近场动力学理论及其应用

结构的疲劳、损伤、断裂与破坏是在航空、航天、土木、机械、交通、水工等领域经常遇到且尚未很好解决的结构分析难题。现行的结构力学模型和数值方法，有限元方法、边界元方法和有限差分方法等，都是基于经典的连续介质力学和热力学理论，根据物体内变形和应力的连续性，利用能量、动量和质量守恒原理，引入材料的应力–应变关系，将结构体系的静态或动态问题转化为偏微分方程的初、边值问题；进而将其离散成线性，或非线性方程，或时程积分方程，进行数值求解。但是，当结构在长时间、复杂荷载或超限荷载作用下，材料内部发生微结构演变、裂纹萌生和扩展时，原本连续的位移、应力场将不再连续，从而导致裂纹尖端、界面等部位的应力奇性，使原平衡方程失效，致使连续的模型和算法无法定解。

在材料损伤、断裂与裂纹扩展的研究中，目前使用较为广泛的是内聚区单元(Cohesive Zone Element, CZE)和扩展有限元方法(eXtended Finite Element Method, XFEM)。CZE单元通常被放置在相邻单元的界面上，裂纹只能沿预设的单元扩展，具有极强的网格依赖性。XFEM方法是通过引入额外的节点自由度和局部强化函数(Enrichment function)，以表征裂纹面两侧的位移不连续性。它允许裂纹沿任意方向扩展，但是要求裂纹在相邻单元的界面上保持连续，这对于三维问题及处理裂纹分叉与裂纹相互作用时会招致较大的计算复杂性。

为了突破既有结构力学模型和数值方法对分析疲劳、损伤、断裂及颗粒复合材料结构问题的制约，美国Sandia国家实验室的Stewart Silling博士基于空间积分方程和非局部作用思想，重新构建了弹性力学基本方程，使之在连续和不连续区域均有定义，规避了按连续介质力学方法处理不连续问题的困难，实现了按统一的框架进行结构分析建模，分析疲劳损伤、裂纹萌生与断裂演化问题，建立了近场动力学（Peridynamics）的理论和算法。

由于近场动力学在处理损伤、断裂问题方面具有独特优势，裂纹可以自然萌生和自由扩展，不需要预设扩展路径，并允许多条裂纹相互作用。故自2000年问世以来，已受到广泛关注，发展极为迅速，已经从单纯的模型和方法研究迈入了精细分析和工程应用，众多学者已经将近场动力学的理论和方法应用于岩土力学、功能梯度材料、土木工程和复合材料结构分析。近场动力学已经发展成为固体力学的一个新兴分支。

由于近场动力学的概念和参量与传统固体力学具有一定差异，给初学者带来一定困难。为了使初学者尽快迈入近场动力学领域，我们特给读者推荐这本《近场动力学理论及其应用》的专著。本书由美国亚利桑那大学的Madenci教授和Oterkus博士所著，他们对近场动力学已有深入研究，本书是在其研究成果基础上，吸纳了相关文献，系统整理而成

本书的理论部分是关于常规态型的近场动力学，作者应用图示直观地解释了近场动力学参量的物理意义，叙述具有系统性和数学上的简洁性。全书分为两部分：*部分为前七章，包括近场动力学基本理论、损伤描述和数值方法；第二部分为后六章，侧重于近场动力学应用，包括基准问题的求解，与有限元方法的耦合，热传导问题，热–力耦合问题等。书中还给出了可供下载的近场动力学Fortran程序的网址和众多算例的计算参数，有利于读者通过算例理解近场动力学的理论和方法，独立编写计算程序。

在结束本序言之前，我们向余音、胡祎乐博士表示诚挚的感谢，感谢他们为读者轻松迈入近场动力学的门槛提供了便利，为近场动力学在中国的发展和应用付出了心血，做出了奉献。

是为序。

中国工程院院士， 中国科学院数学与系统科学院研究员

崔俊芝                         

             中国力学学会计算力学专业委员会副主任，河海大学教授

章青

 

本书介绍了近场动力学的基础理论以及与经典局部理论之间的联系；此外，也介绍了基于近场动力学方法的各向同性材料和复合材料层合板的建模方法，以及材料损伤的表征方式。书中详细介绍了用于近场动力学分析的数值计算方法和具体实施步骤，并且为读者提供了丰富的基准算例以及众多求解静力学、动力学问题的应用算例。这些算例有助于读者更直观地理解近场动力学理论和分析方法。同时，本书也侧重于介绍与近场动力学方法相关的耦合分析方法，包括近场动力学和有限元方法的耦合，以及近场动力学热–力耦合的分析方法。本书可为研究近场动力学的学生和研究人员提供理论基础和实际应用的帮助。

1 绪论 13

1.1 经典局部理论 13

1.1.1 失效预测方面的缺陷 13

1.1.2 改进方法 14

1.2 非局部理论 16

1.2.1 近场动力学理论的基础 19

1.2.2 特点与现状 19

参考文献 25

2  近场动力学理论 33

2.1 基本概念 33

2.2 变形 34

2.3 力密度 35

2.4 近场动力学状态 37

2.5 应变能密度 38

2.6 运动方程 39

2.7 初始条件和约束条件 42

2.7.1 初始条件 43

2.7.2 约束条件 44

2.7.3 外载荷 45

2.8 守恒定律 48

2.9 键型近场动力学 51

2.10 常规态型近场动力学 53

2.11 非常规态型近场动力学 54

参考文献 59

3 局部作用的近场动力学 60

3.1 运动方程 60

3.2 柯西应力与近场动力学力（密度）的关系 61

3.3 应变能密度 63

4 近场动力学各向同性材料模型 67

4.1 材料参数 67

4.1.1 三维结构 70

4.1.2 二维结构 74

4.1.3 一维结构 79

4.2 表面效应 80

参考文献 86

5 近场动力学复合材料层合板模型 88

5.1 基础 88

5.2 纤维增强复合材料单层板 89

5.3 复合材料层合板 92

5.4 近场动力学的材料常数 102

5.4.1 单层板的材料常数 103

5.4.2 横向变形的材料常数 113

5.5 表面效应 119

参考文献 129

6 损伤预测 130

6.1 临界伸长率 130

6.2 损伤起始 134

6.3 局部损伤 135

6.4 失效载荷与裂纹扩展路径预测 136

参考文献 138

7 数值方法 140

7.1空间离散 141

7.2体积修正 143

7.3时域积分 144

7.4数值稳定性 147

7.5自适应动力松弛法 150

7.6数值收敛 152

7.7表面效应 155

7.8 初始条件和边界条件的施加 156

7.9 预置裂纹和不失效区 156

7.10 裂纹扩展的局部损伤 157

7.11物质点的空间划分 159

7.12并行计算的利用和载荷平衡 161

参考文献 163

8 基准算例 164

8.1 杆的轴向振动 164

8.2 受拉伸的杆 166

8.3 受单轴拉伸或均匀温度变化的各向同性平板 168

8.4 受单轴拉伸和均匀温度变化的单层板 171

8.5 受拉伸载荷的长方体 174

8.6 受横向载荷的长方体 177

8.7 受压缩载荷的长方体 179

8.8 内部具有球形空心的长方体受径向内压 183

参考文献 185

9 非冲击问题 186

9.1含圆孔平板受准静态拉伸载荷 186

9.2含裂纹平板边界施加快速载荷 189

9.3双材料板受到均匀温度变化 193

9.4矩形板作用温度梯度 195

参考文献 197

10 冲击问题 197

10.1冲击模型 198

10.1.1刚性冲击物 198

10.1.2 柔性冲击体 199

10.2有效性验证 199

10.2.1 两个相同的柔性杆的撞击 199

10.2.2矩形板受刚性圆盘冲击 202

10.2.3 Kalthoff-Winkler 试验 205

参考文献 208

11 近场动力学理论和有限元方法的耦合 209

11.1 直接耦合 210

11.2 直接耦合法的有效性验证 215

11.2.1 杆受拉伸载荷 215

11.2.2 带孔板受拉伸载荷 218

参考文献 220

12 近场动力学热扩散 222

12.1 基础理论 222

12.2 非局部性热扩散 222

12.3 态型PD热扩散 224

12.4 热通量和近场动力学热流状态的关系 229

12.5 初值和边界条件 231

12.5.1 初值条件 233

12.5.2 边界条件 234

12.6 键型近场动力学热扩散 237

12.7 热响应函数 238

12.8 近场动力学微导热系数 239

12.8.1 一维分析 239

12.8.2 二维分析 239

12.8.3 三维分析 240

12.9 数值过程 241

12.9.1 离散方式和时间步长 242

12.9.2 数值稳定性 243

12.10 表面效应 245

12.11 数值验证 248

12.11.1 具有温度边界条件的厚板 248

12.11.2 具有热对流边界条件的厚板 249

12.11.3 具有绝热边界的平板受热冲击载荷 252

12.11.4 具有温度和绝热边界的长方体 254

12.11.5 具有绝热裂纹的异质材料 256

12.11.6 具有两个绝热斜裂纹的厚板 261

参考文献 265

13 近场动力学与热力学的完全耦合 268

13.1 局部理论 269

13.2 非局部理论 270

13.3 近场热力学 271

13.3.1具有结构耦合项的近场动力学热传导 271

13.3.2具有热耦合项的近场动力学变形 274

13.3.3键型近场热力学 276

13.4 热力学方程的无量纲形式 277

13.4.1特征长度和时间尺度 278

13.4.2无量纲参数 278

13.5 数值方法 281

13.6 验证 284

13.6.1半无限长杆受热载荷 284

13.6.2有限长杆的热弹性振动 287

13.6.3板受到压力冲击、温度冲击以及压力和温度组合冲击 289

13.6.4材料块受热载荷 293

参考文献 300

[译序]

近场动力学方法采用积分形式的控制方程，它避免了对裂纹尖端位移场的空间导数，可有效减小裂尖的奇异性。近场动力学方法不需要预置裂纹起始位置和扩展路径，可以模拟多裂纹在三维空间内的复杂交互作用，可以同时分析裂纹扩展和场量扩散的过程。此外，近场动力学方法是一种考虑非局部作用的方法，其作用范围可根据问题的时空尺度调整，具有在统一的计算框架内进行多尺度分析的能力。

 

近场动力学方法特别适用于模拟和分析具有复杂破坏机理和多裂纹共存的不连续问题，已在多个领域的研究中得到应用。经过十几年的发展，国内、外已有众多学者长期关注近场动力学方法，并取得了丰硕的研究成果。为了进一步推动近场动力学方法在我国的发展和应用，需要凝聚更多学者和科研人员的智慧和创新工作，也需要做好基础理论的传播，为初学者投入到近场动力学研究工作提供便利。

 

本书为英文书籍《Peridynamic Theory and Its Applications》的译著，主要阐述了近场动力学基础理论，各向同性材料近场动力学模型，复合材料层合板近场动力学模型，损伤预测方法，数值计算方法，近场动力学热扩散理论及其与机械变形的完全耦合分析。本书非常适合固体力学和复合材料力学专业的研究生了解和学习近场动力学基本概念；此外，本书翻译语言通俗易懂，图文并茂，通过大量的基准算例为读者提供了学习近场动力学基本原理和方法的有效途径。此外，本书引用了多篇参考文献，也非常值得读者仔细研读。

 

本书编写得到了孙璐妍、张劲松、刘肃肃、王其政、张卓越、陈欣华等研究生们的热情帮助，在此表示感谢。本书在编写过程中难免有疏漏错误之处，恳请读者指正。

 

谨以此书奉献给近场动力学邻域的工作者和学子们，祝愿我国近场动力学研究不断突破，人才辈出，硕果累累。

 

余音  胡祎乐

2019年于上海交通大学