2019全国硕士研究生招生考试管理类专业学位联考综合能力考前辅导教程-数学分册

解析全国硕士研究生招生考试管理类专业学位联考综合能力数学大纲，融通重点、难点和考点。 

本书是在研读《综合能力考试》考试大纲及历年综合能力考试试卷的基础上编写的辅导教程．将考试大纲中涉及的知识点分成算术、代数、几何、数据分析共4章来讲述； 各章下安排若干节，在各节中，先梳理知识要点，然后主要通过对问题求解和条件充分性判断这两类典型题目的讲解来解析如何化解考点、如何体现综合能力，再通过模拟练习来强化这方面的技能，为了便于读者自查，给出了模拟练习的答案与解析．在例题和习题题目的数量上力图反映考点在考卷中的频次分布情况．
本书可供准备参加管理类综合能力联考（包括工程管理硕士、工商管理硕士、公共管理硕士、会计硕士、图书情报硕士、旅游管理硕士、审计硕士）的考生备考复习时使用．

第1章算术

1.1实数及其运算

1.2比和比例

1.3值

1.4典型应用问题举例

第2章代数

2.1整式与分式

2.2集合与函数

2.3代数方程

2.4不等式

2.5数列

第3章几何

3.1平面图形

3.2空间几何体

3.3平面直线与圆

第4章数据分析

4.1排列与组合

4.2数据描述

4.3随机事件的概率

综合能力考试自然考查的是能力．对于数学部分而言，具体考查的是运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力这四种能力，考查的方式是解答基于中小学数学知识的“问题求解”和“条件充分性判断”这两种五选一的选择题．条件充分性判断这种题型，先陈述一个条件并不完整的结论，将其作为题干，随后给出两个条件，终判断所给出的条件是否充分支持题干所陈述的结论．逻辑推理能力在这种题型中体现得比较充分，而且在总共25道题目中，占了10道，可见这是考查的重点．实际上这四种能力在每个题目中都是有所体现的，只是侧重的程度有所不同而已．比如，已知x2-3x 1=0，求x7 1×7=？可以由条件x2-3x 1=0求出x=3±52，然后求x7的值，但这样计算此题就复杂了．由所求式的特殊形式，可以通过对整式的一些常用公式的灵活运用，简化计算．因为依题设知x2 1=3x，所以
x 1x=x2 1x=3，
x2 1×2=x 1×2-2=7，
x4 1×4=x2 1×22-2=47．

于是得x 1xx2 1×2=21，所以
x3 1×3=x 1xx2-1 1×2
=x 1xx2 1×2-x 1x
=18．

又因为x3 1x3x4 1×4=x7 1×7 x 1x，所以x7 1×7=47×18-3=843．由此可见，此题对运算能力的考查体现得更充分些．又如，已知圆心为P(6,m)的圆与坐标轴交于A(0,-4)，B(0,-12)两点，求P到坐标原点的距离．因为P点的一个坐标已经给出，按常规的思路，由PA=PB列方程可以求得未知量m．但A，B两点的横坐标相等，通过几何直观可以得出AB的垂直平分线平行于x轴，并且通过P点，于是由A，B两点的纵坐标立即得出m=-4-122=-8．此题对空间想象能力的考查体现得比较充分．再如，在100件产品中，有3件次品，从中任取3件，问至多有2件次品的取法有多少种？
至多取2件次品的情形有三种，种是取2件次品、1件正品，这样的取法有C23C197种； 第二种是取1件次品、2件正品，这样的取法有C13C297种； 第三种是取3件正品，取法有C397种．由加法原理，可知取出的3件产品中至多有2件次品的取法共有C23C197 C13C297 C397种．如果考虑至多取2件次品的对立面： 所取3件均为次品，这种情形的取法有C33种．而从100件产品中任取3件，取法有C3100种，所以至多取2件次品的取法有C3100-C33种．此题对数据处理能力的考查体现得比较充分．由上面所举的几个例子可见，综合能力考查所涉及的知识点并不太难，全部为中小学课程中所学过的知识，而且考得也不深，但要求考生对所涉及的知识点能够灵活运用．因此，本书将对知识点的灵活运用作为辅导的重点．从小学到中学，所讲授的知识点是很多的．但此试卷中数学部分只有25道题（小学、初中部分大致占15道，高中部分大致占10道），不可能涉及所有的知识点，只能是那些基础的、重要的，又可以体现上述四种能力的知识点才会出现在试卷中，这就是所谓的考点．将知识点和考点融合在一起，就构成试题，因此，本书以题目为基点，来解析知识点的灵活运用，来诠释考点的表现形式．根据考试大纲的要求以及对历年试卷的研读分析，对于所考查的知识点按类别共安排算术、代数、几何、数据分析四章，每章下再分3~5节来归纳知识要点、解析典型例题、设计模拟练习．对于知识要点，以归纳到位为原则，决不搞广度扩展和深度渗透．对于典型例题，尽可能在形式上与试卷的形式取得一致，以使读者早接触、早习惯试题的形式，减少陌生感，降低考试压力，在解析的过程中通过明晰的逻辑推理层次来体现命题中的能力立意； 同时，为了突显一些在试卷中高频次出现的知识点，还在一些节中安排了一些解答题．模拟练习中的题目，在形式上与试卷的形式完全一致．典型例题和模拟练习中所选择的题目是以历年联考的真题或相近的考试真题为尺度来筛选的，题目的数量安排也兼顾到对应知识点在联考中出现的频次．为了便于读者检查自己的掌握程度，给出了模拟练习的答案与解析，供读者核对．本书可供准备参加管理类综合能力联考（包括工程管理硕士、工商管理硕士、公共管理硕士、会计硕士、图书情报硕士、旅游管理硕士、审计硕士）的考生备考复习时使用．由于水平和时间所限，难免有不当之处，恳请读者将在使用过程中所发现的问题反馈给我们．衷心祝愿广大读者通过此书的学习与演练，能够在联考中取得数学高分，考试成功！
编者2018年4月

第1章算术
1.1实数及其运算
【知识要点】一、 数的概念我们称数1，2，3，…为正整数； 称-1,-2,-3,…为负整数； 0与正整数统称为自然数，全体自然数用N表示； 正整数、负整数与0统称为整数,全体整数用Z表示.将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数，如79表示9等份中的7份，38表示8等份中的3份.将单位“1”等分成的份数称为分数的分母，如79中的9，38中的8； 分数表示的份数称为该分数的分子，如79中的7，38中的3.分子比分母小的分数叫做真分数，如79，38都是真分数； 分子比分母大的分数叫做假分数，如74，113； 假分数可以表示成整数附带真分数的形式，称为带分数，如74可写成134； 113可写成323.将整数“1”平均分成10份，100份，1000份，……，这样的一份或几份是十分之几，百分之几，千分之几，……，它们可以用小数表示，如百分之四十五可以表示成0.45，千分之四可以表示成0.004.小数可分为有限小数与无限小数，无限小数又包括无限循环小数与无限不循环小数.表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比.百分数通常用％表示，如百分之五表示成5%.二、 数的整除 对任意两个整数a,b(其中b>0)，总能找到整数k,r，满足

a=kb r,0≤r
我们分别称k和r为a除以b的商与余数.如果r=0，则称a能被b整除或b能整除a(也称b除得尽a)，记作b|a，此时称a是b的倍数，称b是a的约数.一个正整数的约数的个数是有限的，其中小的约数是1，的约数是它本身； 一个正整数的倍数的个数是无限的，其中小的倍数是它本身.几个整数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，所有正公倍数中小的一个叫做这几个数的小公倍数； 几个整数共有的约数叫做这几个数的公约数，所有公约数中的一个叫做这几个数的公约数.公约数只有1的两个正整数，叫做互质(素)数.分子与分母互质的分数称为简分数(或既约分数).每一个分数都能通过约分(即将分子、分母同时除以分子与分母的公约数)化作简分数.关于互质数，我们常用到结论： 如果b|ad，而b与a互质，则b|d.一个正整数如果只有1和它本身这两个约数，则把这个正整数叫做质数(或素数)； 一个正整数如果除了1和它本身这两个约数外，还有其他的约数，则把这个正整数叫做合数.每个合数都可以表示成几个质数相乘，其中每一个质数都称为这个合数的质因数. 能被2整除的整数叫做偶数，偶数可表示成2k(k∈Z)； 不能被2整除的整数叫做奇数，奇数可表示成2k 1(k∈Z).个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除； 个位上是0,5的整数能被5整除； 一个整数的各位数字之和若能被3整除，它本身也能被3整除； 一个整数的各位数字之和若能被9整除，它本身也能被9整除.分数ab(其中a，b为整数，且b≠0)也称为a除以b的商.三、 实数与数轴1. 实数可以表示成整数之商的数ab(a,b∈Z,b≠0)称为有理数； 不能表示成整数之商的数称为无理数，无理数是无限不循环的小数，如2=1.41421…，π=3.14159….有理数与无理数统称为实数，全体有理数用Q表示，全体实数用R表示.2. 数轴数轴是一条规定了原点(表示数0)、正方向和单位长度的有向直线，数轴上任意一个点都对应一个实数.例如，若假设数轴的正方向朝右，

图111
那么在原点O右侧、到原点距离为3的点A表示数 3，而在原点O左侧、到原点距离为3的点B则表示数-3（见图111）.四、 实数的运算1. 四则运算加法、减法、乘法与除法是实数的四种基本运算，称为四则运算，以下是四则运算的运算律.(1) 交换律： a b=b a，ab=ba； (2) 结合律： (a b) c=a (b c)，(ab)c=a(bc)； (3) 分配律： (a b)c=ac bc.在四则运算中，加法和减法叫做级运算，乘法和除法叫做第二级运算.在没有括号的算式中，如果只有同一级运算，要从左往右依次计算； 如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做级运算(即先乘除、后加减).在有括号的算式中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，等等.2. 乘方与开方设a为实数，n为正整数，n个a的乘积记作an，称为a的n次乘方.规定

a0=1，a-n=1an(a≠0).

乘方运算满足： (ab)n=anbn； an m=anam； anm=(an)m(m,n∈Z).设a为实数，n为正整数，如果有数x，满足xn=a，则称x为a的n次方根，记作na(n=2时称为平方根，记作a)，或记作a1n.在运算有意义的前提下，amn=nam(m,n∈Z,n≥1).在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，这两个方根值相等，符号相反，其中的正方根称为算术根.例如4的平方根有2,-2两个，其中2是4的算术平方根.规定零的算术根为零.【典型例题】
一、 解答题例1.1.1某人左右两手分别握有若干颗石子，若其左手中石子数的5倍与其右手中石子数的2倍之和为31，则此人左手中的石子数是奇数，还是偶数？解析设此人左手中的石子数为a，右手中的石子数为b，根据题中条件可知

5a 2b=31，即5a=31-2b.

由于2b是偶数，所以5a是奇数，从而a也必是奇数.例1.1.2已知a,b,c,d,e是5个质数，它们依次增加且相差12.求a,b,c,d,e的平均值.注k个数a1,a2,…,ak的平均值为a1 a2 … akk，也称为算术平均值(或算术平均数).解析由题设，b=a 12，c=a 24，d=a 36，e=a 48.如果a是大于10的质数，则a的个位数只能是1,3,7,9，这时b,c,d,e中至少有一个数的个位数为5，不可能是质数，所以a是小于10的质数.由上可得a b c d e=5a 120.而小于10的质数是2，3，5，7，易知只有a=5才符合题意，由此可知所求平均值为

a b c d e5=a 24=29.

例1.1.3(1) 求48,54,39的公约数与小公倍数； (2) 求98,105,126的公约数与小公倍数.解析(1) 先将每个数写成质数的乘积

48=24×3，54=2×33，39=3×13，

这3个数的质因子共有3个： 2，3，13，接下来分别将48,54,39表成这3个质因子的乘积

48=24×3×130； 54=2×33×130； 39=20×3×13，

所求公约数为20×3×130=3，小公倍数为 24×33×13=5616.(2) 先将每个数写成质数的乘积

98=2×72，105=3×5×7，126=2×32×7，

这3个数的质因子共有4个： 2，3，5，7，接下来分别将98,105,126表成这4个质因子的乘积

98=2×30×50×72； 105=20×3×5×7； 126=2×32×50×7，

所求公约数为20×30×50×7=7，小公倍数为 2×32×5×72=4410.注公约数中质因子的次数取每个数的分解式中该质因子次数中的； 小公倍数中质因子的次数取每个数的分解式中该质因子次数中的.例1.1.4一个简分数，分子与分母的和为50，如果分子、分母都减去5，得到的分数是23，求这个简分数.解析依题意，这个简分数的分子、分母都减去5以后，分子与分母的和为40，约分后是23.设约分前是2a3a，由2a 3a=40得a=8，所以约分前是1624，故这个简分数为

16 524 5=2129.

例1.1.5计算［(3×7 9×11)÷2-5］÷5.解析先算小括号里的(先做乘法，再做加法)

3×7 9×11=21 99=120，

再算中括号里的(先做除法，再做减法)

(3×7 9×11)÷2-5=60-5=55，

所以 ［(3×7 9×11)÷2-5］÷5=11.二、 问题求解题型说明问题求解是单项选择题，题目要求在所给的5个选项中，选出正确的选项.此处的说明适用于全书中出现的问题求解题型，在后文中将不再重复说明.例1.1.6如果正整数n的15倍除以10的余数为5，那么n的末一位数字不可能为
(A) 1(B) 3(C) 5(D) 6(E) 7答案D.解析根据题中条件可知15n=10k 5.由于10k 5的个位数是5，所以n的个位数与5相乘所得数的个位数也是5.在题中所给的5个数中，只有6与5相乘所得数的个位数不是5.故正确选项为D.例1.1.7在1到100的整数中，能被3或5整除的共有
(A) 6个(B) 20个(C) 33个(D) 47个(E) 53个答案D.解析因为1003=33 13，所以在1到100的整数中，能被3整除的有33个.因为1005=20，所以在1到100的整数中，能被5整除的有20个.又因为10015=6 1015，所以在1到100的整数中，既能被3又能被5整除(即能被15整除)的有6个.综上可知，在1到100的整数中，能被3或5整除的数的个数为33 20-6=47.故正确选项为D.例1.1.8每一个合数都可以写成k个质数的乘积.在小于100的合数中，k的值为(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6(E) 7答案D.解析由于小的质数是2，且26=64<100，27=128>100，所以小于100的合数多可以写成6个质数的乘积，k的值为6.故正确选项为D.例1.1.932015的末位数是(A) 1(B) 3(C) 6(D) 7(E) 9答案D.解析因为

32015=3×32014=3×91007，

且通过运算可以发现，9的奇数次方的末位数为9，所以32015的末位数是7.故正确选项为D.例1.1.10从不超过10的质数中任取两个分别相乘和相除，不相等的积和商个数分别是(A) 6,12(B) 12,6(C) 10,20(D) 20,10(E) 10,10答案A.解析不超过10的质数共有2,3,5,7四个.由于乘法运算满足交换律，所以任取两个相乘共得到4×32×1=6个不同乘积.同样，由于除法运算没有交换律，所以两个不同的数作除法运算会得到两个不同的商，因此从2,3,5,7中任取两个数相除共得到4×3=12个不同的商.故正确选项为A.例1.1.11A,B,C,D,E五支篮球队相互进行循环赛，现已知A队已赛过4场，B队已赛过3场，C队已赛过2场，D队已赛过1场，则此时E队已赛过的场次数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(E) 无法确定答案B.解析如表111所示，行、列交叉的格子中写0表示行、列对应的两队还没有比赛，写1表示两队已经赛过.易见对角线的格子中都为0(因为自己跟自己是没法比赛的).

表111循环赛进程表

ABCDE

A01111B10101C11000D10000E11000
因为A队已赛过4场，所以第二行其余4个格子中全为1，于是第二列其余4个格子中也全为1.又因D队已赛过1场，所以第五行余下的格子中全为0，于是第五列余下的格子中也全为0.再根据B队已赛过3场，所以第三行余下的格子中全为1，于是第三列余下的格子中也全为1； 后根据C队已赛过2场，可知第四行余下的格子中为0，于是第四列余下的格子中也为0.从表111中可知E队已赛过2场.故正确选项为B.注本题也可以用排除法.首先作为一种比赛，当A,B,C,D的比赛场次明确时，比赛进程是确定的，故E队的比赛场数是确定的，这样就排除了选项E.由于A,B,C,D,E五支队总的比赛场次一定是2的倍数，即为偶数.已知A,B,C,D四队的比赛场次之和为4 3 2 1=10，所以E队的比赛场次只能是偶数，这样就排除了选项A，C.又因为D队只赛1场且已与A队赛完，所以E队的比赛场次不能是4，这样选项D也被排除.例1.1.12某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一间未住满，那么该校女生宿舍的房间数为(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8答案C.解析设该校女生宿舍的房间数为x.每间房住4人，还剩20人未住下，说明该校的女生人数是4x 20.每间住8人没有住满说明4x 20<8x，而只有一间没住满则意味着

8(x-1)<4x 20.

由不等式4x 20<8x得x>5，由不等式8(x-1)<4x 20得x<7，考虑到x是整数得x=6.故正确选项为C.例1.1.13设a,b,m均为大于零的实数，且 b>a，则(A) a mb m>ab(B) a mb m
a mb m-ab=m(b-a)b(b m)，

且b>a>0，m>0，所以

a mb m-ab>0，即a mb m>ab.

故正确选项为A.解法2因为

a mb m÷ab=a mb m·ba=ab bmab am，

且b>a>0，m>0，所以

ab bmab am>ab amab am=1，即a mb m>ab.

例1.1.14已知a=20012002,b=20022003,c=20032004，则(A) a>b>c(B) b>c>a(C) c>a>b(D) c>b>a(E) a>c>b答案D.解析因为

1a=1 12001，1b=1 12002,1c=1 12003，

所以 1a>1b>1c>0，即c>b>a.故正确选项为D.例1.1.1511 2212 3314 4418 55116 66132 77164=(A) 30678(B) 3081516(C) 3083132(D) 3086364(E) 307127128答案D.解析因为

 11 2212 3314 4418 55116 66132 77164
=11(1 2 3 4 5 6 7) 12 14 18 116 132 164，

且

11(1 2 3 4 5 6 7)=11×1 72×7=308，
12 14 18 116 132 164=12×1-1261-12=6364，

所以

原式=308 6364=3086364.

故正确选项为D.注本题用到两个常用公式： ① 1 2 3 … n=n(n 1)2； ② 1 a a2 a3 … an-1=1-an1-a(a≠1).例1.1.162010×2008 1(1 3 5 7 9 11 13)2=(A) 41(B) 49(C) 1681(D) 2009(E) 2401答案C.解析2010×2008 1(1 3 5 7 9 11 13)2=(2009 1)(2009-1) 1(7×7)2
=2009492=(41)2=1681.
故正确选项为C.例1.1.1723-43 63-83 103-12333-63 93-123 153-183=(A) 827(B) 278(C) 49(D) 94(E) 1 答案A.解析因为(ab)k=akbk，所以

23-43 63-83 103-12333-63 93-123 153-183=23(1-23 33-43 53-63)33(1-23 33-43 53-63)=827.

故正确选项为A.例1.1.18已知a,b,c,d是不超过10的两两不同的正整数，则a-bc d的值为(A) 125(B) 145(C) 2(D) 213(E) 3 答案D.解析当a-b，c d小时，a-bc d的值，因此应取a=10，而b,c,d应在1,2,3中取值.若b=1，则a-bc d=10-12 3=145； 若b=2，则a-bc d=10-21 3=2>145； 若b=3，则a-bc d=10-31 2=213>2.综上可知，a-bc d的值为213.故正确选项为D.例1.1.19当a>0时，aaaa=(A) a1716(B) a1516(C) a98(D) a78(E) a58答案B.解析因为aaaa=aaa32=aa74=a158=a1516.故正确选项为B.三、 条件充分性判断
题型说明条件充分性判断由题干中的结论和所给的条件(1)与(2)构成，题目要求在A，B，C，D，E共五个选项中，选出正确的选项.A，B，C，D，E这五个选项如下： A. 条件(1)充分，但条件(2)不充分； B. 条件(2)充分，但条件(1)不充分； C. 条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和(2)联合起来充分； D. 条件(1)充分，条件(2)也充分； E. 条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和(2)联合起来也不充分.注如果条件P成立就能推出结论Q成立，则称条件P是结论Q的充分条件.例如： 选项A的意思是如果条件(1)成立，则题干中的结论也成立，且如果条件(2)成立，则不能保证题干中的结论成立； 选项C的意思是如果条件(1)成立，不能保证题干中的结论成立，如果条件(2)成立，也不能保证题干中的结论成立，但如果条件(1)与(2)同时成立，则能保证题干中的结论成立.此处的说明适用于全书中出现的条件充分性判断题型，在后文中将不再重复说明.例1.1.20a=1.(1) a>0.(2) a2=1.答案C.解析由a>0不能推出a=1，所以(1)不充分； 由a2=1也不能推出a=1，所以(2)也不充分.但如果a>0，而且a2=1，则能推出a=1，所以(1)和(2)联合起来是充分的.综上可知，正确选项为C. 例1.1.21一满杯酒的容积为18 L.(1) 瓶中有34 L酒，再倒入1满杯酒可使瓶中的酒增至78 L.(2) 瓶中有34 L酒，再从瓶中倒出2满杯酒可使瓶中的酒减至12 L.答案D.解析如果(1)成立，则一满杯酒的容积是78-34L=18L，所以(1)是充分的.如果(2)成立，则一满杯酒的容积是34-12L÷2=18L，所以(2)也是充分的.综上可知，正确选项为D. 例1.1.22(2016年真题) 设x,y是实数.则x≤6，y≤4.(1) x≤y 2.(2) 2y≤x 2.答案C.