与数学优秀生一起思考

上海市市北中学首任校长唐乃康早在百年前就指出：“教诲学子，首在葆其天真。”要培养数学优秀生，比知识更重要的是好奇心。首先要学生保持对世界、对数学的一种纯真的态度，再选择适合学生特点的方法来教育学生，发挥长处，弥补不足，促进全面发展。
如何切实落实《普通高中课程标准》中所提出的“高中数学课程应具有多样性和选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展”，真正做到“以学生的发展为本”，重视人的差异性和个性，重视社会对人才的多层次需求，使对数学有特殊兴趣或特殊天赋的学生有进一步发展的空间？可以说，中国学生的数学平均成绩在世界上处于领先地位，但是数学优秀生所受的数学教育远不如西方国家，对数学优秀生的学习特点和培养策略开展研究，具有十分重要的意义。
陈波宇是我得意的学生之一。他关于维尔斯特拉斯函数的数学论文，在全球582个参赛队中脱颖而出，获得第三届丘成桐中学数学奖（ShingTung Yau High School Mathematics Award）的金奖。
按常规的数学人才“擅长解题”的标准，陈波宇在我们班并非特别出挑。就他后的高考数学分数136分而言，在我们班46人中排名第21位，仅比班级平均分高2分。但在高一开学前的家访中我就发现，他是真的喜欢数学，他沉迷于看《几何原本》等数学经典著作。在上课时，我喜欢引导学生大胆质疑，让学生发表自己的看法，有时我们会就一道题而展开激烈的争论。陈波宇就是一个喜欢与我争论的学生：他会发现我讲课中的漏洞；他会提出自己对数学问题的独到想法；有时候我们在课堂上提出一个数学猜想，过了若干时间，当我也把这个猜想忘记了的时候，陈波宇可能会来与我讨论这个猜想，他是能长时间地思考一个数学问题的人。陈波宇的这些特质在常规的考试中不见得能起作用，但我认为他非常适合做数学研究。
对陈波宇的教育，我的成功之处在于以下三点：

一、 一份期待：天生他材必有用
陈波宇喜欢泡图书馆、读课外书，事实上他后面撰写的论文就是有关大学微积分的内容，其难度可以作为研究生的毕业论文，这些知识都是陈波宇在课余通过自学获得的。这些阅读和对新知识的入迷都需要花费大量的时间，他也曾经因此而迟交作业、上课迟到、影响高中学科的学习，但我一直相信天生他材必有用，对他的学习我经常提醒、鼓励，而不去限制。

二、 一种氛围：哪里有数，哪里就有美
我的学生王梦桥曾说：“在市北没有被困于升学与竞赛的压力和指标，而是可以真切地去接触数学的有趣和美丽，从单纯应试做题的机械乏味转变为对理性之美的欣赏赞叹。TI图形计算器上绘制的那些设想奇妙的画面，曼德布罗特分形构造出的斑斓图案，用乒乓球捏成的正二十面体，三年来我不知多少次感到惊奇与震撼。”
前言让学生因为数学理性思维的美而热爱数学，让学生在学数学的过程中体验成功，一直是我努力的方向，陈波宇对数学持久的热爱，也得益于他在一个热爱数学的班级。

三、 一本杂志：创新，从《简单》开始
学习数学的兴趣总是和成功的喜悦紧密相连的，如独立地解决一道数学难题、做出一个数学猜想、想出一种新的解题方法等，都能使学生从这些“成功”中体验到创造的喜悦，激发起更高的学习热情。我鼓励学生将数学学习中的感悟以小论文的形式记录下来，编辑成“校本”（school based）杂志，杂志名字叫《简单》。学生自己写稿、审稿、编辑、排版。杂志中有数学小论文、数学小说、数学游戏攻略等，文章虽然“简单”，但都有学生自己的想法，对学生本人来说是一种创新，这些创作能唤起同学们对数学问题的思考。
陈波宇在高中阶段写了两篇论文，篇是《简单》期的篇;第二篇是《简单》第二期的篇，就是后来获得了丘成桐奖的这一篇。
由于陈波宇在英语等学科上的基础较差，我也担心他的升学和考试成绩。无心插柳柳成荫，学生的数学学习兴趣和信心的提升，也促进了学生的全面发展，陈波宇的弱势学科在高中后一年取得了长足的进步。
教育学生不能只看学生眼前的成绩，要看到他未来20年的发展。
在我20多年教学工作中，培养了许多让我引以为傲的学生，如温州中学个进奥林匹克数学国家集训队的学生陈然、温州中学个进浙江省队参加数学冬令营的学生王中要、市北中学个参加数学冬令营的学生江昊琛等。本书也是对《数学，引导学生创新》金荣生.数学，引导学生创新［M］.上海：上海教育出版社,2011.的扩写，是我培养数学优秀生实践与思考的总结。
本书能够成稿并得以出版，离不开顾鸿达先生、杭顺清先生、李大元先生、方仁工先生、温州中学校长胡海帆先生和市北中学校长陈军先生的鼓励与指导，离不开我的学生的帮助与支持，在这里深表感谢！宗介华先生为我们的工作付出了大量的劳动，在此一并致谢！

平台·成果·摇篮

我们正处在这样一个时期，传统的教育理论在相当程度上仍然影响着我们的教学实践，而引进的多种现代教育理论，在给我们带来启示与借鉴的同时，尚难以通过与中国教育实践的整合形成体系。所以，努力创造适合我国国情的教育就成为深化教育改革的迫切任务。

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010 — 2021 年）》指出，进一步提高我国基础教育水平，当前重要的任务，一方面是推进教育公平，促进义务教育的均衡发展；另一方面是提高教育质量，全面推进素质教育。我国基础教育的规模发展已经取得令世人瞩目的成就，接受教育的机会公平问题已经基本解决，但是接受保证教育质量的机会公平问题依然突出，基础教育的主要任务已经从规模发展转向内涵发展，提高教育质量成为今后基础教育改革与发展的着力点。提高教育质量，重要途径是深化教育改革，创新人才培养模式。基础教育将以继续深化课程改革为重点，坚定不移地推进基础教育领域的各项改革，不断提升教育的整体水平。中国的教育事业正伴随着社会的变化经历着艰难的转型。教育从来没有像今天这样有着这么多的利益相关体，引起社会这样广泛的关注；也从来没有像今天这样，人们借鉴国内外各种教育理论，从不同的视角来审视中国的教育问题；更没有像今天这样。每一种教育主张的提出，都会产生多种反响，引起不同的评价。这是社会转型期活力的张扬，也是社会转型期发展的困惑，归根结底是对教育工作者如何正确地回答中国面临的诸多教育问题的挑战。历史经验证明，由于社会转型期提出的教育问题多，所以，也需要和可能有一批教育工作者从理论和实践相结合的角度来进行回答，能够回答其中一个或者几个问题的人，就是教育家。我们现在所处的时代正是需要和可能产生教育家的时代。中国是世界上学校数量多的国家，中国需要教育家办学当然不是只需要几个人，我们期待着每一位教育工作者，都正视当前教育存在的问题，都努力从自己的岗位上用革新者的姿态探索解决问题的途径，创造突出的业绩。这是当代教育工作者的历史使命与责任担当。

教育事业的发展需要理念与实践的引领与示范，转型期的教育事业发展更需要理念与实践的引领与示范。优质教育归根结底是优质学校和优质教师进行的教育，素质教育归根结底是高素质学校和高素质教师进行的教育。基础教育要聚焦于学校发展和教师队伍建设，进一步激发广大教育工作者的积极性和创造热情。教育是科学，教育是艺术，教育更是一种修炼。这套丛书的出版目的就是搭建一个教师专业发展的平台，展示广大教育工作者改革与创新的成果，使其成为促进教育家成长的摇篮。

我祝贺它的出版，希望它能成为教育工作者的朋友，为我国新世纪伟大教育目标的实现增添一份助力！

第1章
数学教学的核心是学生的“再创造”

著名数学教育学家弗赖登塔尔认为，数学教学的核心是学生的“再创造”，数学是容易创造的一门科学.
数学实质上是人们常识的系统化.数学的发展依赖于数学家的创造，学习数学同样要重视学生的亲身体验，用学生自己的思维方式，重新创造有关的数学知识.教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或是发现有关的各种定律.
建构主义学习理论认为学习者存在个体差异，这不仅是指主体已具有的知识，而且也包含了认知风格、学习态度、信心、观念和学习动机等，学习活动在很大程度上取决于主体已有的知识和经验.知识不能简单地通过教师传授得到，而是每个学生在一定的情境即社会文化背景下，借助教师和同学的帮助，利用必要的学习资料，通过人际间的协作活动，依据已有的知识和经验主动地加以意义建构.因此，“情境”“协作”“交流”和“意义建构”是学习环境中的四大要素.其理论核心可以概括为：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构.因此数学学习是主体对数学知识的认识过程，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿、练习等被动的吸收过程，而应是在教师指导下的主动建构学习的过程；这个建构过程依赖于学习者已有的认知结构，因此必须具有个体的特殊性.
当我们在进行优秀生的分班培养是否与教育平等相违背的争论时，2500多年前孔子早就给出了答案，既要“有教无类”也要“因材施教”.“因材施教”是宋代“二程”（北宋思想家、教育家程颢、程颐的并称）和朱熹从孔子的教育实践活动中概括出来的，曰：“夫子教人，各因其材”.孔子能够针对学生的性格特点和智力水平，用不同的方法进行教育，把学生培养成各种不同的人才.孔子在《论语·雍也》中指出“中人以上，可以语上也；中人以下，不可以语上也”，就是说：“中等水平以上的人，可以告诉他高深学问；中等水平以下的人，不可以告诉他高深学问”.
加德纳的多元智能理论指出，人的智能领域是多方面的，每个学生都有自己的智力强项和学习风格.多元智能理论强调每个个体不可能拥有完全相同的智能，单个个体有很高的某种智能，却不一定有同样程度的其他智能.这种内隐的智能差异的外显化就是学生的个体差异性，只有当这种差异性被考虑到时，教学才是有效的.
相对于教师主导取向的有意义接受学习，数学优秀生更需要自主取向的深究学习.巩子坤，宋乃庆.数学优秀生培养中需明确的几个观点［J］.当代教育科学，2004（21）：61-62.对数学优秀生的培养，重要的是学习能力的培养.教是为了不教，就是做“授之以渔”的工作，教学生学会思考问题，然后让他们用自己的创造思维去学习.
1 探究性学习，一种优秀生的培养策略
11优秀生的培养模式
世界范围的综合国力竞争，归根到底是人才特别是创新型人才的竞争.我国科技人才总量居世界前列，但创新创业拔尖人才和领军人才严重不足.
第1章数学教学的核心是学生的“再创造”美国有英才教育的政策和法律，1958年颁布的《国防教育法》指出：“为了国家的安全，必须选拔大批的天才儿童，并努力进行天才教育”，1973年通过了《天才教育法》.潘发勤，杨得国.英才教育·素质教育·学科结构［J］.上海教育科学，1997（1）：16-18，21.
法国的教育受拿破仑的影响很深，拿破仑认为“教育好20%的人口很重要，因为这20%的人是带动法国前进的火车头”.袁震东.教育公平与英才教育——数学教育改革中的一个重大问题［J］.数学教学，2003（7）：封2.
在日本，精英教育曾被视为违反教育民主的制度而受到批判，但过度的教育平等严重阻碍优秀人才的培养.1978年，当时的首相福田赳夫指出：“日本在经济赶超的时代依靠的是模仿，但是今后必须具有独创性的能力.因此，实施‘英才教育’的时代来临了.”日本文部科学省2002年公布的《劝学》，及稍后由日本文部科学大臣远山敦子发布的《开拓新时代——培养有能力的日本人，从整齐划一到自立和创造》都强调了“英才教育”的理念.赵晋平.从理科高中看日本的精英教育［J］.外国教育研究，2004（5）:24-28.
英吴明海.英国伊顿公学的英才教育［J］.中国教师，2005（5）：53-55.原青林.英国公学英才教育的主要特点探析［J］.外国中小学教育,2006（12）:12-18.、德闫瑾.德国培养科研后备人才的政策措施［J］.世界教育信息，2008（3）：15-17.、俄倪明.从战略上重视数学英才教育——俄罗斯数学物理学校的启示［J］.数学教学,2006（12）:封2，49.、韩李水山.韩国的“平准化教育”和英才教育的发展［J］.基础教育参考，2007（8）：29-30.等国家也都有针对英才培养的措施和政策.
在我国，1993年*基础教育司委托北大附中、清华附中、北师大附中、华师大二附中四所学校办高中理科实验班.受此影响，许多省市重点中学也办了针对数学或理科优秀生的实验班.10多年来，理科实验班在优秀学生的教育教学方面进行了积极探索和有益尝试，但是也引起了社会上对教育公平、学科竞赛的利弊等问题的争论.2004年*办公厅下发了《关于全国理科实验班停止招生的通知》，于是大部分学校又停止了或名义上停止了理科实验班的招生.在轰轰烈烈的理科实验班教育的实验中，常见各个学校理科竞赛成绩的罗列，少见教育得失的探讨，更少见优秀生教育规律的研究.
近二十年来对英才教育与素质教育的探讨一直异常激烈.有人将英才教育与素质教育相对立，认为我国教育的弊端在于只重视英才而忽略了大多数.而教育家吕型伟认为：“我国为什么没有涌现大师，没有涌现特别出类拔萃的人才，甚至没有超过前辈人物的人才，在国内没有一个得诺贝尔奖的.一个原因是只讲全面发展，不许讲个性发展，结果是实行‘求全责备，扼长补短，求同去异’，学生的才能受到压制，特别是压制了那些奇才、怪才、偏才和狂才，不少有才华的学生被扼杀在摇篮里了.”吕型伟.要重视英才教育问题［J］.教育发展研究，1999（5）：12-15.教育家张奠宙指出：“高考体制，是制约数学优秀生成长的瓶颈，减负且深挖洞，形成了陷阱式的考试题，大家一齐陪着做，没有多少数学含量.”张奠宙，赵小平.高校自主招生和数学英才培养［J］.数学教学,2006（12）:封底.正所谓“高考减负一刀平，数学英才何处寻？”
从“不懂几何者莫入”的柏拉图的学园到现在各国普遍开设的数学物理学校，人类在数学优秀生的培养上积累了丰富的经验.
数学优秀生培养历史中的标志性事件是匈牙利男爵埃特沃斯在1894年举办的匈牙利中学生数学竞赛，及建立数学物理特设学校，由此鼓舞了一批数学天才，后来匈牙利产生了许多著名科学家，比如分析学家费叶尔、舍贵、拉多、哈尔、里斯，组合数学家蔻尼希，以及著名力学家冯·卡门，著名经济学家、1994年因博弈论而获诺贝尔经济学奖的豪尔绍尼等鼎鼎大名的人物.
数学竞赛成为培养和发现数学英才的一个重要途径.在苏联，人们把数学竞赛称作“数学奥林匹克”，认为数学是“思维的体操”.1934年在列宁格勒（今圣彼得堡），著名数学家狄隆涅主持举办了中学生数学竞赛；1935年，莫斯科也开始举办数学竞赛；1961年全俄（后改“全苏”）数学竞赛举办.在美国，1938年开始举办普特南数学竞赛，获奖者中有的后来成为杰出人物——菲尔兹奖获得者芒福德、米尔诺、奎伦和诺贝尔物理学奖得主费曼、威尔逊等；1972年起，开始举办美国数学奥林匹克，终选拔出来的国家队队员得以与父母一同到白宫接受总统接见.1956年，在著名数学家华罗庚、苏步青等人的倡导下，由中国数学会发起，北京、天津、上海、武汉首先举办了高中数学竞赛，此后由于各种原因而中断.1978年，随着“科学的春天”的到来，华罗庚主持了全国八省市的中学数学竞赛.1981年，中国数学会决定举行全国高中数学联合竞赛.从1985年开始我国派队参加了IMO（国际数学奥林匹克），并且在IMO上取得了非常优异的成绩.可以说我国的数学竞赛起步较晚，但后劲十足.届IMO于1959年在罗马尼亚举办，IMO为发现数学人才做出了突出贡献，许多IMO优胜者后来成了杰出的数学家，如沃尔夫奖获得者卢瓦兹、菲尔兹奖获得者德林菲尔德、约克兹、博切兹、高尔斯、马古利斯、拉佛阁、佩雷尔曼、陶哲轩、吴宝珠等.熊斌，葛之.历史与现实：中国奥林匹克数学竞赛现象的背后［N］.中华读书报,2005-04-27. 曾获2000年第41届IMO满分金牌的恽之玮，因在“表示论、代数几何和数论等方向诸多基本性的贡献”荣获2012年“拉马努金”奖，这标志着我国的IMO获奖者，开始走向数学研究领域的前沿.
匈牙利的特设学校成了苏联数学物理学校的模型，再以后苏联数学物理学校引起了美国、英国和其他国家精英学校的产生，由此拉开了区别一般学生教育的精英教育的序幕，并建立了一整套特长生培养的课程安排、学生选择、培养措施、发展规划等培养体系.20世纪80年代末，苏联有各种类型的数学中学近300所，每年的毕业生约占全国中学毕业生的3%,因解决了庞加莱猜想而在2006年世界数学家大会上获菲尔兹奖的佩雷尔曼，就是从列宁格勒数学物理中学成长起来的.倪明.从战略上重视数学英才教育——俄罗斯数学物理学校的启示［J］.数学教学,2006（12）:封2，49.
数学优秀生的数学课程安排，主要有两种模式.
一种注重数学知识的学习，把大学的数学内容提早渗透到高中课程中，强调数学知识加深，教学进度加快.如大数学家AH柯尔莫哥罗夫为莫斯科大学附属数学物理寄宿学校制定的“深入学习数学的学校或班级的教学大纲”的指导思想是：包含宽广的知识面，基本原理和基本理论，以及这些原理和理论建立和发展的历史过程、思想实质、相应的事实、丰富的具体材料——联系于当前和可以预见的未来的社会实践.其中的《几何学》内容包括：综合几何、向量几何、球面几何、仿射几何，以及相对论中的几何.同上. 在美国弗吉尼亚的Fairfax郡的中学，学校让数学单科突出的学生直接进入适合他们的高年级单科班学习，甚至对数学成绩特别优异的学生，学校会派校车送他到附近的大学由教授专门辅导.李永智.美国的英才教育与因材施教［J］.基础教育参考，2004（4）：15.美国高中开设的AP课程（美国大学预修课程）和Honor课程（荣誉课程），都是为那些对数学特别有兴趣或有特殊天赋的学生开设的，学生学习AP课程并通过统一考试，在大学可以免修该课.一些著名大学以学生学过若干门AP课程或Honor课程作为入学的必要条件.一些拔尖的学生还可以到就近的大学学习一两门课.袁震东.教育公平与英才教育——数学教育改革中的一个重大问题［J］.数学教学,2003（7）：封2.
另一种注重数学研究能力的培养，注重学生单独的或者互相合作的小课题研究或数学建模等活动.如莫斯科57中学和彼得堡Anichkov Lycee学校鼓励学生不依赖讲义、教科书及参考资料而独立地建立数学定理和方法，通过讨论会、研究班等形式挑战学术研究课题.熊晓东.熊晓东教育论文——英才教育在中国［M］.上海：百家出版社，2005:25-41.
12国内外数学探究性学习的研究现状
探究性学习是指学生在教师的指导下，通过观察、分析、类比、归纳、猜想、证明，或通过调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，探索发现问题、解决问题，从而获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程.
20世纪50年代到70年代，探究性学习理论的主要代表是布鲁纳、施瓦布等人.布鲁纳提出“发现学习”的理论.施瓦布教授提出的“探究学习”认为，学生学习的过程与科学家的研究过程在本质上是一致的，因此学生应像科学家一样，以研究者的身份去发现问题、解决问题，并在探究过程中获取知识、发展技能、培养能力，特别是培养创造能力，发展自己的个性.他们从理论上论证了“发现学习”和“探究学习”的合理性，推动了长时间的课程改革.20世纪80年代，菲尔兹奖获得者雷内·托姆（Rene Thom）曾针对中学数学学习的现状大声疾呼：数学的学习主要应是一个自发探究的过程，如果认为只需通过大量的生记强练，就会更容易地学到数学，那无论如何是一个可悲的错误.Rene Thom.在我的数学生涯中遇到的问题小结［J］.周建义译.数学译林，1997,（4）:275-285.
进入21世纪，我国《数学课程标准》提出：“有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法.”如今，探究性学习已经成为受关注的学习方式之一.
对数学探究性学习的研究，国外起步早、研究深.英国数学教育家布尔斯（Burghes）（1998）认为数学探究可归为解难题范畴，从而将探究分成4个层次：（1）思索式探究（难题）；（2）台级式探究（“过程”或结合型问题）；（3）决策性问题；（4）实际的问题.美国学者鲍尔和巴斯（Ball & Bass）（2000）就数学推理问题与探究能力的关系进行了较长时间的实证研究，得出结论：数学推理问题的练习对提高探究能力效果显著，数学探究性学习依赖于一定的假设——演绎推理活动.埃德尔森（Edelson,D.C.）（2001）以信息技术为平台，设计、开发了几十个探究教学软件，推广到五十多所学校的数百个班级使用，开辟了数学探究性学习与计算机技术相结合的新视点.宁连华.数学探究学习研究的特点及其思考［J］.数学教育学报，2005，14（4）：28-30.
我国对数学解题的探究学习过程研究较为具体.徐利治通过对数学方法论的研究，揭示出问题化归的本质，为数学解题的探究学习过程做了开拓性工作.单墫就数学竞赛题的探索解法及一般性数学问题的研究过程进行了针对性探讨，集中反映在其两本著作《数学竞赛研究教程》（1993）和《解题研究》（2002）中.余应龙的《数学探究性学习导读》（2002）及张广祥的《数学中的问题探究》（2003）分别列举了几十个可以展开探究活动的中学数学问题.
2001年，国家《普通高中数学课程标准》（实验）明确将“数学探究”列为3个新增版块之一，强调了探究性学习方式在数学学习中的重要性.随着数学课程改革的推动，数学探究学习研究逐步被重视，在各种数学教育刊物上，以探究学习为关键词的数学教学或学习方面的研究论文日渐丰富，但少有系统的研究成果.
下列教师的研究，与课堂教学密切相连，操作性强.徐光考（2005）从教学实践中总结出数学探究性课堂教学的几种实施方法：建构“较大”的“潜在距离”，实施探究式的变式教学；将数学教材中的概念、定理、公式、法则等知识的形成过程设计成探究的过程；加强应用性问题、开放性问题的探究教学；重视合情推理教学，让学生掌握科学的探究方法.徐光考.数学探究性课堂教学的探索［J］.数学通报，2005，44（10），24-27.周松（2006）结合教学案例归纳了数学探究性学习的四种类型：对数学知识形成过程的探究，对数学一般性规律的探究，对不同数学知识综合的探究，对数学知识与规律应用的探究.周松.数学探究性教学的基本类型与实践［J］.数学通报，2006，45（1），37-39. 张国棣（2007）指出新课程教学应加强学生“探究”方向的指导，具体有：探究数学概念的起源，渗透数学文化；探究公式的推广，提高应用的灵活性；探究问题的变化，形成思维的独创性；探究问题的归类，逐步渗透方法论思想；探究知识的“交汇”，提高知识整合能力；探究数学美，提高数学审美能力.张国棣.新课程教学应加强学生“探究”方向的指导［J］.数学通报，2007，46（1），5-8.
宁连华（2006）通过文献分析和课堂教学实录考察指出：当前的数学探究教学设计存在着逻辑起点错位、针对性不强、解释力不足和对传递性教学设计的习惯性支持等缺陷，根本原因在于两代教学设计理论（ID1和ID2）的惯性影响力.对探究需要的分析才是数学探究教学设计的逻辑起点.进行数学探究活动设计时应注意：“元认知提示语”的启发暗示，防止“滑过现象”的发生，尊重探究过程的“自组织性”.宁连华.数学探究教学设计研究［J］.数学教育学报,2006,15（4）:39-41,51.
13数学优秀生的学习特点
关于数学优秀生（也称数学特长生）的界定，一直有种种不同的说法.有的人以各种考试来认定，数学考试成绩秀的5%的学生是数学优秀生；有的人以数学竞赛的成绩来认定，在数学奥林匹克中能得奖的学生是数学优秀生；有的以学习效率来认定，不必花费太多的时间和精力，就能得到较好数学成绩的学生是数学优秀生；有的以智力水平高低来认定，智商高且数学成绩好的学生是数学优秀生.唐瑞芬.数学教学理论选讲［M］.上海：华东师范大学出版社，2000：150.美国全美数学教师协会（NCTM）对数学优秀生的界定侧重于学生对数学的兴趣，对数学有兴趣，能主动地进行数学学习，且数学学习速度较快的学生是数学优秀生.这些认识，有的侧重数学学习结果，有的侧重数学学习过程.
天津师大教师王光明（2004）兼顾结果和过程的观点：既排除那些不具备内在数学学习动力、学习效率不高、但靠“模仿记忆”和“搞题海战术”也能获得较好数学认知成绩的学生，又应排除那些天赋不错，但缺乏学习毅力、数学学习成绩不能维持在稳定状态的学生，将数学优秀生界定为数学学习兴趣浓厚、数学认知成绩好并维持在稳定状态，而且数学学习效率高（从过程看，能够向时间要数学学习效益；从结果看，能从数学认知学习要教育效益）的学生.王光明，王悦.高中数学优秀生与普通生的数学认知结构差异比较、析因与教学建议［J］.中学数学教学参考，2004（4）.
从20世纪的经验来说，从开始的匈牙利大学预科和苏联的特设学校到后来相继成立的美国和亚洲地区的学校，都指出那些天才学生可以以相当快的进度学习，他们特殊的解决问题的能力和高度的抽象思维能力大大超过了普通学生.李永智.美国的英才教育与因材施教［J］.基础教育参考，2004（4）：15.
在探究性学习上数学优秀生和普通生还表现出以下差异：
（1） 数学优秀生具有较强的探究动力
罗柳英（2005）通过调查后得出，从一天内学习时间分布及一个月内数学学习平均时间分布可以看出，优秀生与普通生每天花2个小时左右时间学习数学，但时间分布却有明显差异：在预习、复习、独立思考方面，优秀生L所花时间是普通生X所花时间的2倍；在课堂练习、课外作业方面，优秀生L所花时间是普通生X所花时间的一半左右.从总体看，若以课堂为中心，优秀生L学习数学的时间是靠前的，即他学在老师的前面.普通生X学习数学的时间是靠后的，即他跟在老师的后面学习.罗柳英.高中数学优秀生与数学普通生个案研究［J］.中学数学杂志（高中），2005（5）：23-25.
数学优秀生更喜欢预习，是因为优秀生对陌生的数学知识有着更强的探究源动力.他们经常这样想：“这是什么符号，我怎么没见过？”他们能更快地感知数学的美，并想探个究竟，“这是怎么想出来的，太奇怪了，太漂亮了，我怎么想不到？”
如，这是一个在清华大学就读的学生用短信向我求教的问题：已知f（x）是定义在R上的函数，且对于任意的a,b∈R都满足
f（a·b）=af（b） bf（a）.
求证：f（x）是常数函数.我经过仔细思考，构造了
f（x）=c·xln|x|,x≠00,x=0
为满足条件的函数，但非常数函数，所以判定原题为错题.学生认为构造的反例很巧妙，又问“反例是怎么想到的”.通过手机短信问我问题的学生，明知道“怎么想到”是很难回答的，有时甚至只可意会不可言传，她还要追问，可见“怎么想到”是如何的吸引数学优秀生了.金荣生.一个反例的构造［J］.中学数学教学参考，2006（1-2）.
（2） 数学优秀生具有较强的质疑意识
从罗柳英（2005）的学习行为观察表中的数据可以看出，优秀生L在课内交流的时间是普通生X的3倍，甚至更多.具体表现为：在认真听讲的同时，优秀生L认真回答问题的比例为23%，主动发言153%，向老师提问153%.普通生X只是认真听讲并认真回答老师提问的比例为192%，而主动发言及向老师提问均为0.罗柳英高中数学优秀生与数学普通生个案研究［J］.中学数学杂志（高中），2005（5）：23-25.
那么，优秀生在课堂上的主动发言以及向老师提问，都有哪些内容呢？你会听到：“我有不同的解法”，“我认为这样做有漏洞”，“这样解太麻烦了，有简单的方法吗？”……数学优秀生具有较强的质疑意识和探究能力.
一个源于Weierstrass函数的数学问题陈波宇同学凭论文《Weierstrass函数在不可列的稠密集上不可导的一种证明》获得第三届丘成桐中学数学奖金奖.Weierstrass函数f（x）=∑∞n=0ancos（bnπx）是数学历史上极其著名的一个“病态函数”.他的发现者Weierstrass证明了当0