描述
开 本: 32开纸 张: 纯质纸包 装: 精装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787550629349
前言一
校點説明一
總叙一
加減乘除釋
序
加減乘除釋卷一
加減乘除釋卷二
加減乘除釋卷三
加減乘除釋卷四
加減乘除釋卷五
加減乘除釋卷六
加減乘除釋卷七
加減乘除釋卷八
天元一釋
序一
序二
天元一釋上
天元一釋下
開方通釋
開方通釋叙
開方通釋
釋弧
序一
序二
釋弧卷上
釋弧卷中
釋弧卷下
釋輪
釋輪卷上
釋輪卷下
釋橢
釋橢序
釋橢
前言
焦循字理堂，一字里堂，乳名橋慶，晚號里堂老人，江蘇甘泉（今揚州邗江黄珏）人。生於清乾隆二十八年（一七六三），卒於清嘉慶二十五年（一八二〇）。清代乾嘉之際的著名經學家與易學家，揚州學派的重要代表人物。
焦循出生在一個三世傳《易》的書香門第之家，曾祖父焦源、祖父焦鏡、父親焦蔥皆“有隱德，傳易學”。焦循幼年聰慧，三歲時，就能識别“栽”、“裁”兩字。八歲時已初露才華，他運用閲讀屈原《楚辭》時所獲取的知識，準確識辨了“馮夷”兩字的讀音，得到了鄉賢的讚賞。乾隆四十四年（一七七九），焦循趕赴揚州，參加入學資格的童子試。由於能夠辨析字的讀音和解釋字義，得到了主考官劉墉（一七一九—一八〇四）的鼓勵和推薦，進入當時揚州著名的安定書院學習。
乾隆五十年（一七八五），焦循準備參加三年一次的鄉試，不幸父親病逝，按照清代科舉考試的定制，凡是在服喪期間的學生都不能參加科舉考試。此後，焦循又多次參加鄉試，結果都以種種原因而未能如願。直至嘉慶六年（一八〇一），焦循終於考中了舉人，這離他參加第一次的鄉試已相隔十四年之久了。嘉慶七年，焦循已近“不惑”之年，已經没有當年那種意氣奮發的進取精神，但是他未能徹底擺脱讀書做官的誘惑，毅然踏上北去之路，參加在京師舉行的禮部會試。然而，清代科場本是混濁之地，賄賂、舞弊現象時常發生，正所謂“三場辛苦磨成鬼，兩字功名誤煞人”。榜發，焦循落選。當時在朝尚書英和、彭元瑞、朱珪等考官都爲之嘆息，不明其中的緣故。焦循會試受挫後，失望地回到揚州，决意從此放棄科舉。
嘉慶十一年，焦循應揚州知府伊秉綬的邀請，參與編纂《揚州圖經》、《揚州文粹》兩稿，從而將其所得到的酬金，購置了位於半九書塾左邊被稱爲“雕菰淘”的五畝地，建築新樓。新樓四面置窗，面對柳樹堤，背面靠近竹園，距離黄珏橋東北約半里地路，橋的外面就是白茆湖，行人往來趨市，帆檣出没，遠近魚燈牧唱，春秋耕獲，盡納於牖。樓下置書櫃，收藏生平所寫的著述草稿，以爲殁後神智所栖托。壙以藏骨，栖以息魂，名樓爲“雕菰樓”。從那時開始，他深居簡出，足不入城，婉拒友朋之間的一切應酬活動，居家著述，潜心學術研究。
嘉慶二十二年，焦循在完成了《易學三書》的寫作後，開始着手編撰《孟子正義》。這時他的身體健康狀况也出現了明顯的變化，常年患有的足疾之病，從一年一發到“連月必發，每發痛徹骨”。同時，不間斷地從事寫作，也使他的左臂痙攣不止，直接影響到他的右手不能執筆。焦循深感時間的緊迫，於是對自己四十餘年來的學術思想及所作詩文進行了一次回顧與結集，取名《雕菰集》。
嘉慶二十五年（一八二〇）六月，也就是在編定《雕菰集》的第三年，焦循足疾再次復發，并且迅速轉化爲瘧疾，持續高燒不退，完全病倒。在病床上綿延至七月，雖然家人延請名醫積極用藥醫治，但是效果并不明顯。焦循自知“吾之病不能起矣”，便於這年的七月二十四日，對兒子焦廷琥交待了後事。二十六日，拒絶服藥。二十七日辰時，這位乾嘉之際最負盛名的學者，帶著最終未能親手録完《孟子正義》手稿的遺憾，溘然長逝，年五十有八。
焦循治學嚴謹，著述宏富，識見精卓，“於學無所不通，著書數百卷,尤邃於經”，在中國經學、易學、哲學、史學、文學、語言文字學、自然科學等諸多領域均有深入的研究和重要的建樹：
一、 易學的新象數範式
綜觀焦循一生的學術研究，他用力最勤、功力最深、成就最鉅、影響最大的是對易學的研究。他著有《雕菰樓易學》（《易學三書》）、《易話》、《易廣記》等多種，不囿於象數與義理而獨樹一幟，發明“旁通、相錯、時行，破舊説之非”,從而論證《周易》六十四卦的三百八十四爻之間的運動規律，拓展了漢代的象數易學，在當時被譽爲易學史上“非漢，非晋唐，非宋，發千古未發藴”的奇葩。
焦循認爲，“旁通”是《周易》六十四卦中的卦爻一陰一陽的互相置换，以每卦中的陰陽互易而轉换或得到另一卦爲其主要目的。根據他的歸納，其主要内涵如下：一、旁通卦爻必須陰陽兩兩相對。二、旁通卦爻的陰陽轉换，必須依次序進行。三、旁通的目的是使各爻各正其位。所謂陰陽兩兩相對，是指旁通卦爻必須符合一陰一陽相對而成立的卦組。如《乾》卦六爻全係陽爻組成，那麽與《乾》卦相旁通的卦一定是《坤》卦，因爲《坤》卦六爻全係陰爻組成，由六爻全陽的《乾》卦與六爻全陰的《坤》卦相對，《乾》、《坤》兩卦的旁通方能成立。據此，《周易》六十四卦依上述原則類推，分别成《乾》《坤》，《震》《巽》，《坎》《離》等三十二組旁通卦。所謂有次序地進行爻位運動轉换，是針對每卦的初、二、三爻分别與四、五、六爻相互置换而言。其次序首先由每卦的第二爻與第五爻之間進行，再初爻與第四爻、第三爻與上爻之間進行。爻位之間的轉换，一般先從本卦中尋求，如本卦不具備轉换條件，則推及它的旁通卦。如《歸妹》六爻中符合爻位置换條件的僅第二爻和第五爻，初爻與第四爻、三爻與上爻因屬性相同而無法爻位置换。《歸妹》的旁通卦是《漸》卦，按旁通原則爻位置换，即成《既濟》卦。《既濟》是《周易》六十四卦中爻位皆正之卦，因此通過旁通使卦爻各正其位。
基於對“旁通”的認識，焦循又運用“相錯”，即以六十四卦中的三十二組旁通卦爲依據，進行卦與卦之間的轉换。現據他的歸納，其主要内涵如下：一、 凡旁通卦的下卦相互置换而成相錯。如《同人》與《師》兩卦相錯成《訟》、《明夷》兩卦，反之亦然。二、 凡旁通卦二五爻位置换，而組合成新卦的相錯。如《乾》、《坤》兩卦二五爻位置换得《同人》與《比》兩卦。《同人》與《比》相錯爲《否》與《既濟》兩卦，反之《否》、《既濟》相錯亦爲《同人》與《比》兩卦。三、 凡旁通卦初四爻位或三上爻位置换而組合成新卦的相錯。如《乾》、《坤》兩卦初四或三上爻位置换而成《小畜》、《復》、《夬》、《謙》四卦。《小畜》與《復》相錯爲《益》、《泰》兩卦，《夬》與《謙》相錯爲《泰》、《咸》兩卦，反之亦然。四、 凡旁通卦先二五後三上或初四爻位置换而組合成新卦的相錯。六十四卦中只有《家人》、《屯》、《革》、《蹇》、《需》、《明夷》等六卦。《家人》與《屯》相錯爲《益》、《既濟》兩卦，《革》與《蹇》相錯爲《咸》、《既濟》兩卦，《需》與《明夷》相錯爲《泰》、《既濟》兩卦，反之亦然。
“時行”，是焦循通過“旁通”和“相錯”的卦爻位置换運動後，將《周易》六十四卦作爲一個必然聯繫的整體加以考察。如焦循曾將六十四卦中言“元”者集攏爲二十四卦，以“時行”法則進行各卦之間的爻位置换，全面闡述了“元”字在諸卦中“或明言之，或互言之”的意義所在。《易通釋》“元”條云：“《易》之言‘元’者二十四卦。《乾》、《坤》、《屯》、《訟》、《比》、《履》、《泰》、《大有》、《隨》、《蠱》、《臨》、《復》、《无妄》、《大畜》、《離》、《頤》、《損》、《益》、《萃》、《升》、《井》、《革》、《鼎》、《涣》。……八卦始於《乾》、《坤》，六十四卦生於八卦。其行也，以元、亨、利、貞，而括其要，不過元而已。反復探求，覺易道如此，易之元如此。蓋合全《易》而條貫之，而後知《易》之稱元者如此也。”以“時行”來揭示卦爻間的聯繫，體現了他對《周易》變通理論的改造。
同時，焦循爲了對《周易》作更爲細緻入微的“實測”研究，又將傳統數學和傳統訓詁學引入《易》學研究。如他根據中國傳統數學的“乘方”法則，發現了六十四卦排列組合的秘密，即以求得開六次幂（開五乘方）的計算方法，類推出六十四的排列組合。我們知道，二進位是以“”與“一”兩種符號分别代表陰“— —”陽“——”兩爻的，焦循則改以“甲”、“乙”表示每卦的陰陽爻畫。他説：“論數之理取於相通，不偏舉數，而以甲、乙明之。”如《乾》卦由六根陽爻組成，則以六個“甲”來表示。又如《觀》卦，則以二個“甲”四個“乙”來表示二根陽爻和四根陰爻。依照這樣甲乙相間排列組合，焦循用傳統數學中的“五乘方”予以計算。所謂“五乘方”，係數學中的初等代數部分，用現代數學符號可表示爲（a b）6，如果把其式展開，便得到“a6 6a5b 15a4b2 20a3b3 15a2b4 6ab5 b6”的結果。若把“A”、“B”代表“甲”和“乙”，由“甲”和“乙”代表陰陽兩爻，那麼六十四卦的“五乘方”計算後的排列組合便可呈現出七種不同形式。又如《周易》的《漸》卦的“初六”、“六二”、“九三”、“六四”、“九五”、“上九”六爻辭皆取象於“鴻”，歷來論《易》者都釋“鴻”爲鳥名（或大雁之名，虞翻説；或水鳥之名，王弼説）。根據《漸》卦的整個内容考察，解釋“鴻”爲鳥名較爲合理。然而焦循依據《爾雅》、《康誥》等字書與文獻，以同音假借爲原則，認爲“洪”、“鴻”古音相通，因此解釋“鴻”爲“代”。他的理由是《周易》的卦爻辭本出於周公之手，而《釋詁》等篇又是周公的著作，以周公之書解釋周公之辭，“此鴻、代之訓，以爲即疏解《漸》卦之鴻可也”。據此，鴻、代兩字互相假借，一以貫之，經文由此互相鈎貫。焦循認爲“非明九數之齊同、比例，不足以知卦畫之行”，“以六書假借，達九數之雜糅。事有萬端，道原一貫，義在變通而辭爲比例，以此求《易》，庶幾近焉”。這無疑爲焦循建構新象數學範式提供了一條新的途徑。焦循承三世家傳易學之統，熔融象數、義理、數理於一爐，鼎薪炮藥，歷經三十餘年的易學研究，引起了當時學界的震動，被贊許爲“石破天驚”、“精鋭之兵”。焦循也因此以“江南名士”享盛名於大江南北，被清代乾嘉學者推崇爲一代通儒。
二、 古經意義的新探索
焦循一生没有擔任過任何官職，始終與學術相伴，以著書爲事，學術著作既是他的人生傳記，也是他思想演變的心路歷程。他以樸學爲起點，對《毛詩》、《尚書》、《禮記》、《左傳》、《論語》等儒家經典進行了系統的梳理與研究，呈現出對古經意義新探索的特徵。
一、 三釋《毛詩》。焦循著有《毛詩鳥獸草木蟲魚釋》、《毛詩地理釋》、《詩毛鄭異同釋》三種，前二種就《詩經》中有關草、木、鳥、獸、蟲、魚之名和有關國、郡、城市的疆域，山脉河流的走向，某一地名的地理位置以及沿革等考證。後者則是比較漢代毛亨與鄭玄詮釋《詩經》的異同。最後又將上述三書結集爲《毛詩補疏》五卷，列有一百七十六條考證。其特點是圍繞“揚毛抑鄭”、“力糾毛詩正義之失”、“辨析毛鄭異同”三個方面的論述。如《詩·邶·柏舟》：“我心匪鑒，不可以茹。”《毛傳》謂：“鑒，所以察形也。茹，度也。”鄭《箋》：“鑒之察形，但知方圓，白黑。不能度其真僞，我心非如是鑒，我於衆人之善惡外内，心度知之。”焦循認爲這是曲解了《毛傳》的原意，認爲“茹即謂察形，鑒可茹我，心非鑒故不可茹；如可察形，則知兄弟不可據，而不致逢彼之怒矣”，所以“《箋》迂曲，非《傳》義”。又如“招招舟子，人涉卬否”。《毛傳》謂：“招招，號召之貌；舟子，舟人，主濟渡者。”《鄭箋》：“舟人之子，號召當渡者，人皆從之而渡，我獨否。”焦循指出，此詩的“涉”字，與《毛傳》首章“由膝以上爲涉”一句的“涉”字，意義相同，《鄭箋》與毛義異。又如他認爲“宋明之人，不知詩教，士大夫以理自持，以幸直抵觸，其群相習成風，性情全失，而疑《小序》者，遂相率而起，余謂《小序》之有裨於詩，至切至要”。這顯然是回應宋明理學家衝破《毛詩序》另立新説，對傳統詩教的新的挑戰，具有批評宋明理學家以心性詮釋《詩經》，重新確立《毛詩》權威，確認《詩序》美刺功能的意藴。
二、 重評《孔傳》。焦循所著《尚書孔氏傳補疏》，一名《尚書補疏》，二卷。所列六十二條考證，討論的主題有二：一是《尚書孔傳》雖是僞書，但是它的解釋較漢代馬融、鄭玄等經師更爲精詳，具有思想史上的價值。二是《堯典》未亡，《大禹謨》、《皋陶謨》原爲一篇。他認爲：“東晋晚出《尚書孔傳》，至今日稍能讀書者皆知其僞。雖然其增多二十五篇，僞也。其《堯典》以下，至《秦誓》二十八篇，固不僞也。則試置其僞作之二十五篇，而專論其不僞之二十八篇，且置其爲假託之孔安國，而論其爲魏晋間人之傳，則未嘗不與何晏、杜預、郭璞、范寧等先後同時，晏、預、璞、寧之傳注，可存而論，則此傳亦何不可存而論？”同時，焦循又指出僞《孔傳》的解經較馬融、鄭玄、王肅等漢魏各家的訓注更爲精詳，并列舉僞《孔傳》的七大優點，認爲經典辨僞不同於經典注釋，它不是長於思辨的領域而應是一種相互印證的、實證的活動，而這種活動，在本質上應該主要落實到對經典原始材料的具體分析，因此是一種經驗性的思考。另一方面，經典辨僞又不同於經典研究，經典研究不以創造符合意識形態的權威形象爲己任，而是對經典中已塑造出來的權威形象加以觀照，闡明其内在的精確含義和價值。這種闡明，實際上包括了經典的古代意義與傳注的現代詮釋的統一。因此，儘管已被證明爲僞書，但仍具有思想史上的價值。
三、 崇尚《禮記》。焦循又著《禮記補疏》三卷，一名《禮記鄭氏注補疏》，是焦循所作群經補疏之一，也是焦循在早年所作《禮記索隱》五卷的基礎上删定而成，全書列有一百一十五條考證。其特點主要有三：一是以補充孔穎達《禮記正義》的疏漏，二是糾正鄭玄注釋《禮記》的失誤，三是闡發禮學思想。如卷三《中庸》“費而隱”條，注：“費，猶佹也，道不費則仕。”焦循説：“《釋文》：‘費，本又作拂。’《詩·皇矣》：‘四方以無拂。’《箋》云：‘拂，猶佹也。言無復佹戾文王者。’佹通詭，訓戾，亦訓譎。上文‘素隱行怪’，注云：‘言方鄉辟害隱身，而行佹譎。’佹，異也。既以‘佹’明‘怪’，又以‘譎’明‘佹’；既以‘佹譎’明‘行怪’，又以‘佹’明‘費’。蓋謂隱不可佹，仕亦不可佹也。心鄉於隱，則無論可隱不可隱，而一以隱爲鄉，則其隱爲佹，此不可一於隱者也。若可隱而一以不隱爲事，則必佹道。佹而仕，所謂佹遇也。君子之道，若必佹而乃得仕，則君子不仕矣，故云‘費而隱’，此不可一於仕者也。道不費則仕，言不佹遇則仕，不論世之治否。孔、孟固栖栖於春秋戰國矣，不肯佹遇，故不仕也。《正義》云：‘君子之人遭值亂世，道德違費，則隱而不仕。’以‘費’指世，非注義。‘素隱’至‘費而隱’，當爲一章。”此既認爲《正義》將世道誤以爲人道，又指鄭玄不當以“素隱行怪”至“費而隱”之間斷章。類似的辨析注疏異同，可以説是焦循《禮記補疏》的最大特徵。他又提出以禮學取代理學，他説：“後世不言禮而言理。……唯先王恐刑罰之不中，務於罪辟之中求其輕重，析及毫芒，無有差謬，故謂之‘理’。其官即謂之理官。而所以治天下則以禮，不以理也。”從而提出與程朱理學相反的另一種判斷是非的標準，即一種新的價值觀念。
四、 體悟《論語》。焦循又著《論語補疏》三卷，所列七十四條考證，涵蓋了除《季氏》之外的《論語》十九篇，對孔子的“忠恕”、“一以貫之”、“異端”等思想作了更爲精緻的論證和發揮。如《論語》的《爲政》篇：“子曰：‘攻乎異端，斯害已矣。’”然而關於“異端”的解釋，歷代衆説紛紜。何晏認爲“小道爲異端”，皇侃認爲是有别於“五經正典”的“雜書”，宋代邢昺則提出是“諸子百家之書”，朱熹指出爲楊墨佛老之流。由於孟子曾經批評過楊、墨的“爲我”、“兼愛”等思想，所以朱熹不過是引申了孟子的觀點而已。焦循則認爲“異端”是指事物的兩端，無論是執哪一端，都可視爲異端。儒家也僅是兩端中的一端，與楊朱、墨子、子莫無異，關鍵是將兩端貫通，即所謂的“聖人之道，貫乎爲我、兼愛、執中者也”。特别是焦循認爲伏羲、文王、周公的思想，本來是由《周易》以符號的形式來表達的，所以難爲常人所理解，而《論語》則彌補了這一缺憾，《論語》事實上就是《周易》的注脚，這也是焦循研究《論語》的一大亮點。
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數為六藝之一。而廣其用，則天地之綱紀，群倫之統系也。天與星辰之高遠，非數無以效其靈；地域之廣輪，非數無以步其極；世事之糾紛繁賾，非數無以提其要。通天、地、人之道曰儒。孰謂儒者而可以不知數乎?自漢以來，如許商、劉歆、鄭康成、賈逵、何休、韋昭、杜預、虞喜、劉焯、劉炫之徒，或步天路而有驗於時，或箸算術而傳之於後，凡在儒林類能為算。後之學者，喜空談而不務實學，薄蓺事而不為，其學始衰。降及明代，寖以益微，閒有一二士大夫留心此事，而言測圓者不知天元，習回回法者不知最高。謬誤相仍，莫能是正，步算之道，或幾乎息矣。欽惟我國家稽古右文，昌明數學，聖祖仁皇帝御製《數理精蕴》，高宗純皇帝欽定《儀象考成》，諸編研極理數，綜貫天人，鴻文寶典，日月昭垂，固度越乎軒轅、隸首而上之。以故海内為學之士，甄明度數，洞曉幾何者，後先輩出。專門名家，則有若吴江王曉庵錫闡、淄川薛儀甫鳳祚、宣城梅徴君文鼎。儒者兼長，則有若吴縣惠學士士奇、婺源江慎修永、休寧戴庶常震，莫不各有饌述，流布人間。蓋我朝算學之盛，實往古所未有也。江都焦君里堂，與元同居北湖之濱，少同遊，長同學。里堂湛深經學，長於三禮，而於推步數術尤獨有心得。比輯其所箸《加減乘除釋》八卷、《天元一釋》二卷、《釋弧》三卷、《釋輪》二卷、《釋橢》一卷，總而錄之，名曰《里堂學算記》。書成而囑元序之。
元思天文算法，至今日而大備，而談西學者輒詆古法為粗疏不足道，于是中西兩家遂多異同之論。然元嘗稽攷算氏之遺文，泛覽歐邏之述作，而知夫中之與西，枝條雖分，而本幹則一也。如西法三率比例即古之今有術，重測即古之重今有，借衰即衰分之列衰，叠借即盈不足之假令，今之三角即句股，借根方即立天元一，至於地為圓體，則《曾子》十八篇已言之。七政各有本天，與郄萌“日月不附天體”之説相合。月食入於地景，與張衡“蔽於地”之説不别。熊三拔《簡平儀説》寓渾於平，而崔靈恩已立義“以渾蓋為一”矣。的谷四方行測創蒙氣反光之差，而安岌已云“地有遊氣，濛濛四合”矣。其它若“天周三百六十度”，則邵康節亦嘗言之。“日周九十六刻”，則梁天監中嘗行之。以此證彼，若符節之合。然則中之與西，不同者其名，而同者其實。乃彊生畛域，安所習而毀所不見，何其陋歟!里堂會通兩家之長，不主一偏之見，於古法穿穴十經，研求三數，而折中乎劉氏徽之注《九章》。西法隨事立説，闡其隱秘，而日月五星之果有小輪與?夫日月五星本天之果為橢圓與?不則存而不論。昔蔡中郎撰《十意》未竟，上言欲思惟精意，扶以文義，潤以道術，著成篇章。今里堂之説算，不屑屑舉夫數而數之，精意無不包，簡而不遺，典而有則，所謂扶以文義，潤以道術者非邪?然則里堂是記，固將以為儒流之典要，備六藝之篇籍者矣。元少略涉斯學，心鈍不能入深，且以供職中外，斯事遂廢。今見里堂成此書，敬且樂焉。吾鄉通天文算學者，國朝以來惟泰州陳編修厚耀最精。今里堂之學，似有過之而無不及也。
嘉慶四年冬，經筵講官户部左侍郎兼管國子監算學事務阮元譔序。
加減乘除釋
雕菰樓算學六種
序
算之為術，可隨事以立名，而皆不外於乘除加減。加減者，乘除之所自出，然非乘除不足以盡加減之用，故有四者，而算法備矣。古今算家多列其目:句股旁要，量測既同，開方少廣，層累則一。差分之外，申之以均輸；方程之後，繼之以盈朒。因其小别，遂為區分，揆厥指歸，豈有岐義。夫不明其旨，則易地致惑。深究其理，則後起可推。竊以此義求之古先，蓋論法者居多，言理者絶少，即間有之，亦與法相淆，而於舉綱挈領之要未盡合也。今之為是學者，吴縣李尚之鋭，歙縣汪孝嬰萊，吾邑焦里堂循。三子者，善相資疑相析。孝嬰之學，主於約，在發古人之所未發而正其誤，其得也精。尚之之學，主於博，在窮諸法之所由立而求其故，其得也貫。理堂則以精貫之旨，推之於平易，以為理本自然，取劉徽注《九章算術》之意，著《加減乘除釋》八卷，凡弧矢之相求，正負之相得，方員凸凹之異形，齊同比例之殊制，靡不先列其綱，次疏其目，俾學者可窮源以知流，揣本而齊末。其於二子之學，蓋相輔而實相成矣。夫由疏之密，今古非有殊途。因難而易，中西本無二轍。雖稱名舉類，優絀互形。正其權輿，一言可解。古人好學深思，必曰心知其意。里堂之書，殆《周髀》以來諸書之統紀，不獨劉氏之功臣也已。三年夏五月，江都黄承吉序。
加減乘除釋卷一
加減乘除釋卷一
劉氏徽之注《九章算術》，猶許氏慎之撰《説文解字》。士生千百年後，欲知古人仰觀俯察之旨，舍許氏之書不可。欲知古人參天兩地之原，舍劉氏之書亦不可。嘉定錢溉亭先生塘，謂《説文》一部之中，聲無統紀，因取許氏書，離析合併，重立部首，系之以聲。其書雖未成，迄今講《説文》者，頗宗其意以著書。循謂古人之學，期於實用，以乂百工，察萬品而作書契，分别其事物之所在，俾學者案形而得聲。若夫聲音之間，義藴精微，未可人人使悟其旨趣，此所以主形而不主聲也。惟算亦然。既有少廣、句股，又必指而别之，曰方田，曰商功。既有衰分、盈不足、方程，又必明以示之，曰粟米，曰均輸。亦指其事物之所在，而使學者人人可以案名以知術也。然名起於立法之後，理存於立法之先。理者何?加減乘除四者之錯綜變化也。而四者之雜於《九章》，則不啻六書之聲，雜於各部。故同一今有之術，用於衰分，復用於粟米。同一齊同之術，用於方田，復用於均輸。同一弦矢之術，用於句股，復用於少廣。而立方之上，不詳三乘以上之方。四表之測，未盡三率相求之例。踵其後者，又截粟米為貴賤衰分，移均輸為叠借互徴，名目既繁，本原益晦。蓋《九章》不能盡加減乘除之用，而加減乘除，可以通《九章》之窮。《孫子》、《張邱建》
指《孫子算經》（成書於四、五世紀，作者不詳）、《張邱建算經》（北魏）。兩書似得此意，乃説之不詳，亦無由得其會通。不揆淺陋，本劉氏之書，以加減乘除為綱，以《九章》分注而辨明之。草創於乾隆甲寅之秋。明年為齊魯遊，遂中輟。嘉慶二年丁巳，授徒村中，無酬應之煩，取舊稿細為增損，得八卷。竊比於溉亭之於《説文》，庶幾與劉氏相表裏焉。倘有缺誤，願識者補而正之。幸甚!時十二月大寒日。
以甲當甲為適足，以甲當乙為盈，以乙當甲為朒。
數之多少無定。少至於一，而絲忽之下，尚有塵沙。多至於萬，而兆秭之上，尚有溝洫。惟是兩數相比，而後為盈、為朒、為適足乃定。故算法起於相比也。論數之理，取於相通，不偏舉數。而以甲乙明之，古之次弟，皆乙下於甲，用其意，以甲當盈，以乙當朒。
以甲加甲，為倍之以乙加乙，以丙加丙，以丁加丁，并同。
兩相當，未相入也。加減則相入矣。兩甲數為適足，故相加為倍也。
以甲減甲，為減盡。
減盡之法，為除法、開方法之止境。用之於方程者尤精。蓋除法者，除其所乘。開方者，除其所自乘。故必減盡而除乃止。除法、開方法之有減盡，正也。方程馭錯糅正負，數色相錯，不可以囫圇得之。其兩色者，必先去其一色。故互乘之後，列首位者對減必盡。對減盡，則一色去矣。數既錯糅，則一色減盡。一色減之必不盡。惟三色者，兩行互有空位，互相減，而其下位者適盡，則為兩色之較適足與首位之減盡者，又異矣。如馬一，騾一，共載四石二斗。騾二，驢一，共載四石二斗。馬一，驢三，共載四石二斗。馬首位減盡，此去其一色也。右中之騾一，左下之驢三，所對皆空，而末列之載數，左右均四石二斗，減盡。此為騾一，較驢三，其載適足，與兩馬之減盡，不同也。蓋適足者，相當之名。減盡者，相入之名。相入，則兩數皆去，故曰盡。相當，則兩數尚存，故曰適。盈不足術有適足，而非出於相減。盈不足之所與適足者，隱伏不見，而所見之兩盈、兩朒，以上兩率互乘之，斷無適足之理。故方程有減盡、有適足。盈不足有適足、無減盡也。
以甲中分為半之。
半之，亦曰折半。於除法為二而一。
遞相倍為自倍，遞相半為自半。
《九章算術·衰分》云:“今有女子善織，日自倍。”術云:“置一、二、四、八、十六，為列衰。”蓋倍一為二，倍二為四，倍四為八，倍八為十六，所謂自倍也。又《盈不足》題云:“蒲生一日長三尺，莞生一日長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等?”又題云:“垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢?”
三分甲，以二為太半，以一為少半。
太半即大半，少半即小半。《衰分》術云“田一畝，收粟六升太半升”，《商功》術云“圓囷高一丈三尺三寸少半寸”，是也“少半寸”猶言“少於半寸”，非謂缺少半寸也。
有甲乙，欲得其中平，則相加而半之。欲仍得甲乙，則倍之而相減。
《方田》章邪田術云“并兩邪而半之”。邪田，為一句股一縱方相連形。并而半之，則成一縱方形也。箕田術云“并踵舌而半之”。箕田，為兩句股夾一縱方形。并而半之，亦成一縱方形也。推此而《商功》章城垣隄溝壍渠術云“并上下廣而半之”，《緝古算經》造仰觀臺羨道術云“半上下廣差”，又云“以上下廣差，并上下袤差，半之”。蓋無論為冪、為體、為差，有上下廣之不齊，必用是法以齊之。其《方田》章環田術云:“并中外周而半之。”《商功》章曲池術云:“并上中外周而半之，以為上袤，亦并下中外周而半之，以為下袤。”此内周小於外周，猶上廣小於下廣，故并而半之，以齊其不齊也。以不齊之邊，求積如是。若以積求不齊之邊，必倍中平廣數，減上得下，減下得上，無可疑矣。《商功》穿地為垣術云:“置垣，積尺，以深袤相乘為法，所得除得中平廣數，倍之，減上廣餘即下廣。”是也。《句股》章句弦并與股求句弦術云:“令七自乘，亦令三自乘，并而半之，以為甲邪行率。”蓋七為句弦并，三為股。凡句弦并，自乘為句乘句股并者二，句弦差乘句弦并者一。句弦差乘句弦并，同於股自乘之數。故以股自乘，并句弦并自乘而半之，適得中平。所以用為邪行率者，雖别見通率之巧句乘句弦并，加句弦差，乘句弦并，是弦乘句弦并也。於句弦并，自乘數中減去弦乘句弦并，是餘句乘句弦并也。以句乘句弦并為句率，以弦乘句弦并為弦率，因以股乘句弦并為股率。故為率之巧，而并而半之之意，則無殊也。
得數，視所求為倍者，則豫半之；視所求為半者，則豫倍之。
乘必正方而後得數。其方不正，亦必正之。則積數必浮於本數。故豫半其邊，以求其合。《方田》圭田術云“半廣以乘正從”。圭田，即兩要相等之三角形。正從，即中垂綫。以中綫為界，以左補右，成正方形，而底綫適相半也。《均輸》術云:“今有客，馬日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃覺，持衣追及，與之而還，至家，視日四分之三，問主人馬不休，日行幾何?”術曰:“置四分日之三，除三分日之一，半其餘以為法，副置法增三分日之一，以三百里乘之為實。”此因四分日之三，為客馬之行與主人往還之行相加之數，三分日之一，為客馬單行之數，既減去此數，餘為主人往還之數。今止用主人追及之數為率，故半之也。又《句股》葭池術云“半池方自乘”。題云:“池方一丈，葭生中央，引葭赴岸，適與岸齊，自中央至岸，適得池之半。”故亦於正而求其偏也。又:“邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問出南門幾何步見之?”術曰:“出東門步數為法，半邑方自乘為實。”半邑方者，自中開門。用自門至城隅為股，適當城之半。猶葭生池之中而至岸也。《孫子算經》云:“有獸，六首四足；禽，四首二足。上有七十六首，下有四十六足，問禽獸各幾何?”術曰:“倍足以減首，餘半之，即獸。以四乘獸，減足，餘半之，即禽。”蓋每首之數十，每足之數六以一獸一禽言，倍足減首，每獸尚餘二首，故半之得獸數。以四足乘之，是為獸足共數，於禽獸共足中，減獸之共足，餘每禽二足，故半之得禽數。又:“雉兔同籠，上有三十五頭，下有四十九足
“四十九足”，《孫子算經》（《算經十書》本）作“九十四足”。，問雉兔各幾何?”術曰:“上置頭，下置足，半其足，以頭減足，以足減頭，即得。”蓋雉兩足兔四足，半之，是雉一足，兔兩足矣。一足與一頭相若，故減去頭數，所餘即兔足，有一足即一兔矣。約分之術云“可半則半之”，相其題，施其術，諸用半之之義，不外是言也。
倍與半為向背。圭田求積，半廣以乘正從，若求廣，則倍積以開方之矣。知半之理，即知倍之理也。《孫子算經》云:“今有方田，桑生中央，從角至桑，一百四十七步，問田幾何?”術云:“置角至桑，倍之，以五乘之，以七除之，自相乘，以二百四十步除之，即得。”蓋中央至角，僅得邪行之半，故倍之，而弦數乃全。凡弦自乘，倍於方田自乘，既倍為弦，則自乘而半之，可矣。今以五乘七除，七當作十，五乗不啻二除，即半之爾。又:“三雞共啄粟一千一粒，雛啄一，母啄二，翁啄四。主責本粟，三雞主各償幾何?”術云:“置粟一千一粒為實，并三雞所啄七粒為法，除之，為雞雛主所償之數。遞倍之，即得母翁主所償。”此為衰分之常法，而遞倍之者，因一、二、四為遞倍，亦相其題，施其術焉爾。
以乙加甲則差隱，以乙減甲則差見。
甲乙，其有差者也。既相加，乙即化於甲中。惟以乙減甲，則甲中去一乙，主客兩乙俱減盡。然甲本盈於乙，減去兩乙，乙盡矣。甲尚有所留，則差也。加者，容納之謂，故長短偏雜之皆渾。減者，鑒别之謂，故纖豪蔈末之盡露。二者相為用，而數可定矣。《緝古算經》謂差為多數少數。
以甲加乙，或以乙加甲，其和數等。於和數減甲得乙，減乙得甲，其較數必不等。
和，即古所謂并。較，即古所謂差。加減者，用法之名。和、較者，得數之名。甲乙本有差，相加則無差，故無論甲加乙、乙加甲，其得數必等。若復以甲乙互減之，則仍有差矣。既有差，則數自不相等也。惟和數等，故用加者，可以相通。惟較數不等，故用減者必不容相借。
以甲加乙，以乙加甲，則差平。以甲加甲，以乙加乙，則差倍。以甲加甲，以甲加乙，或以乙加甲，以乙加乙，則差如初。以丙減甲，以丙減乙，或以丁減甲，以丁減乙，則差亦如初。
甲本盈，以乙消之。乙本朒，以甲補之。故有差而無差。此互加互乘之法所由用也詳見後。甲盈，又益以甲。乙朒，止益以乙。有兩甲乙，即有兩甲乙之差，故倍之也。同加以甲，同加以乙，原數雖增，而原差不增。同減以丙，同減以丁，原數雖損，而原差不損。論數之理，甲乙不足以括之，又假丙以次乙，假丁以次丙云爾後用戊己庚辛壬癸亦然。
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