描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302477815丛书名: 清华大学优秀博士学位论文丛书
编辑推荐
“清华大学优秀博士学位论文丛书”（以下简称“优博丛书”）精选自2014年以来入选的清华大学校级优秀博士学位论文（Top 5%）。每篇论文经作者进一步修改、充实并增加导师序言后，以专著形式呈现在读者面前。“优博丛书”选题范围涉及自然科学和人文社会科学各主要领域，覆盖清华大学开设的全部一级学科，代表了清华大学各学科*秀的博士学位论文的水平，反映了相关领域*的科研进展，具有较强的前沿性、系统性和可读性，是广大博硕士研究生开题及撰写学位论文的参考，也是科研人员快速和系统了解某一细分领域发展概况、*进展以及创新思路的有效途径。
内容简介
几何分析是微分几何里的一个重要研究分支，其中一个热点就是几何曲率流的引入和广泛研究. 本书主要研究了平均曲率流的自相似解的性质和逆平均曲率流在几何中的应用，得到了一系列成果. 本书适合数学专业高年级本科生及微分几何方向研究生阅读，对从事微分几何和几何分析研究方向的科研人员也具有参考价值.
目 录
第1章引言 .1
1.1问题背景和主要结果 1
1.1.1 Self-shrinker的体积增长估计.3
1.1.2 Self-shrinker的分类 5
1.1.3 Self-shrinker的F-稳定性.7
1.1.4曲率流的非坍塌估计 9
1.1.5曲率流在证明几何不等式中的应用 11
1.2结构安排与内容方法 14
第2章预备知识 . 17
2.1 Self-shrinker的例子 17
2.2活动标架法 21
2.3 Self-shrinker的Simons型公式 22
2.4非坍塌估计的几何意义 . 27
2.5曲率流的演化方程 29
第3章 Self-shrinker的体积增长估计 35
3.1 Self-shrinker的体积增长上界估计 35
3.2 Self-shrinker的体积增长下界估计 38
第4章 Self-shrinker的分类 . 49
4.1 Self-shrinker的光滑性估计 49
4.2定理1.2的证明 . 52
4.3高余维self-shrinker的刚性定理 62
曲率流的自相似解和应用
4.3.1余维数为2的self-shrinker 63
4.3.2维数为2的self-shrinker
. 65
4.3.3法联络平坦的self-shrinker 67
第5章 Self-shrinker的F-稳定性 69
5.1 F-泛函的一阶变分公式 69
5.2 F-泛函的二阶变分公式 72
5.3 F-稳定性和二次型I的特征值 75
5.4闭self-shrinkers的F-稳定性 . 77
5.5完备非紧致self-shrinkers的F-稳定性 84
第6章空间形式中曲率流的非坍塌估计 . 89
第7章逆曲率流在证明几何不等式中的应用 . 95
7.1在逆曲率流下单调的几何量 95
7.2单调几何量的渐近估计 . 96
7.3定理1.8的证明 . 99
第8章结论 . 101
8.1本论文的主要工作 101
8.2可进一步开展的研究工作 102
参考文献 . 105
在学期间发表的学术论文 115
致谢 117
前 言
导师序言几何分析是微分几何里的一个重要研究分支，出现于 20世纪 70年代中期，其主要目的是用分析和微分方程的方法来解决微分几何的问题 .同时，微分几何的研究又提供了大量有几何意义的微分方程，这从某种意义上也促进了微分学的发展 .因此，近 40年来几何分析得以迅速发展，而其中一个热点则为几何曲率流的引入和广泛研究.几何曲率流是一类关于流形或子流形的几何结构的发展方程，其研究的主要目的可概括为：为了研究一个流形或子流形的几何结构，可以研究它在曲率流下的演变过程，进而研究曲率流的极限或者奇点的形成，借此得到该流形或子流形的几何结构的描述 .几何流之所以受到广泛研究，是因为它在解决几何问题时的强有效性 .这方面有很多著名的例子.对于一般的流形而言，著名的当属 R. Hamilton引入的 Ricci流.应用Ricci流， G. Perelman于2002年成功解决了著名的庞加莱猜想； S. Brendle和R. Schoen于2007年应用 Ricci流证明了 1/4微分球定理 .其他的几何流，如Kahler-Ricci流、辛几何流、 Yang-Mills流等近年来也得到了广泛的研究和应用，对于研究流形的几何结构起到了很大的作用 .对于子流形的研究而言，平均曲率流和逆曲率流则是两类非常重要的几何流，对于研究子流形的几何结构以及证明一些几何不等式有很重要的作用.韦勇的博士学位论文研究了上述几何曲率流涉及的诸多研究课题，并得到了一系列很有理论价值的重要研究成果. 1.在平均曲率流的研究中，自相似解的 self-shrinker描述了平均曲率流的奇点形成 .其体积增长性质则是一个有重要意义的研究课题，例如在进行 self-shrinker的分类研究中，体积增长估计是一个必不可少的条件 .在本文部分，韦勇通过细致的研究，发现了 Ricci流中的梯度型自相似收曲率流的自相似解和应用缩孤立子与 self-shrinker满足的微分方程的相似性，进而借鉴梯度型自相似收缩孤立子研究中类似的方法，建立了 self-shrinker体积增长的下界估计，即任意完备非紧致的逆紧浸入 self-shrinker都具有至少线性的体积增长. 2. Self-shrinker在超曲面情形下已有了广泛的研究，而高余维情形由于余维数的增加和法曲率的出现导致了研究难度加大，因此这方面的研究结果不多 .在本文第二部分，韦勇应用子流形几何中的许多经典方法，研究了高余维情形下 self-shrinker的一些分类定理、刚性定理以及 F-稳定性，推广了超曲面 self-shrinker的许多著名定理 .本部分的研究成果极大地推动了此问题的研究进展，同时也让子流形几何的研究方法在几何分析领域中得到关注.
3. Ben Andrews在2010年用极大值原理简洁地证明了欧氏空间中平均曲率流的非坍塌估计，此结果之后被推广到了欧氏空间中超曲面的 F -曲率流. Ben Andrews的思想和方法已被应用到微分几何中几个重要问题的研究，例如， S. Brendle解决了 Lawson猜想，即三维球面中任何嵌入极小环面必为 Cli.ord环面； Ben Andrews与我合作解决了 Pinkall-Sterling猜想，即三维球面中任何嵌入常平均曲率环面必为旋转环面， Ben Andrews与我还给出三维球面中所有嵌入常平均曲率环面的完全分类 .此外，非坍塌估计在平均曲率流的奇点形成以及手术过程的研究中也有重要应用 .本文第三部分，韦勇将欧氏空间中曲率流的非坍塌估计推广到了球面和双曲空间中的超曲面的F -曲率流，这将有助于此类曲率流的研究 .
4.正如前文提到，几何曲率流的重要性在于它在解决几何问题中的应用.在本文后一部分，韦勇应用双曲空间中的逆曲率流建立了双曲空间中星形 2-凸超曲面的一类的 Alexandrov-Fenchel型不等式 . Alexandrov-Fenchel型不等式是经典的等周不等式的推广，可应用到几何与物理的其他诸多课题，例如可应用到渐近平坦图流形的 Penrose不等式证明中 .本结果是双曲空间中个的 Alexandrov-Fenchel型不等式，该研究成果随后引发了国内外其他学者的后续系列研究工作.
3. Ben Andrews在2010年用极大值原理简洁地证明了欧氏空间中平均曲率流的非坍塌估计，此结果之后被推广到了欧氏空间中超曲面的 F -曲率流. Ben Andrews的思想和方法已被应用到微分几何中几个重要问题的研究，例如， S. Brendle解决了 Lawson猜想，即三维球面中任何嵌入极小环面必为 Cli.ord环面； Ben Andrews与我合作解决了 Pinkall-Sterling猜想，即三维球面中任何嵌入常平均曲率环面必为旋转环面， Ben Andrews与我还给出三维球面中所有嵌入常平均曲率环面的完全分类 .此外，非坍塌估计在平均曲率流的奇点形成以及手术过程的研究中也有重要应用 .本文第三部分，韦勇将欧氏空间中曲率流的非坍塌估计推广到了球面和双曲空间中的超曲面的F -曲率流，这将有助于此类曲率流的研究 .
4.正如前文提到，几何曲率流的重要性在于它在解决几何问题中的应用.在本文后一部分，韦勇应用双曲空间中的逆曲率流建立了双曲空间中星形 2-凸超曲面的一类的 Alexandrov-Fenchel型不等式 . Alexandrov-Fenchel型不等式是经典的等周不等式的推广，可应用到几何与物理的其他诸多课题，例如可应用到渐近平坦图流形的 Penrose不等式证明中 .本结果是双曲空间中个的 Alexandrov-Fenchel型不等式，该研究成果随后引发了国内外其他学者的后续系列研究工作.
本论文的研究对象属于当前几何分析的热点研究领域，论文的研究成果引出了许多相关的且前景广阔的研究课题 .例如对于高余维的 self-shrinker的分类和 F-稳定性的研究，目前得到完整的分类或刻画尚有很多困导师序言 难.本文提供了大量的研究方法和技巧，对于此问题的进一步研究有很好的借鉴意义 .对于曲率流的非坍塌估计，本文将欧氏空间中的情形推广到了空间形式中，自然地可进一步考虑任意黎曼流形中曲率流的非坍塌估计 .在这方面， Brendle以及 Haslhofer-Hershkovits近取得了部分进展 .后，本文应用逆曲率流建立了双曲空间中的一类 Alexandrov-Fenchel不等式，因此也自然地可以考虑在其他外围空间中建立类似的几何不等式，并激发人们去研究几何曲率流的更多应用.本论文适合数学专业高年级本科生以及微分几何方向的研究生阅读，对从事微分几何和几何分析研究的科研人员也具有参考价值.李海中清华大学数学科学系 2017年 7月
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第 1章引言
1.1问题背景和主要结果自从 1982年R.Hamilton[6]引入 Ricci流，并证明具有正 Ricci曲率的三维黎曼流形在 Ricci流下能收敛至球面后，几何曲率流的研究在几何分析中就占有重要的地位 .其中平均曲率流的研究尤为突出 .事实上在1978年，Brakke[7]早就引入了平均曲率流，并从几何测度论的角度研究了曲面沿着平均曲率流的运动 .基于 Hamilton[6]关于 Ricci流的研究，Huisken[8]在1984年从微分几何的观点研究了平均曲率流 .设X0 : Mn → Rn p是一个浸入子流形，以 X0为初值的平均曲率流为下面这一族浸入X : Mn × [0,T ) → Rn p满足 . X(x, t)= H(x, t), X(·, 0) = X0. (1.1).t 这里 H为Mt = X(M, t)的平均曲率向量 .在超曲面情形，即 p =1时，H = .Hν，ν为单位外法向量， H为平均曲率 .熟知面积泛函的梯度向量为负的平均曲率向量， dd tVol(Mt)= . l .tX, H）dμt. (1.2)Mt 因此沿着平均曲率流(1.1)，子流形Mt的面积以快的速度减少，且 d Vol(Mt)= . l|H|2dμt. (1.3)dtMt 即平均曲率流为面积泛函的负梯度流. 由极大值原理，如果两个初始超曲面不相交，则在平均曲率流下任何时刻流超曲面都不相交 .因此如果初始超曲面为闭的子流形，通过与包含这个超曲面的球面作比较，以闭超曲面为初值的平均曲率流必在有限时间内消失.平均曲率流的一个主要研究兴趣是在流消失之前会发生什么？ 1984年，Huisken[8]证明了欧氏空间Rn 1中的凸超曲面（维数 n》 2）在平均曲率流下有限时间内必定收缩为一个球形的点：即在做适当的伸缩变换后，相应的曲率流收敛至一个圆球 .之后 1986年，Huisken[9]将上述结果推广到任意黎曼流形中的超曲面，再加上某些曲率和凸性条件，证明了类似于 [8]中的结果 . 1986年，Gage-Hamilton[10]对曲线收缩流，即维数 n =1的平均曲率流，证明了如果初始曲线为简单闭的凸曲线，则在有限时间内，曲线流收缩为一个圆形的点 .接着在 1987年，Grayson[11]证明了任何简单闭曲线必在有限时间内变成凸曲线，从而由 Gage-Hamilton的定理，终曲线将收缩为一个圆形的点 .对于 n》 2的平均曲率流则没有这么好的性质 .在1989年，Grayson[12]构造了一个具有细长轴的哑铃，沿着平均曲率流在两边的球还没消失前中间的轴就断开了，这个断点就是一个奇点（事实上在这个奇点的爆破极限是一个圆柱面，而不是圆） .因而 Grayson关于曲线流的定理 [11]在n》 2时是不成立的 .从而平均曲率流 (n》 2)的研究重点则为奇点形成的研究.准确地说，我们称 p ∈ Rn 1为平均曲率流的一个奇点，如果当 t → T时，X(x, t) → p且第二基本形式 |A|(x, t) →∞. 1990年，Huisken[13]通过单调性公式研究了平均曲率流的类奇点，即满足 |A|(x, t)《 √ C/ T . t的奇点.在规范化之后，Huisken证明了平均曲率流在类奇点处的爆破极限为满足 1 H = . X⊥ . (1.4)2 的欧氏空间中的子流形.我们称式(1.4)为Self-shrinker方程,称满足式(1.4)的欧氏空间中的子流形为 self-shrinker.之后 Ilmanen[14]和White[15]用几何测度论的观点将 Huisken的结论推广到任意类型的奇点 .因此 self-shrinker的研究是平均曲率流里的一个重要课题 .关于平均曲率流的一些重要论文，见文献 [2, 7–9, 13, 16–27]等，另外也可参见介绍平均曲率流的文献 [28–30]. 本论文的前三部分主要研究满足 self-shrinker方程 (1.4)的欧氏空间中子流形的性质，包括体积增长估计、分类和刚性问题，以及 F-稳定性问题.在几何曲率流的研究里，除了平均曲率流外，还有其他的流，如 Gauss曲率流、数量曲率流、逆平均曲率流等 .在超曲面情形，上面的平均曲率向量满足 H = .Hν,其中 H, ν分别为超曲面的平均曲率和外法向方向 .将H替换为关于超曲面主曲率 κ =(κ1,κ2, ··· ,κn)的函数 F = F (κ1,κ2, ··· ,κn)，可以定义下面的超曲面 F -曲率流 .给定一个超曲面 X0 : Mn → (Nn 1 ,gˉ)，我们称 X : Mn × [0,T ) → (Nn 1 ,gˉ)为以 X0为初值的超曲面 F -曲率流，如果 .X(x, t) = .F (x, t)ν(x, t),X(·, 0) = X0. (1.5).t 在外围空间 (Nn 1 ,gˉ)为欧氏空间，可以证明有一大类的 F -曲率流可将凸超曲面 M0收缩为一个圆点（可参见 Ben Andrews的论文 [31]），即有类似于Huisken[8]的定理.本论文第4章我们研究球面和双曲空间中的F -曲率流的非坍塌估计 .将Ben Andrews[3, 4]等人关于欧氏空间中 F -曲率流的非坍塌估计推广到球面和双曲空间中的F -曲率流.几何曲率流一直是近 30年的热门研究课题，其原因之一在于它在几何与拓扑中的广泛应用 .本论文的后一部分将运用 Gerhardt[5]的双曲空间中逆曲率流的收敛性定理来证明双曲空间中星形、 2-凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型几何不等式.本章以下各节将分别说明本论文各部分的主要内容. 1.1.1 Self-shrinker的体积增长估计设(Mn,g)是具有非负 Ricci曲率的完备非紧黎曼流形，关于其测地球的体积增长估计有两个著名的定理：一个是 Bishop-Gromov比较定理（见文献 [32, 33]），即对任意测地球Bx0 (r) . M, x0 ∈ M，有 Vol(Bx0 (r))《 Crn . (1.6)成立 .换言之， (Mn,g)上的测地球至多具有欧氏的体积增长 .另一个是Calabi-Yau定理（见文献 [34, 35]），说的是测地球 Bx0 (r) . M的体积至少有线性的体积增长，即 Vol(Bx0 (r))》 Cr. (1.7)对任意测地球Bx0 (r) . M成立.近，曹怀东和 Detang Zhou[36]与Munteanu-Wang[37]对梯度形收缩 Ricci孤粒子分别证明了和上述结果类似的定理 .设(Mn,g)为黎曼流形，f为Mn上的光滑函数，如果满足 1 Ric v2f = g, (1.8)2 则称 (M, g, f)为一个梯度形收缩 Ricci孤粒子 .梯度形收缩 Ricci孤粒子在Ricci流的研究中有重要地位，它是 Ricci流的一类自相似解，同时也描述了 Ricci流的奇点模型 . Cao-Zhou[36]的定理可叙述为任意完备非紧的梯度形收缩 Ricci孤粒子都具有至多欧氏的体积增长 . Munteanu-Wang[37]的定理可叙述为任意完备非紧的梯度形收缩 Ricci孤粒子具有至少线性的体积增长 .需要注意的是这两个定理都是非平凡的，因为一个完备的梯度形收缩 Ricci孤粒子不一定具有非负 Ricci曲率的，例如由 Feldman-Ilmanen-Knopf[38]发现的例子就不具有非负 Ricci曲率 .因而 Cao-Zhou, Munteanu-Wang的定理不能直接由 Bishop, Calabi-Yau的关于具有非负 Ricci曲率的定理得到.梯度形收缩Ricci孤粒子对应的是Ricci流的自相似解，而 self-shrinker对应的是平均曲率流的自相似解 .因而很自然地可以考虑这样的问题：研究完备非紧的 self-shrinker的体积增长 .这是一个重要的问题，例如在Huisken[21]和Colding-Minicozzi[2]等人关于 self-shrinker的分类定理中都需要假设 self-shrinker具有多项式的体积增长 . 2011年，Lu Wang[39]证明了如果 self-shrinker是一个欧氏空间中的完全图，则它具有至多欧氏的体积增长.随后， Ding-Xin[40]证明了任意逆紧浸入的完备非紧致 self-shrinker具有至多欧氏体积增长的 .注意这里的体积并非测地球的体积，而是外蕴球，即欧氏空间中的球和self-shrinker交集的体积. Ding-Xin的结果叙述为 Vol(B(r) ∩ M)《 Crn , .r> 1. (1.9) 这里 B(r)指的是 Rn p中半径为 r的欧氏球 . Xu Cheng和Detang Zhou[41]随后证明了如果 self-shrinker具有至多欧氏的体积增长，则它必定是逆紧浸入的，即该浸入满足任意紧致集的原像也是紧致集 .因此结合 Ding-Xin[40]和Cheng-Zhou[41]的定理可得：self-shrinker是逆紧浸入的等价于它具有至多欧氏的体积增长.本文将首先研究完备非紧的 self-shrinker的体积增长下界估计 .主要想法在于进一步开发梯度形收缩 Ricci孤粒子与 self-shrinker的相似性，并借鉴Munteanu-Wang在研究梯度形收缩 Ricci孤粒子的体积下界增长估计时的方法.我们得到的定理如下：定理 1.1(Li-Wei[42])任意逆紧浸入的完备非紧致self-shrinker具有至少线性的体积增长.注释 1.1定理 1.1的结论是的，因为圆柱类型的 self-shrinker X : Sn.1(J2(n . 1)) × R → Rn 1具有线性的体积增长.
1.1.2 Self-shrinker的分类前面提到 self-shrinker描述了平均曲率流的奇点模型，因而其分类是一个重要的研究课题 .在曲线情形（即 n =1），1986年，U. Abresch和 J. Langer[43]对满足 (1.4)的所有完备的 self-shrinker曲线 Γ . Rm做了完全分类.我们称这些曲线为Abresch-Langer曲线，其中简单闭曲线仅有圆周这一类.事实上，任意的 self-shrinker曲线 Γ . Rm必定落在 Rm的一个二维线性子空间 E2 . Rm中，此时 self-shrinker方程 (1.4)就划归为一个二阶常微分方程.在维数 n》 2且余维数 p =1时（即超曲面情形），Huisken[13]于1990年分类了所有紧致的具有非负平均曲率的 self-shrinker，证明了这样的 self-√ shrinker只可能是球面 Sn(2n).在1993年，Huisken[21]接着分类了具有非负平均曲率的完备非紧致self-shrinker.当加上第二基本形式及其、第二协变导数有界（即 |A|, |vA|, |v2A|均有界），且 self-shrinker具有多项式体积增长的条件下， Huisken证明了具有非负平均曲率的 self-shrinker只能是圆柱√ 面Sk(2k) × Rn.k，或 Abresch-Langer曲线 Γ和平面的乘积流形 Γ × Rn.1 .近， Colding和Minicozzi[2]去掉了 Huisken的分类定理中第二基本形式和其、第二协变导数有界的条件 .注意在 Huisken和Colding-Minicozzi的定理中，条件平均曲率非负是不能去掉的，因为 Angenent[44]的例子就不满足平均曲率非负 .另外， Kleene和M.ller[45]分类了所有嵌入完备的旋转对称的self-shrinkers.对任意余维数的 self-shrinker分类则变得更复杂，即使在条件 |H| > 0下也有新的例子，如 Abresch-Langer曲线的乘积 Γ1 × Γ2 ×· ··× Γm . R2m是满足 |H| > 0的self-shrinker. 2005年，Smoczyk[1]将Huiken[13, 21]关于超曲面self-shrinker的定理推广到了任意余维数情形 .他将 Huisken定理中的条件 “具有非负平均曲率 ”替换为 “平均曲率向量 H 0, v⊥ν = 0”，其= 中ν = H/|H|是主法向量，其余条件相同，则结论是满足这类条件的 self-√√ shrinker只可能是球面 Sn p.1(2n)中的极小子流形， Sk p.1(2k)中的极小子流形与Rn.k的乘积流形，或者 Abresch-Langer曲线与Rn.1的乘积流形.受到Colding-Minicozzi[2]工作的启发，我们考虑将 Smoczyk分类定理中的条件：“第二基本形式及其、第二协变导数有界 ”去掉，即问题 1.1在没有 “第二基本形式及其、第二协变导数有界 ”的条件下，Smoczyk[1]的分类定理是否仍然成立？我们可以对这个问题给出一个部分的回答，这就是下面的定理 .定理 1.2 (Li-Wei[46])设X : Mn → Rn p是完备非紧致的self-shrinker，满足 H 0和v⊥ν =0，其中 ν = H/|H|.= 进一步假设 self-shrinker具有多项式体积增长，且其第二基本形式满足 |A|2 .|Aν |2《 c对某个常数 c成立，其中 Aν = ν, A）是沿主法方向上的第二基本形式 .则M必为下面两类之一： Γ × Rn.1 ,Nk × Rn.k . (1.10)√ 其中， Γ是Abresch-Langer曲线， Nk是球面 Sp k.1(2k) . Rp k中的极小子流形，0 1.1.3 Self-shrinker的F-稳定性基于 Huisken[13] 1993年的论文，对欧氏空间中任意的子流形 X : M → Rn p定义F-泛函Fx0,t0 2l . |X.x0|Fx0,t0 (M) = (4πt0). n2e4t0 dμ, x0 ∈ Rn p,t0 > 0. (1.11)M 容易验证 F-泛函是 scaling不变的，即对任意的 α> 0, Fαx0,α2t0 (αM)= Fx0,t0 (M).由Huisken[13]的单调性公式，若 Mt为平均曲率流的解且 t>s,则Fx0,t0 (Mt)《 Fx0,t0 t.s(Ms).定义M的熵λ = λ(M)为 λ(M) = sup Fx0,t0 (M). (1.12)x0∈Rn p,t0>0 则对 Mt有λ(Mt)《 λ(Ms), (t>s).即熵 λ(Mt)在平均曲率流下关于 t是单调非增的.在超曲面情形（即 p =1），Colding-Minicozzi[2]证明了熵的临界点是self-shrinker.一个 self-shrinker称为是熵稳定的，如果它是熵泛函的局部极小点.为了研究 self-shrinker的熵稳定性， Colding-Minicozzi首先研究了 self-shrinker的F-稳定性 .首先他们计算了 Fx0,t0关于 M, x0,t0的一阶全变分公式，证明了 M是临界点当且仅当它是满足 (X . x0)⊥ H = .,x0 ∈ Rn p, 0 0使得 |A|2 .|Aν |2《 c，其中 Aν = ν, A）是主法方向上的第二基本形式.如果Mn是F-稳定的，则 M是平面Rn .√ 在证明定理 1.5之前，我们先证明了如果 Nk是球面 Sk p.1(2k)的闭的极小子流形，则 Nk与Rn.k的乘积 X : Mn = Nk × Rn.k → Rn p作为 self-shrinker是F-非稳定的 .当p =1时，这一结论以及定理 1.4、定理 1.5就回归到 Colding-Minicozzi[2]的定理 .在我们的论文 [53]上传至 arXiv之后，我们了解到李莹英和吕杨凯 [54]也计算了任意余维数 self-shrinekr的F-泛函的一阶和二阶变分公式，并证明了 Anciaux[55]发现的闭拉格朗日 self-shrinker不是 F-稳定的 .关于 self-shrinker的F-稳定性的其他研究，也可见近C. Arezzo和J. Sun[56]、李嘉禹和张永兵 [57]、L.Yang[58]的论文. 1.1.4曲率流的非坍塌估计给定一个超曲面X0 : Mn → (Nn 1 ,gˉ)，设X : Mn × [0,T ) → (Nn 1 ,gˉ)为以X0为初值的嵌入超曲面曲率流，满足 .X(x, t) = .F (x, t)ν(x, t),X(·, 0) = X0, (1.14).t 其中 ν是单位法向量， F为速度函数 .本文我们假定 F是超曲面主曲率 κ = (κ1,κ2, ··· ,κn)的一次齐次单调递增函数 .超曲面的主曲率落在一个对称凸锥Γ . Rn里.进一步假定F满足单位化条件F (1, 1, ··· , 1) = n.超曲面曲率流的非坍塌估计首先由汪徐家和盛为民 [59]（一个相关的描述也见 B.White[24]）对平均曲率流引进 .他们证明了在欧氏空间中的平均曲率流下，如果初始超曲面为平均凸（即平均曲率 H> 0），则非坍塌性质在流下是保持的 .一个平均凸的超曲面 X : Mn → Rn 1称为是非坍塌的，如果任意点 x ∈ M，都存在一个半径为 δ/H(x)的球 B(δ/H(x))包含着由 X(M)所围成的区域 Ω中，且 x ∈ .B(δ/H(x)).如果超曲面是非坍塌的，则内切球半径 rin(x)》 δ/H(x).比较这里的非坍塌估计与 Perelman[60]对Ricci流引进的非坍塌估计以及早期 Cheeger-Gromov[61, 62]对黎曼流形的非坍塌估计:在黎曼流形的情形，非坍塌估计是以一个与曲率有关的量来控制单射半径的下界；在超曲面情形，非坍塌估计是以超曲面的第二基本形式有关的量来控制超曲面内切球的半径 .非坍塌性质保证了在作伸缩后，超曲面的第二基本形式一致有界 .特别地，这样的超曲面序列可以容易地找到一个收敛子序列.汪徐家和盛为民的定理后来被 Andrews[3]在2011年用极大值原理给出了一个简短的证明 . Andrews发现非坍塌性质可以用一个函数不等式来等价地描述 .这个函数定义在超曲面上的一对点上 .随后在 2012年，Andrews-Langford-McCoy[4]进一步改进了这个想法：在欧氏空间 Rn 1中的曲率流，对任意的y = x和t》 0，定义 k(x, y, t)= d2 2 X(x, t) . X(y, t),ν(x, t)）, (1.15)其中 d = lX(x, t) . X(y, t)l是x, y的欧氏距离 .函数 k(x, y, t)在取遍所有y的上确界即为超曲面在 x点的内切球的测地曲率 .我们称 kˉ(x, t)= sup{k(x, y, t): y ∈ M, y = x}为流超曲面 Mt = X(M, t)在点 (x, t)的内球曲率，k(x, t) = inf{k(x, y, t): y ∈ M, y = x}为流超曲面 Mt在(x, t)的外球曲率.注意由定义 kˉ(x, t)和k(x, t)是函数 k(x, y, t)在非紧集合 {y ∈ M : y = x}上的极值 .但如文献 [4]，可证得 kˉ(x, t)》 κmax(x, t)，且或者存在一点 yˉ∈ M {x}使得 kˉ(x, t)= k(x, ˉM使得 ˉ y, t)，或者存在单位向量 ξ ∈ Txk(x, t)= h(x,t)(ξ, ξ)= κmax(x, t).类似地， k(x, t)《 κmin(x, t).曲率流 (1.5)的解是内非坍塌的，如果存在常数 C1 > 0使得 k(x, t)《 C1F (x, t), . (x, t) ∈ M × [0,T )；曲率流 (1.5)的解是外非坍塌的，如果存在常数 C2 ∈ R使得k(x, t)》 C2F (x, t), . (x, t) ∈ M × [0,T ).在几何流的研究中，考虑定义在一对点上的函数这一想法首先被 Huisken[63]和Hamilton[64, 65]用在了曲线流和二维曲面上 Ricci流的研究中 .近 Andrews-Bryan[66–68]进一步改进 Huisken和Hamilton的想法，给出了原文中定理的直接证明，不需要外在的辅助工具 .在2012年，Brendle[69]利用Andrews[3, 4]的想法证明了 Lawson猜想 .随后 Andrews-Li[70]用类似的想法证明了 Pinkall-Sterling猜想，并通过研究周期函数的单调性给出了三维球面中CMC环面的完全分类.本文我们将 Andrews的非坍塌估计推广到单连通空间形式中的超曲面曲率流 .单连通空间形式有三类，即欧氏空间 Rn 1、球面 Sn 1和双曲空间 Hn 1 .我们统一记为 Nn 1(c)，c =0, ±1.其中 c =0对应欧氏空间；c =1对应 Sn 1 = {X ∈ Rn 2 : X, X） =1}；c = .1为双曲空间 Hn 1，即Minkowski空间 Rn 1,1中满足 {X ∈ Rn 1,1 : X, X） = .1}的上半部分 .函数 k(x, y, t)形式上如 (1.15)定义，不过此时内积 ·,·）分别替换为 Rn 2，或Rn 1,1中的内积.
1.1问题背景和主要结果自从 1982年R.Hamilton[6]引入 Ricci流，并证明具有正 Ricci曲率的三维黎曼流形在 Ricci流下能收敛至球面后，几何曲率流的研究在几何分析中就占有重要的地位 .其中平均曲率流的研究尤为突出 .事实上在1978年，Brakke[7]早就引入了平均曲率流，并从几何测度论的角度研究了曲面沿着平均曲率流的运动 .基于 Hamilton[6]关于 Ricci流的研究，Huisken[8]在1984年从微分几何的观点研究了平均曲率流 .设X0 : Mn → Rn p是一个浸入子流形，以 X0为初值的平均曲率流为下面这一族浸入X : Mn × [0,T ) → Rn p满足 . X(x, t)= H(x, t), X(·, 0) = X0. (1.1).t 这里 H为Mt = X(M, t)的平均曲率向量 .在超曲面情形，即 p =1时，H = .Hν，ν为单位外法向量， H为平均曲率 .熟知面积泛函的梯度向量为负的平均曲率向量， dd tVol(Mt)= . l .tX, H）dμt. (1.2)Mt 因此沿着平均曲率流(1.1)，子流形Mt的面积以快的速度减少，且 d Vol(Mt)= . l|H|2dμt. (1.3)dtMt 即平均曲率流为面积泛函的负梯度流. 由极大值原理，如果两个初始超曲面不相交，则在平均曲率流下任何时刻流超曲面都不相交 .因此如果初始超曲面为闭的子流形，通过与包含这个超曲面的球面作比较，以闭超曲面为初值的平均曲率流必在有限时间内消失.平均曲率流的一个主要研究兴趣是在流消失之前会发生什么？ 1984年，Huisken[8]证明了欧氏空间Rn 1中的凸超曲面（维数 n》 2）在平均曲率流下有限时间内必定收缩为一个球形的点：即在做适当的伸缩变换后，相应的曲率流收敛至一个圆球 .之后 1986年，Huisken[9]将上述结果推广到任意黎曼流形中的超曲面，再加上某些曲率和凸性条件，证明了类似于 [8]中的结果 . 1986年，Gage-Hamilton[10]对曲线收缩流，即维数 n =1的平均曲率流，证明了如果初始曲线为简单闭的凸曲线，则在有限时间内，曲线流收缩为一个圆形的点 .接着在 1987年，Grayson[11]证明了任何简单闭曲线必在有限时间内变成凸曲线，从而由 Gage-Hamilton的定理，终曲线将收缩为一个圆形的点 .对于 n》 2的平均曲率流则没有这么好的性质 .在1989年，Grayson[12]构造了一个具有细长轴的哑铃，沿着平均曲率流在两边的球还没消失前中间的轴就断开了，这个断点就是一个奇点（事实上在这个奇点的爆破极限是一个圆柱面，而不是圆） .因而 Grayson关于曲线流的定理 [11]在n》 2时是不成立的 .从而平均曲率流 (n》 2)的研究重点则为奇点形成的研究.准确地说，我们称 p ∈ Rn 1为平均曲率流的一个奇点，如果当 t → T时，X(x, t) → p且第二基本形式 |A|(x, t) →∞. 1990年，Huisken[13]通过单调性公式研究了平均曲率流的类奇点，即满足 |A|(x, t)《 √ C/ T . t的奇点.在规范化之后，Huisken证明了平均曲率流在类奇点处的爆破极限为满足 1 H = . X⊥ . (1.4)2 的欧氏空间中的子流形.我们称式(1.4)为Self-shrinker方程,称满足式(1.4)的欧氏空间中的子流形为 self-shrinker.之后 Ilmanen[14]和White[15]用几何测度论的观点将 Huisken的结论推广到任意类型的奇点 .因此 self-shrinker的研究是平均曲率流里的一个重要课题 .关于平均曲率流的一些重要论文，见文献 [2, 7–9, 13, 16–27]等，另外也可参见介绍平均曲率流的文献 [28–30]. 本论文的前三部分主要研究满足 self-shrinker方程 (1.4)的欧氏空间中子流形的性质，包括体积增长估计、分类和刚性问题，以及 F-稳定性问题.在几何曲率流的研究里，除了平均曲率流外，还有其他的流，如 Gauss曲率流、数量曲率流、逆平均曲率流等 .在超曲面情形，上面的平均曲率向量满足 H = .Hν,其中 H, ν分别为超曲面的平均曲率和外法向方向 .将H替换为关于超曲面主曲率 κ =(κ1,κ2, ··· ,κn)的函数 F = F (κ1,κ2, ··· ,κn)，可以定义下面的超曲面 F -曲率流 .给定一个超曲面 X0 : Mn → (Nn 1 ,gˉ)，我们称 X : Mn × [0,T ) → (Nn 1 ,gˉ)为以 X0为初值的超曲面 F -曲率流，如果 .X(x, t) = .F (x, t)ν(x, t),X(·, 0) = X0. (1.5).t 在外围空间 (Nn 1 ,gˉ)为欧氏空间，可以证明有一大类的 F -曲率流可将凸超曲面 M0收缩为一个圆点（可参见 Ben Andrews的论文 [31]），即有类似于Huisken[8]的定理.本论文第4章我们研究球面和双曲空间中的F -曲率流的非坍塌估计 .将Ben Andrews[3, 4]等人关于欧氏空间中 F -曲率流的非坍塌估计推广到球面和双曲空间中的F -曲率流.几何曲率流一直是近 30年的热门研究课题，其原因之一在于它在几何与拓扑中的广泛应用 .本论文的后一部分将运用 Gerhardt[5]的双曲空间中逆曲率流的收敛性定理来证明双曲空间中星形、 2-凸超曲面的Alexandrov-Fenchel型几何不等式.本章以下各节将分别说明本论文各部分的主要内容. 1.1.1 Self-shrinker的体积增长估计设(Mn,g)是具有非负 Ricci曲率的完备非紧黎曼流形，关于其测地球的体积增长估计有两个著名的定理：一个是 Bishop-Gromov比较定理（见文献 [32, 33]），即对任意测地球Bx0 (r) . M, x0 ∈ M，有 Vol(Bx0 (r))《 Crn . (1.6)成立 .换言之， (Mn,g)上的测地球至多具有欧氏的体积增长 .另一个是Calabi-Yau定理（见文献 [34, 35]），说的是测地球 Bx0 (r) . M的体积至少有线性的体积增长，即 Vol(Bx0 (r))》 Cr. (1.7)对任意测地球Bx0 (r) . M成立.近，曹怀东和 Detang Zhou[36]与Munteanu-Wang[37]对梯度形收缩 Ricci孤粒子分别证明了和上述结果类似的定理 .设(Mn,g)为黎曼流形，f为Mn上的光滑函数，如果满足 1 Ric v2f = g, (1.8)2 则称 (M, g, f)为一个梯度形收缩 Ricci孤粒子 .梯度形收缩 Ricci孤粒子在Ricci流的研究中有重要地位，它是 Ricci流的一类自相似解，同时也描述了 Ricci流的奇点模型 . Cao-Zhou[36]的定理可叙述为任意完备非紧的梯度形收缩 Ricci孤粒子都具有至多欧氏的体积增长 . Munteanu-Wang[37]的定理可叙述为任意完备非紧的梯度形收缩 Ricci孤粒子具有至少线性的体积增长 .需要注意的是这两个定理都是非平凡的，因为一个完备的梯度形收缩 Ricci孤粒子不一定具有非负 Ricci曲率的，例如由 Feldman-Ilmanen-Knopf[38]发现的例子就不具有非负 Ricci曲率 .因而 Cao-Zhou, Munteanu-Wang的定理不能直接由 Bishop, Calabi-Yau的关于具有非负 Ricci曲率的定理得到.梯度形收缩Ricci孤粒子对应的是Ricci流的自相似解，而 self-shrinker对应的是平均曲率流的自相似解 .因而很自然地可以考虑这样的问题：研究完备非紧的 self-shrinker的体积增长 .这是一个重要的问题，例如在Huisken[21]和Colding-Minicozzi[2]等人关于 self-shrinker的分类定理中都需要假设 self-shrinker具有多项式的体积增长 . 2011年，Lu Wang[39]证明了如果 self-shrinker是一个欧氏空间中的完全图，则它具有至多欧氏的体积增长.随后， Ding-Xin[40]证明了任意逆紧浸入的完备非紧致 self-shrinker具有至多欧氏体积增长的 .注意这里的体积并非测地球的体积，而是外蕴球，即欧氏空间中的球和self-shrinker交集的体积. Ding-Xin的结果叙述为 Vol(B(r) ∩ M)《 Crn , .r> 1. (1.9) 这里 B(r)指的是 Rn p中半径为 r的欧氏球 . Xu Cheng和Detang Zhou[41]随后证明了如果 self-shrinker具有至多欧氏的体积增长，则它必定是逆紧浸入的，即该浸入满足任意紧致集的原像也是紧致集 .因此结合 Ding-Xin[40]和Cheng-Zhou[41]的定理可得：self-shrinker是逆紧浸入的等价于它具有至多欧氏的体积增长.本文将首先研究完备非紧的 self-shrinker的体积增长下界估计 .主要想法在于进一步开发梯度形收缩 Ricci孤粒子与 self-shrinker的相似性，并借鉴Munteanu-Wang在研究梯度形收缩 Ricci孤粒子的体积下界增长估计时的方法.我们得到的定理如下：定理 1.1(Li-Wei[42])任意逆紧浸入的完备非紧致self-shrinker具有至少线性的体积增长.注释 1.1定理 1.1的结论是的，因为圆柱类型的 self-shrinker X : Sn.1(J2(n . 1)) × R → Rn 1具有线性的体积增长.
1.1.2 Self-shrinker的分类前面提到 self-shrinker描述了平均曲率流的奇点模型，因而其分类是一个重要的研究课题 .在曲线情形（即 n =1），1986年，U. Abresch和 J. Langer[43]对满足 (1.4)的所有完备的 self-shrinker曲线 Γ . Rm做了完全分类.我们称这些曲线为Abresch-Langer曲线，其中简单闭曲线仅有圆周这一类.事实上，任意的 self-shrinker曲线 Γ . Rm必定落在 Rm的一个二维线性子空间 E2 . Rm中，此时 self-shrinker方程 (1.4)就划归为一个二阶常微分方程.在维数 n》 2且余维数 p =1时（即超曲面情形），Huisken[13]于1990年分类了所有紧致的具有非负平均曲率的 self-shrinker，证明了这样的 self-√ shrinker只可能是球面 Sn(2n).在1993年，Huisken[21]接着分类了具有非负平均曲率的完备非紧致self-shrinker.当加上第二基本形式及其、第二协变导数有界（即 |A|, |vA|, |v2A|均有界），且 self-shrinker具有多项式体积增长的条件下， Huisken证明了具有非负平均曲率的 self-shrinker只能是圆柱√ 面Sk(2k) × Rn.k，或 Abresch-Langer曲线 Γ和平面的乘积流形 Γ × Rn.1 .近， Colding和Minicozzi[2]去掉了 Huisken的分类定理中第二基本形式和其、第二协变导数有界的条件 .注意在 Huisken和Colding-Minicozzi的定理中，条件平均曲率非负是不能去掉的，因为 Angenent[44]的例子就不满足平均曲率非负 .另外， Kleene和M.ller[45]分类了所有嵌入完备的旋转对称的self-shrinkers.对任意余维数的 self-shrinker分类则变得更复杂，即使在条件 |H| > 0下也有新的例子，如 Abresch-Langer曲线的乘积 Γ1 × Γ2 ×· ··× Γm . R2m是满足 |H| > 0的self-shrinker. 2005年，Smoczyk[1]将Huiken[13, 21]关于超曲面self-shrinker的定理推广到了任意余维数情形 .他将 Huisken定理中的条件 “具有非负平均曲率 ”替换为 “平均曲率向量 H 0, v⊥ν = 0”，其= 中ν = H/|H|是主法向量，其余条件相同，则结论是满足这类条件的 self-√√ shrinker只可能是球面 Sn p.1(2n)中的极小子流形， Sk p.1(2k)中的极小子流形与Rn.k的乘积流形，或者 Abresch-Langer曲线与Rn.1的乘积流形.受到Colding-Minicozzi[2]工作的启发，我们考虑将 Smoczyk分类定理中的条件：“第二基本形式及其、第二协变导数有界 ”去掉，即问题 1.1在没有 “第二基本形式及其、第二协变导数有界 ”的条件下，Smoczyk[1]的分类定理是否仍然成立？我们可以对这个问题给出一个部分的回答，这就是下面的定理 .定理 1.2 (Li-Wei[46])设X : Mn → Rn p是完备非紧致的self-shrinker，满足 H 0和v⊥ν =0，其中 ν = H/|H|.= 进一步假设 self-shrinker具有多项式体积增长，且其第二基本形式满足 |A|2 .|Aν |2《 c对某个常数 c成立，其中 Aν = ν, A）是沿主法方向上的第二基本形式 .则M必为下面两类之一： Γ × Rn.1 ,Nk × Rn.k . (1.10)√ 其中， Γ是Abresch-Langer曲线， Nk是球面 Sp k.1(2k) . Rp k中的极小子流形，0 1.1.3 Self-shrinker的F-稳定性基于 Huisken[13] 1993年的论文，对欧氏空间中任意的子流形 X : M → Rn p定义F-泛函Fx0,t0 2l . |X.x0|Fx0,t0 (M) = (4πt0). n2e4t0 dμ, x0 ∈ Rn p,t0 > 0. (1.11)M 容易验证 F-泛函是 scaling不变的，即对任意的 α> 0, Fαx0,α2t0 (αM)= Fx0,t0 (M).由Huisken[13]的单调性公式，若 Mt为平均曲率流的解且 t>s,则Fx0,t0 (Mt)《 Fx0,t0 t.s(Ms).定义M的熵λ = λ(M)为 λ(M) = sup Fx0,t0 (M). (1.12)x0∈Rn p,t0>0 则对 Mt有λ(Mt)《 λ(Ms), (t>s).即熵 λ(Mt)在平均曲率流下关于 t是单调非增的.在超曲面情形（即 p =1），Colding-Minicozzi[2]证明了熵的临界点是self-shrinker.一个 self-shrinker称为是熵稳定的，如果它是熵泛函的局部极小点.为了研究 self-shrinker的熵稳定性， Colding-Minicozzi首先研究了 self-shrinker的F-稳定性 .首先他们计算了 Fx0,t0关于 M, x0,t0的一阶全变分公式，证明了 M是临界点当且仅当它是满足 (X . x0)⊥ H = .,x0 ∈ Rn p, 0 0使得 |A|2 .|Aν |2《 c，其中 Aν = ν, A）是主法方向上的第二基本形式.如果Mn是F-稳定的，则 M是平面Rn .√ 在证明定理 1.5之前，我们先证明了如果 Nk是球面 Sk p.1(2k)的闭的极小子流形，则 Nk与Rn.k的乘积 X : Mn = Nk × Rn.k → Rn p作为 self-shrinker是F-非稳定的 .当p =1时，这一结论以及定理 1.4、定理 1.5就回归到 Colding-Minicozzi[2]的定理 .在我们的论文 [53]上传至 arXiv之后，我们了解到李莹英和吕杨凯 [54]也计算了任意余维数 self-shrinekr的F-泛函的一阶和二阶变分公式，并证明了 Anciaux[55]发现的闭拉格朗日 self-shrinker不是 F-稳定的 .关于 self-shrinker的F-稳定性的其他研究，也可见近C. Arezzo和J. Sun[56]、李嘉禹和张永兵 [57]、L.Yang[58]的论文. 1.1.4曲率流的非坍塌估计给定一个超曲面X0 : Mn → (Nn 1 ,gˉ)，设X : Mn × [0,T ) → (Nn 1 ,gˉ)为以X0为初值的嵌入超曲面曲率流，满足 .X(x, t) = .F (x, t)ν(x, t),X(·, 0) = X0, (1.14).t 其中 ν是单位法向量， F为速度函数 .本文我们假定 F是超曲面主曲率 κ = (κ1,κ2, ··· ,κn)的一次齐次单调递增函数 .超曲面的主曲率落在一个对称凸锥Γ . Rn里.进一步假定F满足单位化条件F (1, 1, ··· , 1) = n.超曲面曲率流的非坍塌估计首先由汪徐家和盛为民 [59]（一个相关的描述也见 B.White[24]）对平均曲率流引进 .他们证明了在欧氏空间中的平均曲率流下，如果初始超曲面为平均凸（即平均曲率 H> 0），则非坍塌性质在流下是保持的 .一个平均凸的超曲面 X : Mn → Rn 1称为是非坍塌的，如果任意点 x ∈ M，都存在一个半径为 δ/H(x)的球 B(δ/H(x))包含着由 X(M)所围成的区域 Ω中，且 x ∈ .B(δ/H(x)).如果超曲面是非坍塌的，则内切球半径 rin(x)》 δ/H(x).比较这里的非坍塌估计与 Perelman[60]对Ricci流引进的非坍塌估计以及早期 Cheeger-Gromov[61, 62]对黎曼流形的非坍塌估计:在黎曼流形的情形，非坍塌估计是以一个与曲率有关的量来控制单射半径的下界；在超曲面情形，非坍塌估计是以超曲面的第二基本形式有关的量来控制超曲面内切球的半径 .非坍塌性质保证了在作伸缩后，超曲面的第二基本形式一致有界 .特别地，这样的超曲面序列可以容易地找到一个收敛子序列.汪徐家和盛为民的定理后来被 Andrews[3]在2011年用极大值原理给出了一个简短的证明 . Andrews发现非坍塌性质可以用一个函数不等式来等价地描述 .这个函数定义在超曲面上的一对点上 .随后在 2012年，Andrews-Langford-McCoy[4]进一步改进了这个想法：在欧氏空间 Rn 1中的曲率流，对任意的y = x和t》 0，定义 k(x, y, t)= d2 2 X(x, t) . X(y, t),ν(x, t)）, (1.15)其中 d = lX(x, t) . X(y, t)l是x, y的欧氏距离 .函数 k(x, y, t)在取遍所有y的上确界即为超曲面在 x点的内切球的测地曲率 .我们称 kˉ(x, t)= sup{k(x, y, t): y ∈ M, y = x}为流超曲面 Mt = X(M, t)在点 (x, t)的内球曲率，k(x, t) = inf{k(x, y, t): y ∈ M, y = x}为流超曲面 Mt在(x, t)的外球曲率.注意由定义 kˉ(x, t)和k(x, t)是函数 k(x, y, t)在非紧集合 {y ∈ M : y = x}上的极值 .但如文献 [4]，可证得 kˉ(x, t)》 κmax(x, t)，且或者存在一点 yˉ∈ M {x}使得 kˉ(x, t)= k(x, ˉM使得 ˉ y, t)，或者存在单位向量 ξ ∈ Txk(x, t)= h(x,t)(ξ, ξ)= κmax(x, t).类似地， k(x, t)《 κmin(x, t).曲率流 (1.5)的解是内非坍塌的，如果存在常数 C1 > 0使得 k(x, t)《 C1F (x, t), . (x, t) ∈ M × [0,T )；曲率流 (1.5)的解是外非坍塌的，如果存在常数 C2 ∈ R使得k(x, t)》 C2F (x, t), . (x, t) ∈ M × [0,T ).在几何流的研究中，考虑定义在一对点上的函数这一想法首先被 Huisken[63]和Hamilton[64, 65]用在了曲线流和二维曲面上 Ricci流的研究中 .近 Andrews-Bryan[66–68]进一步改进 Huisken和Hamilton的想法，给出了原文中定理的直接证明，不需要外在的辅助工具 .在2012年，Brendle[69]利用Andrews[3, 4]的想法证明了 Lawson猜想 .随后 Andrews-Li[70]用类似的想法证明了 Pinkall-Sterling猜想，并通过研究周期函数的单调性给出了三维球面中CMC环面的完全分类.本文我们将 Andrews的非坍塌估计推广到单连通空间形式中的超曲面曲率流 .单连通空间形式有三类，即欧氏空间 Rn 1、球面 Sn 1和双曲空间 Hn 1 .我们统一记为 Nn 1(c)，c =0, ±1.其中 c =0对应欧氏空间；c =1对应 Sn 1 = {X ∈ Rn 2 : X, X） =1}；c = .1为双曲空间 Hn 1，即Minkowski空间 Rn 1,1中满足 {X ∈ Rn 1,1 : X, X） = .1}的上半部分 .函数 k(x, y, t)形式上如 (1.15)定义，不过此时内积 ·,·）分别替换为 Rn 2，或Rn 1,1中的内积.
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