考研数学用书中公2020考研数学基础知识复习大全数学一适用

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本书的“基础知识精讲”模块从浅显的角度切入，详细讲述了各章节的基础知识，并对易混易错的考点设置了“要点点拨”，对其作了进一步的解释。“典型例题精编”模块将题目按考点和类型分开，多数题目配有“思路点拨”和“点评”，助考生通过例题熟悉相关知识的具体应用。

三、双色印刷，带来不一样的阅读体验

本书注重用户体验，版式设计优美，内文一改其他图书枯燥的单黑色视觉现象，采用“黑+蓝”的双色印刷，助考生轻松阅读，不再乏味。

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《中公版·2020考研数学：基础知识复习大全（数学一适用）》是中公教育研究生考试研究院针对2020年考研的考生编写的一本综合复习类图书。本书适合进行*轮复习或数学基础较差的考生使用。

本书按照考研数学三的大纲分为三篇，共22章。书中每一章的“考纲分级要求”模块将大纲中的考点按照“了解→理解→掌握→会求”四个层次进行了划分，使考生可以更清楚地了解各考点需要掌握的程度；“基础知识精讲”模块从*浅显的角度切入，详细地讲述了各章节所涉及的基础知识，并对重要考点配有二维码，对易混易错的知识点设置了“要点点拨”，帮助考生更清晰地理解和记忆相关知识；“典型例题精编”模块精选了大量典型例题，这些例题难易兼顾，基本涵盖了考试中常见的题型；此外，“同步习题”模块提供了适量习题供考生自测学习效果，与典型例题相比，这部分题目综合性不强，更重基础。

第一章.函数、极限、连续
一、函数
（一）函数的概念及表示法
（二）函数的几种特征
（三）函数的运算
（四）常见的函数类型
二、极限
（一）极限的概念
（二）极限的性质
（三）无穷小量和无穷大量
（四）两个重要极限
（五）极限的运算法则
（六）极限存在的判别准则
三、连续
（一）函数的连续性
（二）间断点及其类型
（三）闭区间上连续函数的性质
题型一——函数及其性质
题型二——函数极限的计算
题型三——无穷小量的比较
题型四——函数连续性的判断及相关性质
一、选择题
二、填空题
三、解答题同步习题参考答案
第二章一元函数微分学
一、导数与微分
（一）导数的基本概念
（二）微分的基本概念及性质
二、导数与微分的计算
（一）导数与微分的基本公式
（二）导数（微分）运算法则
（三）常考题型
（四）高阶导数
三、微分中值定理
（一）费马引理
（二）罗尔定理
（三）拉格朗日中值定理
（四）柯西中值定理
四、导数的应用
（一）导数性质的相关应用
（二）利用导数研究函数的相关性质
（三）几何应用
题型一——函数可导、连续与可微的关系
题型二——导数的计算
题型三——高阶导数的计算
题型四——微分中值定理
题型五——导数的应用
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第三章一元函数积分学
一、不定积分
（一）原函数与不定积分
（二）不定积分的计算方法
二、定积分
（一）定积分的概念及性质
（二）微积分基本定理
（三）定积分的求解
（四）定积分的应用
三、反常积分
（一）无穷限反常积分
（二）无界函数的反常积分（瑕积分）
题型一——原函数的概念
题型二——不定积分的计算
题型三——定积分的性质及变上限积分函数
题型四——定积分的计算
题型五——定积分的应用
题型六——反常积分
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第四章向量代数和空间解析几何
一、向量代数
（一）空间直角坐标系
（二）向量的基本概念
（三）向量的运算
（四）向量的关系
二、空间解析几何
（一）平面与直线
（二）曲面与空间曲线
题型一——向量的运算及性质
题型二——空间平面与直线
题型三——曲面与空间曲线
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第五章多元函数微分学
一、基本概念
（一）多元函数
（二）二元函数的极限与连续
（三）二元函数的偏导数与全微分
二、偏导数的计算
（一）复合函数的偏导数
（二）隐函数的偏导数
三、偏导数的应用
（一）极值
（二）连续函数在有界闭区域上的最值问题
（三）几何应用
题型一——多元函数的极限、连续及偏导
题型二——多元函数求偏导
题型三——多元函数微分学的应用
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第六章多元函数积分学
一、重积分
（一）二重积分
（二）三重积分
二、曲线积分
（一）第一类曲线积分
（二）第二类曲线积分
（三）两类曲线积分的关系
三、曲面积分
（一）第一类曲面积分
（二）第二类曲面积分
（三）两类曲面积分的关系
四、场论171（一）梯度
（二）通量172（三）散度172（四）旋度
题型一——二重积分的计算
题型二——三重积分的计算
题型三——第一类曲线积分
题型四——第二类曲线积分
题型五——第一类曲面积分
题型六——第二类曲面积分
题型七——场论相关问题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第七章无穷级数
一、常数项级数
（一）级数的概念及性质
（二）级数的收敛准则
（三）两个重要级数
二、幂级数
（一）函数项级数及和函数
（二）幂级数及其收敛性
（三）幂级数的性质
（四）函数展开成幂级数
三、傅里叶级数
（一）三角函数系
（二）傅里叶级数
（三）收敛定理
（四）函数的傅里叶展开
题型一——常数项级数的敛散性
题型二——幂级数
题型三——傅里叶级数
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第八章常微分方程
一、基本概念
（一）微分方程及阶的概念
（二）微分方程的解、通解、特解
（三）线性微分方程
二、一阶微分方程的求解
（一）变量可分离的微分方程
（二）齐次微分方程
（三）一阶线性微分方程
（四）伯努利方程
（五）全微分方程
（六）可用简单的变量代换求解的微分方程
三、可降阶的高阶微分方程
（一）y（n）=f（x）型227（二）y″=f（x，y′）型228（三）y″=f（y，y′）型
四、二阶及高于二阶的常系数线性微分方程的求解
（一）线性微分方程解的性质及解的结构定理
（二）二阶常系数齐次线性微分方程
（三）n阶常系数齐次线性微分方程
（四）二阶常系数非齐次线性微分方程
（五）欧拉方程
231题型一——一阶微分方程
题型二——可降阶的高阶微分方程
题型三——二阶及高于二阶的常系数线性微分方程
题型四——欧拉方程239题型五——微分方程的应用
一、选择题241二、填空题241三、解答题241同步习题参考答案
第一章行列式
一、行列式的相关概念
（一）排列与逆序
（二）行列式
（三）余子式与代数余子式
二、行列式的性质
三、行列式的计算公式
（一）行列式展开定理
（二）低阶行列式的计算公式
（三）上（下）三角形行列式
（四）两个特殊的拉普拉斯展开式
（五）范德蒙德行列式
题型一——对行列式相关概念的考查
题型二——行列式的计算
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第二章矩阵
一、矩阵的相关概念
（一）矩阵的定义
（二）几类特殊的矩阵
二、矩阵的运算
（一）矩阵的线性运算
（二）矩阵的乘法
（三）矩阵的转置
（四）方阵的行列式
三、逆矩阵
（一）逆矩阵的定义
（二）可逆矩阵的性质
（三）伴随矩阵
（四）矩阵可逆的充要条件
四、矩阵的初等变换和初等矩阵
（一）基本概念
（二）重要公式与定理
五、矩阵的秩
（一）矩阵的k阶子式
（二）矩阵的秩
（三）矩阵秩的相关性质
六、分块矩阵
（一）定义
（二）运算法则
（三）分块矩阵的常用结论
题型一——矩阵的基本运算及性质
题型二——逆矩阵及伴随矩阵的计算
题型三——初等矩阵与初等变换
题型四——矩阵的秩
题型五——分块矩阵
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第三章向量
一、向量及其性质
（一）向量
（二）线性组合与线性表示
（三）向量组的线性相关性
二、向量组的极大线性无关组和秩
（一）向量组的极大线性无关组
（二）向量组的秩
（三）矩阵的秩与向量组的秩的关系
三、向量的内积与正交性
（一）向量的内积
（二）正交向量组和规范正交向量组
（三）施密特正交化
四、向量空间
（一）基本概念
（二）重要公式和定理
题型一——向量的线性相关与线性表出
题型二——内积与正交
题型三——极大线性无关组与秩
题型四——向量空间
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第四章线性方程组
一、基本概念
（一）线性方程组
（二）线性方程组的矩阵
（三）高斯消元法
二、线性方程组解的判定
（一）解的存在性
（二）解的唯一性
三、线性方程组解的结构
（一）线性方程组解的性质
（二）基础解系与通解
四、克拉默法则
题型一——线性方程组解的判定
题型二——线性方程组解的结构
一、选择题331二、填空题332三、解答题333同步习题参考答案
第五章矩阵的特征值和特征向量
一、特征值和特征向量
（一）特征值和特征向量的定义
（二）特征值和特征向量的性质
（三）特征值和特征向量的求解
二、矩阵的相似
（一）相似矩阵的定义
（二）相似矩阵的性质
三、相似对角化
（一）相似对角化的定义
（二）矩阵相似对角化的相关定理
（三）矩阵对角化的方法
四、实对称矩阵
（一）实对称矩阵特征值和特征向量的性质
（二）实对称矩阵正交相似对角化的方法
题型一——特征值和特征向量
题型二——矩阵的相似
题型三——实对称矩阵
一、选择题
二、填空题
三、解答题
同步习题参考答案
第六章二次型
一、二次型及其合同标准形
（一）二次型及其矩阵
（二）合同变换
（三）二次型的合同标准形
二、惯性指数与合同规范形
（一）惯性指数
（二）二次型的合同规范形
（三）惯性定理
三、正定二次型
（一）正定二次型的定义
（二）正定二次型的性质
（三）二次型正定的充要条件
题型一——二次型及标准形
题型二——惯性定理与合同
题型三——正定二次

　　了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数及隐函数的概念，初等函数的概念，连续函数的性质和初等函数的连续性。
　　理解函数的概念，复合函数及分段函数的概念，极限的概念，函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系，无穷小量、无穷大量的概念，函数连续性的概念（含左连续与右连续），闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。
　　掌握函数的表示法，基本初等函数的性质及其图形，极限的性质及四则运算法则，极限存在的两个准则，利用两个重要极限求极限的方法，无穷小量的比较方法。
　　会求建立应用问题的函数关系，利用极限存在的两个准则求极限，用等价无穷小量求极限，判别函数间断点的类型，应用闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。
　　一、函数
　　（一）函数的概念及表示法
　　1.定义
　　设x与y是两个变量，D是实数集R的某个非空子集，若对于D中的每一个x，按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，则称因变量y为自变量x的函数，记作y=f(x)。这里的D称为函数f的定义域，相应的函数值的全体所构成的集合称为函数f的值域。
　　（1）函数是从实数集到实数集的映射，它包括两大要素：定义域和对应法则。
　　（2）函数和变量的选取无关，只要定义域和对应法则相同，不管用什么变量表示函数的自变量和因变量，函数都是一样的。例如：y=x2,x∈［0,1］和u=t2,t∈［0,1］表示同一个函数。
　　2.表示法
　　表示函数的主要方法有三种：解析法（公式法）、表格法、图形法。
　　（1）解析法(公式法)：用数学式表示自变量和因变量之间的对应关系的方法。
　　（2）表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法。
　　（3）图形法：用坐标平面上的点集{P(x,y)|y=f(x),x∈D}来表示函数的方法。
　　（二）函数的几种特性
　　1.有界性
　　设函数f(x)的定义域为D，数集XD。如果存在正数M，使得对于任一x∈X，都有|f(x)|≤M，则称f(x)在X上有界。如果这样的M不存在，则称f(x)在X上无界。
　　（1）函数的有界性也可以通过上、下界的方式来定义：如果存在实数m和M，使得对任一x∈X，都有m≤f(x)≤M，则称函数f(x)在X上有界。其中m和M分别称为函数f(x)在X上的下界和上界。
　　（2）在上述定义中，m（M）是函数f（x）在X上的下（上）界，则任何比m小（比M大）的数，都是f（x）在X上的下（上）界。
　　（3）函数在X上有界的充要条件是它在X上既有上界又有下界。
　　2.单调性
　　设函数f(x)的定义域为D，区间ID。如果对于区间I上任意两点x1，x2，当x1　　f(x1)f(x2)），
　　则称函数f(x)在区间I上单调增加（或单调减少）。
　　单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
　　（1）单调性的性质：
　　①如果f1(x),f2(x)都是增函数（或减函数），则f1(x)+f2(x)也是增函数（或减函数）；
　　②设f(x)是增函数，如果常数C>0，则C·f(x)是增函数；如果常数C<0，则C·f(x)是减函数；
　　③如果函数y=f(u)与函数u=g(x)增减性相同，则函数y=f［g(x)］为增函数；如果函数y=f(u)与函数u=g(x)增减性相反，则函数y=f［g(x)］为减函数。
　　（2）常见函数的单调增区间及单调减区间：
　　单调增区间单调减区间y=x2+ax+b－a2,+∞－∞,－a2y=ex(－∞,+∞)无y=lnx(0,+∞)无y=sinx2kπ－π2,2kπ+π22kπ+π2,2kπ+3π2y=cosx［2kπ－π,2kπ］［2kπ,2kπ+π］y=1x无(－∞,0)，(0,+∞)3.奇偶性
　　设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任一x∈D，都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于任一x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数。
　　（1）奇偶性的性质：
　　①偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称；
　　②如果f1(x)和f2(x)都是偶函数（或奇函数），则对任意的常数k1,k2∈R，k1f1(x)+k2f2(x)仍是偶函数（或奇函数）；
　　③如果f1(x)和f2(x)的奇偶性相同，则f1(x)·f2(x)为偶函数；如果f1(x)和f2(x)的奇偶性相反，则f1(x)·f2(x)为奇函数。
　　（2）常见的偶函数：
　　y=xk（k为偶数），y=cosx，y=x，
　　f(x)，f(x)+f(－x)2，f(x)·f(－x)，其中f(x)是定义在对称区间上的任意函数。
　　常见的奇函数：
　　y=xk（k为奇数），y=sinx，y=tanx，y=cotx，y=ln(x+1+x2)，
　　f(x)－f(－x)2，其中f(x)是定义在对称区间上的任意函数。
　　4.周期性
　　设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对任一x∈D有x±T∈D，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期。一般周期函数的周期是指最小正周期。
　　（1）如果f(x)以T为最小正周期，则对任意的非零常数C，Cf(x)仍然以T为最小正周期，f(Cx)以TC为最小正周期；
　　（2）如果f1(x)和f2(x)都以T为周期，则对于任意的常数k1,k2∈R，k1f1(x)+k2f2(x)仍然以T为周期。注意这时最小正周期有可能缩小，如f1(x)=cos2x+sinx,f2(x)=sinx都以2π为最小正周期，但f1(x)－f2(x)=cos2x以π为最小正周期。
　　（三）函数的运算
　　1.四则运算
　　设函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，且D=D1∩D2≠，则这两个函数经过四则运算之后能形成新的函数：
　　和（差）运算：f(x)±g(x)，x∈D；
　　积运算：f(x)·g(x)，x∈D；
　　商运算：f(x)g(x)，x∈D＼{x|g(x)=0,x∈D}。
　　2.复合函数
　　设函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=g(x)的定义域为D2。如果g(x)的值域g(D2)包含于f(u)的定义域D1，则可以定义函数y=f［g(x)］，x∈D2为函数f(u)与g(x)的复合函数，记作y=f［g(x)］或fg。
　　（1）复合函数的基本思想是把y=f(x),x∈D1中的x进行推广，变成一个新的函数，这是我们认识和理解函数的基本方式。
　　（2）注意能够进行复合的前提条件是g(x)的值域g(D2)包含于f(u)的定义域D1。如果该条件不满足，只要g(x)的值域g(D2)和f(u)的定义域D1的交集不是空集，复合运算也可以进行，只不过此时复合之后的函数的定义域变成了{x|x∈D2且g(x)∈D1}。
　　3.反函数
　　设函数y=f(x)的定义域为D，其值域为f(D)。如果对于每一个y∈f(D)，都有唯一确定的x∈D，使得y=f(x)（我们将该对应法则记作f－1），则这个定义在f(D)上的函数x=f－1(y)就称为函数y=f(x)的反函数。
　　（1）不是所有的函数都有反函数。函数y=f(x),x∈D存在反函数的充要条件是对于定义域D中任意两个不相等的自变量x1,x2，有f(x1)≠f(x2)。一般来说，严格单调的函数一定有反函数。
　　（2）在同一坐标平面上，函数y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图像关于直线y=x对称。
　　（四）常见的函数类型
　　1.初等函数
　　（1）常用的基本初等函数有五类：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
　　函数
　　名称函数的记号函数的图像函数的性质指数
　　函数y=ax（a>0，a≠1）a）不论x为何值，y总为正数;
　　b）当x=0时，y=1对数
　　函数y=logax（a>0，a≠1）a）其图像总位于y轴右侧，恒过（1，0）点；
　　b）当a＞1时，函数y=logax在区间（0，1）的值为负；在区间（1，+∞）的值为正；在定义域内单调递增幂函数y=xa，a为任意实数
　　这里只画出部分函数图像的
　　第一象限部分令a=m/n（m/n是最简分数），则
　　a）当m为偶数、n为奇数时，xa是偶函数;
　　b）当m，n都是奇数时，xa是奇函数；
　　c）当m为奇数、n为偶数时，xa没有奇偶性续表
　　函数
　　名称函数的记号函数的图像函数的性质三角
　　函数y=sinx（正弦函数）
　　这里只写出了正弦函数a）正弦函数是以2π为周期的函数；
　　b）正弦函数是奇函数且sinx≤1反三角
　　函数y=arcsinx（反正弦函数）
　　这里只写出了反正弦函数由于此对应法则确定了一个多值函数，因此将此值域限制在-π2，π2，并称其为反正弦函数的主值（2）初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。
　　2.分段函数
　　（1）分段函数的基本形式：
　　f（x）=f1（x），x∈I1，f2（x），x∈I2，fn（x），x∈In。
　　（2）隐含的分段函数：
　　①绝对值函数：
　　f（x）=|x|=x，x≥0，-x，x＜0，
　　其定义域是（-∞，+∞），值域是［0，+∞）。
　　②符号函数：
　　f（x）=sgnx=1，x＞0，0，x=0，-1，x＜0，
　　其定义域是（-∞，+∞），值域是{-1，0，1}。
　　③取整函数：f（x）=[x]表示不超过x的最大整数。
　　④最大值、最小值函数：y=max{f（x），g（x）}，y=min{f（x），g（x）}。
　　3.隐函数
　　如果变量x和y满足方程F(x,y)=0，当x取区间I内的任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的y值存在，则这样确定的函数关系y=y(x)称为由方程F(x,y)=0确定的隐函数。
　　4.由参数方程定义的函数
　　若参数方程x=φ（t），y=ψ（t），α≤t≤β确定了y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数。