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开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787519210755丛书名: 2020考研数学
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本书按照考研数学三的大纲分为三篇，共19章。书中每一章的“本章知识架构”系统组织起相关考点的脉络；“考试大纲要求”帮考生了解考纲规定；“基础知识详解”从*浅显的角度切入，详细地讲述了各章节所涉及的基础知识，并对重要考点配有二维码，对易混易错的知识点设置了“要点点拨”，帮助考生更清晰地理解和记忆相关知识；“常考题型”模块精选了大量典型例题，这些例题难易兼顾，基本涵盖了考试中常见的题型；此外，“同步习题”模块提供了适量习题供考生自测学习效果，与典型例题相比，这部分题目综合性不强，更重基础。
第一章函数、极限、连续
考纲分级要求
基础知识精讲
一、函数
（一）函数的概念及表示法
（二）函数的几种特征
（三）函数的运算
（四）常见的函数类型
二、极限
（一）极限的概念
（二）极限的性质
（三）无穷小量和无穷大量
（四）两个重要极限
（五）极限的运算法则
（六）极限存在的判别准则
三、连续
（一）函数连续性的定义
（二）间断点及其类型
（三）闭区间上连续函数的性质
典型例题精编
题型一——函数及其性质
题型二——函数极限的计算
题型三——无穷小量的比较
题型四——函数连续性的判断及相关性质
同步习题
一、选择题
目录
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第二章一元函数微分学
考纲分级要求
基础知识精讲
一、导数与微分
（一）导数的基本概念
（二）微分的基本概念及性质
二、导数与微分的计算
（一）基本初等函数导数与微分公式
（二）求导法则
（三）隐函数与幂指函数求导
（四）高阶导数
三、微分中值定理
（一）费马引理
（二）罗尔定理
（三）拉格朗日中值定理
（四）柯西中值定理
四、导数的应用
（一）导数性质的相关应用
（二）利用导数研究函数的相关性质
（三）曲线的切线与法线
（四）导数的经济意义
典型例题精编
题型一——函数可导、连续与可微的关系
题型二——导数的计算
题型三——高阶导数的计算
题型四——微分中值定理
题型五——导数的应用
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第三章一元函数积分学
考纲分级要求
基础知识精讲
一、不定积分
（一）原函数与不定积分的概念及基本性质
（二）不定积分的计算方法
二、定积分
（一）定积分的概念及性质
（二）微积分基本定理
（三）定积分的求解
（四）定积分的应用
三、反常积分
（一）无穷限的反常积分
（二）无界函数的反常积分（瑕积分）
典型例题精编
题型一——原函数的概念
题型二——不定积分的计算
题型三——定积分的性质及变上限积分
函数
题型四——定积分的计算
题型五——定积分的应用
题型六——反常积分
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第四章多元函数微积分学
考纲分级要求
基础知识精讲
一、基本概念
（一）多元函数
（二）二元函数的极限与连续
（三）二元函数的偏导数与全微分
二、偏导数的计算
（一）复合函数的偏导数
（二）隐函数的偏导数
三、偏导数的应用
（一）极值
（二）连续函数在有界闭区域上的最值问题
四、二重积分
（一）二重积分的概念
（二）二重积分的性质
（三）二重积分的计算
（四）无界区域上简单的反常二重积分典型例题精编
题型一——多元函数的极限、连续及偏导
题型二——多元函数求偏导
题型三——多元函数微分学的应用
题型四——二重积分的计算
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第五章无穷级数
考纲分级要求
基础知识精讲
一、常数项级数
（一）级数的概念及性质
（二）级数的收敛准则
（三）两个重要级数
二、幂级数
（一）函数项级数及和函数
（二）幂级数及其收敛性
（三）幂级数的性质
（四）函数展开成幂级数
典型例题精编
题型一——常数项级数的敛散性
题型二——幂级数
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第六章常微分方程与差分方程
考纲分级要求
基础知识精讲
一、基本概念
（一）微分方程及阶的概念
（二）微分方程的解、通解、特解
（三）线性微分方程
二、一阶微分方程的求解
（一）变量可分离的微分方程
（二）齐次微分方程
（三）一阶线性微分方程
三、二阶常系数线性微分方程的求解
（一）线性微分方程解的性质及解的
结构定理
（二）二阶常系数齐次线性微分方程
（三）二阶常系数非齐次线性微分方程
四、差分方程
（一）差分与差分方程
（二）一阶常系数线性差分方程
五、微分方程解简单的经济应用问题
（一）经济数学中的五大函数
（二）边际函数与弹性函数
典型例题精编
题型一——一阶微分方程
题型二——二阶常系数线性微分方程
题型三——差分方程
题型四——微分方程的应用
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第二篇线性代数
第一章行列式
考纲分级要求
基础知识精讲
一、行列式的相关概念
（一）排列与逆序
（二）行列式
（三）余子式与代数余子式
二、行列式的性质
三、行列式的计算公式
（一）行列式展开定理
（二）低阶行列式的计算公式
（三）上（下）三角形行列式
（四）范德蒙德行列式
四、克拉默法则
典型例题精编
题型一——对行列式相关概念的考查
题型二——行列式的计算
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第二章矩阵
考纲分级要求
基础知识精讲
一、矩阵的相关概念
（一）矩阵的定义
（二）几类特殊的矩阵
二、矩阵的运算
（一）矩阵的线性运算
（二）矩阵的乘法
（三）矩阵的转置
（四）方阵的行列式
三、逆矩阵
（一）逆矩阵的定义
（二）可逆矩阵的性质
（三）伴随矩阵
（四）矩阵可逆的充要条件
四、矩阵的初等变换和初等矩阵
（一）基本概念
（二）重要公式与定理
五、矩阵的秩
（一）矩阵的k阶子式
（二）矩阵的秩
（三）矩阵秩的相关性质
六、分块矩阵
（一）定义
（二）运算法则
（三）分块矩阵的常用结论
典型例题精编
题型一——矩阵的基本运算及性质
题型二——逆矩阵及伴随矩阵的计算
题型三——初等矩阵与初等变换
题型四——矩阵的秩
题型五——分块矩阵
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第三章向量
考纲分级要求
基础知识精讲
一、向量及其性质
（一）向量
（二）线性组合与线性表示
（三）向量组的线性相关性
二、极大线性无关组和向量组的秩
（一）向量组的极大线性无关组
（二）向量组的秩
（三）矩阵的秩与向量组的秩的关系
三、向量的内积与正交性
（一）向量的内积
（二）正交向量组和规范正交向量组
（三）施密特正交化
典型例题精编
题型一——向量的线性相关与线性表示
题型二——内积与正交
题型三——极大线性无关组与秩
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第四章线性方程组
考纲分级要求
基础知识精讲
一、基本概念
（一）线性方程组
（二）线性方程组的矩阵
（三）高斯消元法
二、线性方程组解的判定
（一）解的存在性
（二）解的唯一性
三、线性方程组解的结构
（一）线性方程组解的性质
（二）基础解系与通解
典型例题精编
题型一——线性方程组解的判定
题型二——线性方程组解的结构
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第五章矩阵的特征值和特征向量
考纲分级要求
基础知识精讲
一、特征值和特征向量
（一）特征值和特征向量的定义
（二）特征值和特征向量的性质
（三）特征值和特征向量的求解
二、矩阵的相似
（一）相似矩阵的定义
（二）相似矩阵的性质
三、相似对角化
（一）相似对角化的定义
（二）矩阵相似对角化的相关定理
（三）矩阵对角化的方法
四、实对称矩阵
6（一）实对称矩阵特征值和特征向量
的性质
（二）实对称矩阵正交相似对角化的
方法
典型例题精编
题型一——求特征值和特征向量
题型二——矩阵的相似
题型三——实对称矩阵
同步习题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第六章二次型
考纲分级要求
基础知识精讲
一、二次型及其合同标准形
（一）二次型及其矩阵
（二）合同变换
（三）二次型的合同标准形
二、惯性指数与合同规范形
（一）惯性指数
（二）二次型的合同规范形
（三）惯性定理
三、正定二次型
（一）正定二次型的定义
（二）正定二次型的性质
（三）二次型正定的充要条件
典型例题精编
题型一——二次型及标准形
题型二——惯性定理与合同
理解函数的概念，复合函数及分段函数的概念，无穷小量的概念和基本性质，函数连续性的概念（含左连续和右连续），闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。
掌握函数的表示法，基本初等函数的性质及其图形，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限的方法，无穷小量的比较方法。
会求建立应用问题的函数关系，判别函数间断点的类型，应用闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。
一、函数
（一）函数的概念及表示法
1.函数的概念
设x与y是两个变量，D是实数集R的某个子集，若对于D中的每一个x，按照对应法则f，总有唯一确定的y值与之对应，则称因变量y为自变量x的函数，记作y=f(x)。这里的D称为函数f的定义域，相应的函数值的全体所构成的集合称为函数f的值域。
（1）从概念上讲，函数实际上是一个映射，是两个实数集之间的对应法则，它包括两大要素：定义域和对应法则。
（2）两个函数相等的充要条件是定义域（自变量的取值范围）和对应法则（从自变量的值对应到因变量的值的方法）都相同。需要注意的是，函数和变量的选取是没有关系的，只要定义域和对应法则相同，不管用什么变量表示函数的自变量和因变量，函数都是一样的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一个函数。
（3）在没有特殊规定的情况下，函数的定义域就是使相关的运算有意义的范围，也称为函数的自然定义域。人为指定的定义域一定是自然定义域的子集。
2.函数的表示法
（1）解析法(公式法)：用数学式表示自变量和因变量之间的对应关系的方法是解析法。
（2）表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法是表格法。
（3）图形法：用坐标平面上的点集{P(x,y)|y=f(x),x∈D}来表示函数的方法是图形法。
在图形法中，一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
（二）函数的几种特性
1.有界性
设函数f(x)的定义域为D，数集XD。如果存在正数M，使得对任一x∈X，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)在X上有界。如果这样的M不存在，则称f(x)在X上无界。
（1）函数的有界性也可以通过上下界的方式来定义：如果存在实数m和M，使得对任一x∈X，都有m≤f(x)≤M，则称函数f(x)在X上有界。其中m和M分别称为函数f(x)在X上的下界和上界。要注意的是，函数在一个区间上有界的充要条件是函数在该区间上既有上界又有下界。
（2）有界性是函数在给定区间上的性质，同一个函数在不同区间上的有界性可能是不一样的。例如函数f(x)=1x在区间(0,1)上是无界的，在区间(1,+∞)上是有界的。
2.单调性
设函数f(x)的定义域为D，区间ID。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1 f(x1)f(x2)），
则称函数f(x)在区间I上单调增加（或单调减少）。
在上述定义中，若把“”换成“≥”，则称函数f(x)在区间I上单调不增。
单调性的性质：
（1）如果f1(x),f2(x)都是增函数（或减函数），则f1(x)+f2(x)也是增函数（或减函数）；
（2）设f(x)是增函数，如果常数C>0，则C·f(x)是增函数；如果常数C<0，则C·f(x)是减函数；
（3）已知f(u)与g(x)可构成复合函数f［g(x)］，如果函数y=f(u)与u=g(x)增减性相同，则函数y=f［g(x)］为增函数；如果函数y=f(u)与u=g(x)增减性相反，则函数y=f［g(x)］为减函数。
3.奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任一x∈D，都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于任一x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数。
（1）奇偶性的性质：
①偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称；
②如果f1(x)和f2(x)都是偶函数（或奇函数），则对任意的常数k1,k2∈R，k1f1(x)+k2f2(x)仍是偶函数（或奇函数）；
③如果f1(x)和f2(x)的奇偶性相同，则f1(x)·f2(x)为偶函数；如果f1(x)和f2(x)的奇偶性相反，则f1(x)·f2(x)为奇函数。
（2）常见的偶函数：y=xk（k为偶数），y=cosx，y=x，f(x)，f(x)+f(－x)2，f(x)·f(－x)，其中f(x)是任意定义在对称区间上的函数。
常见的奇函数：y=xk（k为奇数），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln(x+1+x2)，f(x)－f(－x)2，其中f(x)是任意定义在对称区间上的函数。
4.周期性
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对任一x∈D有x±T∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期。一般周期函数的周期是指最小正周期。
（1）如果f(x)以T为最小正周期，则对任意的非零常数C，Cf(x)仍然以T为最小正周期，f(Cx)以TC为最小正周期；
（2）如果f1(x)和f2(x)都以T为周期，则对于任意的常数k1,k2∈R，k1f1(x)+k2f2(x)仍然以T为周期。注意这时最小正周期有可能缩小，如f1(x)=cos2x+sinx,f2(x)=sinx都以2π为最小正周期，但f1(x)－f2(x)=cos2x以π为最小正周期。
（三）函数的运算
1.四则运算
设函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，且D=D1∩D2≠，则这两个函数经过四则运算之后能形成新的函数。
和（差）运算：f(x)±g(x)，x∈D。
积运算：f(x)·g(x)，x∈D。
商运算：f(x)g(x)，x∈D＼{x|g(x)=0,x∈D}。
2.复合函数
设函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)的定义域为D2。如果g(x)的值域g(D2)包含于f(u)的定义域D1，则可以定义函数y=f［g(x)］（x∈D2）为函数f(u)与g(x)的复合函数，记作
y=f［g(x)］或fg。
（1）复合函数的基本思想是把y=f(x)（x∈D1）中的x进行推广，变成一个新的函数，这是我们认识和理解函数的基本方式。
（2）注意能够进行复合的前提条件是g(x)的值域g(D2)包含于f(u)的定义域D1。如果该条件不满足，只要g(x)的值域g(D2)和f(u)的定义域D1的交集不是空集，复合运算也可以进行，只不过此时复合之后的函数的定义域变成了{x|g(x)∈D1}。
3.反函数
设函数y=f(x)的定义域为D，其值域为f(D)。如果对于每一个y∈f(D)，都有唯一确定的x∈D，使得f(x)=y（我们将该对应法则记作f－1），则这个定义在f(D)上的函数x=f－1(y)就称为函数y=f(x)的反函数，或称它们互为反函数。
（1）不是所有的函数都有反函数。函数y=f(x)（x∈D）存在反函数的充要条件是对于定义域D中任意两个不相等的自变量x1,x2，有f(x1)≠f(x2)。一般来说，单调的函数一定有反函数。
（2）在同一坐标平面上，函数y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图像关于直线y=x对称。
（四）常见的函数类型
1.初等函数
（1）常用的基本初等函数有五类：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
（2）初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数称为初等函数。
2.分段函数
（1）分段函数的基本形式：f（x）=f1（x），x∈I1，
f2（x），x∈I2，
fn（x），x∈In。
（2）绝对值函数：
f（x）=|x|=x，x≥0，
-x，x＜0，
其定义域是（-∞，+∞），值域是［0，+∞）。
（3）符号函数：
f（x）=sgnx=1，x＞0，
0，x=0，
-1，x＜0，
其定义域是（-∞，+∞），值域是{-1，0，1}。
（4）取整函数：f（x）=[x]表示不超过x的最大整数。
（5）最大值、最小值函数：y=max{f（x），g（x）}，y=min{f（x），g（x）}。
3.隐函数
如果变量x和y满足方程F(x,y)=0，当x取区间I内的任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的y值存在，则这样确定的函数关系y=y(x)称为由方程F(x,y)=0确定的隐函数。
4.由参数方程定义的函数
若参数方程x=φ（t），
y=ψ（t）确定了y与x的函数关系，则称其表达的函数为由参数方程所确定的函数。
二、极限
（一）极限的概念
1.数列极限
设{xn}为一数列，a为一常数，则limn→∞xn=a对任意的ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，有|xn-a|＜ε。
（1）数列极限limn→∞xn=a的含义：当n无限增大时，数列的值无限趋近于a。
（2）对极限过程n→∞要注意两点：一是这里的无穷一定是正无穷，二是n只能取正整数。
2.函数极限
设函数f（x）的定义域为R，A为一常数，则limx→∞f（x）=A对任意的ε＞0，存在X＞0，使得当|x|＞X时，有|f（x）-A|＜ε。
类似可定义limx→+∞f（x）=A，limx→-∞f（x）=A。
（1）函数极限limx→∞f(x)=A的含义：当x的绝对值无限增大时，函数值无限趋近于A。注意这里的x可以是正的也可以是负的。
（2）limx→∞f(x)=A的充要条件是limx→－∞f(x)=limx→+∞f(x)=A。
视频讲解
设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，A为一常数，则limx→x0f（x）=A对任意的ε＞0，存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，有|f（x）-A|＜ε。
（1）注意这里的自变量是在x0的去心邻域内取值，即x→x0表示x无限地接近但是不等于x0，所以极限limx→x0f(x)和函数f(x)在点x=x0处的取值是没有关系的，f(x0)是否发生改变，甚至函数f(x)在点x=x0处是否有定义都不影响极限limx→x0f(x)。
（2）注意x→x0表示x可以从左、右任意一边趋近于x0，如果限定x只能从x0的左边或者右边趋近于该点就可以得到左、右极限的概念。
3.函数的单侧极限
设函数f(x)在点x0的某一左邻域内有定义，A为一常数。如果对任意的ε>0，存在δ>0，使得当－δ limx→x－0f(x)=A，或f(x－0)=A，或f(x0－0)=A。
设函数f(x)在点x0的某一右邻域内有定义，A为一常数。如果对任意的ε>0，存在δ>0，使得当0 limx→x+0f(x)=A，或f(x+0)=A，或f(x0+0)=A。
定理（极限存在的充要条件）limx→x0f(x)存在的充要条件是limx→x－0f(x)和limx→x+0f(x)都存在且相同。
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