生物膜弹性理论精要

本书简要介绍了生物膜的组分与物理状态、弹性和形状的基本概念，并着重总结了生物膜的弹性理论及其**进展。基于Helfrich的自发曲率弹性模型，本书讨论了脂质泡的形状方程及其解析特解、带边脂质膜的控制方程及其特解、出芽脂质囊泡的颈端连接条件、脂质膜的应力张量和力矩张量、手性膜的弹性理论。与其他的著作不同，在弹性问题的数学处理上，本书主要运用外微分和活动标架法，而不是惯用的张量分析方法；在素材的选取上，本书力求保留物理内涵丰富而数学处理上较为优美和简洁的内容。

目录
第1章 生物膜的化学组成与物理状态 1
1.1 细胞的膜结构 1
1.2 脂质分子的双亲性 2
1.3 脂质分子形成的超结构 5
1.4 脂质双层膜的液晶态 7
1.5 细胞膜的简化模型 8
参考文献 10
第2章 生物膜的弹性 12
2.1 自由能与弹性 12
2.1.1 内能弹性与熵弹性 13
2.1.2 弹性模量 14
2.2 脂质双层膜的弹性 15
2.2.1 面内压缩模量 15
2.2.2 面外弯曲模量 16
2.3 膜骨架网络的弹性 18
2.3.1 二维应变分析 18
2.3.2 膜骨架简化模型 20
2.3.3 面内压缩模量与剪切模量 21
2.4 复合膜的弹性 22
参考文献 22
第3章 生物膜的形状 24
3.1 形状的数学描述 24
3.1.1 空间曲线 24
3.1.2 曲面论：外微分与活动标架法 26
3.1.3 曲面上的曲线 29
3.1.4 曲率张量、平均曲率和高斯曲率的几何意义 31
3.2 平衡构形与自由能泛函 32
3.2.1 肥皂膜泡的形状 34
3.2.2 红细胞的形状问题 35
3.3 自由能泛函的构造 36
3.3.1 生物膜的局部对称性决定自由能泛函 37
3.3.2 脂质双层膜的自由能泛函 38
参考文献 39
第4章 脂质泡的形状方程及其解析特解 41
4.1 曲面变分理论 41
4.1.1 标架变分 41
4.1.2 霍奇星算子 44
4.1.3 斯托克斯定理与格林恒等式 47
4.2 闭合脂质泡的自由能及其变分 48
4.2.1 曲面基本几何量的变分 48
4.2.2 自由能的一阶变分 50
4.2.3 自由能的二阶变分 52
4.3 闭合脂质泡形状方程 54
4.3.1 普遍形状方程 54
4.3.2 轴对称形状方程 54
4.4 形状方程的特解 58
4.4.1 球形泡及其稳定性 58
4.4.2 克利福德环面 60
4.4.3 双凹碟面 61
4.4.4 Dupin 环面 62
4.5 准精确解 63
4.5.1 极小曲面 63
4.5.2 非零常平均曲率曲面 64
4.5.3 类 Delaunay 波纹柱面 65
4.6 轴对称形状方程的哈密顿-雅可比表示 65
4.6.1 轴对称形状方程对应的拉格朗日函数 65
4.6.2 哈密顿-雅可比方程及其解 67
参考文献 68
第5章 带边脂质膜的控制方程及其特解 71
5.1 带边界的曲面变分问题 71
5.2 带边脂质膜的控制方程与相容条件 74
5.2.1 控制方程 74
5.2.2 相容条件 75
5.3 解析特解 76
5.3.1 不存在性定理 76
5.3.2 带边极小曲面 77
5.3.3 准精确解 78
参考文献 79
第6章 出芽脂质囊泡的颈端连接条件 81
6.1 颈端条件猜想 81
6.2 两相膜的形状方程和分界线的连接条件 83
6.3 轴对称情形下颈端条件猜想的证明 85
6.4 一般情形下颈端条件猜想的证明 88
6.5 关于颈端条件的几点说明 91
参考文献 92
第7章 脂质膜的应力张量和力矩张量 94
7.1 应力张量和力矩张量 94
7.1.1 膜片的力和力矩平衡方程 94
7.1.2 应力张量和力矩张量的表达式 95
7.2 形状方程与应力张量的关系 97
7.3 带边脂质膜的边界条件 99
7.4 两相膜的连接条件 101
7.5 关于未定的拉格朗日乘子的讨论 102
参考文献 103
第8章 手性膜的弹性理论 104
8.1 Helfrich-Prost 模型 104
8.2 Selinger-Schnur 模型 105
8.3 Komura-Ou-Yang 模型 106
8.4 手性膜的简化理论 110
8.4.1 自由能的构造 110
8.4.2 无边手性膜的控制方程 111
8.4.3 带边手性膜的控制方程 113
8.4.4 手性膜控制方程的解析特解 114
参考文献 121
第9章 总结与展望 123
9.1 细胞膜的弹性及力学稳定性 123
9.2 膜的非局域弹性理论 126
9.2.1 面积差弹性理论 126
9.2.2 存在非局域相互作用的膜 127
参考文献 127
附录 129
A. 流形、外微分与斯托克斯定理 129
B. 的张量表达式 130
C. d的变分 131
D. 极限形状的分裂囊泡颈端局部形态分析 134
参考文献 139
索引 140