描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 袋装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787519222321丛书名: 考研数学考试用书
一、一题一码，扫码听课，实现与老师面对面
本书含2005～2019年共15年考研数学（一）的真题，每道题目均配有二维码，考生扫码即可观看对应题目的视频讲解。讲解条理清晰、生动直接，助考生告别无声读书时代。
二、一套一册，方便携带
本书每一年的试题和答案解析装订成一册，共15个骑马钉册子，方便考生携带练习。
三、思路加考点，多角度提升作答能力
本书中大部分真题的参考答案及解析包含“【思路点拨】、【解析】、【考点重现】”三个部分，其中【思路点拨】帮考生找出题目的突破口，【考点重现】归纳了该题涉及的重要知识点。考生可综合上述环节加强作答能力。
四、移动自习室，体验智能化学习的便捷
购书享有中公教育移动自习室多样增值服务，考生可利用碎片化时间，随时随地上自习。
考生在复习过程中，有任何疑惑都可以在微信考友圈提出，我们的老师会*时间去解答。
2018年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2017年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2016年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2015年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2013年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2012年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2011年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2010年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2009年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2008年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2007年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2006年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
2005年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
视频讲解（1）若函数f（x）=1－cosxax,x>0b,x≤0,在x=0处连续，则
（A）ab=12。（B）ab=－12。
（C）ab=0。（D）ab=2。
视频讲解（2）若函数f（x）可导，且f（x）f′（x）>0，则
（A）f（1）>f（－1）。（B）f（1） （C）f（1）>f（－1）。（D）f（1） 视频讲解（3）函数f（x,y,z）=x2y+z2在点（1,2,0）处沿向量u=（1,2,2）的方向导数为
（A）12。（B）6。（C）4。（D）2。
视频讲解（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1（t）（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v=v2（t），三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3。计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则
（A）t0=10。（B）15 （C）t0=25。（D）t0>25。
视频讲解（5）设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
（A）E－ααT不可逆。（B）E+ααT不可逆。
（C）E+2ααT不可逆。（D）E－2ααT不可逆。
（6）设矩阵A=200021001，B=210020001，C=100020002，则
视频讲解（A）A与C相似，B与C相似。（B）A与C相似，B与C不相似。
（C）A与C不相似，B与C相似。（D）A与C不相似，B与C不相似。
视频讲解（7）设A,B为随机事件，若0
P（AB）的充要条件是
（A）P（BA）>P（BA）。（B）P（BA）
（C）P（BA）>P（BA）。（D）P（BA） （8）设X1,X2,…,Xn（n≥2）为来自总体N（μ,1）的简单随机样本，记X=1n∑ni=1Xi，则下列结论中不正确的是
视频讲解（A）∑ni=1（Xi－μ）2服从χ2分布。（B）2（Xn－X1）2服从χ2分布。
（C）∑ni=1（Xi－X）2服从χ2分布。（D）n（X－μ）2服从χ2分布。
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。视频讲解（9）已知函数f（x）=11+x2，则f（3）（0）=。
视频讲解（10）微分方程y″+2y′+3y=0的通解为。
视频讲解（11）若曲线积分∫Lxdx－aydyx2+y2－1在区域D={（x,y）x2+y2<1}内与路径无关，则a=。
视频讲解（12）幂级数∑∞n=1（－1）n－1nxn－1在区间（－1,1）内的和函数s（x）=。
视频讲解（13）设矩阵A=101112011，α1,α2,α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1,Aα2,Aα3的秩为。
视频讲解（14）设随机变量X的分布函数为F（x）=0.5Φ（x）+0.5Φx－42，其中Φ（x）为标准正态分布函数，则E（X）=。
三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。视频讲解（15）（本题满分10分）
设函数f（u,v）具有2阶连续偏导数，y=f（ex,cosx），求dydxx=0，d2ydx2x=0。
视频讲解（16）（本题满分10分）
求limn→∞∑nk=1kn2ln1+kn。
视频讲解（17）（本题满分10分）
已知函数y（x）由方程x3+y3－3x+3y－2=0确定，求y（x）的极值。
（18）（本题满分10分）
视频讲解设函数f（x）在区间［0,1］上具有2阶导数，且f（1）>0，limx→0+f（x）x<0。证明：
（Ⅰ）方程f（x）=0在区间（0,1）内至少存在一个实根；
（Ⅱ）方程f（x）f″（x）+［f′（x）］2=0在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。
（19）（本题满分10分）
视频讲解设薄片型物体S是圆锥面z=x2+y2被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为μ（x,y,z）=9×2+y2+z2。记圆锥面与柱面的交线为C。
（Ⅰ）求C在xOy面上的投影曲线的方程；
（Ⅱ）求S的质量m。
视频讲解（20）（本题满分11分）
设3阶矩阵A=（α1,α2,α3）有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。
（Ⅰ）证明r（A）=2；
（Ⅱ）设β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。
视频讲解（21）（本题满分11分）
设二次型f（x1,x2,x3）=2×21－x22+ax23+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y21+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q。
（22）（本题满分11分）
视频讲解设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=12，Y的概率密度为f（y）=2y,0 （Ⅰ）求P{Y≤E（Y）}；
（Ⅱ）求Z=X+Y的概率密度。
视频讲解（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的。设n次测量结果X1,X2,…,Xn相互独立且均服从正态分布N（μ,σ2）。该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi=Xi－μ（i=1,2,…,n），利用Z1,Z2,…,Zn估计σ。
（Ⅰ）求Z1的概率密度；
（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量；
（Ⅲ）求σ的最大似然估计量。
2017年全国硕士研究生招生考试
数学（一）试题参考答案及解析一、选择题（1）若函数f（x）=1－cosxax,x>0,b,x≤0在x=0处连续，则
（A）ab=12。（B）ab=－12。
（C）ab=0。（D）ab=2。
【答案】A
本题考查分段函数在分段点处的连续性。先计算出函数f（x）在分段点x=0处的左、右极限，然后根据limx→0－f（x）=limx→0+f（x）=f（0）列出等式即可。在计算右极限时可以使用等价无穷小替换简化运算。
【解析】由函数连续的定义可知，limx→0－f（x）=limx→0+f（x）=f（0）。因为
f（0）=limx→0－f（x）=b，
limx→0+f（x）=limx→0+1－cosxax=limx→0+12（x）2ax=12a，
所以b=12a，即ab=12。
①函数f（x）在点x0处连续的充要条件是limx→x－0f（x）=limx→x+0f（x）=f（x0）。
②等价无穷小替换的广义化：当□→0时，1－cos□～12□2。
（2）若函数f（x）可导，且f（x）f′（x）>0，则
（A）f（1）>f（－1）。（B）f（1） （C）f（1）>f（－1）。（D）f（1） 【答案】C
本题考查函数导数与单调性的关系。题目中出现的f（x）f′（x）与f2（x）的导数有关，由此可以利用函数f2（x）的单调性来判断各选项的正误。
【解析】令F（x）=f2（x），则F′（x）=2f（x）f′（x）>0，故F（x）单调递增，则F（1）>F（－1），即［f（1）］2>［f（－1）］2，从而f（1）>f（－1）。
设函数f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导。若f′（x）>0，则f（x）在［a,b］上单调递增；若f′（x）<0，则f（x）在［a,b］上单调递减。
（3）函数f（x,y,z）=x2y+z2在点（1,2,0）处沿向量u=（1,2,2）的方向导数为
（A）12。（B）6。
（C）4。（D）2。
【答案】D
本题考查方向导数的计算。先求出函数f（x,y,z）在点（1,2,0）处的梯度和方向向量的方向余弦，再代入方向导数计算公式即可。
【解析】gradf=（2xy,x2,2z），将点（1,2,0）代入得gradf（1,2,0）=（4,1,0），则
fu（1,2,0）=gradf（1,2,0）·uu=（4,1,0）·13,23,23=2。
设函数f（x,y,z）在点（x0,y0,z0）处可微，则函数在该点沿任一方向n的方向导数存在，且
fn（x0,y0,z0）=gradf（x0,y0,z0）·nn
=f′x（x0,y0,z0）cosα+f′y（x0,y0,z0）cosβ+f′z（x0,y0,z0）cosγ，
其中cosα,cosβ,cosγ是方向n的方向余弦，即nn=（cosα,cosβ,cosγ）。
（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v=v1（t）（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v=v2（t），三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则
（A）t0=10。（B）15 （C）t0=25。（D）t0>25。
【答案】C
本题考查定积分的物理应用。速度在时间上的积分是位移，乙要追上甲，只需位移满足∫t00v2（t）dt－∫t00v1（t）dt=10。
【解析】从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为∫t00v1（t）dt和∫t00v2（t）dt。要使乙追上甲，则需∫t00［v2（t）－v1（t）］dt=10。由定积分的几何意义可知
∫250［v2（t）－v1（t）］dt=20－10=10，
则t0=25。故选C。
（5）设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
（A）E－ααT不可逆。（B）E+ααT不可逆。
（C）E+2ααT不可逆。（D）E－2ααT不可逆。
【答案】A
本题考查矩阵的可逆性，矩阵可逆的充要条件是它的特征值非零。先求出矩阵ααT的特征值，然后依次求出四个选项中的矩阵的特征值，进而判断它们的可逆性。
【解析】由α是n维单位列向量可知
（ααT）α=α（αTα）=α，且1≤r（ααT）≤r（α）=1，
即1是矩阵ααT的特征值，且r（ααT）=1，所以ααT的特征值为0（n－1重）和1。
矩阵E－ααT的特征值为1（n－1重）和0，则E－ααT不可逆。故选A。
①设Α为n阶方阵，且r（Α）=1，则Α的特征值为0（n－1重）和tr（Α）。
②n阶矩阵Α可逆Α≠0r（Α）=nΑ的特征值非零
非齐次线性方程组Αx=b有唯一解
齐次线性方程组Αx=0只有零解。
（6）设矩阵A=200021001，B=210020001，C=100020002，则
（A）A与C相似，B与C相似。（B）A与C相似，B与C不相似。
（C）A与C不相似，B与C相似。（D）A与C不相似，B与C不相似。
【答案】B
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