魔研考研数学之线性代数（魔研考研系列丛书）

新东方考研名师团队匠心打造，考研数学魔研君一路陪伴 

本书以**颁布的线性代数教学大纲和*考试中心组织编写的考研大纲为依据,内容包
括了考研数学中概率论与数理统计的全部考点和相关内容。全书各章节均按照讲、练、考(自测)的结构编
写,书中例题甄选自历年考研真题和经典题型,使学生在学习上形成一套闭环，而且
“魔研君点睛”是本书的一大特色。
本书通俗易懂、深入浅出,可作为考研高等数学的备考用书,也可作为大学数学学习的辅导用书,以及
数学爱好者的自学教材。

小侯七   新东方上海学校考研数学组组长，新东方武汉学校考研数学特聘顾问，魔研考研数学教研室负责人，新东方考研梦想宣讲团首席讲师，新东方有价值教师奖（MVT）中的考研数学讲师.

第1章行列式

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 n阶行列式基本定义

二、 行列式完全展开式

三、 行列式的性质

四、 几种特殊行列式

考试题型与解析

题型一：  数值型行列式计算

题型二：  抽象型行列式计算

题型三：  余子式相关问题

自测题精选

第2章矩阵

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 矩阵相关概念

二、 矩阵的运算

三、  逆矩阵

四、 初等变换、初等矩阵

五、 矩阵的秩

六、 分块矩阵

考试题型与解析

题型一：  矩阵的运算

题型二：  逆矩阵

题型三：  伴随矩阵

题型四：  初等变换

题型五：  矩阵的秩

题型六：  分块矩阵

自测题精选

第3章向量

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 n维向量相关概念及其运算

二、 一个向量组间的向量关系——线性相关和线性无关

三、 一个向量和一个向量组间的关系——线性表示

四、 向量组和向量组的关系——向量组表示

五、 极大线性无关组和向量组的秩

六、 向量空间（数学一）

考试题型与解析

题型一：  向量组线性相关性

题型二：  线性表出相关考题

题型三：  向量组间互相表示相关问题

题型四：  向量组等价相关考题

题型五：  向量组的极大无关组和秩

题型六：  向量空间的基、过渡矩阵以及坐标

自测题精选

第4章线性方程组

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 线性方程组的表达形式

二、 齐次线性方程组

三、 非齐次线性方程组

四、 克拉默法则

考试题型与解析

题型一：   数值型线性方程组解

题型二：   抽象型线性方程组解

题型三：   含参线性方程组

题型四：   抽象型线性方程组求解

题型五：   两个线性方程组的公共解

题型六：   两个线性方程组的同解问题

自测题精选

第5章方阵的特征值与特征向量

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 特征值、特征向量相关概念及性质

二、 矩阵相似以及矩阵相似对角化

三、 引入知识(正交化、单位化、正交矩阵)

四、 实对称矩阵相似对角化

考试题型与解析

题型一：   数值型矩阵的特征值和特征向量

题型二：   抽象型矩阵的特征值和特征向量

题型三：   矩阵相似对角化的求解与判定

题型四：   两个矩阵的相似判定

题型五：   实对称矩阵相似对角化

自测题精选

第6章二次型

考研大纲要求与重点导学

必会基本内容

一、 二次型的概念以及矩阵表示

二、 二次型化为标准形

三、 正定二次型、正定矩阵

考试题型与解析

题型一：   二次型基本概念型考题(对应矩阵、秩、正负惯性指数)

题型二：   二次型化标准形

题型三：   矩阵合同、矩阵相似、矩阵等价

题型四：   二次型的正定与矩阵的正定

自测题精选

附录小侯七谈考研数学备考攻略

一个出身武术世家的数学老师的数学梦
小侯七

在来到新东方做考研数学老师之前，我为人知的身份是“侯家拳传人”.我8岁开始跟随爷爷学习的侯家拳，那时学的是皮毛； 十几岁的时候拜师吉林武术名家陈国诚，系统地学习了陈式太极拳和一些刀法、剑法，算是小有成绩； 到大庆后，与东北众多武术名家亦师亦友，学到了包括太极拳、螳螂拳、查拳在内的很多拳种； 再后来到上海，更是得到了武术泰斗“神拳大龙”蔡龙云老先生的指点，将原本无标准套路的侯家拳虎搏功整理出入门三大母拳： 静山桩、虎搏缠手、川杨功.
我不仅仅是学功夫，更是热衷于传播功夫，先后成立过“中华振武会”“Tiger武学堂”等武术组织，搞国际武术文化推广.前前后后有十几个国家的留学生和访华团体，都是带着我教给他们的中国功夫回到自己的国家的.
为什么在武术界风生水起的我，突然转行到了教育行业？其实不是转行，而是“谋条生路”.振兴武术是我一生的坚持，只要我还活着，只要有机会，我就肯定会把中国的国粹推广和发扬.但同学们，追求梦想的前提是活下去，活下去就需要有经济来源.而我振兴武术略显“愚忠”，从来不收一分钱，既不收个人的学拳费，也不收组织的劳务费，除了收过上海理工大学日本文化交流中心的200元补贴外，这辈子在武术上我没赚过其余一分钱.
侯氏家族虽不敢称名门望族，但家中一直都有代代相传的家族文化，武术在我们家族是神圣的，能和我学习侯家拳，说明我们有缘分，你我是有缘人，怎么还能收费呢？不可以.可我到底该靠什么来生活？随随便便对付一份工作？那样我觉得是浪费人生.
我有三大爱好，还有三种爱吃的食物，分别是“读书、练武、做数学，牛肉、土豆、炒番茄”.读书我曾经做过“小侯七读书会”，虽然影响不大，但充满着读书人的情怀； 练武自不用多说，我骨子里都流着武术人的血液，对我来说举手投足都是练武，没真正去做的那就是做数学了.
我自小就喜欢数学，尤其高中时遇到了一位有魔力的班主任数学老师，更是让我对数学产生了浓厚的兴趣.如果说一定要让我找一个可以维持生计的工作，那我毫无疑问会选择做数学.重要的是，做数学是我的三大爱好之一，与我那充满浓浓情怀的人生规划并不矛盾.
就这样，我来到了上海新东方，一不留神在终极面试中成为了全校名，做了考研数学老师，更是一不留神还成了考研数学项目组长、考研数学教研负责人，当了“官”了.
从我做考研数学老师那天起，我给自己定了三个规矩： 踏踏实实教知识，认认真真搞教育，堂堂正正为人师.每次面对学生或者走上讲台前，我都会提醒自己，千千万万不能忘了这三个规矩.所以，在以往的教职生涯中，我敢拍着胸脯说做到了无愧于心.
在和学生的交流中，我发现很多学生的基础并不好.有些同学可能是毕业多年，早已经将数学知识还给当年的老师了； 有些同学虽在校园但前几年没有认真学数学，现在决定要考研才发现自己的数学不行.什么原因导致的数学基础不好，我并不关心，我只关心如何能把数学教好，如何能让打算考研的同学们把数学学好.
市面上考研数学的辅导书非常多，而且大多写得都不错，但我也有自己的想法，比如能不能用通俗、直白、“接地气”的语言解释数学概念，能不能有让同学们一目了然、一点即通的“点睛”部分，等等.带着这些想法，2017年愚人节，我便与我的挚友清华大学出版社汪操老师沟通，他对我的想法很支持，给出了很多建议.就这样，我开始组建团队，周洋鑫和崔原铭这两位优秀的考研数学老师走进了我的视野.
我和周洋鑫初识是在2017年9月，当时新东方教育科技集团组织教师赛课，洋鑫是数学组赛课名.他的讲课风格和对数学的理解，我非常欣赏.从那时起我们成了彼此考研数学圈好的朋友之一.深入了解后我得知，他是北京新东方的骨干名师、博士，对数学有着独特的认知.我将我的图书规划讲给他听，他非常激动，说： “侯哥，这正是我想要的考研数学辅导用书.”还记得有一天，我去北京出差，他带着我逛他博士就读的母校，边走边和我说他关于数学的梦想，以及他对爱情、事业甚至人生的规划.我静静地听着，心中却早已无法压抑那份激动，因为我觉得此人绝非等闲之辈，实乃有鸿鹄之志的“天才少年”.就这样，我正式邀请他加入我的团队，全面参与“魔研考研数学系列”的编写工作.事实证明，我的决定是正确的.
崔原铭是复旦高才生，曾经在上海新东方兼职，但由于各种原因并没有上台讲课，毕业后去了上汽通用汽车有限公司工作.在我刚刚担任考研数学项目组长的时候，他就特别积极地联系我，说要重回新东方，实现自己的数学梦.当时我由于课程任务重，管理工作繁忙，所以并没有“搭理”他.但他特别执着，一定坚持要见我，于是我就约他来了上海新东方总部.还记得那是2017年10月的一个下午，我俩在上海新东方总部咖啡吧次见面，在接下来的沟通中，我发现他竟然也是个数学天才，2017年我接触的全国考研数学老师数以百计，新东方数学团队也有七八十人，让我“心动”的除了洋鑫，就是原铭了.还记得在上海南路一家餐厅用餐时，他说： “侯哥，数学并不枯燥，是讲课人的方法太枯燥； 数学可以很通俗易懂，是易懂的书太少.就像做菜一样，材料都相同，要有一个好厨师调配.”后来，他正式加入到新东方考研数学的大家庭，其超强的能力也得到了其他同事的认可.再后来，我又把他拉进“魔研考研数学系列”的编写团队.
我们三人的合作非常愉快，三本书我们都有参与，但根据各自的擅长，每本书每人负责若干章节.在很多人眼里，写这种辅导用书，不就是“复制”和“粘贴”吗？但看拳和打拳真不一样，我们对每个概念都会选自己认为恰当的描述方式，对每一道题的选取都精挑细琢、深思熟虑，并且在课堂上通过学生检验.
让我感动的是2018年除夕夜，当晚10点左右，在安徽泾县“娘家”过年的我刚刚陪完亲戚，打算拿出电脑和一堆材料开始整理书稿的时候，突然洋鑫来电，他略带疲惫地问： “侯哥在干嘛？”
我打了个哈欠说： “酒也喝了，鞭炮也放了，饺子也包了，该写写书、做做题了.”
洋鑫一下子兴奋起来，说： “我也正打算写书稿， 要不我们一起？”
因为对数学知识点的认识需要全面和准确，所以我们三人经常讨论，因此常常会保持语音通话的状态一起写书.
我说： “不知道原铭有没有空.”
洋鑫说： “是他打电话告诉我，他要写书稿，恰好我也有此意，才给你打的电话.”
那一瞬间我感动了.两个兄弟都这么努力，我这当大哥的还能掉队吗？必须写起来！
……
我要感谢上海新东方王洛老师、新东方集团张伟老师、清华大学出版社汪操老师，还要感谢我的助理老师们，在我因工作量大而无法分身时，他们帮我梳理了部分基础性材料，花费了大量心血.后，感谢新东方教育科技集团和清华大学出版社的大力支持，是你们让“魔研考研数学系列”有了诞生的可能.
总体来说，《魔研考研数学之高等数学》《魔研考研数学之线性代数》和《魔研考研数学之概率论与数理统计》是我和洋鑫还有原铭倾尽心血完成的三本书，但由于能力有限、时间仓促，在编写过程中难免有不足之处，请读者、同行以及专家朋友们多多提出宝贵意见，我们愿意积极改正并同步提高.
小侯七敬上.
新浪微博： 小侯七

第3章向量

考研大纲要求与重点导学
1. 本章大纲及考试要求

序号考试内容与要求适 用 科 目
1理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念
数学一、二、三
2
理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法
数学一、二、三
3
理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩
数学一、二、三
4
理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系
数学一、二、三
5
了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念
数学一
6
了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵
数学一
7
了解规范正交基的概念及其性质
数学一

2. 本章概要与重点导学
向量作为本书的核心内容，是考研线性代数考点中比较抽象的部分，更是考研的重点考查内容．建议大家在复习过程中，把握好向量有关基本概念的同时理清三对概念之间的关系，分别是“线性相关性和齐次线性方程组、线性表示和非齐次线性方程组、向量组间表示和矩阵方程”，这是线性代数的一大核心脉络．
【注】基于考研数学的系统化学习要求，施密特正交化这部分内容将在第5章具体介绍．

必会基本内容

一、 n维向量相关概念及其运算
1. 什么是n维向量？
n个数a1,a2,…,an所组成的有序数组称为n维向量，记作

α=［a1,a2,…,an］或α=［a1,a2,…,an］T.

前者称为行向量，后者称为列向量．其中ai(i=1,2,…,n)称为向量α的第i个分量，n称为向量α的维数．所有分量均为零的向量称为零向量，记为0=［0，0，…,0］T．
特殊地，当n=2或n=3时，就是平面向量和空间向量，相应的分量就是在笛卡儿坐标系下的坐标，如下图所示．但是，当n>3时，就无法从几何上进行描述了．

2. n维向量怎样运算？
向量属于特殊的矩阵，所以向量具备矩阵的很多运算性质．
设向量α=［a1,a2,…,an］T，β=［b1,b2,…,bn］T，则有下表.

运算形式方法

数乘运算kα=［ka1,ka2,…,kan］T
加减运算α±β=［a1±b1,a2±b2,…,an±bn］T
内积运算(1) (α,β)=αTβ=βTα
=a1b1 a2b2 … anbn；

(2) (α,α)=a21 … a2n≥0；
(α,α)=0α=0;

(3) 若(α,β)=0，称α与β正交

长度运算(1) |α|=(α,α)=a21 a22 … a2n；

(2) 若|α|=1，称α为单位向量；

(3) 单位化： α0=α|α|