00=0…0a1n0…a2，n-1a2nan1…an，n-1ann=（-1）n（n-1）2a1na2，n-1…an1。
　　它们是计算复杂行列式的基础。考生可以尝试通过行列式的定义推导上述计算公式。
　　二、基本性质
　　性质一：将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，即
　　a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann=a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann。
　　性质二：将行列式的任意两行（或两列）互换位置后，行列式改变符号。
　　推论1：如果行列式有两行（或两列）相同，则行列式的值为0。
　　性质三：将行列式的某一行（或某一列）乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的k倍。
　　推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）全为0，则行列式的值等于0。
　　推论3：如果一个行列式的某两行（或某两列）元素对应成比例，则行列式的值等于0。
　　性质四：如果行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（或列）分别为对应两个加数，其余行（或列）保持不变，即
　　a11a12…a1nai1+bi1ai2+bi2…ain+binan1an2…ann=a11a12…a1nai1ai2…ainan1an2…ann+a11a12…a1nbi1bi2…binan1an2…ann。
　　性质五：将行列式的一行（或列）的k倍加到另一行（或另一列）上，行列式的值不变。
　　一般来说，直接按照定义计算行列式是很复杂的（展开式中有n!项）。但有一小部分行列式的计算是比较容易的，如上三角（或下三角）行列式，我们在对行列式进行计算时，一个基本的思想就是将行列式变形成为这些简单的行列式。上述性质实际上就是在告诉我们，当我们对行列式进行各种变形的时候，行列式的值是如何变化的。
　　三、行列式展开定理
　　（一）余子式与代数余子式
　　余子式实质上也是一个行列式，将某一元素aij所在的行和列划掉之后得到的n-1阶行列式称为aij的余子式，记作Mij，如下所示
　　Mij=a11…a1（j-1）a1（j+1）…a1na（i-1）1…a（i-1）（j-1）a（i-1）（j+1）…a（i-1）na（i+1）1…a（i+1）（j-1）a（i+1）（j+1）…a（i+1）nan1…an（j-1）an（j+1）…ann。
　　给余子式加上符号（-1）i+j后称为代数余子式，记作Aij=（-1）i+jMij。
　　（二）行列式按行及按列展开定理
　　行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素乘以其代数余子式后再求和，即
　　|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1，2，…，n）=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj（j=1，2，…，n）。
　　该定理提供了通过低阶行列式计算高阶行列式的方法，可以说从根本上解决了行列式的计算问题。请看2012年考研数学一第（20）题：
　　┃例┃设A=1a0001a0001aa001，求|A|。
　　按照第一列展开得1a0001a0001aa001=1×1a001a001+a×（-1）4+1a001a001a=1-a4。
　　使用展开定理的一般原则：注意到第一列的元素只有两个是非零的，因此计算的时候，中间的两个零的代数余子式就没有必要计算了。一般来说，我们在计算行列式的时候，都希望行列式有这样的特点：某行或者某列只有个别元素非零，这样使用展开定理就可以极大地减少计算量。而假设行列式没有这样的特点，我们则需要通过行列式的性质对行列式进行变形，人工地在行列式的某行或某列中“制造”出较多的零。
　　推论：行列式的一行（或列）所有元素乘以另一行（或列）对应元素的代数余子式再求和所得结果为零，即
　　∑nj=1aijAkj=ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=0，（i≠k），
　　∑nj=1ajiAjk=a1iA1k+a2iA2k+…+aniAnk=0，（i≠k）。
　　①以三阶的情况为例，对于行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33，如果用第一行的元素乘以第二行的代数余子式再求和，则得到a11A21+a12A22+a13A23。
　　注意到第二行元素的代数余子式在计算时会划掉第二行的元素，即第二行元素的代数余子式是和第二行元素的取值无关的。因此，改变第二行元素的取值不影响上式。
　　我们把第二行元素改成a11，a12，a13，得到新的行列式a11a12a13a11a12a13a31a32a33，根据行列式按行展开定理，这个新的行列式按照第二行展开之后得到a11A21+a12A22+a13A23。
　　而由行列式的性质可知a11a12a13a11a12a13a31a32a33=0，故a11A21+a12A22+a13A23=0。
　　②该证明过程体现了在处理代数余子式相关的求和问题中的一个基本思想：反向运用展开定理，将若干个同行（或同列）代数余子式之和“升阶”成为一个n阶行列式，再利用行列式的性质进行计算。
　　四、常用公式定理
　　（一）两个特殊的行列式
　　1范德蒙德行列式
　　111…1a1a2a3…ana21a22a23…a2nan-11an-12an-13…an-1n=1a1a21…an-111a2a22…an-121a3a23…an-131ana2n…an-1n=∏1≤i　　2拉普拉斯展开式
　　ACOB=AODB=|A||B|，DBAO=OBAC=（-1）mn|A||B|，
　　其中A，B分别为m阶，n阶方阵。
　　上述两个公式中，范德蒙德行列式是行列式展开定理的推论；而拉普拉斯展开式则是对行列式展开定理的推广，它和展开定理的作用都是将行列式“降阶”。考试对这两个公式的要求是记住公式