大学物理学要义与释疑(第2版) 上册

大学物理教辅，内容的安排可以使不同水平的读者各得其所，使本书起到课外的辅导与答疑的作用。 

本书是大学物理学学习的课外应备教材，共分上、下两册。全书在简要地概括总结大学物理学的基本概念、基本规律和主要方法的基础上，分析解释了学习中常见的物理疑难问题和容易混淆之处，并精选了超过150道典型例题及近200个有代表性的专题性问题予以分析解答，以帮助读者掌握大学物理学的基础知识，培养分析和解决问题的能力。
本册共10章，内容为力学和热学。力学部分包括质点和刚体的运动学及动力学、振动与波动以及狭义相对论，热学部分包括分子动理论和热力学。

崔砚生，教授，从事物理教学40余年，曾长期主持物理课程建设和改革，领导创建了清华大学首个物理“一类课”。主编“普通物理学辅导与答疑”（力学与热学），该书获得了1987年北方十省市优秀科技图书评选二等奖，合编“激光原理及应用”，参编“近代物理与高新技术物理基础”。获国家教委科技进步三等奖一项，北京市普通高校优秀教学成果一等奖两项、二等奖一项，清华大学教学优秀一等奖、教学改革成果一等奖等多个奖项。曾任国家教委工科物理课程教学指导委员会委员兼秘书，北京高教学会物理研究会副理事长，北京物理学会常务理事，《现代物理知识》编委等职。

第1篇力学

前言

第1章运动学

1．1位移、速度和加速度

1．1．1参考系、坐标系

1．1．2位移、速度、加速度的定义

1．1．3速度?瘙經和加速度a的基本性质

1．2质点运动学的常用公式

1．2．1匀加速直线运动

1．2．2圆周运动和平面曲线运动

1．2．3角量与线量的关系

1．3相对运动，速度相加原理及其适用范围

1．3．1相对运动与速度相加原理

1．3．2古典力学的时空观与速度相加原理的适用范围

1．4解题的基本要求(不限于运动学)

1．5典型例题

1．6几个容易混淆的概念

1．6．1|Δr|与|Δr|，|Δ?瘙經|与|Δv|

1．6．2速度的合成、分解与伽利略速度变换关系

1．6．3运动的合成、分解与运动的独立性

第2章牛顿定律

2．1牛顿三定律的内容

2．2对牛顿三定律的认识

2．2．1惯性与惯性运动

2．2．2牛顿第二定律的表达式

2．2．3牛顿定律科学概括了力的概念

2．2．4牛顿定律应用的对象是质点

2．3牛顿定律和参考系

2．3．1牛顿定律并非在所有的参考系中都可以应用

2．3．2牛顿第一定律定义了惯性参考系

2．3．3力学中常用的三个惯性系

2．4受力分析的难点——摩擦力的分析

2．4．1常见力中接触力的特点

2．4．2静摩擦力方向的分析

2．4．3随转台匀角速转动物体的相对运动趋势的分析

2．5应用牛顿定律解题的一般方法

2．6典型例题

2．7非惯性系中力和加速度之间的关系

2．7．1在非惯性系中引入惯性力

2．7．2惯性力不是相互作用力

2．7．3非惯性系与力场的等效性

2．7．4重力和地球的引力

2．7．5科里奥利力

2．7．6非惯性系中牛顿定律的应用举例

第3章动量与角动量

3．1动量与角动量的基本概念和基本规律

3．1．1动量与角动量的基本概念和有关的物理量

3．1．2动量与角动量的基本定律

3．1．3动量概念和角动量概念的对比

3．1．4动量守恒条件和角动量守恒条件的对比

3．2用动量定理对变质量问题的分析

3．2．1经典力学中变质量问题的含义

3．2．2变质量问题的一般公式

3．3角动量守恒与行星运动

3．3．1行星运动是平面运动

3．3．2对开普勒第二定律的证明

3．3．3远、近日点速率的关系

3．4典型例题

3．5质心参考系

3．5．1质心参考系是零动量参考系

3．5．2质心系不一定是惯性系

3．5．3质心系与惯性系中角动量的关系

3．5．4质心系中角动量定理的形式

3．6对某些问题的进一步说明与讨论

3．6．1对动量守恒条件的再讨论

3．6．2动量守恒定律和牛顿第三定律实质上是彼此等价的

3．6．3为何在地球—卫星系统中研究动量关系不能选地球为参考系

3．6．4一种处理变质量问题的错误做法

3．6．5角动量概念和规律适用于作直线运动的物体吗

第4章功与能

4．1功与能的基本概念

4．1．1功

4．1．2保守力

4．1．3动能

4．1．4势能

4．1．5机械能

4．2功与能的主要规律及基本联系

4．2．1功与能的主要规律

4．2．2功与能的基本联系

4．3利用功能关系解题的基本步骤

4．4典型例题

4．5质心系中的功能关系

4．5．1柯尼希定理

4．5．2质心系中的功能原理

4．5．3质点系相对于惯性系的运动的分解

4．5．4质心系中碰撞问题的研究

4．6对某些问题的进一步说明与讨论

4．6．1关于功的定义的几种不同说法

4．6．2动量与动能的对比

4．6．3“一对力”的功

4．6．4关于保守力及势能概念的深入说明

4．6．5重力势能与万有引力势能的关系

4．6．6从一对对内力做功分析弹簧势能变化的方法

4．6．7质点系的动量、角动量和机械能是否能在任何惯性系中同时守恒

4．6．8为何在地球—卫星系统中研究能量关系时可以选择地球为参考系

4．6．9为什么不能说物体在弹性碰撞的过程中动能守恒

4．6．10汽车启动过程中有关功、能、动量等若干力学问题的讨论

第5章刚体

5．1刚体的基本概念

5．1．1刚体的几种运动形式

5．1．2刚体的重要物理量和表达式

5．2刚体运动的基本规律

5．2．1刚体的运动学规律

5．2．2关于刚体转动惯量的规律

5．2．3刚体的动力学规律

5．3典型例题

5．4对某些问题的进一步说明与讨论

5．4．1圆盘纯滚动时的转动定律

5．4．2转动圆盘啮合时的角动量守恒问题

5．4．3滑冰运动员作旋转动作时的动力学分析

5．4．4圆盘纯滚动中静摩擦力所做的功

5．4．5为什么角速度与转心(基点)的位置无关

5．4．6角位移是否为矢量

5．4．7刚体角动量L和角速度ω的关系是否可写成L=Jω的形式

第6章振动

6．1简谐振动的基本概念

6．1．1简谐振动的定义

6．1．2简谐振动的特征量

6．1．3相位差

6．1．4简谐振动的运动学特点

6．2简谐振动所服从的基本定律

6．2．1服从牛顿定律

6．2．2服从机械能守恒定律

6．3描述和求解简谐振动的基本方法

6．3．1描述简谐振动的方法

6．3．2判断一个振动是不是简谐振动的方法

6．3．3从运动学求解简谐振动的方法

6．3．4从动力学求解简谐振动的方法

6．4简谐振动的合成(叠加)

6．4．1简谐振动合成的实质与方法

6．4．2两个同频率的简谐振动的合成

6．4．3两个不同频率的简谐振动的合成

6．4．4振动合成的逆问题——振动的分解

6．5阻尼振动

6．5．1阻尼振动的方程和表达式

6．5．2阻尼振动的特点(重点讨论弱阻尼情形)

6．5．3弱阻尼、过阻尼、临界阻尼

6．6受迫振动与共振

6．6．1受迫振动的振动方程和表达式

6．6．2受迫振动的特点

6．6．3共振

6．6．4无阻尼自由谐振动和稳态受迫振动的对比

6．7典型例题

6．8对某些问题的进一步说明与讨论

6．8．1反相和反向

6．8．2相位角和方位角

6．8．3振动曲线的画法

6.8．4用旋转矢量表示简谐振动的速度和加速度

6．8．5简谐振动系统的机械能和振动能

6．8．6组合弹簧振动系统的等效劲度系数

6．8．7弹簧质量不能忽略时弹簧振子的固有频率

6．8．8求振动周期举例

6．8．9组合弹簧振动系统的横向微小振动

6．8．10物体在稳定平衡位置附近的微小振动不一定都是简谐振动

6．8．11单摆是个理想化模型

6．8．12单摆大幅度摆动的周期

6．8．13用振幅矢量法研究受迫振动

6．8．14阻尼振动系统的能量

第7章波动

7．1波动的基本概念

7．1．1波的传播的概念

7．1．2波的特征量

7．1．3波形曲线

7．1．4波的表达式

7．1．5波动方程

7．1．6波的能量及其特点

7．2与波的传播特性有关的原理、现象和规律

7．2．1惠更斯原理

7．2．2入射波、反射波、透射波间的振幅关系和相位关系

7．2．3多普勒效应及其规律

7．3与波的叠加特性有关的原理、现象和规律

7．3．1叠加原理

7．3．2波的干涉现象及其规律

7．3．3驻波的形成及特点

7．3．4两端固定绳的自由振动、简正模式

7．4电磁波

7．5典型例题

7．6对某些问题的进一步说明与讨论

7．6．1振动曲线和波形曲线的联系——波动概念的应用

7．6．2机械波的多普勒效应公式的推导

7．6．3光的多普勒效应

7．6．4波的能量到哪去了

7．6．5关于波的相干条件中“振动方向相同”一项的讨论

7．6．6驻波是不是波

7．6．7入射波和反射波振幅不等时的叠加

7．6．8在完全反射的情况下媒质边界处是否可能既不是波节又不是波腹

7．6．9关于驻波能量的讨论

7．6．10由驻波叠加为行波

7．6．11有趣的“拍”现象

7．6．12相速度与群速度

7．6．13复振幅法

第8章狭义相对论基础

8．1狭义相对论的基本原理

8．1．1狭义相对论的基本假设

8．1．2相对论是对古典时空观和牛顿力学的彻底革命

8．2相对论的时空观

8．2．1洛伦兹变换

8．2．2同时性的相对性

8．2．3时序

8．2．4时间延缓

8．2．5长度缩短

8．2．6洛伦兹速度变换

8．2．7洛伦兹加速度变换

8．3相对论力学

8．3．1相对论质量

8．3．2相对论动量

8．3．3相对论动量变化率

8．3．4相对论动能

8．3．5相对论能量

8．3．6相对论动量和能量的关系

8．3．7相对论动量和能量变换

8．3．8相对论动量变化率的变换

8．4典型例题

8．5对某些问题的进一步说明与讨论

8．5．1狭义相对论的起源

8．5．2双生子效应(双生子佯谬)

8．5．3高速运动物体的视状

8．5．4能否选光子为参考系

8．5．5光速c是否是宇宙间的极限速度

8．5．6动量守恒定律和能量守恒定律同时满足相对性原理

第2篇热学

前言

1. 热学的研究对象和方法

2. 统计规律

3. 热学系统的微观描述和宏观描述

4. 平衡态

5. 热力学第零定律、温度、温标

6. 几个问题

第9章气体分子动理论

9．1概述

9．1．1基本概念

9．1．2主要研究内容

9．2主要模型和假设

9．2．1理想气体状态方程

9．2．2理想气体的微观模型

9．2．3苏则朗模型

9．2．4平衡态理想气体分子运动的统计假设

9．3气体分子动理论的几个重要结果

9．3．1压强的统计解释与理想气体压强公式

9．3．2温度的统计解释

9．3．3麦克斯韦速率分布律

9．3．4内能

9．3．5范德瓦尔斯气体和范德瓦尔斯方程

9．3．6碰撞频率和自由程

9．3．7输运过程

9．4典型例题

9．5对某些问题的进一步说明与讨论

9．5．1对内能的进一步讨论

9．5．2麦克斯韦速度分布律

9．5．3由麦克斯韦速度分布律推导麦克斯韦速率分布律

9．5．4玻耳兹曼分布律

9．5．5单位时间内碰到器壁上的分子数

9．5．6用麦克斯韦速度分布律求压强

9．5．7分子按动能的分布律

9．5．8麦克斯韦速度分布律是研究理想气体各种规律的出发点

第10章热力学基础

10.1关于热力学过程的概念

10.1.1准静态过程

10.1.2准静态过程中系统对外界做的功

10.1.3可逆过程

10.1.4不可逆过程

10.1.5循环过程

10.1.6绝热过程

10.1.7等值过程

10.2热力学过程中的能量转化关系——热力学第一定律

10.2.1热力学第一定律

10.2.2内能

10.2.3功

10.2.4热量

10.2.5热力学第一定律的应用

10.2.6热机的效率和制冷机的制冷系数

10.2.7卡诺循环

10.3热力学过程中方向性的规律——热力学第二定律

10.3.1热力学第二定律

10.3.2卡诺定理

10.3.3熵和熵增加原理

10.3.4克劳修斯等式和熵的计算

10.4典型例题

10.5对某些问题的进一步说明与讨论

10.5.1热力学第二定律的统计解释本套书是《普通物理学辅导与答疑》的第2版，修订后更名为《大学物理学要义与释疑》（第2版）。
原书（第1版）共分三册，分别是“力学与热学”“电磁学”“振动、波动、波动光学与量子物理”。作为清华大学“大学物理课程”的课外辅助教材，原书在多年的使用中受到了广大师生的好评。从原书出版齐全至今已有二十余年（最先出版的“力学与热学”册出版已逾三十年），为适应教学形势的发展变化、改进原书在使用中发现的某些不足，有必要对其进行适当地修订。
我们的修订原则是仍坚持原书的编写宗旨［见第1版“编写说明”（节选）］，并保持原书的结构和风格不变，每一章仍是分为基本内容和专题讨论两大部分。修订主要在三个方面： 一是对原书中不必要的与课内使用教材重复的内容进行删减，二是根据近年来的教学实践补充某些基本内容和专题讨论，三是对已发现的原书内容中某些不妥之处进行修正。
第2版全书每章的基本内容主要是起到提纲挈领的总结整理作用，其中包括基本概念、基本规律、基本方法和典型例题。该部分内容主要参照的课内教材是张三慧教授编著、清华大学出版社出版的《大学物理学》（第三版），书中所用的符号也大多与张三慧教授编著的书一致。对于在张三慧教授编著的书中已有的物理规律的推导以及所举过的例题，除非采用另外的方法，原则上不再在本套书中重复。
本套书每章的专题讨论部分主要是针对教学中学生常见的问题做进一步的阐述，其中有些专题则具有扩展和提高的性质，对于这些问题的阐述也较为深入，并且不受教学基本要求的局限，以此让有余力的学生和有更多兴趣的读者能比较深入地学习一些提高性的知识，满足他们更高的求知需要。
总之，本套书既全面而简要地总结了基本教学内容，又深入地讨论了某些提高性的专题，希望这样的安排能使得不同水平的读者各得其所、皆获教益。
为适应当前大学物理课程教学多为两个学期授课的安排，修订后的本套书将由原来的三册改为上、下两册，并针对不同高校大学物理课程授课内容按学期分配的不同，计划编写两册内容分配也相应不同的版本。本版本的内容分配与清华大学的大学物理课程内容按学期的安排一致，上册内容为力学（包括狭义相对论、振动与波动）和热学； 下册内容为电磁学、波动光学和量子物理。
该册为本套书的上册，由崔砚生教授和邓新元教授主编，第1、2、3、4、5章和第8章的全部内容均由崔砚生教授修订（其中李桂琴副教授对第1、2章的部分内容做了初期的修订），第9、10章的全部内容由李列明副教授修订，崔砚生教授对以上这些章的全部内容进行了审核、统稿； 第6、7章的全部内容由邓新元教授修订和统稿。
本套书的编写和修订，反映了清华大学物理系从事大学物理教学的教师们的不少教学经验、成果和体会，这对于充实书的内容、保证书的质量至关重要。清华大学物理系对该书的修订工作给予了充分的保证和支持，阮东教授从组建修订组到确定修订方针、制定修订计划以及协调工作进度等方方面面，都起到了重要的推动作用。此外，任乃敬为本书做了大量的电脑录入工作。对于上述所有对本书修订工作给予的支持和帮助，我们一并表示衷心的感谢。
高炳坤教授、陈惟蓉教授和蒋大权副教授都是第1版的主要作者，遗憾的是他们均已辞世，不能再参与此项修订工作了。我们对于他们在第1版编写中所做出的贡献给予高度评价，并对他们表示崇高的敬意。此外，参加了第1版编写而未参加本次修订工作的老师还有： 华基美教授、沈慧君教授、黄天麟副教授、臧庚媛副教授、史田兰副教授、王虎珠副教授、杨秀珍副教授等［他们的编写工作详见第1版各个分册的“编写说明”（节选）］。在此修订版中，有些段落和专题继续沿用了上述各位老师所写的一些内容。对于上述各位老师基于第1版编写而对本书修订工作的贡献，我们给予充分的肯定，并对他们表示诚挚的谢意。
由于我们水平所限，书中难免存在不妥和错误，恳请物理教学的同行们和广大读者批评指正。
全体编者
2018年9月于清华园

10.5.2从宏观上看功和热的差异

10.5.3热力学温标及其与理想气体温标的一致性

10.5.4热力学第二定律的开尔文表述和克劳修斯表述等价性的证明

10.5.5多个热源的热机能否只吸热不放热

10.5.6等体过程中对克劳修斯等式和不等式的分析

10.5.7热力学第二定律对物性的约束、克拉珀龙方程

10.5.8内能和热量在热力学中的定义

10.5.9在纯热力学理论中熵概念的导出

10.5.10热力学第三定律
参考文献

第1篇力学

力学的研究对象是机械运动，所谓机械运动就是物体的空间位置随时间的变化，这是物质的各种运动形态中最简单、最基本、最普遍的一种运动形态。在大学物理学的力学中，主要包括运动学和动力学两个方面的内容。运动学只研究物体运动的规律，不涉及运动和运动变化的原因； 动力学则研究物体的运动和运动变化与物体间相互作用的关系。
本篇的内容包括经典力学和狭义相对论的力学。经典力学研究的是宏观物体在弱引力场(非广义相对论情形)中作低速(远小于光速)运动时的规律，狭义相对论力学研究的是没有引力场作用下的物体作高速(与光速相比拟)运动时的规律。
力学(特别是经典力学)的概念和规律是许多科技领域的基础，对于学习理工科专业的读者来说，掌握力学知识有着十分重要的实际意义。而在理论学习方面，力学又可以说是整个物理学的基础，从这个意义上说，掌握好力学的基本概念、基本规律和研究方法，对于整个物理学的学习都是至关重要的。

第1篇力学
1．1位移、速度和加速度
1．1．1参考系、坐标系

参考物位置和运动是相对的，物体的位置和运动总是相对于另一选定作为参考的物体或彼此间无相对运动的物体组而言的，这个被选作参考的物体或物体组称为参考物。参考物必须是由实物粒子构成的物理实体，它不能是场物质，例如不能把光子选作参考物。
坐标系坐标系是固结在参考物上的一组有刻度的射线、曲线或角度，以用来确定一个质点(研究对象)的空间位置。坐标系实质上是由实物构成的参考物的数学抽象。

常用的坐标系有直角坐标系(x，y，z)、球极坐标系(r，θ，φ)、柱坐标系(ρ，φ，z)、自然坐标系等。

参考系参考物和固结在其上的坐标系以及一套固结于参考物所在空间各处的同步时钟构成一个参考系。
同一个参考物所固结的坐标系还可以有不同的选取，但对描述物体的同一运动来说，其运动形式(如轨迹、速度、加速度等)还都是相同的，不同的只是对运动形式的数学描述。鉴于参考物决定了参考系的属性，所以习惯上我们就把参考物简称为参考系，并通常以参考物来命名参考系。同一个参考物，不管坐标系如何选取，都属于同一个参考系。
常用的参考系有太阳参考系(太阳恒星参考系)，地心参考系(地球恒星参考系)，地面参考系或实验室参考系，质心参考系等。在不同的参考系中，物体的运动形式可以不同。
1．1．2位移、速度、加速度的定义

图1.1.1

位移Δr如图1．1．1所示，设质点t时刻在P1点，t Δt时刻运动到P2点，若分别用r1、r2表示质点在P1、P2两位置时相对于坐标原点O的位置矢量(简称位矢)，则由P1点引向P2点的矢量
Δr=r2－r1
叫作质点在t到t Δt这段时间内的位移，它描述的是质点空间位置的改变。位移是矢量，它既有大小，又有方向。
速度?瘙經设t时刻到t Δt时刻质点的位移为Δr，当Δt趋于零时，量ΔrΔt的极限叫作质点在t时刻的速度，即
?瘙經=limΔt→0ΔrΔt=drdt(1．1．1)
或者说，质点的速度是质点的位置矢量随时间的变化率。它描述质点运动的快慢和方向。
速率?瘙經速度的大小称速率，由式(1．1．1)有
|?瘙經|=v=drdt=dsdt(1．1．2)
其中ds是质点在dt时间间隔内通过的路程。
加速度a设t时刻质点速度为?瘙經1，t Δt时刻速度为?瘙經2，Δt时间间隔内的速度增量为
Δ?瘙經=?瘙經2－?瘙經1
当Δt趋于零时，量Δ?瘙經Δt的极限叫作质点在t时刻的加速度，即
a=limΔt→0Δ?瘙經Δt=d?瘙經dt=d2rdt2(1．1．3)
或者说，加速度是速度随时间的变化率。它描述速度变化的大小和方向。
1．1．3速度?瘙經和加速度a的基本性质
矢量性速度?瘙經和加速度a都是矢量，它们具有一切矢量所具有的共性。
第一，这些量本身既有大小，又有方向。
对于速度、加速度等不仅要给出大小，还应注明方向。
两个速度(或两个加速度)只有在大小相等、方向相同时才能称为相等。由此可以判定，作等速运动的质点的轨迹必然是直线； 同理，所谓等加速运动是指加速度大小、方向都恒定的运动。
第二，它们都可以在选定的坐标系中以其分量的解析式表示。

图1.1.2

大学物理课程中最常用的坐标系是直角坐标系。对于图1．1．2所示的空间直角坐标系，质点的位置矢量可表示为
r=xi yj zk(1．1．4)
速度?瘙經可以表示为
?瘙經=vxi vyj vzk=dxdti dydtj dzdtk(1．1．5a)

其中，vx、vy、vz是速度?瘙經分别沿三个坐标轴的投影，又称沿三个坐标轴的分量，相应有
vx=dxdt，vy=dydt，vz=dzdt(1．1．5b)

速度?瘙經和它的三个分量的关系如下：

速度?瘙經的大小为
v=v2x v2y v2z(1．1．6a)
速度?瘙經的三个方向余弦为
cosα=vxv，cosβ=vyv，cosγ=vzv(1．1．6b)
其中，α、β、γ分别是速度矢量?瘙經与x、y、z轴的夹角。
加速度a可表示为
a=axi ayj azk=dvxdti dvydtj dvzdtk(1．1．7a)
其中
ax=dvxdt=d2xdt2

ay=dvydt=d2ydt2

az=dvzdt=d2zdt2(1．1．7b)
为加速度a沿x、y、z三个轴的分量。
a和它的三个分量ax、ay、az之间的关系式与?瘙經和vx、vy、vz间的关系式的形式相同。
已知任一时刻质点的速度?瘙經和加速度a，可以确定相应时刻的分量vx、vy、vz及ax、ay、az； 反之，已知速度及加速度沿三个坐标轴的分量，亦可确定相应的?瘙經和a的大小及方向。
式(1．1．5)及式(1．1．7)表明，任何一个运动都可以分解为几个正交方向上的运动，例如，物体的斜抛(没有侧风的影响)可以分解为水平方向与竖直方向两个运动来研究，这就是通常所说运动的合成与分解。因此，运动的合成与分解是描述运动的物理量——位矢r和速度?瘙經及加速度a等量的矢量性质的应用。
第三，速度的矢量性还进一步反映在它和加速度a的关系上。
首先，速度的大小或方向只要有一项随时间发生变化，就相应地存在有加速度。例如，当质点沿曲线轨道运动，由于运动方向不断改变，无论其速率是否改变，我们都可以肯定质点一定具有加速度。
其次，从加速度a与速度?瘙經这两个矢量之间的夹角φ的大小，可以定性分析速度?瘙經的变化情况。例如： 当φ=0(即a，?瘙經同方向)时，速度?瘙經只有大小的改变，而无方向的变化。
当φ=π2(即a与?瘙經垂直)时，速度?瘙經只有方向的改变，而无大小的变化。
当φ为锐角或钝角时，速度?瘙經的大小、方向均有变化。其中，当φ为锐角时，速率随着时间的推移而增大，而当φ为钝角时，速率随着时间的推移而减小。
相对性只有相对于选定的参考系来讨论研究对象的位置及其位置的变动才有意义。参考系不同，同一质点的位移、速度、加速度也不相同，这就是位移、速度、加速度等物理量的相对性。因此，使用位移、速度、加速度时必须明确所选的参考系。
需要注意，从运动学角度看，参考系可以任意选择，以讨论问题方便为宜； 但是，若从动力学角度讨论问题，就不能任意选择参考系了。
瞬时性一般情况下，运动过程中不同时刻质点的速度是不同的，速度的变化情况也不相同。某时刻的速度只反映该时刻质点的运动快慢和方向，而某时刻的加速度则只给出该时刻速度的变化率。一般曲线运动中，某时刻的法向加速度公式an=v2ρ中的v应是该时刻质点的速率，而ρ则是该时刻质点所在处轨道的曲率半径。

1．2质点运动学的常用公式
1．2．1匀加速直线运动

设质点运动轨迹为一直线，取此直线与x轴重合，则描述质点运动的各物理量的定义式为
r=xi

?瘙經=vxi=dxdti

a=axi=dvxdti=d2xdt2i
利用匀加速运动中a=常量这一特点，由上述定义，可导出三个常用公式
vx=v0x axt(1．2．1)

x－x0=v0xt 12axt2(1．2．2)

v2x－v20x=2ax(x－x0)(1．2．3)
在使用以上公式时，应当注意下述两个方面：
第一，vx、v0x、ax均表示相应物理量沿x轴的投影，是代数量(多数物理书中常略去角标x，但是它们代表的意义仍是如此)。这样，公式中速度、加速度的正负符号反映的就是相应的?瘙經、a的方向与选定的x轴正向是相同还是相反。因此，离开了坐标轴的正方向来谈直线运动中速度、加速度(投影)的正负是没有意义的。
第二，质点运动的速率是增大还是减小不是由加速度的正负符号决定，而是由加速度与速度两者的符号相同还是相反决定。
当ax与vx同号时，质点速率增大； 反之，若ax与vx异号，质点的速率减小。例如，对于一个竖直上抛物体，其加速度a=g=常量。若选择向上为x轴正向，则ax=-g<0，上升时，vx>0，ax和vx异号，物体速率减小； 下降时，vx<0，ax和vx同号，物体速率增大。同理，若选择向下为x正方向，读者可以仿照上述分析得出相同的结论。

1．2．2圆周运动和平面曲线运动
圆周运动圆周运动中，质点速度方向不断改变，因而必然存在加速度。设轨道圆半径为R，分别从速度的大小、方向两个因素的改变考虑，可以得出加速度的两个分量： 法向(向心)加速度an和切向加速度at，且有
an=v2Ren(1．2．4)

at=dvdtet(1．2．5)
其中，en表示沿半径指向圆心的单位矢量，et表示速度方向(圆周切向)的单位矢量。
法向加速度an代表与速度方向的变化所对应的速度变化率； 切向加速度at表示与速度大小的变化所对应的速度变化率。
a与at、an的关系如图1．2．1所示，加速度a的大小为
a=a2t a2n(1．2．6a)
a与?瘙經间夹角为
φ=arctananat(1．2．6b)

由角φ的值能够给出速率随时间变化的情况：
当0≤φ当φ=π2时，质点速率不变；
当π2平面曲线运动平面曲线运动的轨迹可以看作是由无限多个无穷小的曲线段连接而成，每个无穷小的曲线段都能与某个称为曲率圆的圆周相“密切”。这样，一个任意的平面曲线运动，就可以视为由一系列无穷小段圆周运动所组成。如图1．2．2所示。

图1.2.1

图1.2.2

曲线在某点P的曲率圆(密切圆)半径ρ称为曲线在该点的曲率半径。相应的，质点在某点P的加速度为
a=dvdtet v2ρen(1．2．7)
自然坐标系在曲线上的各点(如图1．2．2中的P1和P2)固结一系列由当地的切线t和法线n所组成的坐标轴，这样组成的坐标系称自然坐标系。自然坐标系是固结在所选定的参考物(参考系)上的，它并不随质点运动，质点运动到哪里，就采用轨道曲线当地的切线和法线来确定坐标轴方向。
1．2．3角量与线量的关系

图1.2.3

质点沿圆形轨道运动时，由于圆周已确定，质点位置的变化，可以用质点对圆心的位置矢量和参考方向(如x方向)的夹角θ的变化表示。质点的速度?瘙經和加速度at、an也都可由θ的变化(图1．2．3)表示出来。与角度θ的变化相联系的各量，如角位移Δθ、角速度ω=dθdt和角加速度α=dωdt等统称为角量。

v、an、at统称为线量，它们和相应的角量的关系如下： 在t到t Δt时间间隔内，质点经过的弧长Δs=RΔθ，则t时刻质点的
速率v=limΔt→0ΔsΔt=dsdt=Rdθdt=Rω(1．2．8)

法向加速度an=Rω2(1．2．9)

切向加速度at=Rdωdt=Rα(1．2．10)

1．3相对运动，速度相加原理及其适用范围
1．3．1相对运动与速度相加原理

同一运动质点在不同的参考系中具有不同的速度。从相对运动的关系中，可以求出同一质点对于不同参考系的速度之间的关系。
如图1．3．1所示，在一辆相对地面运动的车中，物体在t到t Δt这段时间内由A运动到B，有位移Δr物对车，以车为参考系，物体速度为
?瘙經物对车=limΔt→0Δr物对车Δt

从地面参考系看，在t到t Δt时间间隔内，车由C到C′，有位移Δr车对地。因此，物体对地是由A到达B′，位移是Δr物对地，且
Δr物对地=Δr物对车 Δr车对地
因此，物体的速度
?瘙經物对地=limΔt→0Δr物对地Δt=limΔt→0Δr物对车Δt limΔt→0Δr车对地Δt=?瘙經物对车 ?瘙經车对地

将这个结论推广到一般情况。设以B、C代表两个平动参考系，A代表运动质点，则有
?瘙經A对C=?瘙經A对B ?瘙經B对C(1．3．1)

图1.3.1

即一个质点对一参考系C的速度等于这个质点相对于另一参考系B的速度与此参考系B相对于参考系C的速度的矢量和，这一关系称为伽利略的速度相加原理。例如，已知天车吊运货物的速度(以天车为参考系)及天车运行速度(以地面为参考系)，求货物相对地面的速度，则可利用式(1．3．1)求解。
从速度相加原理，不难根据质点相对于两个参考系的速度，求得两个参考系的相对速度，即
?瘙經B对C=?瘙經A对C－?瘙經A对B(1．3．2)
例如，已知汽车静止时观察到的雨滴的运动及汽车开动后在车中观察到的雨滴的运动，求车速的问题，就可看成是分别已知雨滴在地面参考系和车厢参考系的速度，求汽车参考系相对地面参考系的速度，运用式(1．3．2)即可求解(参看1．4节例3)。

1．3．2古典力学的时空观与速度相加原理的适用范围
在由相对运动得出速度相加原理的过程中，实际上用到了两个在一般人看来是“不言而喻”的结论： 一是从车厢参考系测得的物体运动的时间间隔与地面参考系测得的物体运动的时间间隔是一样的，即时间的测量与参考系无关； 二是从车厢参考系测得的长度(如图1．3．1中的AB段)与地面参考系测得的长度是相同的，即长度的测量也与参考系无关。
时间、长度的测量与参考系无关，是牛顿力学或古典力学的绝对时空观。关于这一点，牛顿本人曾有这样的叙述： “绝对空间，就其本性而言，与外界任何事物无关，而永远是相同的和不动的”，“绝对的、真正的和数学的时间自己流逝着，并由于它的本性而均匀地与任一外界对象无关地流逝着。”
20世纪初狭义相对论的建立，打破了牛顿的绝对时空观，证明无论时间、空间的测量都依赖于参考系。因此，基于绝对时空观的伽利略速度相加原理就不再成立了。但是，在物体运动速度远远小于光速的情况下，相对论给出的结果和牛顿力学的结果相同，因而伽利略速度相加原理只适用于低速(与光速相比)运动的情况。

1．4解题的基本要求(不限于运动学)
为了熟练掌握、灵活应用基本物理概念和原理，提高分析问题的能力，需要完成一定量的习题。同时，坚持认真地做好每一道典型习题，还有助于培养严谨的科学作风和训练严密、清晰的论证表达能力。为此，解物理题应符合下列要求：
(1) 明确题意明确并简要写出该题的已知条件和所求物理量。
(2) 画示意图认真地用作图工具画出必要的示意图，如力学中应画出示力图、坐标轴(原点、正方向)、速度和加速度等。
(3) 讲清道理解题时要根据物理概念和原理做必要的分析，论证要清楚，引用定律和原理要说明条件，列基本方程要说明依据。
(4) 求文字解即使要求的仅是数字结果，也必须先用文字运算，得出所求物理量的文字解答，并对结果的合理性进行判断。判断的方法主要是：
查量纲看看结果的量纲(或单位)是否正确。
看变化看看结果的变化趋势是否合理。通常使文字结果中的某个参量变大或变小，看看给出结果的变化趋势是否与我们根据物理知识预计的变化趋势一致。
用特殊情况检验过渡到已知结果的特殊情况。如果题目中的某个参量选取特殊值，结果通常是已知的。将文字解答中某参量的特殊值代入，看看所得结果和我们已知的结果是否一致(文字结果判断的举例，读者可参考1．5节例4和4．4节例5)。
在判断文字结果是合理的之后，再代入数据算出数字结果。数字结果一般取三位有效数字即可(某些特殊问题及原子物理中的许多情况除外)。
(5) 讨论结果一个物理习题的文字结果，往往就是某一类具体的物理问题的公式，对所得结果作必要的讨论，常常可以加深对这一类物理问题的理解。
1．5典型例题
运动学的问题有两类，一类是已知位矢作为时间的函数(即运动函数)r(t)，求速度?瘙經和加速度a； 另一类是已知加速度a(t)及初始位置r0、速度?瘙經0，求任一时刻的速度?瘙經及位矢r。前一类问题直接用?瘙經、a的定义，由微分可求得； 后一类问题则需要用积分的方法求解。
例1由定义求?瘙經、a。
如图1．5．1(a)所示，在离水面高为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，人以不变的速率v0收绳，求当船在离岸的水平距离为x时的速度、加速度。

图1.5.1

已知收绳速率v0=常量，岸高h。
求船距岸x时，?瘙經=?a=?
分析对此例，一般容易出现的错误是不从速度的定义分析，而是凭图像上的直觉，认为v0就是船头的速率，且运动方向沿着绳，而船沿水面行进的速度正是这一速度的水平投