有限元原理与程序可视化设计

有限元理论编写通俗易懂、简明扼要，内容适当，满足基本的工程需要；平面问题所占篇幅大，讲透平面问题，其他问题迎刃而解。有限元建模方法介绍实用详尽，选取例题涵盖面宽且具代表性。特色三：有限元程序实现输入输出的可视化。 

本书共三篇，分别为有限元原理、有限元建模、有限元可视化程序设计。有限元原理部分重点介绍*有限元课程特点的基本内容及程序设计思想，主要包括弹性问题、弹塑性问题、结构动力问题的有限元法；从实用角度介绍有限元建模方法、有限元可视化程序设计。做到理论体系完整，理论与应用并重。本书采用模块式结构，三篇内容相对独立，可根据需要选学。

梁清香，教授，硕士生导师。1987年本科毕业于太原理工大学应用力学专业，1995年硕士研究生毕业于西安交通大学振动冲击噪声专业。主编《有限元与MARC实现》（2003年2月，机械工业出版社）、《有限元与MARC实现》第2版（2005年4月，机械工业出版社），《理论力学》副主编（2000年8月，机械工业出版社）。主持科研项目5项，主持省级重点教研项目1项，获山西省教学成果一等奖1项，发表学术论文40余篇。

第1篇有限元原理

第1章有限元法概述

1.1有限元法的发展概况

1.2有限元法的主要优点

1.3有限元法在工程中的应用

1.4通用有限元软件简介

1.4.1通用有限元软件的共同之处

1.4.2几个通用有限元软件简介

1.5有限元法基本知识

1.5.1有限元法基本思想

1.5.2有限元法分类

1.5.3有限元法分析工程实际问题的一般过程

1.5.4单元位移函数的选取与收敛性分析

1.6预备知识

1.6.1弹性力学基本方程的矩阵表示

1.6.2变形体虚位移原理

习题

第2章平面问题的有限元法

2.1弹性力学平面问题

2.1.1平面应力问题

2.1.2平面应变问题

2.2三角形单元位移函数和形函数

2.2.1单元位移函数

2.2.2位移函数的收敛性

2.2.3形函数的性质

2.2.4位移函数和形函数的几何意义

2.3单元等效节点载荷向量

2.3.1集中载荷的等效节点载荷

2.3.2分布体力的等效节点载荷

2.3.3分布面力的等效节点载荷

2.4应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵

2.4.1应变矩阵

2.4.2应力矩阵

2.4.3单元刚度矩阵

2.4.4计算单元刚度矩阵的程序设计

2.5整体平衡方程与整体刚度矩阵

2.5.1由节点平衡建立整体平衡方程

2.5.2整体刚度矩阵的集成

2.5.3整体刚度矩阵的特点

2.5.4整体刚度矩阵的存储

2.5.5形成整体刚度矩阵的程序设计

2.6整体节点载荷向量

2.6.1整体节点载荷向量的集成

2.6.2注意事项

2.6.3形成单元节点载荷向量和整体节点载荷向量的程序设计

2.7约束条件的引入

2.7.1引入约束条件的过程

2.7.2几点说明

2.7.3引入约束条件的程序设计

2.8求解

2.9应力计算及结果整理

2.10较精密的平面单元

2.10.1矩形单元

2.10.2六节点三角形单元

2.11等参元

2.11.1母单元与子单元

2.11.2标准化坐标系下矩形单元族的形函数

2.11.3等参变换的性及等参元位移函数的收敛性

2.11.4等参元的单元刚度矩阵与单元等效节点载荷向量

2.11.5数值积分

习题

第3章空间问题的有限元法

3.1空间问题的离散化

3.2四面体单元

3.2.1位移函数

3.2.2应变矩阵、应力矩阵

3.2.3单元刚度矩阵

3.2.4体积坐标

3.2.5单元等效节点载荷向量

3.2.6高阶四面体单元

3.3六面体单元

3.3.1八节点六面体单元

3.3.2二十节点六面体单元

3.3.3单元刚度矩阵

3.3.4单元等效节点载荷

3.4五面体单元

3.5实体单元比较与选择

习题

第4章空间轴对称问题的有限元法

4.1空间轴对称问题概述

4.1.1空间轴对称问题的几何方程与物理方程

4.1.2空间轴对称问题的离散化

4.2单元位移函数

4.3应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵

4.3.1应变矩阵

4.3.2应力矩阵

4.3.3单元刚度矩阵

4.4单元等效节点载荷

习题

第5章杆系结构的有限元法

5.1杆系结构有限元法概述

5.2一维等直杆单元

5.2.1拉压杆单元

5.2.2扭转杆单元

5.3桁架结构的有限元法

5.3.1桁架结构概述

5.3.2桁架结构的有限元分析

5.4梁单元

5.4.1梁的基本公式

5.4.2平面弯曲梁单元

5.4.3平面自由式梁单元

5.4.4考虑剪切变形的梁单元

5.4.5空间梁单元

5.5刚架结构的有限元法

5.5.1刚架结构概述

5.5.2刚架结构的有限元分析

习题

第6章板壳问题的有限元法

6.1板壳弯曲问题有限元法概述

6.2板理论基础

6.2.1弹性力学薄板理论

6.2.2板的横向剪切变形理论

6.3薄板弯曲问题的有限元法

6.3.1离散化

6.3.2矩形薄板单元

6.3.3三角形薄板单元

6.3.4小片试验

6.3.5离散的基尔霍夫理论薄板单元

6.4厚板单元简介

6.5壳理论简介

6.6三角形平板薄壳单元

6.6.1局部坐标系中的单元刚度矩阵

6.6.2单元刚度矩阵从局部坐标系到整体坐标系的转换

6.6.3局部坐标的方向余弦

6.7轴对称壳单元

6.7.1轴对称薄壳理论

6.7.2薄壳截锥单元

习题

第7章结构动力问题的有限元法

7.1引言

7.2结构离散化与动力平衡方程

7.2.1结构离散化与动载荷

7.2.2动力平衡方程

7.3集中质量矩阵和一致质量矩阵

7.3.1几个简单单元的集中质量矩阵和一致质量矩阵

7.3.2质量矩阵的特点

7.4自由振动分析

7.4.1特征值问题

7.4.2几种求解特征值问题的方法概述

7.5动力响应分析

7.5.1阻尼模型

7.5.2振型叠加法

7.5.3直接积分法

习题

第8章弹塑性问题的有限元法

8.1弹塑性有限元法概述

8.2弹塑性理论基础

8.2.1材料的塑性性质

8.2.2Mises屈服准则及硬化定律

8.2.3PrandtlReuss塑性流动增量理论

8.3弹塑性有限元法

8.3.1弹塑性有限元法的应力应变关系

8.3.2弹塑性有限元方程

8.3.3弹塑性有限元方程的求解

习题

第2篇有限元建模

第9章有限元模型

9.1有限元模型的重要性

9.2有限元模型的定义

9.2.1分析问题类型

9.2.2几何模型

9.2.3单元类型的选择

9.2.4网格布局及网格划分

9.2.5边界条件

9.2.6材料参数与几何特性

习题

第10章有限元建模过程

10.1有限元建模的一般过程

10.2有限元建模举例

习题

第3篇有限元程序可视化设计

第11章面向对象的程序设计概述

11.1面向对象的基本概念

11.1.1对象的基本概念

11.1.2对象的特征

11.1.3对象的要素

11.1.4面向对象的开发方法

11.1.5面向对象的模型

11.2面向对象的分析

11.2.1对象的分析

11.2.2建立对象模型

11.2.3建立动态模型

11.2.4建立功能模型

11.2.5确定操作

11.3面向对象的设计

11.3.1面向对象设计的准则

11.3.2面向对象设计的启发规则

11.3.3系统设计

11.3.4对象设计

11.4面向对象的实现

11.4.1程序设计语言

11.4.2类的实现

11.4.3应用系统的实现

11.4.4面向对象测试

11.5面向对象和基于对象的区别

第12章平面问题可视化程序设计

12.1程序总体框架与主要功能

12.2原始数据准备及录入界面

12.3数据输入验证及纠错

12.4单元网格图及计算结果的显示

12.4.1单元网格图显示程序

12.4.2节点位移图显示程序

12.4.3单元应力图显示程序

12.5原始数据生成与保存

12.6计算部分处理框图

12.7算例

12.8程序代码

参考文献

有限元法从20世纪50年代中期发展至今，已成为工程实际中有效、应用广的一种数值方法，已在教学、科研及工程应用中普及使用，并取得了丰硕成果。
2018年6月，“新时代全国高等学校本科教育工作会议”在四川大学召开，*党组书记、部长陈宝生在会议的讲话中明确指出： “要着力推进课程内容更新，将学科研究新进展、实践发展新经验、社会需求新变化及时纳入教材。”本书中有限元建模技术、有限元可视化程序设计就是根据实践发展新经验、社会需求新变化纳入有限元教材中的新内容。目前尚未发现与本教材中有限元建模实例与有限元可视化程序设计方面类似的书籍。
有限元理论和有限元软件之间存在着巨大鸿沟，而有限元模型就是在这一鸿沟上架起的桥梁。利用有限元理论建立正确合理的有限元模型已成为衡量工程技术人员有限元应用水平的重要标志。没有正确的有限元模型，无法达到应用商用有限元软件解决工程实际问题的目的。在新工科背景下，掌握有限元建模技术对提高学生应用有限元方法解决工程实际问题的能力起到决定性的作用。
有限元程序设计作为有限元理论实现的一部分，一直作为有限元教材的重要内容，但到目前为止，有限元程序设计仍停留在数据文件时代，不能满足随时可以看到结果、程序与结果调整同步的可视化社会需求。可视化技术的发展与相应有限元商用软件极具诱惑的前后处理功能已为有限元程序设计提供很好的参考，推广可视化程序设计，对创新能力培养将起到积极作用。
本书力求提供具有现代特色的教学内容。在教材的编写上，做到阐述简明扼要，深入浅出。在教材的内容体系上，综合考虑有限元方法的基本原理、建模技术、可视化程序设计方法，使学生在学习原理的基础上，一方面学会建模方法，为应用商用有限元软件架起桥梁，一方面学习可视化编程技术，为学生开发特定问题的可视化应用软件提供完整的操作示范。使学生在实践基础上深刻理解和掌握有限元原理，达到使用有限元软件与开发新软件解决工程实际问题的目的。
本书结合编著者20多年来的教学经验及丰富的商用有限元软件应用经验，以近几年工程力学专业本科生使用的讲义为蓝本编写而成。在编写过程中，主要参考了梁清香、张根全编著的《有限元与MARC实现》（机械工业出版社，2003年1月）和梁清香主编的《有限元与MARC实现》第2版（机械工业出版社，2005年4月），同时还参阅了国内有关教材和网上图片，在此一并致谢。
全书内容共3篇12章。第1章至第8章介绍有限元基本原理，循序渐进地阐述弹性问题、弹塑性问题、结构动力问题的有限元理论，使读者了解工程中常见结构静力分析与动力分析的有限元原理。第9章至第10章介绍有限元建模知识，并通过例题分析给出有限元模型图示。第11章至第12章介绍有限元可视化编程技术，并附例题的VB源程序与详细解读。第1章至第10章提供适当数量习题，配合教学使用。
本书由梁清香主编。其中第1章、第2章、第4章、第5章、第6章、第9章、第10章由梁清香编著，第3章由贾有编著，第7章由张伟伟编著，第8章由陈慧琴编著，第11章、第12章由刘利亭编著，全书由梁清香统稿审定。
本书的编写工作得到太原科技大学工程力学2017山西省优势专业建设项目的资助，在此表示衷心感谢。
在本书编写过程中得到多方面的关心和支持，北京理工大学宁建国教授、太原理工大学王志华教授对本书提出了许多有益的建议，在此深表感谢。清华大学出版社有关工作人员对本书的出版做了大量工作，谨此表示诚挚的谢意。
教材中有限元建模例题的分析与图示、有限元可视化程序设计都是首次尝试，难免有不尽如人意之处； 限于编者水平，书中的疏漏与不妥之处也在所难免，欢迎读者指正。
编者2018年9月

第3章空间问题的有限元法

本章主要介绍空间问题的有限元法。本章介绍的单元以常应变四面体单元与六面体单元为主。
3.1空间问题的离散化
工程中绝大部分结构属于空间结构，当结构的形状、尺寸、载荷及约束条件不具备某种特殊性时，就应按空间问题分析。空间问题有限元法的原理、思路和解题方法完全类同于平面问题的有限元法，所不同的是它具有三维的特点。空间问题离散化模型仍然是由若干单元在节点处连接而成的，而且节点仍为铰接，但是这些单元具有块体形状。常用的单元形状如图31所示，每种形状包括线性、二次或更高阶次的单元，有形状规则的，有形状不规则的,其中图31(a)为四面体单元，图31(b)为五面体单元，图31(c)为六面体单元。这些单元统称为实体单元。

图31空间问题单元类型

有限元位移法中，实体单元的基本未知量仍为节点位移，但是有三个分量u、v、w。空间问题的分析方法仍然是先进行单元分析，再进行整体分析，后求解整体平衡方程。但必须指出，由平面问题转换为空间问题给有限元分析带来了两个主要困难：
(1) 空间结构离散化不像平面问题直观，人工离散时很容易产生错误。
(2) 未知量的数量剧增，对于比较复杂的空间问题，计算机的存储容量和计算费用均会产生问题。
为解决上述两个问题，前者可通过寻找规律，从而建立网格自动生成前处理程序来克服，而后者则可采用高阶单元以提高单元精度，达到减少未知量和节省机时的目的。
3.2四面体单元
3.2.1位移函数

图32所示为四面体单元，四个角点为节点，每个节点有三个位移分量u、v、w，即

图32四节点四面体单元

δi=uiviwiT

于是单元的节点位移向量为

δe=u1v1w1u2v2w2u3v3w3u4v4w4T

单元内任一点的位移由x、y、z三个坐标方向的三个位移分量u、v、w确定，即位移向量为

f=uvwT

下面由待定系数法确定位移函数。
单元的自由度数为12，u、v、w的总项数为12，所以u、v、w各有四项，由于每个位移是x、y、z的函数，于是按照多项式从低阶到高阶的原则，得位移函数的表达式为

u=α1 α2x α3y α4z
v=α5 α6x α7y α8z
w=α9 α10x α11y α12z

将节点1、2、3、4的坐标xi、yi、zi及相应的节点位移值ui、vi、wi代入上式，解联立方程组即可确定αi，再回代，便得到u、v、w的表达式。将表达式整理成如下形式：

u=∑4i=1Niui
v=∑4i=1Nivi
w=∑4i=1Niwi
(31)

其中Ni=16V(ai bix ciy diz)，i=1,2,3,4。Ni称为形函数，它具有与平面问题相似的性质。V=161x1y1z1
1x2y2z2
1x3y3z3
1x4y4z4为四面体的体积，为了不使V为负值，单元四个节点的编排应遵循右手螺旋定则，即从后一个节点看去，前三个节点为逆时针排列。a i、b i、c i、d i只与节点坐标有关，具体表达式如下：

a1=x2y2z2
x3y3z3
x4y4z4，b1=－1y2z2
1y3z3
1y4z4，c1=－x21z2
x31z3
x41z4，d1=－x2y21
x3y31
x4y41
(32)

其余类推。
式(31)可写成如下的矩阵形式：

f=Nδe

而N=N100N200N300N400
0N100N200N300N40
00N100N200N300N4为形函数矩阵。
由于位移函数是完整的一次式，故满足完备性要求； 同样由于位移函数是线性的，在相邻单元接触面上的位移可由该面上节点的位移值确定，因此位移函数满足协调性要求。所以四面体单元是完备的协调单元。