群论思想及其力量小议—高次方程不可根式求解的理解

群论思想及其力量小议，是一本有趣、有思想、有内涵、有颜值的书，值得一读。 

本书从分析二次、三次、四次多项式方程求解过程开始,通过从两个角度观察它们的求解过程，抽象出核心数学概念“域”和“群”。接着，仍以方程求解过程为对象，围绕“域”和“群”，按数学方式进行提炼和抽象：发明“域”和“群”的数学运算，建立它们的对应关系，从而清晰地看到了高次方程不可根式求解的机理。不仅如此，本书还分析指出：微积分、复变函数、甚至诗歌、绘画，其创造过程与群论创建一脉相承，从而在更广泛意义上，揭示抽象的力量，抽象的化繁为简之美。本书宗旨就是希望通过重温或虚构群论发明的抽象过程，展示群论思想及其抽象的力量，揭示创造力的根源，启迪对教育宗旨和内涵的再思考、再定义。
本书可作为中学生和大学生的素质教育教材，也可供对数学、思想、创造力、教育等领域感兴趣的读者参阅。

盛新庆，北京理工大学讲席教授,*长江学者特聘教授，北京科学技术奖一等奖完成人。主要从事电子科学与技术学科的科研与教学。

第1章多项式方程的拉格朗日求解〖1〗

第2章域
〖1〗

第3章群〖1〗

第4章域和群〖1〗

第5章高次方程不可根式求解的理解〖1〗

第6章域和群关系的再理解〖1〗

第7章群论思想诞生过程探究〖1〗

第8章回望群论创建〖1〗

第9章群论、微积分、复数〖1〗

第10章群、诗、画〖1〗

第11章群论、原创力、教育〖1〗

索引〖1〗

数学是有力的，因为它能给出精确、严格的解答； 数学是优美的，因为它能化繁为简，给人以精神的愉悦。追求力量和简洁是数学的创新之源，也是深藏于人性中的一种欲望。倘若能对数学重要概念的思想及其力量进行剖析，或许是点燃人们对力量、对简洁、对美追求的好方式，或许也是中学素质教育或大学通识教育的一种很好的方式。本书试图进行这样的尝试。
目前专业数学书由于重系统、重严格、重知识本身，往往需要很多准备才能进入问题的核心，才能对现代数学思想有所感悟，非专业数学人士，没有这么多时间去熬、去耗、去磨； 另一方面，大多数学科普读物，往往较少、较浅地进入问题的内在理路，很少进入关键问题的证明，多在外围观察，也就很难让人享受其中之妙。因为没有证明，就不可能有真正的理解，当然就更谈不上享受。
为了能聚焦于剖析数学思想及其力量，本书尝试采用一种新的叙述方式来通俗地讲数学。这种叙述方式就是： 从核心问题出发，尝试从探究理论何以发明的视角，阐述核心概念产生的缘由及其力量，以及问题的解决过程。舍弃知识的系统、严格、完备，追求问题解决的连贯、彻底、通透，以便在较少的时间内能真正领悟数学背后的思想及其力量。
20世纪伟大的数学家外尔曾说： “伽罗瓦的群论在好几十年中一直被视为天书； 但是，它后来对数学的整个发展产生越来越深远的影响。如果从它所包含思想之新奇和意义之深远来判断，也许是整个人类知识宝库中价值为重大的一件珍品”外尔.对称［M］.冯承天，陆继宗，译.上海： 上海教育出版社，2002.。本书以伽罗瓦群论为例，尝试从群论的发明过程和应用的角度，用通俗的语言，舍弃系统性和严格性，直述群论核心； 另一方面，尝试阐发群论与微积分、复数，乃至诗歌、绘画等艺术创造背后精神的一脉相承，以便让人站在更高的山峰，领略人性的光辉。
群论是高度抽象的。抽象过程实际上就是： 去掉我们熟悉事物的次要部分，留下主要部分。这样做导致两个效果： 正面效果是聚集了我们的精神，便于看清事物的机理； 反面效果是把我们熟悉的事物变得不熟悉了，这就是抽象概念和运算难懂的原因。群论中抽象的概念和运算构成了群论内在的理路，它们虽然不多，但是要真正理解群论思想，还是需要有点耐心，反复阅读，熟悉它们。这是绕不开的。本书阐述、分析了这些概念和运算的抽象过程，建立了群论中一系列我们不熟悉的抽象概念与我们熟悉的方程求解过程的联系，以便更易于理解。为了让读者能阅读下去，真正领会群论的美，我们在书中穿插了若干诗、几幅画，供赏阅。
笔者非数学专业，对群论的理解深度自知是不够的，甚至有错，望谅解。只盼本书的观察角度和叙述方式能让非数学专业人士在较少时间里较多地理解群论的精髓。
由于本书的叙述方法，一些重要概念散布在叙述中，因此，为了查询方便，特将重要概念整理出来附在书的后。

第3章群

第2章主要从方程求解过程去研究多项式分裂域的结构和属性，本章将从另一个角度去研究多项式分裂域的特征。这个角度就是对称性。由第1章分析可以知道： 一方面，根式表达式对于所有根的任何一个置换，其根表达式不变； 另一方面，开根号求解所得的全体根均匀分布于圆周。这是方程根表达式在对称性方面的两个要求。这两个要求很明显是不一样的，但是要清晰地论证这两个要求的不同，也并非一件易事。

要论证清楚二者的不同，需要新的数学。数学的强有力在于清晰的定义和运算规则的运用。因此，首先要定义清楚我们要研究的对象。由以上分析可知，我们的研究对象是方程根的置换。高次方程根的置换有很多，它们形成一个集合G，根的每个置换是集合中的一个元素。为了深入研究这个集合，我们需要定义元素之间的运算及其规则。这里先只定义一种运算“·”，称为“乘”，这种运算满足以下条件： ①封闭性，集合中任意两个元素运算结果且仍是集合中的元素； ②结合律，对于集合中的任意三个元素a、b和c，有a·(b·c)=(a·b)·c； ③单位元，集合中存在元素e，对于集合中的任意元素a，都有a·e=e·a=a； ④逆元，对于集合中任意元素a，集合中一定存在元素b，使a·b=b·a=e。我们把这个集合G称为关于运算“·”的群。譬如三个根置换构成的集合S3={σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}，其中σ1代表置换(1，2，3)→(1，2，3)，σ2代表置换(1，2，3)→(2，3，1)，σ3代表置换(1，2，3)→(3，1，2)，σ4代表置换(1，2，3)→(1，3，2)，σ5代表置换(1，2，3)→(3，2，1)，σ6代表置换(1，2，3)→(2，1，3)。显然σ1是单位变换。可以验证任意两个变换相乘（即连续变换）定为其中某一变换。譬如σ1·σ2=σ2，σ2·σ3=σ1。且任何一个变换都有逆变换，譬如σ3的逆变换就是σ2，σ4的逆变换就是其自身σ4，故S3构成一个群。这里需要特别提及的是，置换群中的运算是不可交换的。譬如σ2σ4=(3，2，1)，σ4σ2=(2，1，3)，显然σ2σ4≠σ4σ2。我们把这种运算不可交换的群称为非交换群； 反之，称为交换群。后面我们会看到，一个群能否交换是一种本质属性，在证明高次方程解不可根式表达中，发挥了关键性作用。
下面我们来研究群的结构。我们知道群G是一个关于某种运算的集合。如果G中有n个元素，那么我们就称G为n阶群。一个集合一般都有子集H，如果这个子集H关于所定义的运算也成群，那么这个子集H就是G的一个子群。将子群整体和群元素之间做运算可以形成一个以子群为元素的集合。为了准确，可以这样定义： 任取群G中元素a，将a左乘H所得的aH集合称为H在G中的一个左陪集； 将a右乘H所得的Ha集合称为H在G中的一个右陪集。如果aH=Ha，那么我们就称H是G的正规子群，此时可把所有左陪集（或者右陪集）组成的集合定义为群G除以子群H所得的商群，记为G/H。在商群中两个陪集相乘定义为： (aH)(bH)=(abH)。譬如，我们知道整数Z是一个关于加法运算的群，偶数E是其一个子群，那么它们的商群就是由两个元素组成的集合，其中一个元素是所有偶数组成的集合，另一元素就是所有奇数组成的集合。由此可见，商群中的元素和原群中的元素属性是不同的，原群中的元素就是数，而商群中的元素则是数的集合。但是，如果我们根本就不关心群元素的具体含义，只关注群元素这个抽象意义，那么偶数集就可以用“0”表示，奇数集用“1”表示，这样商群就可认为是群集{0,1}。根据群和商群定义，不难得到下面拉格朗日定理： 如果H是m阶群，那么m必整除n。商数n/m称为H在G的指数。这个关系可以这么理解： 设H={a1,a2,…,am}，那么H的任何一个左陪集可表示为aH={aa1,aa2,…,aam}，a∈G。如果此左陪集中有两个元素相同，譬如aai=aaj，那么两边同乘a-1，就会得到ai=aj。所以左陪集aH中任意两个元素都不相同，故左陪集aH是m阶群； 又因为如果两个不同的左陪集a·H和b·H交集非空，那么H中至少存在元素h1和h2，满足a·h1=b·h2，所以a=b·h2·h-11=b·h，h是H中的一个元素。上式两边同右乘H，得a·H=b·h·H=b·H。也就是说群G可分成若干个没有交集的左陪集（或右陪集）之并，每个左陪集（或右陪集）含m个元素。拉格朗日定理表明： 虽然我们关于“群”的定义看似很简单，但很不平凡，有着深刻的内涵。
群是一个集合，在此集合上定义了一种运算，而且集合关于运算是封闭的。这里的元素可以是不同的对象，这里的运算也可以有不同的定义，只要符合群的条件，都可以作为群来统一研究。也就是说，虽然很多系统形式上很不相同，但在群的观点下都是一样的。为了用这种观点研究问题，我们引入同构的概念。记： φ是群G到的映射，如果它满足条件(ab)φ=aφbφ，a,b∈G，那么φ是群G到的同态映射。如果同态映射φ又是单射，则称为同构映射。如果群G到的映射是同态满射（或同构满射），那么就称G和是同态的（或同构的）。同态满射必把单位元e变为单位元e，逆元变为逆元。因为对于任意a∈G，有ea=ae=a，考虑在同态映射下的像，就有eφaφ=aφeφ=aφ。因为φ是满射，所以eφ必是的单位元。同理，若b是a的逆元，则有ab=ba=e。考虑其在φ下的像，就有aφbφ=bφaφ=eφ，因此aφ和bφ互逆。常表示为(a-1)φ=(aφ)-1。根据同态和同构映射定义，我们可得到下面的同态定理。同态定理有两部分内容。①部分表述群G和它的商群G/H之间的对应关系，具体可表述为： 如果H是G的正规子群，那么群G到商群G/H必是同态映射。这可以这样理解： a,b∈G，在商群中的映射为aH和bH，而ab在商群中的映射为abH，因为在商群中我们有定义： (aH)·(bH)=(abH)，所以群G到商群G／H必是同态满射。②第二部分表述的是如何将一种同态满射G到变成同构满射。人们发现了一个关键的正规子群K，原群G与此正规子群K的商群G／K与同构。此正规子群K具体可表述为： 设φ是群G到的映射，e-是的单位元，则e-在φ下的原像全体K={k|k∈G,kφ=e-}。一般我们称K为同态映射φ的核，如图4所示。