无穷小：一个危险的数学理论如何塑造了现代世界

★《图书馆杂志》2014年度*科学图书，一部波澜壮阔的数学史话。
★知名历史学家与数学家、UCLA教授、《纽约时报》撰稿人阿米尔·亚历山大倾注20余年心血研究的重磅之作。
★罕见地揭示了无穷小学说对17世纪欧洲政治的颠覆性影响。
★独特视角解读为何17世纪末期意大利与英国走上截然不同的现代化道路，以及无穷小何以具有撼动早期现代世界基础的力量。
★呈现了一场精彩纷呈的思想战争，探索了论战背后权力与科学之间的较量，展示了著名哲学家、数学家们，如培根、伽利略、托里切利、波义耳、卡瓦列里、卡文迪许、沃利斯、霍布斯、牛顿等人关于无穷小学说的深刻见解。

 

1632年8月10日，5名身着黑袍的男子聚集在昏暗的罗马宫殿里，就一个看似简单的命题进行讨论: 一条连续的线由不同的、无穷小的部分组成。教士们大笔一挥，严令禁止无穷小的传播，宣布永远不许传授或提及无穷小概念。他们认为，它是危险和颠覆性的，是对当时信仰的极大威胁，即世界井然有序，由严格和不变的规则所统治约束。如果无穷小被接受，他们担心，整个世界将陷入混乱。
在本书中，享有盛誉的历史学家阿米尔·亚历山大披露了教士裁决背后的深层原因，并揭示了无穷小和不可分量学说是如何持续存在，并成为微积分和大多数现代数学与技术的基石的这段历史。事实上，并不是每个人都同意教士们的观点。欧洲各地的哲学家、科学家和数学家都将“无穷小”视为科学进步、思想多元的关键。正如亚历山大所揭示的，不久，这两个阵营就展开了一场战争，即欧洲的等级和秩序与多元化和变革间的斗争。
从德国的帝国城市到萨里的青山，从罗马的教皇宫殿到伦敦皇家学会的大厅，亚历山大向我们展示了一个数学概念上的分歧是如何演变成一场天地之争的精彩对决。
这场数学大战，主战场有两个：一个在意大利，正反两方分别是教会和伽利略及其门徒；另一个在英国，主要在托马斯·霍布斯和约翰·沃利斯之间展开。在意大利，无穷小的失败标志着这片土地作为欧洲文化中心统治地位的结束；在英国，无穷小的胜利帮助这个岛国走上了一条光明之路，使其成为世界上*个现代国家，也促成了我们这个现代世界的诞生。

阿米尔·亚历山大（Amir Alexander），历史学家和数学家、作家，在斯坦福大学和加州大学洛杉矶分校教授历史、哲学和科学史。他曾出版多部著作，他的第一部著作《几何概览》(Geometrical Landscapes)展示了早期数学家如何把他们的研究看作是一次英勇的探索之旅，从而为现代数学奠定了基础。该书被《选择》杂志(Choice)誉为“一部杰出的开创性著作”。他也是《纽约时报》科学栏目的撰稿人。同时，他还在各种学术期刊上广泛发表文章，其作品曾刊登在《自然》（Nature）、《卫报》（The Guardian）以及其他一些出版物中。目前，他居住在加利福尼亚州洛杉矶市。

出场人物 – Ⅸ

时间轴 – ⅪⅩ

导　言

朝臣出使 – 001

无穷小悖论 – 007

失落的梦 – 010

第一部分　对抗无序之战

第1章　依纳爵的孩子

罗马会议 – 015

皇帝与修道士 – 019

陷入混乱 – 023

希望之光 – 030

依纳爵的孩子 – 033

反击 – 039

学术帝国 – 040

混乱中的秩序 – 046

第2章　数学的秩序

教学秩序 – 049

一个怀才不遇的人 – 052

格里历 – 055

一场数学的胜利 – 057

数学的确定性 – 060

克拉维斯对抗神学家 – 065

欧几里得几何的关键 – 068

迟钝的野兽 – 071

第3章　数学的无序

科学家与红衣主教 – 076

悖论与无穷小量 – 081

虔诚的修道士 – 089

织线与书本的比喻 – 092

谨慎的不可分量论者 – 097

伽利略的最后弟子 – 100

21项证明 – 103

痴迷于悖论 – 107

第4章　生存还是灭亡

无穷小的危险 – 114

监督委员会 – 117

卢卡·瓦莱里奥的陨落 – 121

格里高利·圣文森特 – 123

失势 – 125

乌尔班八世的危机 – 131

裁定与禁令 – 135

被羞辱的侯爵 – 140

永久的解决办法 – 143

第5章　数学家之战

古尔丁交锋卡瓦列里 – 146

贝蒂尼之刺 – 153

温文尔雅的弗莱芒人 – 155

隐藏的对抗运动 – 158

背水一战 – 161

圣杰罗姆会的谢幕 – 166

两种现代性的梦想 – 170

秩序井然之地 – 173

第二部分　利维坦与无穷小

第6章　利维坦的到来

掘土派 – 179

无王之地 – 181

冬眠的熊 – 191

“龌龊、野蛮且短命” – 198

第7章　“几何学家”托马斯·霍布斯

迷恋上几何学 – 208

几何学的国家 – 212

无法解决的问题 – 215

化圆为方 – 218

无望的探寻 – 223

第8章　约翰·沃利斯是谁

一位年轻清教徒的教育 – 227

牧师与教授 – 237

科学的阴霾时期 – 242

第9章　数学的新世界

无穷多的线 – 254

实验数学 – 260

挽救 – 271

巨人与“毁谤者”之战 – 273

哪种数学 – 278

为未来而战 – 281

后记：两种现代性 – 285

注释 – 291

致谢 – 323

尽管无穷小是有用的且成功了，但它仍受到了重重阻碍。SJ会士反对它，霍布斯及其崇拜者们反对它，圣公会的牧师反对它，还有很多其他人也都在反对它。无穷小究竟存在什么问题，能够引来这么多形形色色的人如此强烈的反对呢？答案就在于，无穷小虽然是一个简单的想法，但它刺破了一个伟大而美丽的梦想：这个世界是一个完美的理性世界，它由严格的数学规则统治着。在这样的世界里，一切事物，不管是自然界的还是人类社会的，在这个无上秩序里都有它们既定和不变的位置。从一粒砂石到天上的星辰，从卑微的乞丐到公侯帝王，一切事物都是固定而永恒的等级制度的一部分。任何修改或推翻它的企图都是对这个不可改变秩序的反叛，这是毫无意义的破坏活动，无论如何都是注定要失败的。
但是，要说芝诺悖论和不可通约性问题能够证明什么的话，那就是数学与物理世界之间达到一种完美契合的梦想是站不住脚的。无穷小在规模上，其数量与物理对象是不对应的，任何为实现两者的契合所做的努力最终都导致了悖论和矛盾。尽管数学推理的自身条件是严格而正确的，但它还是不能告诉我们这个世界的真实面目。在万物的核心似乎存在着一种神秘的东西，它能够逃脱最严格的数学推理，使得这个世界与我们所拥有的最好的数学推理背道而驰，而我们却无从知晓它将最终走向何处。
这令那些信仰理性有序和永恒不变的世界的人们深感不安。在科学领域这意味着，世界上的任何数学理论必然都是局部和暂时的，因为它无法解释世界上的一切事物，并且总是可能被更好的理论所取代。更令人不安的是它在社会和政治上的影响。如果没有合理和不变的社会秩序，那么我们依靠什么来保证这个社会的秩序，并防止它陷入混乱呢？对于那些寄希望于现有等级制度和社会稳定的团体来说，无穷小量似乎打开了一扇通往“叛乱”“冲突”和“革命”的大门。
不过，那些希望将无穷小引入到数学领域的人，他们对自然界和社会秩序的看法远没有那么僵化。如果物理世界不是被严格的数学推理所统治的话，就无法提前预知它是如何构成以及如何运作的。因此，科学家们需要收集有关这个世界的信息并利用这些信息进行实验，直到他们得到一个解释，使之能够与现有数据达到最佳匹配为止。就像无穷小量对认识自然界所产生的影响那样，无穷小量也开辟了人类世界。现有的社会及政治秩序再也不能被看作是唯一可能的形式了，因为无穷小量已经证明，并不存在这样的必然秩序。正如无穷小量的反对者所担心的那样，无穷小指引人们对现有的社会制度进行批判性评价并实验新的社会制度。通过证明现实世界永远不能被简化成严格的数学推理，无穷小使得社会和政治秩序从顽固的等级制度中得到解放。
早期现代世界针对无穷小的斗争，在不同的地方呈现出了不同的形式，但没有一个地方的斗争能够像在西欧的两极——意大利的南方和英国的北方进行得那样针锋相对、如火如荼。在意大利，SJ会士是反对无穷小的先锋，这也是为了
在灾难性的宗教改革发生之后，重新确立天主教会的权威。这场斗争从SJ早期时的星星之火，一直发展到了与伽利略及其追随者的抗争高潮，本书将在第一部分“对抗无序之战”中对这段历史进行详细叙述。在英国也是如此，针对无穷小的斗争伴随着一系列的动荡和剧变——20年的内战和17世纪中叶的革命。在内战期间，英国曾一度废除了国王政权。托马斯·霍布斯和约翰·沃利斯之间，针对无穷小展开了一场旷日持久的斗争，他们分别对应着两种针锋相对的关于英国未来社会的愿景。关于这场斗争，它在充满恐怖的岁月里的起因，它在创建世界领先的科学学院当中所扮演的角色，以及它对促使英国成为一个领先的世界强国所起到的作用，都将在本书的第二部分“利维坦与无穷小”进行详细叙述。
从北方到南方，从英国到意大利，针对无穷小的战火燃遍了整片西欧大地。这场斗争的阵营划分得十分清楚。一方是学术自由、科学进步和政治改革的倡导者，对立的一方是权威、统一和不变的知识以及固定的政治等级制度的拥护者。这场斗争的结果在各个地方不尽相同，但它们的赌注却是一样大的：即将到来的现代世界的面貌。“数学连续体是由独立的不可分量构成的”，这种说法对于我们来说是一个再平常不过的概念了，但在三个半世纪之前，它却有着撼动早期现代世界基础的力量。这也的确成了现实：无穷小的最终胜利为人类开辟了一条道路，使人类通向了新的、动态的科学。

《无穷小》这本书给读者提供了一种像破解达·芬奇密码一样对现实世界的洞察力，就像对简单但关键的数学概念的历史进行观察一样……阿米尔·亚历山大在充满政治和社会动荡的世界中探索了一场生动纷呈的思想战争。
——《出版者周刊》（Publishers Weekly）

阿米尔·亚历山大以特有的高度戏剧性和惊心动魄的张力讲述了这场知识冲突的故事，他通过那个时代的大背景巧妙编织了一部精彩的数学史话……即使是*抽象的数学概念，他也能像处理分层的社会历史一样巧妙地加以处理，其结果是，他为我们呈现了一部读起来妙趣横生的关于数学的优秀著作。
——《柯克斯书评》（Kirkus）

阿米尔·亚历山大以一种坚定的态度将数学原理与西方文化史上的重大事件联系起来，并且生动地描述了人类思想史上的那个充满争议的时代。其实，可以看出，每一个时代在很大程度上也都是由*微小的部分推动的。
 ——艾伦·赫什菲尔德（Alan
Hirshfield）,
《华尔街日报》（The Wall Street Journal）

一名政治评论家在审视外国学术机构时会着眼于一个晦涩难懂的数学概念，这对于今天的我们来说，不仅令人吃惊，而且简直是有些匪夷所思。在我们看来，高等数学的概念是相当抽象和通用的，它们不可能与文化或者政治生活有
关。它们是那些训练有素的专业学者的专属领域，甚至不与现代的文化评论挂钩，更不用说那些政治人物了。但在早期的现代世界，情况却并非如此，索比耶远非唯一一个关注“无穷小”的非数学家。事实上，在索比耶生活的时代，拥有迥然不同的宗教和政治背景的欧洲思想家和学者们，都曾经不知疲倦地竞相企图扑灭不可分学说，并试着从哲学和科学方面考虑，来消除这种学说。在霍布斯与沃利斯就无穷小问题而争论不休的那些年里，SJ也正在开展针对无穷小的斗争。在法国，霍布斯的老相识笛卡尔在最初曾对无穷小表现出了相当大的兴趣，但最终还是改变了主意，并从他包罗万象的哲学体系中禁止了这一概念。甚至一直到18世纪30年代，乔治·贝克莱（George
Berkeley）还在嘲笑数学家使用无穷小的行为，他称这些数学对象为“消失量之鬼”（the ghosts of
departed quantities）。与这些反对者相对抗的是那个时代一些最杰出的数学家和哲学家，他们提倡使用无穷小的概念，除沃利斯之外，还包括伽利略及其追随者、伯纳德·勒·波维尔·德·丰特奈尔（Bernard Le Bovier de Fontenelle）、牛顿。
为什么这些早期现代世界最优秀的人才会为了这个“无穷小”概念斗争得如此激烈呢？其原因就是，这不仅仅是一个晦涩难懂的数学概念那么简单，它还关系到很多方面：这是一场关乎现代世界面貌的斗争。两大阵营在无穷小问题上针锋相对。其中的一方集结了等级制度和秩序的所有支持者。他们信仰统一而固定的世界秩序，信奉自然界和人类社会都应如此，强烈反对无穷小学说。另一方是相对“自由主义”的人，比如伽利略、沃利斯和牛顿的支持者们。他们信仰更加适度和更加灵活的秩序，从而能够接受一些其他的观点以及多样化的权力中心，他们提倡无穷小学说，同时提倡在数学中使用无穷小方法。这两个阵营的界线已经划定了，不管最终哪方取得胜利，都将在即将到来的世纪里，给这个世界留下其深深的烙印。