数学简史

  这本书是由我国知名数学家蔡天新教授写作的一本中国人自己的“数学简史”；

  作者认为，数学的触角几乎遍及人类社会的每一个角落，以及历史和生命的每一个瞬时；

  本书入选新闻出版广电总局向全国青少年推荐的百种优秀图书，适合小学生、中学生、大学生还有“门外汉”了解数学的发展史，以及数学在人类文明的进程中扮演的不可或缺的角色。

  美是数学的一个重要特征，这一特征体现在了数学发展的整个历史进程中，但由于数学的严格性和抽象性而难以为“局外人”所体会。《数学简史》做到了这一点，作者蔡天新是难得的诗人数学家。在阅读本书时体会其无处不在的诗韵本身就是一种享受，她是数学自身固有的美和作者优雅的艺术品味的巧妙融合。

——彭实戈，数学家

  小时候我们常把聪明的同学称为“数学脑瓜”，是指数学好才聪明。数学不仅仅是计算方法，更重要的是思维方式。我一直想推荐一本数学史，读过几本，觉得还是太专业，太难读。但这本《数学简史》我觉得任何人都会有兴趣读下去，且会有所收获。数学的发展主要在西方，但作者并没有忘记中国。更可贵的是，这本书着眼于从整个人类文明的角度来介绍数学，这就让人读起来兴趣盎然了。

——梁小民，经济学家

  人类智力高低的标准是什么？一直以来有较多的争议。但数学作为人类智慧的结晶，却是长久以来达成的共识。了解数学的历史，既能了解作为高级动物的人类发展的历史，更能窥见人类智力的进步。蔡天新的《数学简史》叙述角度新颖、文字优美，让我们一起享受这本书带来的智趣吧。

——饶  毅，生物学家

2012 年盛夏，从欧洲大陆最北部的挪威王国传出一条令人震惊的消息。首都奥斯陆近郊一座名为于特的湖心岛上，80 多位参加夏令营的青少年被一名歹徒疯狂扫射身亡。挪威是当今世界最富庶美丽、最宁静安逸的国度，也是数学天才阿贝尔（N. H. Abel）的祖国，首届菲尔兹奖1936 年在奥斯陆颁发，以阿贝尔命名的数学奖与诺贝尔和平奖也每年在奥斯陆评选并颁发。悲愤之余，仍有许多人对挪威发生如此恐怖的事件表示难以置信。

1829 年，26 岁的挪威青年阿贝尔死于营养不良和肺病，却依然是19 世纪乃至人类历史上最伟大的数学家之一。阿贝尔是第一个扬名世界的挪威人，他取得的成就激发了他的同胞们的才智。在阿贝尔去世前一年，挪威诞生了戏剧家易卜生，接下来的还有作曲家格里格、艺术家蒙克和探险家阿蒙森，每一位都蜚声世界。想到这些，不由得对奥斯陆枪击案可能产生的阴影稍感乐观，阿贝尔的英年早逝、易卜生的背井离乡和蒙克的画作《呐喊》，都说明这个国家的人民曾经遭受过不幸和磨难。

在所有与数学史有关的书籍里，阿贝尔的名字总是在人名索引里名列前茅。本书对他有较为详细的描述，书中还谈到他的晚辈同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世纪的两个重要数学分支—李群和李代数均得名于他。1872 年，德国数学家F. 克莱因（F. Klein，1849—1925）发表了《埃尔朗根纲领》，试图用群论的观点统一几何学乃至整个数学领域，所依赖的正是李的工作。

限于篇幅，
本书未谈及2007 年过世的挪威数学家赛尔伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人见过且交谈过的数论同行。早在1950 年，他便因给出素数定理的初等证明荣获菲尔兹奖。或许是一种补偿，书中最后出场的奥地利人维特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）与挪威结缘，他是20 世纪最有数学意味的哲学家。任职剑桥大学期间，维特根斯坦在挪威西部乡间盖了一间小木屋，经常从英国跑到那里度假思索，有时一住就是一年，他死后出版的代表作《哲学研究》（1953）便是在小木屋里开始构想的。

从以上叙述中读者可能已经看出，本书的写作风格和宗旨是，既不愿错过任何一位伟大的数学家和任何一次数学思潮，以及由此产生的内容、方法，也不愿放弃任何可以阐述数学与其他文明相互交融的机会。这是一部没有蓝本可以参照的书，从书名来看，最接近的同类著作是美国数学史家M. 克莱因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的数学》（1953）。可是，M. 克莱因的著作讨论的范围被“西方”和“文化”两个词限定了，我们却不得不考虑整个人类的历史长河，涉及的领域也超出了“文化”的范畴。如同英国数学家、哲学家阿尔弗雷德·怀特海所言，“现代科学诞生于欧洲，但它的家却是整个世界。”

从写作方式来看，尽管存在着多种可能性，主要面临的选择却只有两个，即是否把数学史作为一种写作线索？ M. 克莱因的著作虽以时间为主线（他的另一部力作《古今数学思想》也是这样），却以每章一个专题的形式来讲述数学与文化的关系。显而易见，M. 克莱因既精通数学，又熟知古希腊以来的西方文化（主要是古典部分），我认为这方面已经很难超越了。况且，他的书早已有了中文版。

不过，通过阅读M. 克莱因的著作，我们不难发现，他假设的读者对象是数学或文化领域的专家。而我心目中的读者范围更为宽广，他们可能只学过初等数学或简单的微积分，也许对数学的历史及其与其他文明的关系所知不多，对数学在人类文明的发展历程中扮演的重要角色认识不足，尤其是，对现代数学与现代文明（比如，现代艺术）的渊源缺乏了解。这样一来，就留出了写作空间。

在我看来，数学与科学、人文的各个分支一样，都是人类大脑进化和智力发展进程的反映。它们在特定的历史时期必然相互影响，并呈现出某种相通的特性。在按时间顺序讲述不同地域文明的同时，我们先后探讨了数学与各式各样文明之间的关系。例如，埃及和巴比伦的数学来源于人们生存的需要，希腊数学与哲学密切相关，中国数学的活力来自历法改革，印度数学的源泉始于宗教，而波斯或阿拉伯的数学与天文学互不分离。

文艺复兴是人类文明进程的一个里程碑，这个时期的艺术推动了几何学的发展。到了17 世纪，微积分的产生解决了科学和工业革命的一系列问题，而18 世纪法国大革命时期的数学涉及力学、军事和工程技术。19 世纪前半叶，数学和诗歌几乎同时从古典进入现代，其标志分别是非交换代数和非欧几何学的诞生，爱伦·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德莱尔（C. Baudelaire，1821—1867）的出现。进入20 世纪以后，抽象化又成为数学和人文学科的共性。

数学中的抽象以集合论和公理化为标志，与此同时，艺术领域则出现了抽象主义和行动绘画。哲学与数学的再次交汇产生了现代逻辑学，并诞生了维特根斯坦和哥德尔定理。更有意思的是，数学的抽象化不仅没有使其被束之高阁，反而得到意想不到的广泛应用，尤其在理论物理学、生物学、经济学、电子计算机和混沌理论等方面。由此可见，这是符合历史潮流和文明进程规律的。尽管如此，数学天空的未来并非一片晴朗。

本书的一个显著特点是对现代数学和现代文明的比较分析和阐释，这是我多年数学研究和写作实践的思考、总结。至于古典部分，我们也着力发现有现代意义的亮点。比如，谈到埃及数学时，我们重点介绍了“埃及分数”这个既通俗易懂又极为深刻的数论问题，它甚至仍然困扰着21 世纪的数学家。又如，巴比伦人最早发现了毕达哥拉斯定理，同时知道了毕达哥拉斯数组，这一结果也是1 000 多年以后兴起的希腊数学和文明的代表性成就，却与20 世纪末的热点数学问题——费尔马大定理——相联系。

本书的另一个特点是，多数小节以人物为标题，同时做到图文并茂，以方便理解、欣赏和记忆。在100 余幅精心挑选的图片（有的是我拍摄的照片）中，相当一部分与文学、艺术、科学、教育有密切的关联。希望读者能通过本书的阅读，拉近与数学这门抽象学科的心理距离，从中理解各自所学或从事专业与数学的关系，进而反思人类文明的历史进程甚或生活的意义。

诚如部分读者所了解的，2012 年夏，商务印书馆的“名师讲堂”推出了我所著的《数学与人类文明》，后入选国家新闻出版广电总局向全国青少年推荐的“百优图书”。该书源自我的同名教材，系教育部高等学校“十一五”国家级规划教材的一种，应用于浙江大学等多所大学的通识课程。迄今为止，两者已印了3 万多册。如今，商务印书馆的版权到期，应中信出版社的约请和建议，我修订了全书，更新了相当一部分图片。

我们把这本书易名为“数学简史”，正是这一点触动了我，这个名字更符合书的本意。因为本书既着眼于数学的历史，同时数学与人类文明的关系本身也属于数学史的范畴，这样一来就适时回避了现代数学的复杂性，努力帮助读者从不同的角度理解数学。另一点引起我注意的是，中信出版社引进出版了以色列历史学家尤瓦尔·赫拉利的两本力作《人类简史》和《未来简史》。令人鼓舞的是，我在微博上发布征求本书封面设计方案的建议后，北京海淀区的藤先生留言道：“在国内引进的各种简史浪潮中，终于有蔡教授挺身而出，写一本数学简史了。”

最后，我想用一首诗来结束本序言。这是2005 年夏天，作者偕同4 位研究生，到马尼拉的菲律宾大学参加一个数论与密码学的国际研讨会期间所作。那是令麦哲伦折戟沙滩，殖民者不足以重视，数学史家和文化史家容易忽略的国度。诗中出现了一些几何图形，如线段、弧线、圆圈、扭结、曲面和拓扑变换，当然，均已被改换成相应的诗歌语言。这首诗似乎在叙述一些数学概念，但流露的分明是一种生活的情绪。

跳
绳

每一棵光洁的稻草

都布满了银色的月光

它们被编织成绳索

就像脚踝上的链子

那圆圈中的圆圈

也布满了银色的月光

无论眉梢、鬓角

还是手臂上的烫痕

反来复去地穿梭往来

蔡天新

2017 年夏末定稿于杭州西溪2012 年盛夏，从欧洲大陆最北部的挪威王国传出一条令人震惊的消息。首都奥斯陆近郊一座名为于特的湖心岛上，80 多位参加夏令营的青少年被一名歹徒疯狂扫射身亡。挪威是当今世界最富庶美丽、最宁静安逸的国度，也是数学天才阿贝尔（N. H. Abel）的祖国，首届菲尔兹奖1936 年在奥斯陆颁发，以阿贝尔命名的数学奖与诺贝尔和平奖也每年在奥斯陆评选并颁发。悲愤之余，仍有许多人对挪威发生如此恐怖的事件表示难以置信。

1829 年，26 岁的挪威青年阿贝尔死于营养不良和肺病，却依然是19 世纪乃至人类历史上最伟大的数学家之一。阿贝尔是第一个扬名世界的挪威人，他取得的成就激发了他的同胞们的才智。在阿贝尔去世前一年，挪威诞生了戏剧家易卜生，接下来的还有作曲家格里格、艺术家蒙克和探险家阿蒙森，每一位都蜚声世界。想到这些，不由得对奥斯陆枪击案可能产生的阴影稍感乐观，阿贝尔的英年早逝、易卜生的背井离乡和蒙克的画作《呐喊》，都说明这个国家的人民曾经遭受过不幸和磨难。

在所有与数学史有关的书籍里，阿贝尔的名字总是在人名索引里名列前茅。本书对他有较为详细的描述，书中还谈到他的晚辈同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世纪的两个重要数学分支—李群和李代数均得名于他。1872 年，德国数学家F. 克莱因（F. Klein，1849—1925）发表了《埃尔朗根纲领》，试图用群论的观点统一几何学乃至整个数学领域，所依赖的正是李的工作。

限于篇幅，
本书未谈及2007 年过世的挪威数学家赛尔伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人见过且交谈过的数论同行。早在1950 年，他便因给出素数定理的初等证明荣获菲尔兹奖。或许是一种补偿，书中最后出场的奥地利人维特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）与挪威结缘，他是20 世纪最有数学意味的哲学家。任职剑桥大学期间，维特根斯坦在挪威西部乡间盖了一间小木屋，经常从英国跑到那里度假思索，有时一住就是一年，他死后出版的代表作《哲学研究》（1953）便是在小木屋里开始构想的。

从以上叙述中读者可能已经看出，本书的写作风格和宗旨是，既不愿错过任何一位伟大的数学家和任何一次数学思潮，以及由此产生的内容、方法，也不愿放弃任何可以阐述数学与其他文明相互交融的机会。这是一部没有蓝本可以参照的书，从书名来看，最接近的同类著作是美国数学史家M. 克莱因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的数学》（1953）。可是，M. 克莱因的著作讨论的范围被“西方”和“文化”两个词限定了，我们却不得不考虑整个人类的历史长河，涉及的领域也超出了“文化”的范畴。如同英国数学家、哲学家阿尔弗雷德·怀特海所言，“现代科学诞生于欧洲，但它的家却是整个世界。”

从写作方式来看，尽管存在着多种可能性，主要面临的选择却只有两个，即是否把数学史作为一种写作线索？ M. 克莱因的著作虽以时间为主线（他的另一部力作《古今数学思想》也是这样），却以每章一个专题的形式来讲述数学与文化的关系。显而易见，M. 克莱因既精通数学，又熟知古希腊以来的西方文化（主要是古典部分），我认为这方面已经很难超越了。况且，他的书早已有了中文版。

不过，通过阅读M. 克莱因的著作，我们不难发现，他假设的读者对象是数学或文化领域的专家。而我心目中的读者范围更为宽广，他们可能只学过初等数学或简单的微积分，也许对数学的历史及其与其他文明的关系所知不多，对数学在人类文明的发展历程中扮演的重要角色认识不足，尤其是，对现代数学与现代文明（比如，现代艺术）的渊源缺乏了解。这样一来，就留出了写作空间。

在我看来，数学与科学、人文的各个分支一样，都是人类大脑进化和智力发展进程的反映。它们在特定的历史时期必然相互影响，并呈现出某种相通的特性。在按时间顺序讲述不同地域文明的同时，我们先后探讨了数学与各式各样文明之间的关系。例如，埃及和巴比伦的数学来源于人们生存的需要，希腊数学与哲学密切相关，中国数学的活力来自历法改革，印度数学的源泉始于宗教，而波斯或阿拉伯的数学与天文学互不分离。

文艺复兴是人类文明进程的一个里程碑，这个时期的艺术推动了几何学的发展。到了17 世纪，微积分的产生解决了科学和工业革命的一系列问题，而18 世纪法国大革命时期的数学涉及力学、军事和工程技术。19 世纪前半叶，数学和诗歌几乎同时从古典进入现代，其标志分别是非交换代数和非欧几何学的诞生，爱伦·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德莱尔（C. Baudelaire，1821—1867）的出现。进入20 世纪以后，抽象化又成为数学和人文学科的共性。

数学中的抽象以集合论和公理化为标志，与此同时，艺术领域则出现了抽象主义和行动绘画。哲学与数学的再次交汇产生了现代逻辑学，并诞生了维特根斯坦和哥德尔定理。更有意思的是，数学的抽象化不仅没有使其被束之高阁，反而得到意想不到的广泛应用，尤其在理论物理学、生物学、经济学、电子计算机和混沌理论等方面。由此可见，这是符合历史潮流和文明进程规律的。尽管如此，数学天空的未来并非一片晴朗。

本书的一个显著特点是对现代数学和现代文明的比较分析和阐释，这是我多年数学研究和写作实践的思考、总结。至于古典部分，我们也着力发现有现代意义的亮点。比如，谈到埃及数学时，我们重点介绍了“埃及分数”这个既通俗易懂又极为深刻的数论问题，它甚至仍然困扰着21 世纪的数学家。又如，巴比伦人最早发现了毕达哥拉斯定理，同时知道了毕达哥拉斯数组，这一结果也是1 000 多年以后兴起的希腊数学和文明的代表性成就，却与20 世纪末的热点数学问题——费尔马大定理——相联系。

本书的另一个特点是，多数小节以人物为标题，同时做到图文并茂，以方便理解、欣赏和记忆。在100 余幅精心挑选的图片（有的是我拍摄的照片）中，相当一部分与文学、艺术、科学、教育有密切的关联。希望读者能通过本书的阅读，拉近与数学这门抽象学科的心理距离，从中理解各自所学或从事专业与数学的关系，进而反思人类文明的历史进程甚或生活的意义。

诚如部分读者所了解的，2012 年夏，商务印书馆的“名师讲堂”推出了我所著的《数学与人类文明》，后入选国家新闻出版广电总局向全国青少年推荐的“百优图书”。该书源自我的同名教材，系教育部高等学校“十一五”国家级规划教材的一种，应用于浙江大学等多所大学的通识课程。迄今为止，两者已印了3 万多册。如今，商务印书馆的版权到期，应中信出版社的约请和建议，我修订了全书，更新了相当一部分图片。

我们把这本书易名为“数学简史”，正是这一点触动了我，这个名字更符合书的本意。因为本书既着眼于数学的历史，同时数学与人类文明的关系本身也属于数学史的范畴，这样一来就适时回避了现代数学的复杂性，努力帮助读者从不同的角度理解数学。另一点引起我注意的是，中信出版社引进出版了以色列历史学家尤瓦尔·赫拉利的两本力作《人类简史》和《未来简史》。令人鼓舞的是，我在微博上发布征求本书封面设计方案的建议后，北京海淀区的藤先生留言道：“在国内引进的各种简史浪潮中，终于有蔡教授挺身而出，写一本数学简史了。”

最后，我想用一首诗来结束本序言。这是2005 年夏天，作者偕同4 位研究生，到马尼拉的菲律宾大学参加一个数论与密码学的国际研讨会期间所作。那是令麦哲伦折戟沙滩，殖民者不足以重视，数学史家和文化史家容易忽略的国度。诗中出现了一些几何图形，如线段、弧线、圆圈、扭结、曲面和拓扑变换，当然，均已被改换成相应的诗歌语言。这首诗似乎在叙述一些数学概念，但流露的分明是一种生活的情绪。

跳
绳

每一棵光洁的稻草

都布满了银色的月光

它们被编织成绳索

就像脚踝上的链子

那圆圈中的圆圈

也布满了银色的月光

无论眉梢、鬓角

还是手臂上的烫痕

反来复去地穿梭往来

蔡天新

2017
年夏末定稿于杭州西溪

美是数学的一个重要特征，这一特征体现在了数学发展的整个历史进程中，但由于数学的严格性和抽象性而难以为“局外人”所体会。《数学简史》做到了这一点，作者蔡天新是难得的诗人数学家。在阅读本书时体会其无处不在的诗韵本身就是一种享受，它是数学自身固有的美和作者优雅的艺术品位的巧妙融合。

——彭实戈，数学家

小时候我们常把聪明的同学称为“数学脑瓜”，是指数学好才聪明。数学不仅仅是计算方法，更重要的是思维方式。我一直想推荐一本数学史，读过几本，觉得还是太专业，太难读。但这本《数学简史》我觉得任何人都会有兴趣读下去，且会有所收获。数学的发展主要在西方，但作者并没有忘记中国。更可贵的是，这本书着眼于从整个人类文明的角度来介绍数学，这就让人读起来兴趣盎然了。

——梁小民，经济学家

人类智力高低的标准是什么？一直以来有较多的争议。但数学作为人类智慧的结晶，却是长久以来达成的共识。了解数学的历史，既能了解作为高级动物的人类发展的历史，更能窥见人类智力的进步。蔡天新的《数学简史》叙述角度新颖、文字优美，让我们一起享受这本书带来的智趣吧。

——饶  毅，生物学家

数学的应用：计算机与人工智能

一般来说，计算机是指能接收数据，按照程序指令进行运算并提供运算结果的自动电子机器。在计算机的历史上，起重要革新作用的几乎全是数学家。直到20 世纪70 年代末，中国大学里的电子计算机专业还大多设在数学系，就像康德时代数学隶属于哲学系一样。可是如今，多数大学都有了一两个计算机学院。用机器来代替人工计算，一直是人类的梦想。或许最早使用算盘的并非中国人，但长期以来使用最广泛的当属中国的算盘。在明代（1371）出版的一本书里，就有十档算盘的插图，但它的实际发明时间远在此之前。数学家程大位（1533—1606）的《算法统宗》（1592）详述了珠算的规则、口诀和方法，标志着珠算的成熟。这本书也流传到朝鲜和日本，使得算盘在这两个国家十分流行。

第一个提出机械计算机设计思想的是德国人席卡德（W. Schickard，1592—1635），他在与开普勒通信时阐述了这一想法。第一台能进行加减计算的机械计算机是由帕斯卡尔发明的（1642），30 年后莱布尼茨制造出一台能进行乘除和开方运算的计算机。使计算机拥有能对数据进行各种运算的装置，是向现代计算机过渡的关键一步，由英国数学家巴贝奇（C. Babbage，1792—1871）首先迈出，在数论里有一个与二项式系数有关的同余式用他的名字命名。巴贝奇设计的“分析机”（1834）分为运算室和存储库，外加一个专门控制运算程序的装置，他曾设想根据穿孔卡片上的“0”和“1”来控制运算的顺序，这无疑是现代电子计算机的雏形。

遗憾的是，即便巴贝奇付出后半生的绝大多数精力和财产，甚至失去剑桥大学的卢卡斯教授职位，也没几个人能理解他的思想。据说真正支持他的人只有三个：他的儿子——巴贝奇少将（在父亲去世后还为分析机奋斗了许多年）、未来的意大利总理和诗人拜伦（L. Byron，1788—1824）的女儿阿达。阿达（AdaLovelace，1815—1852）是拜伦和妻子的独生女，她为某些函数编制了计算程序，可谓开现代程序设计之先河。由于时代的局限性，巴贝奇分析机的设计方案在技术实施上遇到了巨大的障碍，他借助通用程序控制数字计算机的天才设想，要再过一个多世纪才能实现。

20 世纪以来，科学技术的迅猛发展带来了堆积如山的数据问题，尤其是在“二战”期间，军事上的计算需要更使计算速度的改进成为燃眉之急。起初，人们采用电器元件来代替机械齿轮。1944 年，美国哈佛大学的数学家艾肯（H. H. Aiken，1900—1973）在IBM（国际商业机器公司）的支持下设计和制造出世界上第一台能实际操作的通用程序计算机（占地170 平方米），只部分使用了继电器，不久后他又制成了一台全部用继电器的计算机。与此同时，在宾夕法尼亚大学，人们用电子管来代替继电器，于1946 年造出了第一台通用电子数字积分计算机（ENIAC），效率提高了1 000 倍。

1947 年，数学家冯·诺依曼（John Von
Neumann，1903—1957）提出了把ENIAC使用的外插程序改为存储程序的想法，按照这种想法制成的计算机能按存储器中的指令进行操作，从而大大加快了运算进程。1946 年，他与人合作发表论文，提出了并行处理和存储数据计算机的综合设计理念，对后来的数字计算机的设计产生了深远影响。冯·诺依曼出生在布达佩斯，属于多才多艺的那类学者，在数学、物理学、经济学、气象学、爆炸理论和计算机领域都取得了卓越的成就。据说他是在火车站等车时遇见了ENIAC的设计师，后者向他讨教计算机的技术问题，从而激起了他的兴趣。

另一位对计算机设计理念做出杰出贡献的是英国数学家图灵（A. Turing，1912—1954），他为了解决数理逻辑中的基本理论问题——相容性，以及数学问题的机器可计算性的判定，而提出了他的“理想计算机”模型。直到今天，数字计算机都没有跳出这个理想模型的范畴：

输入/ 输出装置（带子和读写头）、存储器和控制器。

图灵还研究过可以制造出能思考的计算机的理论，这方面的构想已成为人工智能研究的基础。他还提出了会思考的机器的标准，即有超过30%的测试者不能确定被测试者是人还是机器，被称为“图灵测试”。遗憾的是，图灵后来因为不堪忍受对其性取向进行的强迫治疗，吃下用氰化物溶液浸泡过的苹果而自杀。为了纪念图灵，1966 年，英特尔公司出资设立了“图灵奖”，这是计算机领域的最高奖项。1976年创建的苹果电脑公司以一只被咬了一口的苹果作为标志，这家以推出iPhone 手机和iPad 平板电脑风靡全球的公司的信念是：只有不完美才能促使进步去追求完美。

虽然数字计算机已历经四代的发展，但从电子管、晶体管到集成电路、超大规模集成电路，均是采用二进制拨码开关。这一点不会改变，即使将来有一天，电子计算机被取代（比如量子计算机）。这自然与19 世纪英国数学家布尔（G. Boole，1815—1864）所创立的布尔代数的符号逻辑体系分不开，他完成了两个世纪前莱布尼茨未竞的事业，即创立了一套表意符号，每一个符号代表一个简单的概念，再通过符号的组合来表达复杂的思想。布尔出身贫寒，他的父亲是一个补鞋匠，他主要通过自学成材，后来成为爱尔兰皇后学院（现名为科克大学）的数学教授，并入选英国皇家学会。不幸的是，布尔49 岁那年因淋雨患肺炎去世。当年早些时候，他的小女儿出世，她便是小说《牛虻》的作者伏尼契（E. L. Voynich，1864—1960）。

作为抽象数学应用的一个光辉典范，计算机也已成为数学研究本身的有力工具和问题源泉，并推动了一个新的数学分支——计算数学的诞生。它不仅设计、改进各种数值计算方法，还研究与这些计算有关的误差分析、收敛性和稳定性等问题。冯·诺依曼是这门学科的奠基人之一，不仅与人合作建立了全新的数值计算法——蒙特卡罗方法，还领导一个小组利用ENIAC首次实现了数值天气预报，后者的中心问题是求解有关的流体力学方程。值得一提的是，20 世纪60 年代，中国数学家冯康（1920—1993）独立创建了一种数值分析方法——有限元法，可用于包括航空、电磁场和桥梁设计等在内的工程计算。

1976 年秋， 伊利诺伊大学的两位数学家阿佩尔（K.
Appel，1932—2013）和哈肯（W. Haken，1928—
）借助电子计算机，证明了已有100 多年历史的地图四色定理，这是利用计算机解决重大数学问题的最鼓舞人心的范例。说起地图四色定理，这是由英国人提出的难得一见的著名猜想。1852 年，刚刚在伦敦大学获得双学士学位的格斯里（F. Guthrie，1831—1899）来到一家科研单位做地图着色工作，他发现只需用4 种颜色即可填满地图并使得任何两个邻国呈现不同颜色。但是，不仅他和仍然在读的弟弟无法证明这个猜想，就连他的老师摩根和哈密尔顿也无能为力。于是，凯莱经过一番研究后在伦敦数学学会做了一个报告，使得这个问题出了名。

从那以后，数学家们更多地借助计算机研究纯粹数学，这方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的发现，它们是非线性科学的核心问题，可谓两朵美丽的“数学物理之花”。孤立子比四色定理出现得还早，1834 年，英国工程师拉塞尔（J. S. Russell，1808—1882）
在马背上跟踪观察运河中船只突然停止所激起的水波，他发现它们在行进中形状和速度没有发生明显的改变，于是称其为“孤立波”。一个多世纪以后，数学家们又发现，两个孤立波碰撞后仍是孤立波，因此被称为“孤立子”，孤立子在光纤通信、木星红斑活动、神经脉冲传导等领域大量存在。混沌理论是描述自然界不规则现象的有力工具，被视为继

相对论和量子力学之后现代物理学的又一次革命。

计算机科学的飞速发展，不仅离不开数理逻辑，也促进了与之相关的其他数学分支的变革或创立，前者的一个例子是组合学，后者的一个典型代表是模糊数学。组合学的起源可以追溯至《易经》中的“洛书”，莱布尼茨在《论组合的艺术》中率先提出了“组合”这个概念，后来数学家们从游戏中归纳出一些新问题，如哥尼斯堡七桥问题（衍生出“图论”这一组合数学的主要分支）、欧拉36 军官问题、柯克曼女生问题和哈密尔顿环球旅行问题等。20 世纪下半叶以来，在计算机系统设计和信息存储、恢复中遇到的问题，为组合学研究注入了全新的强大动力。

相比古老的组合学，1965 年诞生的模糊数学可以说是年轻的。按照经典集合的概念，每一个集合必须由确定的元素构成，元素之于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数μA (x) 来表示。

模糊数学的创始人是阿塞拜疆出生的伊朗裔美国数学家、电器工程师扎德（L. A. Zadeh，1921—2017），他把特征函数改写成所谓的隶属函数μA (x) ：0G μA (x) G 1，在这里A被称为模糊集合，μA (x) 为隶属度。经典集合论要求μA (x) 取0 或1 两个值，模糊集合则突破了这一限制，μA (x)= 1 表示百分之百隶属于A，μA (x)= 0 表示完全不属于A，还可以有20%隶属于A，80% 隶属于A，等等。由于人脑的思维包括精确的和模糊的两个方面，因此模糊数学在人工智能系统模拟人类思维的过程中起到了重要作用，它与新型的计算机设计密切相关。但是，作为一个数学分支，模糊数学尚未成熟。

现在，我们来谈谈计算机科学的一个分支——人工智能（ArtificialIntelligence，缩写为AI）。人工智能的概念最初是在1956 年，由美国新英格兰的达特茅斯学院提出的。人工智能的主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作，包括机器人、语言和图像的识别及处理等，涉及机器学习、计算机视觉等领域。其中，机器学习的数学基础有统计学、信息论和控制论，计算机视觉的数学工具有摄影几何学、矩阵与张量和模型估计。20 世纪70 年代以来，人工智能与空间技术、能源技术同被视作三大尖端技术。过去的半个世纪，人工智能得到飞速发展，在很多领域获得广泛应用，成果卓著，如今它又与基因工程、纳米科学同被视作21 世纪的三大尖端技术。

人工智能并非人类智能，但能像人类那样思考，也有可能超过人类智能。1997 年，美国IBM公司研制的“
深蓝”（Deep Blue）战胜了阿塞拜疆出生的俄罗斯国际象棋大师卡斯帕罗夫（G. Kasparov，1963—　）。2016 年和2017 年，
谷歌旗下

的人工智能公司DeepMind研制的“阿尔法狗”（AlphaGo）又击败了两位围棋世界冠军——韩国的李世石（1983—　）和中国的柯洁（1997—　）。这方面的进步得益于云计算、大数据、神经网络技术的发展和摩尔定律。目前，人工智能在逻辑推理方面可以说已超越人类，但是在认知情感、决策等领域能做的事情仍十分有限。专家认为，人工智能所面临的更多是数学问题，还没有像克隆技术那样发展到需要进行伦理讨论的阶段。