考研数学一 中公2020考研数学20年真题分类精讲（数学一）

《中公版·2020考研数学：20年真题分类精讲（数学一）》具有以下四大特色：
一、一题一码，码上有课
本书含2000—2019年共20年的真题，其中2003—2019年的每道真题均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解。讲解过程生动直接，助考生告别无声读书的时代，感受智能化的学习方式。
二、分科复习，分类精讲
本书按照高等数学、线性代数、概率论与数理统计分为三篇，每一篇按照知识体系分成多章，每一章又按照不同考点将真题分类进行讲解，考生可以按照科目、体系、考点逐个掌握真题和相关知识。
三、了解趋势，夯实基础
本书在每章设置“本章考试要求”，再现考试大纲的具体内容；另外设置“历年真题分布统计”，分析本章考点在近20年考研真题中的分布情况，并做了总结。
书中的每个考点都包含“解题核心要点”和“历年真题精讲”。多数题目都有“思路分析”和“评注”，供考生在学习过程中查漏补缺，夯实基础。
四、移动自习，随时随地
购书享有研究生考试自习室多样增值服务，考生可利用碎片化时间，随时随地上自习。 

《中公版·2020考研数学：20年真题分类精讲（数学一）》包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个科目：高等数学篇分为函数、极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学，中值定理，向量代数和空间解析几何，多元函数微分学，多元函数积分学，级数，常微分方程共九章；线性代数篇分为行列式，矩阵，向量，线性方程组，特征值和特征向量，二次型共六章；概率论与数理统计篇分为随机事件及其概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，数理统计与参数估计共五章。
每章开头都设有“本章考试要求”和“历年真题分布统计”，考生可借此了解考试大纲对每章各个考点的基本要求，并了解历年真题对各章的考查重点。
此外，本书将20年真题按照不同的考点分类。
*，每个考点均配有“解题核心要点”，给出了与该考点有关的定理、公式、方法等，便于考生记忆。
第二，将真题按照考点分类，大部分真题的答案包括三部分：“思路分析”是对本题的主体思路和核心考点的概括；“解析”是本题的详细解题过程和步骤，部分题目一题多解；“评注”是对每种题型核心考点和解题方法的归纳。
第三，书中2003—2019年的真题均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解。

第一篇高等数学
第一章函数、极限与连续
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一极限的性质
考点二无穷小量的比较
考点三极限的计算
考点四连续与间断
第二章一元函数微分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一导数与微分
考点二导数的计算
考点三切线与法线
考点四单调性与凹凸性
考点五极值与拐点
考点六渐近线
考点七原函数及导函数
第三章一元函数积分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一不定积分的计算
考点二定积分的比较
考点三定积分的计算
考点四反常积分
考点五变上限积分
考点六定积分的应用
第四章中值定理
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一罗尔定理
考点二拉格朗日中值定理
考点三泰勒中值定理
第五章向量代数和空间解析几何
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一直线与平面
考点二空间距离
考点三简单的曲面
第六章多元函数微分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一多元函数微分学的概念
考点二偏导数的计算
考点三方向导数与梯度
考点四极值
考点五多元函数微分学的几何应用
第七章多元函数积分学
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一二重积分
考点二三重积分
考点三第一类曲线积分
考点四第二类曲线积分
考点五第一类曲面积分
考点六第二类曲面积分
考点七综合应用
第八章级数
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一收敛性的判别
考点二幂级数的收敛域
考点三幂级数展开
考点四幂级数求和
考点五傅里叶级数
第九章常微分方程
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一一阶微分方程
考点二高阶微分方程
考点三应用问题
第二篇线性代数
第一章行列式
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一数值型行列式
考点二抽象型行列式
第二章矩阵
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一矩阵的运算
考点二逆矩阵
考点三伴随矩阵
考点四矩阵方程
考点五初等矩阵
考点六矩阵的秩
第三章向量
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一线性表出
考点二线性相关
考点三向量空间
第四章线性方程组
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一解的判定
考点二解的结构
考点三含参数的线性方程组
考点四同解与公共解
考点五线性方程组的几何运用
第五章特征值和特征向量
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一特征值与特征向量的计算
考点二矩阵的相似
考点三相似对角化
考点四实对称矩阵
考点五综合运用
第六章二次型
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一二次型的合同标准形
考点二惯性指数与合同规范形
第三篇概率论与数理统计
第一章随机事件及其概率
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一简单概型
考点二条件概率与独立性
考点三概率的基本公式
第二章随机变量及其分布
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一分布函数和概率密度
考点二常见分布
考点三随机变量函数的分布
第三章多维随机变量及其分布
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一分布律和概率密度
考点二边缘分布与条件分布
考点三常见分布
考点四独立性
考点五随机变量函数的分布
第四章随机变量的数字特征
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一基本定义
考点二常见分布的数字特征
考点三常用公式
考点四相关系数
考点五切比雪夫不等式
第五章数理统计与参数估计
本章考试要求
历年真题分布统计
历年真题分类精讲
考点一常见统计量
考点二统计分布
考点三参数估计
考点四区间估计
考点五假设检验

第二篇线性代数
　　1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
　　2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
　　2000—2019年本章真题分布统计
　　概述：本章在考试中直接考查比较少，更多的时候，行列式在线性代数中是作为一个工具存在的，在研究矩阵、向量、线性方程组以及特征值的相关问题时，往往会需要计算矩阵的行列式。考试对行列式的计算主要有两种考法：一是数值型行列式，用到的考点包括行列式的定义、常用的性质、公式以及行列式按行（列）的展开定理；二是抽象型行列式，用到的考点主要是行列式的基本性质，以及方阵的行列式的相关公式，包括矩阵进行各类运算之后的行列式，逆矩阵与伴随矩阵的行列式，分块矩阵的行列式等。
　　考点一数值型行列式
　　（一）解题核心要点
　　行列式的性质
　　（1）将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，也即
　　a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann=a11a21…an1a12a22…an2a1na2n…ann。
　　（2）将行列式的任意两行（列）互换位置后，行列式改变符号。
　　推论1：如果行列式有两行（列）相同，则行列式的值为0。
　　（3）将行列式的某一行（列）乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的k倍。
　　推论2：如果一个行列式的某一行（列）全为0，则行列式的值等于0。
　　推论3：如果一个行列式的某两行（列）元素对应成比例，则行列式的值等于0。
　　（4）如果行列式某一行（列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）分别为对应两个加数，其余行（列）与原行列式相等。即
　　a11a12…a1na21a22…a2nai1 bi1ai2 bi2…ain binan1an2…ann=a11a12…a1na21a22…a2nai1ai2…ainan1an2…ann a11a12…a1na21a22…a2nbi1bi2…binan1an2…ann。
　　推论4：将行列式的一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。
　　注：对于上述性质，考生可以不用掌握证明过程，但需要熟练掌握利用它们对行列式进行变形或发现行列式的特殊性质，进而得到计算行列式的方法。
　　行列式的展开定理
　　（1）余子式：元素aij的余子式是将aij所在的行和列划掉之后得到的n-1阶行列式，记作Mij，
　　Mij=a11a12…a1（j-1）a1（j 1）…a1na21a22…a2（j-1）a2（j 1）…a2na（i-1）1a（i-1）2…a（i-1）（j-1）a（i-1）（j 1）…a（i-1）na（i 1）1a（i 1）2…a（i 1）（j-1）a（i 1）（j 1）…a（i 1）nan1an2…an（j-1）an（j 1）…ann。
　　给余子式加上符号则成为代数余子式，记作Aij=（-1）i jMij。
　　（2）行列式按行（列）展开定理：行列式的值等于其任何一行（列）所有元素乘以其代数余子式后再求和，即
　　A=ai1Ai1 ai2Ai2 … ainAini=1,2,…,n，
　　=a1jA1j a2jA2j … anjAnjj=1,2,…,n。
　　推论：行列式的一行（列）所有元素乘以另一行（列）对应元素的代数余子式再求和所得结果为零，即
　　∑nj=1aijAkj=ai1Ak1 ai2Ak2 … ainAkn=0（i≠k），
　　∑nj=1ajiAjk=a1iA1k a2iA2k … aniAnk=0（i≠k）。
　　（二）历年真题精讲
　　视频讲解1.（2014年，4分）行列式0ab0a00b0cd0c00d等于()
　　（A）(ad－bc)2。（B）－(ad－bc)2。
　　（C）a2d2－b2c2。（D）－a2d2 b2c2。
　　【答案】B
　　【思路分析】本题要计算四阶行列式，通过观察行列式中元素的特点，发现该行列式中零比较多，所以有两种方法可以解决：第一种是利用行列式按行（列）展开定理；第二种是利用拉普拉斯展开定理。
　　【解析】方法一：由行列式的展开定理展开第一列
　　0ab0a00b0cd0c00d=-aab0cd000d-cab000bcd0
　　=-ad(ad-bc) bc(ad-bc)=-(ad-bc)2。
　　方法二：利用拉普拉斯展开定理，即
　　0ab0a00b0cd0c00d=－c00da00b0cd00ab0=cd00ab0000dc00ba=cdabdcba=－(ad－bc)2。
　　视频讲解
　　2.（2015年，4分）n阶行列式20…02－12…0200…2200…－12=。
　　【答案】2n 1－2
　　【思路分析】
　　利用行列式的性质或展开式找出递推关系式，再根据所得的递推关系式递推或迭代求出所给行列式的值，该方法一般适用于高阶且元素有规律的行列式的计算。
　　【解析】按第一行展开得
　　Dn=20…02－12…0200…2200…－12=2Dn－1 (－1)n 12(－1)n－1=2Dn－1 2
　　=2(2Dn－2 2) 2=22Dn－2 22 2=2n 2n－1 … 2
　　=2n 1－2。
　　视频讲解
　　3.（2016年，4分）行列式λ－1000λ－10－1000λ-1432λ 1=。
　　【答案】λ4 λ3 2λ2 3λ 4
　　【解析】令D4=λ－1000λ－10－1000λ-1432λ 1，将行列式按第一列展开可得D4=λD3 4，所以
　　D4=λ（λD2 3） 4=λ2（λD1 2） 3λ 4
　　=λ4 λ3 2λ2 3λ 4。
　　考点二抽象型行列式
　　（一）解题核心要点
　　考试中，计算行列式时一般还要结合矩阵的运算和特征值特征向量等知识，出题角度较多，现将公式总结如下：
　　（1）设A,B为n阶方阵，且k为一实数，则有
　　|A|=|AT|，|kA|=kn|A|,|AB|=|A||B|=|B||A|。
　　注：一般地，|A B|≠|A| |B|。
　　（2）当方阵A可逆时，有|A-1|=1|A|。
　　（3）设A*为矩阵A的伴随矩阵，则|A*|=|A|n-1。
　　（4）AOCB=|A||B|，ACOB=|A||B|，OABO=（-1）mn|A||B|，
　　其中A,B分别为m阶，n阶方阵。此展开定理又称为拉普拉斯展开定理。
　　（5）设矩阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn，则|A|=∏ni=1λi。
　　注：考试单独对行列式计算的考查主要集中在这一部分，即灵活运用矩阵乘法、逆矩阵、伴随矩阵及矩阵特征值与行列式的关系计算各种抽象型行列式，考生需要多加注意。
　　（二）历年真题精讲
　　视频讲解
　　1.（2004年，4分）设矩阵A=210120001，矩阵B满足ABA*=2BA* E，其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵，则B=。
　　【答案】19
　　【思路分析】
　　涉及伴随矩阵的计算或者证明问题,一般均是从公式AA*=A*A=AE及伴随矩阵的有关结论着手分析的。
　　【解析】在已知等式两边同时右乘A，得ABA*A=2BA*A A，而A=3，于是有3AB=6B A，即(3A-6E)B=A，再在两边取行列式，有3A-6EB=A=3，而3A-6E=27，故所求行列式为B=19。
　　如果题目中给出了矩阵的方程，要求某矩阵的行列式，一般的思路是先从方程中将要计算行列式的矩阵作为公因子提出，再在等式两边同时取行列式。
　　视频讲解
　　2.（2005年，4分）设α1,α2,α3均为三维列向量,记矩阵
　　A=(α1,α2,α3),B=
　　(α1 α2 α3,α1 2α2 4α3,α1 3α2 9α3),
　　如果A=1,那么B＝。
　　【答案】2
　　【思路分析】
　　将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算。
　　【解析】方法一：由题设，有
　　B=(α1 α2 α3,α1 2α2 4α3,α1 3α2 9α3)=(α1,α2,α3)111123149，
　　于是有B=A·111123149=
　　1×2=2。
　　方法二：利用行列式性质（在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变）
　　|B|=α1 α2 α3,α1 2α2 4α3,α1 3α2 9α3
　　第2列-第1列第3列-第1列α1 α2 α3,α2 3α3,2α2 8α3
　　第3列-2×第2列α1 α2 α3,α2 3α3,2α3
　　=2α1 α2 α3,α2 3α3,α3第1列-第3列第2列-3×第3列2α1 α2,α2,α3
　　第1列-第2列2α1,α2,α3。
　　又因为A=α1,α2,α3=1，故|B|=2|A|=2。
　　①如果题目中的矩阵是按列分块的，计算其行列式时一般要用到的是行列式的性质，常用的包括：将行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变；将行列式的某一行（列）乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的k倍；将行列式的任意两行（列）互换位置后，行列式改变符号；
　　②本题方法一中用到的矩阵按列分块时的运算性质很常用：设A=α1,α2,…,αn，假设B=bij为n×m矩阵，则
　　AB=（α1,α2,…,αn）b11b12…b1mb21b22…b2mbn1bn2…bnm
　　=（b11α1 b21α2 … bn1αn,b12α1 b22α2 … bn2αn,
　　…,b1mα1 b2mα2 … bnmαn），
　　对上述等式要从两个角度去把握：一方面，要会做这样的运算；另一方面，看到形如
　　（b11α1 b21α2 … bn1αn,b12α1 b22α2 … bn2αn,…,b1mα1 b2mα2 … bnmαn）
　　的矩阵，也要想到用该公式进行变形。
　　视频讲解
　　3.（2006年，4分）设矩阵A=21-12，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B 2E，则B=。
　　【答案】2
　　【解析】由题设，有B(A-E)=2E，于是有BA-E=4，而A-E=
　　11-11=2,所以B=2。
　　1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。
　　2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
　　3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
　　4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。