MATLAB矩阵分析和计算

《MATLAB矩阵分析和计算》侧重 MATLAB 软件在矩阵分析和计算中的应用介绍。全书由大量的 MATLAB 计算实例组成，共分 10 章，主要介绍 MATLAB 基础知识、矩阵基础知识、数学函数运算、数组的生成及运算、矩阵生成、矩阵的运算、稀疏矩阵、解矩阵方程、矩阵的综合应用。本书具有如下特点：（1）通俗易懂，图文并茂，资料丰富，实用性强。（2）提供大量 MATLAB 计算实例以及配套的电子资料包，
便于读者使用。（3）既适合初学者，也适合有一定MATLAB 基础的爱好者或专业技术人员。

 

本书侧重于MATLAB软件在矩阵分析和计算中的应用介绍。本书由大量的MATLAB计算实例组成。本书共分10章，第1章介绍MATLAB基础知识，第2章介绍矩阵基础知识，第3章介绍常用数学函数运算，第4章介绍数组的生成及运算，第5章介绍常用矩阵生成，第6章和第7章介绍矩阵的运算，第8章介绍解稀疏矩阵，第9章介绍解矩阵方程，第10章介绍矩阵的综合应用。
本书适合三类人阅读或参考： 一是学习MATLAB课程的理工科大中专及高等、中等职业学校的在校学生； 二是包括广大工程技术人员在内的所有科技人员； 三是数学爱好者。
本书的特点是通俗易懂，实例丰富，实用性强。本书既适用于初学者，也适用于有一定MATLAB基础的爱好者及专业技术人员。

目录

第1章MATLAB基础知识

1.1MATLAB的发展历程

1.2MATLAB的特点

1.3MATLAB的桌面操作环境

1.4MATLAB的常量和变量

1.5MATLAB命令窗口应用实例

1.6小结

第2章矩阵基础知识

2.1行列式

2.2矩阵的加法、乘法和矩阵的转置

2.3矩阵的除法——矩阵求逆

2.4矩阵的特征值和特征向量

2.5依克莱姆法则解线性方程组

2.6小结

第3章常用数学函数运算

3.1正弦和反正弦函数

3.2余弦和反余弦函数

3.3正切和反正切函数

3.4四象限的反正切函数

3.5余切和反余切函数

3.6正割和反正割函数

3.7余割和反余割函数

3.8双曲正弦和反双曲正弦函数

3.9双曲余弦和反双曲余弦函数

3.10双曲正切和反双曲正切函数

3.11双曲余切和反双曲余切函数

3.12双曲正割和反双曲正割函数

3.13双曲余割和反双曲余割函数

3.14数值的绝对值和复数的幅值

3.15求复数的相位角

3.16求复数的共轭值

3.17创建复数

3.18求复数的实数部分

3.19求复数的虚数部分

3.20小结

第4章数组的生成及运算

4.1建立行向量和列向量

4.2一维数组元素的标识、访问和赋值

4.3通过冒号建立一维数组

4.4通过函数linspace()建立一维数组

4.5通过函数logspace()建立一维数组

4.6创建二维数组

4.7数组的四则运算

4.8数组的乘方

4.9数组的点积

4.10数组的关系运算

4.11数组的逻辑运算

4.12数组信息的获取

4.13小结

第5章常用矩阵的生成

5.1zeros——生成零矩阵

5.2eye——生成单位矩阵

5.3cat——创建多维数组

5.4ones——生成全1矩阵

5.5hankel——生成Hankel矩阵

5.6magic——生成魔方矩阵

5.7randperm——生成随机整数排列

5.8hilb——生成希尔伯特矩阵

5.9生成逆希尔伯特阵

5.10生成帕斯卡矩阵

5.11toeplitz——生成托普利兹矩阵

5.12compan——生成友矩阵

5.13wilkinson——生成wilkinson特征值测试矩阵

5.14vander——生成范德蒙矩阵

5.15linspace——生成线性等分向量

5.16logspace——生成对数等分向量

5.17blkdiag——生成指定对角线元素矩阵

5.18diag——生成对角矩阵

5.19spaugment——生成最小二乘增广矩阵

5.20rand——生成0~1均匀分布矩阵

5.21randn——生成服从正态分布矩阵

5.22小结

第6章矩阵的运算(一)

6.1方阵的行列式

6.2矩阵的转置

6.3矩阵的旋转

6.4矩阵的翻转

6.5矩阵尺寸的改变

6.6矩阵的加减运算

6.7矩阵的乘法运算

6.8矩阵的除法

6.9矩阵元素的求和

6.10矩阵元素的求积

6.11矩阵元素的差分

6.12矩阵元素的查找

6.13矩阵的排序

6.14矩阵的乘方

6.15矩阵的函数

6.16矩阵的点运算

6.17矩阵的逆

6.18向量范数

6.19矩阵的范数

6.20奇异值分解

6.21矩阵的平方根

6.22矩阵的指数

6.23矩阵的对数

6.24矩阵的条件数

6.25矩阵1范数的条件数估计

6.26矩阵2范数的条件数估计

6.27矩阵可逆的条件数估计

6.28矩阵特征值的条件数

6.29两向量的数量积(或点积、点乘、内积)

6.30两向量的向量积(或叉乘、叉积、外积)

6.31三向量的混合积

6.32三重向量积

6.33张量积

6.34矩阵正交规范化(或矩阵的标准正交基)

6.35普通矩阵函数运算

6.36向量的卷积和多项式乘法

6.37向量反卷积和多项式除法

6.38三种对数之比较

6.39矩阵的海森伯格分解

6.40复对角阵转化为实对角阵

第7章矩阵的运算(二)

7.1trace——计算矩阵的迹

7.2rank——计算矩阵的秩

7.3diag——提取矩阵对角线元素

7.4tril——抽取下三角阵

7.5triu——抽取上三角阵

7.6numel——确定矩阵元素个数

7.7计算矩阵的特征多项式

7.8lu——LU分解

7.9qr——QR分解

7.10schur——Schur分解

7.11qz——广义特征值问题的分解

7.12gsvd——广义奇异值分解

7.13rsf2csf——实Schur向复Schur转化

7.14dmperm——DulmageMendelsohn分解

7.15rref——计算行阶梯矩阵及向量组的基

7.16qrdelete——对矩阵删除列/行后QR分解

7.17qinsert——对矩阵添加列/行后QR分解

7.18nnz——统计矩阵中非零元素的个数

7.19nonzeros——将矩阵中非零元素构成列向量

7.20nzmax——计算矩阵中非零元素分配的存储空间数

7.21chol——Cholesky分解

7.22矩阵的逻辑运算

7.23矩阵比较运算

7.24intersect——求两个集合的交集

7.25setdiff——求两个集合的差

7.26setxor——求两个集合交集的非(异或)

7.27union——求两个集合的并集

7.28unique——取集合单值元素

7.29ismember——检测集合中的元素

7.30矩阵取整运算

7.31reshape——矩阵变维

7.32repmat——矩阵的复制和平铺

7.33rat——用有理数形式表示矩阵

7.34rem——矩阵的余数

7.35sym——转换矩阵数值为分数或符号

7.36factor——符号矩阵的因式分解

7.37expand——符号矩阵的展开

7.38矩阵的伪逆(或MoorePenrose广义逆矩阵)

7.39矩阵空间之间的夹角

7.40化零矩阵的运算

7.41小结

第8章解稀疏矩阵

8.1sparse——生成稀疏矩阵

8.2full——将稀疏矩阵转化为满矩阵

8.3spdiags——生成带状(对角)稀疏矩阵

8.4speye——生成单位稀疏矩阵

8.5sprand——生成均匀分布随机稀疏矩阵

8.6sprandn——生成正态分布随机稀疏矩阵

8.7sprandsym——生成随机对称稀疏矩阵

8.8find——稀疏矩阵非零元素索引

8.9spconvert——将外部数据转化为稀疏矩阵

8.10spfun——针对稀疏矩阵中非零元素应用函数

8.11spy——绘制稀疏矩阵非零元素的分布图

8.12colmmd——稀疏矩阵非零元素列最小度排序

8.13colperm——稀疏矩阵中非零元素的列变换

8.14luinc——稀疏矩阵的不完全LU分解

8.15cholinc——稀疏矩阵的不完全Cholesky分解

8.16eigs——稀疏矩阵的特征值分解

8.17小结

第9章解矩阵方程

9.1inv（）和rref（）求解具有唯一解方程组

9.2null和pinv——求解具有无穷解的矩阵方程组的基础解系和特解

9.3pinv——利用moorepenrose广义逆求无解方程的近似最小二乘解

9.4lyap——连续Lyapunov方程和Sylvester方程(广义Lyapunov方程)求解

9.5dlyap——离散Lyapunov方程

9.6are——Riccati方程求解

9.7利用LU分解求方程组的解

9.8利用QR分解求方程组的解

9.9LQ解法解线性方程组

9.10bicg——双共轭梯度法解线性方程组

9.11bicgstap——稳定双共轭梯度法解线性方程组

9.12cgs——复共轭梯度平方法解方程组

9.13lsqr——共轭梯度法的LSQR法求解线性方程组

9.14gmres——广义最小残差法解线性方程组

9.15minres——最小残差法解方程组

9.16pcg——预处理共轭梯度法解线性方程组

9.17qmr——准最小残差法解线性方程组

9.18小结

第10章矩阵的综合应用

10.1特征值和特征向量之一

10.2特征值和特征向量之二

10.3相似矩阵

10.4正定矩阵

10.5正规矩阵

10.6解线性方程组

10.7小结

参考文献

前言

MATLAB软件代表了当今国际科学计算软件的先进水平，应用领域非常广泛。很多人都希望将MATLAB强大的数值计算和分析功能应用于自己的项目和实践中，从而可以直观、方便、快捷地进行分析、计算和设计工作。
MATLAB是在计算机上使用的计算软件。它是一种集计算、可视化和编程等功能于一身的高效的工程计算语言。这种软件非常好学，可以说只要会用计算器就会用这种软件。
目前，市场上介绍MATLAB软件使用方法的书不少，有的是全面、整体的介绍，有的是就一个专题着重介绍。本书侧重于MATLAB软件在矩阵分析和计算中的应用介绍。我们知道，矩阵是单个数和数组的推广——单个数是1×1矩阵，数组是1×n矩阵。所以，只要掌握了矩阵的运算，就掌握了包括单个数和数组运算在内的所有运算。本书由大量的MATLAB计算实例组成。
本书共分10章，第1章介绍MATLAB基础知识，第2章介绍矩阵基础知识，第3章介绍数学函数运算，第4章介绍数组生成及运算，第5章介绍矩阵生成，第6章和第7章介绍矩阵的运算，第8章介绍解稀疏矩阵，第9章介绍解矩阵方程，第10章介绍矩阵的综合应用。
本书配套的电子资料包的内容，仍是以书中章节为单位，请扫描封底二维码下载。其中一些章包括有一个章文件夹，下面有例N.1、例N.2……例文件夹，例文件夹内就是扩展名为.m的M文件。在MATLAB软件已安装的前提下，把M文件复制到MATLAB命令窗口，可直接执行。使用M文件的另一种方法是通过“cd x:＼存放M文件的文件夹”命令，把存放M文件的文件夹置于MATLAB的可搜索路径中。这样，在命令窗口就可以重新编辑或直接执行这些M文件了。
本书所用MATLAB的版本是R2015b，这不是最新版本。最新版本是R2016b，其实每个新版本与旧版本相比，只有细节处的一些改进。如果只是作一般的计算，用近几年的任何一个版本都行。
本书适合三类人阅读或参考： 一是学习MATLAB课程的理工科大中专及高等、中等职业学校的在校学生； 二是包括广大工程技术人员在内的所有科技人员； 三是数学爱好者。
本书的特点是通俗易懂，例子丰富，实用性强。本书既适用于初学者，也适用于有一定MATLAB基础的爱好者及专业技术人员。
在本书的编写过程中，参考了许多国内的优秀教材，并已列在书末的参考文献中，也得到了清华大学出版社编辑的指导和帮助。在此向相关单位和个人表示衷心感谢。
由于编者水平有限且时间仓促，书中难免存在缺点和错误，恳请读者批评指正。

编者

2019年3月

第3章常用数学函数运算
常用的数学函数包括三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数、指数函数、对数函数、复数函数、截断函数和求余函数等。

3.1正弦和反正弦函数
求正弦和反正弦函数值。命令格式为：
Y=sin(X)——计算X中各元素的正弦函数值。正弦函数定义为sin(z)=(eiz-e-iz)/2i。对于复数z=a bi，sin(a bi)=sin(a)cosh(b) icos(a)sinh(b)。X可以是单个数、数组或矩阵。
Y=asin(X)： 计算X中各元素的反正弦函数值。当X中元素为区间［-1,1］内的实元素时，Y中元素的范围为［-π/2,π/2］。当X中元素不为区间［-1,1］内的实元素时，Y中元素为复数。反正弦函数定义为asin(z)=ilog［iz (1-z2)1/2］。
【例3.1】求60°角的正弦值，再由正弦值求其反正弦值。
解： 60°相当于π/3。

X=pi/3

Z=sin(X)

X=

1.0472

Z=

0.8660

可见，60°角的正弦值为0.8660。

X=0.866

Z=asin(X)

X =

0.8660

Z =

1.0471

可见，0.8660的反正弦值为1.0471(π/3)。
【例3.2】求30°和45°角的正弦值，再由正弦值求其反正弦值。
解： 30°相当于π/6，45°相当于π/4。

X=［pi/6 pi/4］

Z=sin(X)

X =

0.52360.7854

Z =

0.50000.7071

可见，30°和45°角的正弦值分别为0.5和0.7071。

  X=［0.5 0.7071］

Z=asin(X)

X =

0.50000.7071

Z =

0.52360.7854

可见，0.5和0.7071的反正弦值分别为0.5236(π/6)和0.7854(π/4)。