小波理论在工程结构振动分析中的应用

本书是国家自然科学基金、辽宁省自然科学基金、辽宁省教育厅基金等项目研究的成果总结。本书重点阐述了小波变换应用于土木工程结构随机振动荷载特性分析、结构反应分析及结构动力可靠性分析的理论和方法。 

结构振动是土木工程中常见的问题，结构振动分析的主要任务就是研究输入动荷载、结构以及结构反应三者间的关系。以往的研究方法，一般只能在单纯的时间域或频率域研究输入随机荷载的二维统计特性，无法同时给出时间-频率-幅值的三维信息。小波变换由于具有良好的时频特性，有助于这一问题的解决。本书系统的介绍小波理论在结构振动分析中的应用，包括利用小波变换理论对强震、强风等非平稳随机荷载信号进行分析，估计其时频统计特征，利用小波变换理论进行人工地震波、风速时程的模拟，并将其应用于结构时程反应分析，以及基于小波变换理论的结构动力可靠性估计等。同时，也对小波包理论在荷载特性分析中的应用进行了探讨。

第1章绪论

1.1研究背景及意义

1.2国内外研究现状

1.2.1随机荷载特性分析

1.2.2随机荷载模拟

1.2.3基于小波方法的结构动力反应分析及动力可靠性研究

1.3目前存在的问题

1.4本书主要研究内容

第2章随机过程和小波变换基本理论

2.1概率论基本概念

2.1.1随机事件、频率与概率及事件概率的计算

2.1.2随机变量及其概率分布

2.1.3随机变量的数字特征

2.1.4随机变量函数的分布与数字特征

2.2随机过程基本概念

2.2.1随机过程基本概念

2.2.2相关函数和功率谱密度函数

2.2.3各态历经性

2.3小波变换基本概念

2.3.1傅里叶变换

2.3.2小波变换

2.3.3小波包变换基本概念

第3章基于小波变换的随机荷载特性分析

3.1随机荷载的描述

3.1.1平稳随机模型

3.1.2非平稳随机模型

3.2基于小波变换的平稳过程功率谱估计

3.2.1小波系数与功率谱之间的关系

3.2.2传递函数

3.2.3小波变换的功率谱估计方法

3.2.4算例

3.3基于小波变换的非平稳过程时变功率谱估计

3.3.1小波系数与时变功率谱之间的关系

3.3.2小波变换的时变功率谱估计方法

3.3.3时变功率谱估计正确性检验

3.3.4算例

3.4小结

第4章基于小波变换的随机荷载模拟

4.1概述

4.1.1谐波叠加法

4.1.2线性滤波法

4.2平稳过程的随机荷载模拟

4.2.1基于离散正交小波逆变换的平稳过程模拟算法

4.2.2风的基本特性描述

4.2.3算例

4.3非平稳过程的随机荷载模拟

4.3.1模拟算法

4.3.2地震动加速度时程模拟算例

4.4基于给定样本的地震动加速度时程调整与模拟

4.4.1拟合反应谱的实际地震动时程调整

4.4.2拟合给定记录的多个时程模拟

4.5多点空间相关性风场的模拟

4.5.1空间相关性风场的描述

4.5.2空间相关性风场的模拟算法

4.5.3算例

4.6小结

第5章基于小波变换的结构动力反应分析

5.1概述

5.2基于小波变换的结构动力反应计算方法

5.2.1现有文献方法

5.2.2改进方法

5.2.3算例

5.3基于小波变换的结构反应能量分析

5.3.1能量的定义

5.3.2结构输入与输出能量的关系

5.4时频特性对结构反应的影响

5.5小结

第6章基于小波变换的结构动力可靠性分析

6.1结构的首超破坏准则与可靠性定义

6.2基于首超破坏准则的动力可靠性分析方法

6.2.1泊松假设下的动力可靠性

6.2.2马尔可夫假设下的动力可靠性

6.2.3多自由度结构的动力可靠性

6.3结构地震反应的动力可靠度计算实例

6.3.1结构基本情况

6.3.2计算步骤

6.3.3计算结果分析

6.4小结

第7章基于小波包变换的随机荷载特性分析

7.1基于小波包变换的树节点频带顺序及算法

7.1.1基于小波包变换的频带划分规则

7.1.2分解层数与分解路径

7.1.3小波包分解频带排列顺序

7.1.4小波包树节点与频带之间的变换算法

7.1.5实例验证

7.2基于小波包变换的地震动时变功率谱估计

7.2.1地震动平均功率谱与小波包变换瞬时功率谱之间的关系

7.2.2小波包变换的时变功率谱估计方法

7.3基于小波包变换的地震动加速度时程模拟

7.3.1基于给定目标功率谱的地震动加速度时程模拟算法

7.3.2基于给定历史记录的地震动加速度时程模拟与调整算法

7.4小结

参考文献

土木工程结构的抗震、抗风一直是工程实践和科学研究关注的热点问题，研究的主要任务就是分析结构在动荷载作用下的反应规律，即输入动荷载、结构、结构反应三者间的关系，从而为结构的动力可靠性设计提供依据。以往的研究，囿于工具，常用功率谱密度函数来描述输入动荷载及输出反应的统计特征，但其仅适用于描述平稳随机过程，仅能给出能量随频率的变化，并不能同时说明频率成分随时间的变化情况，不适用于强震、强风等非平稳过程。小波变换作为一种良好的时频分析工具，能同时在时域和频域内聚焦信号的演变，提供其时频局部特征，克服以往只能在单纯的时间域或频率域研究输入随机荷载统计特性的缺陷。
本书作者及合作者经多年研究和探索，将小波变换理论成功应用于随机荷载(地震动加速度时程、风速时程等)时频特性分析，提出了一种基于小波变换的时变功率谱估计方法(详见第3章)，将以往的时间幅值或频率幅值的二维认识提高到时间频率幅值的三维，有助于深化对非平稳随机荷载时频特性变化规律的认识。同时，基于小波逆变换，提出了一种非平稳随机荷载(地震动加速度时程、风速时程等)的模拟方法，并给出应用实例(详见第4章)，可为进一步的结构反应分析提供输入随机荷载。在此基础上，又进一步实现了动力反应分析及可靠度的计算(详见第5章、第6章)，对于指导工程实践具有一定意义。后，对小波包应用于随机荷载特性分析、模拟及其存在的问题进行了探讨(详见第7章)。
本书作者及合作者在从事相关内容研究的过程中，得到国家自然科学基金(No.51204029)、辽宁省自然科学基金(No.20170540681)、辽宁省教育厅基金(No.L2013050)等的资助，在此，特表感谢。除作者和合作者之外，研究生韩晶晶、徐樊、杨少波等均参与了部分内容的研究，对成书做出了一定贡献。本书的出版，同时得到作者单位(沈阳工业大学)的大力资助，在此一并表示感谢！
由于作者水平有限，书中难免有错漏之处，诚恳地希望各位专家、读者予以指正！
作者
2018年11月

第3章基于小波变换的随机荷载特性分析

结构振动分析的任务就是讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法，确定结构的固有动力特性，并建立结构的固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性(安全、舒适)设计提供依据。其中，输入荷载的特性对结构反应具有直接的影响，了解和认识荷载特性是结构反应分析的基础和前提。
通常可从频域和时域两个方面来观察荷载特性，时域表示较为形象和直观，频域表示则更为简练，剖析问题更加深刻和方便［133］。上述时域和频域之间的变换基于传统的傅里叶分析，要么是完全的时域，要么是完全的频域，不具备任何时频局部特性，作为频域表示的频谱或功率谱并不能说明其中某种频率分量出现在什么时间以及它的变化情况。但很多随机荷载，如地震动从发生到结束的整个过程，阵风对结构的吹袭，车辆启动或制动阶段受路面激励所产生的随机振动等，荷载的统计特性随时间变化，将其假定为平稳过程进行分析往往会产生显著的误差，一般应视为非平稳过程。但傅里叶变换——这一在平稳过程中发挥重要作用的分析工具，在处理非平稳信号时已经显得无能为力，因此，只有寻求新的合适的分析工具，才有可能从非平稳信号中检取到所需的信息，加深对荷载特性的认识。
近年来，在信号分析中提出的小波变换方法，在处理非平稳随机信号方面具有十分突出的优点，为非平稳信号特征的提取提供了可能。本章将探讨基于小波变换的随机荷载特性分析，即平稳过程的功率谱、非平稳过程的时变功率谱的估计方法。
3.1随机荷载的描述
作用于结构的动力荷载是时间的函数，根据其随时间变化的规律，可以分为确定性荷载与非确定性荷载两大类。如果荷载随时间的变化规律是完全已知的，是时间的确定性函数，则称此类荷载为确定性荷载； 如果荷载随时间的变化规律不是完全已知的，不能用确定的时间函数来描述，则称此类荷载为非确定性荷载。
大量的实测结果表明，作用于结构的大多数外荷载不仅随着时间变化(具有动态特性)，而且具有明显的随机性。这种随机性主要表现为同样条件下测量得到的动荷载随时间变换的历程曲线(简称时程曲线)都不相同，即不具有可重复性，在任一时刻荷载的大小均为随机变量，如作用于结构的风速(风压)时程曲线。这种荷载的变化规律只能从统计意义上加以定义，显然利用随机过程理论来描述更加合理。这些随机动力荷载也称为随机干扰、随机激励或随机扰动，本书采用“随机荷载”这一术语。应用中常将随机荷载归结为不同的数学模型，可笼统地分为平稳随机模型和非平稳随机模型两大类［134］。
3.1.1平稳随机模型
结构随机荷载的平稳模型就是平稳随机过程，根据2.2节的定义，随机荷载模型记为Fs(t)，则Fs(t)的均值是常数，它的相关函数只依赖于时间差，即

mFs(t)=mFs

RFs(t,t τ)=RFs(τ)(31)

式中，τ=t2－t1。由式(31)还可以导出

CX(t1,t2)=CX(τ)

σ2X(t)=σ2X=常数(32)

平稳随机过程的相关函数具有如下的性质：
(1) RX(τ)是τ的偶函数，即RX(－τ)=RX(τ)；
(2) RX(τ)是非负定函数，即∑ni=1∑nj=1RX(tj－ti)h(ti)h*(tj)≥0，其中h(ti)是任意复函数，h*(ti)是它的复共轭；
(3) RX(0) RY(0)≥2RXY(τ)；
(4) 由于X(t)和X(t τ)的相关系数ρX(τ)=CX(τ)σ2X=1σ2X［RX(τ)－m2X］，所以RX(τ)=ρX(τ)σ2X m2X，RX(0)=σ2X m2X； 再由于|ρX(τ)|≤1，因此，－σ2X m2X≤RX(τ)≤σ2X m2X。若过程X(t)不包含周期分量，则时差τ越大，ρX(τ)越小，即X(t)和X(t τ)的相关性越小，在极限情况下，即τ→∞时，ρX(τ)→0，因此，limτ→∞RX(τ)=m2X。根据性质(1)、(3)和(4)，平稳过程X(t)的相关函数RX(τ)一般具有图31所示的形状。

图31平稳过程相关函数的形状

(5) 平稳过程X(t)的n阶均方导数Xn(t)和m阶均方导数Xm(t)是两个不同的平稳过程，它们的互相关函数与X(t)的自相关函数的关系为

RX(n)X(m)(t,s)=RX(n)X(m)(τ)=(－1)ndn mRX(τ)dτn m(33)

平稳过程的相关函数和功率谱密度函数之间有如下关系：

SFs(ω)=12π∫∞－∞RFs(τ)e－iωτdτ

RFs(τ)=∫∞－∞SFs(ω)eiωτdω(34)

因此，对于结构随机荷载的平稳模型，只要知道它的均值和相关函数(或谱密度),就可完全确定这个模型的统计特性。