地球重力场基础

《地球重力场基础》系统全面地阐述了地球重力场基础的基本理论和基本方法。 

《地球重力场基础》是大地测量学专业本科必修的专业基础课通用教材。《地球重力场基础》系统全面地阐述了地球重力场基础的基本理论和基本方法。全书共分五章。主要内容包括：位理论；调和函数；球谐函数；边值问题；水准椭球的重力场等。《地球重力场基础》内容充实，结构严谨，体系完整，理论与应用并重，包含了进一步学习和研究地球重力场的全部经典理论。

王庆宾，男，博士，教授，硕士生导师。现任中国地球物理学会国家安全地球物理专业委员会委员，“天绘工程”专家咨询委员会地面工程组专家，CTBTO-OSI（全面禁止核试验条约组织-现场勘察）技术任务候选人（中国），教研室副主任。主要从事物理大地测量和空间大地测量等领域的研究和教学工作。获中国人民解放军院校育才奖银奖和三等功1次。主持完成15余项国家和军队级科研项目，获军队科学技术进步二等奖5项，国防科学技术进步二等奖1项，国防发明专利授权2项，国家发明专利受理2项。发表核心期刊学术论文等40余篇，获省部级自然科学优秀学术论文二等奖5篇。主编本科教材2部，参编本科教材1部。主讲过8门本科和研究生课程，培养硕士研究生10余名。

第1章 位理论 1§1.1 力的位函数 1§1.2 引力位 3§1.3 均质球的引力位和引力 6§1.4 质体引力位的性质 8§1.5 单层引力位的性质 12§1.6 重力位 14§1.7 水准面和力线 16第2章 调和函数 20§2.1 高斯和格林的积分式 20§2.2 调和函数 24§2.3 调和函数的性质 28§2.4 球外调和函数的径向导数 32§2.5 格林公式的应用 34§2.6 质体引力位的等值层 36第3章 球谐函数 38§3.1 勒让德多项式 38§3.2 连带勒让德函数 49§3.3 球谐函数 56§3.4 椭球谐函数 79第4章 边值问题 84§4.1 边值问题 84§4.2外部边值问题球谐函数解 85第5章 正常重力场 90§5.1 正常重力位 90§5.2 正常重力 93§5.3 正常重力位和重力的级数式 95§5.4 正常引力位的球谐函数级数式 97§5.5 正常引力的实用公式 101§5.6 正常重力的垂直梯度 102§5.7 正常椭球水准面和力线 104§5.8 正常椭球的质量分布 106第6章 Mathematica在地球重力场基础中的应用 110§6.1 位理论 111§6.2 调和函数 121§6.3 球谐函数 132§6.4 边值问题 165参考文献 170

依据国家*颁布的《普通高等学校本科专业目录》中测绘类专业课程设置的要求和测绘工程专业的需求，按照新的课程标准和教学大纲，为适应新时期测绘人才“宽口径、厚基础、强能力、高素质”的培养目标，以加强基础理论、注重基本方法和培养动手能力为出发点，在几代地球重力场方向教员几十年教学和科研成果的基础上，经集体讨论编写完成了本书。本书是在信息工程大学校内教材《位势理论》（王庆宾主编，2009年，本科用）的基础上修编而成，前者在编写过程又参考了信息工程大学已故知名教授陆仲连编写的《地球重力场理论与方法》（1996年，解放军出版社）和《球谐函数》（1988年，测绘出版社）的部分内容。本书的教学体系和主要内容与《位势理论》基本一致，与原教材相比，在内容上增加了正常重力场的内容，同时，对原教材中的部分内容进行了修改。在修编过程中为了便于学生掌握和应用，主要讲述了研究地球重力场所必需的基本概念、理论、性质和定理，在部分章节加入了这些性质和定理在物理大地测量学中的应用，同时为了便于理解和掌握某些性质，用Matlab绘制了一些三维图像，并用Mathematica（8.0版）编写了一些程序放在第6章中，希望能使这本书的学习和使用更加生动和有趣。18世纪末和整个19世纪，是数学、物理领域获得丰硕成果的时期，特别是大地测量学中应用的数学工具，很多是这个时期出现。重要的成果包括重力位函数、小二乘法、球谐函数、边值问题和椭球面上的大地测量数学问题。地球重力场基础就是在重力位函数概念的基础上发展起来的，是研究地球重力场的数学基础。一、地球重力场基础发展简介地球重力位是由地球质量引起的引力位与地球自转产生的离心力位之和，这一概念是法国的勒让德（Legendre）于1785年首先提出的。在一个参考坐标系中，引力位对于吸引点三个坐标方向的一阶导数，等于引力在三个坐标方向的分力，具有这种性质的函数称为力函数。1828年格林（Green）改称为位函数。由于研究地球形状就是研究重力等位面，而重力场的重力值又是重力位函数的一阶导数，因此，位函数把地球形状问题和地球重力场问题联系起来了。位函数是标量函数，用它来代替引力或重力的三个分力，便于理论推导，为后续的研究和应用奠定了基础。勒让德对地球重力场基础的另一个杰出的贡献是处理特殊函数的“勒让德多项式”（《行星外形的研究》，1784），他研究并论述了该多项式的性质。这一研究成果成为球谐函数重要的数学理论基础。勒让德与拉格朗日（Lagrange）和拉普拉斯（Laplace）并列为法国数学界的“三L”。天体力学的主要奠基人、与勒让德同时期的法国杰出的天文学家和数学家拉普拉斯对本课程的贡献在于：1784年至1785年，他求得天体对其外任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。现在我们定义的调和函数（或谐和函数）实质上就是拉普拉斯方程的解，而球谐函数就是拉普拉斯方程在球域的解。这条性质为终获得地球重力位的表达形式指明了研究方向。就地球重力场基础而言，还有一位杰出人物必须提及，就是40岁才进入剑桥大学学习的英国杰出的数学家、物理学家格林。格林首次研究了与求解数学物理边界值问题的解析概念有关的特殊函数——格林函数，并得出了著名的格林公式。格林公式在地球重力场基础中的重要应用，即格林公式在重力位中的应用和用格林方法解外部边值问题，实际上为物理大地测量中斯托克斯（Stokes）理论和莫洛坚斯基（Molodensky）问题的终形成奠定了数学基础。这些地球重力场基础理论的基本概念和数学原理被提出后，经过众多数学家（如狄利克雷（Dirichlet）、纽曼（Newman）、泊松（Poisson）等）的深入研究，形成了目前较为完善的体系。二、本课程的主要任务和内容本课程的主要任务是系统介绍地球重力场基础的基本原理、基本性质和基本方法，为以后的专业课学习及进一步研究物理大地测量学打下基础。本课程主要包括6章内容：第1章讲述位理论的概念和质体引力位的基本性质，是本书的基础理论部分；第2章讲述调和函数的概念、性质和格林公式及其在地球重力场中的应用；第3章讲述勒让德方程的两类解，即勒让德多项式和连带勒让德多项式概念、性质，在此基础上，重点讲述球谐函数的概念、积分公式、球函数展开、加法定理及求值方法，后简单讲述了椭球谐函数；第4章讲述三类边值问题的概念和球谐函数解；第5章讲述如何利用位理论、调和函数及其球谐函数的知识，对一个数学物理性质简单的近似地球重力场即水准椭球的重力场的性质展开研究，建立外部点的重力位、面上的重力及其实用公式，为进一步学习物理大地测量学的后续课程奠定了基础；第6章简要介绍目前国内外较流行的一个计算机代数系统Mathematica，并利用Mathematica编写了部分章节的相关程序，方便读者利用计算机快速学习掌握相对晦涩的数学理论与公式推导，提高学习的兴趣。三、本课程的主要作用和意义本课程主要为大地测量学专业的本科学生开设，地球重力场的研究是大地测量学的主要任务之一，而要系统掌握地球重力场的理论与方法，必须对地球重力场基础的主要内容进行充分学习和理解，这些内容是解决实际地球重力场这样一个异常复杂问题的数学工具和钥匙，即使在科学技术发展迅猛的今天，依然是了解和认识地球重力场的关键。本书主要由王庆宾、赵东明编写；吴晓平教授对本书的编写提供了宝贵的意见和建议；图表主要由赵东明和周世昌绘制，Mathematica程序主要由李全和彭卫良编写，并由黄佳喜、张超进行了修改和验证；同时，冯进凯、范昊鹏、常岑、吴亮、贾鲁等研究生做了大量校对工作，在此对他们表示深深的感谢。本书出版得到了信息工程大学地理空间信息学院教材专项经费资助。由于编著者知识有限，难免有谬误之处，敬请批评指正。

地球重力位是由地球质量引起的引力位与地球自转产生的离心力位之和，这一概念是法国的勒让德（Legendre）于1785年首先提出的。在一个参考坐标系中，引力位对于吸引点三个坐标方向的一阶导数，等于引力在三个坐标方向的分力，具有这种性质的函数称为力函数。1828年格林（Green）改称为位函数。由于研究地球形状就是研究重力等位面，而重力场的重力值又是重力位函数的一阶导数，因此，位函数把地球形状问题和地球重力场问题联系起来了。位函数是标量函数，用它来代替引力或重力的三个分力，便于理论推导，为后续的研究和应用奠定了基础。