概率论与数理统计

《概率论与数理统计》在较细致地讲述概念、理论、例题的同时，精心选配了基础题和提高题两类练习题。 

《概率论与数理统计》系统地论述了概率论与数理统计的概念、方法、理论及其应用，是一本为高等院校理工、经管类专业学生本科生学习而编写的教材或教学参考书．全书共分9章，内容包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征与特征函数、中心极限定理、数理统计的基础知识、参数估计、假设检验、方差分析和回归分析。

齐淑华，硕士学位，副教授。大连民族大学理学院。从事本科学公共基础数学、数学和信息以及统计学专业基础概率论、研究生应用统计教学工作30多年，主持或参加过多项校级教改项目，编写公共基础课概率论与数理统计、微积分和高等数学等多部教材。

第1章随机事件及其概率

1.1随机事件及其运算

1.1.1随机现象

1.1.2样本空间

1.1.3随机事件

1.1.4事件间的关系与运算

1.1.5排列与组合

习题1.1

1.2概率的定义及其性质

1.2.1事件的频率

1.2.2概率的定义

习题1.2

1.3古典概型和几何概型

1.3.1古典概型

1.3.2几何概型

习题1.3

1.4条件概率与全概率公式

1.4.1条件概率

1.4.2乘法公式

1.4.3全概率公式

1.4.4贝叶斯公式

习题1.4

1.5独立性

1.5.1两个事件的独立性

1.5.2多个事件的独立性

习题1.5

总复习题1

第2章随机变量及其分布

2.1随机变量的定义及其分布函数

2.1.1随机变量的定义

2.1.2随机变量的分布函数

习题2.1

2.2离散型随机变量及其分布

2.2.1离散型随机变量及其分布律

2.2.2几种常见的离散型随机变量

习题2.2

2.3连续型随机变量及其分布

2.3.1连续型随机变量及其概率密度函数

2.3.2几种常见的连续型随机变量

习题2.3

2.4随机变量函数的分布

2.4.1离散型随机变量函数的分布

2.4.2连续型随机变量函数的分布

习题2.4

总复习题2

第3章多维随机变量及其分布

3.1多维随机变量及其分布函数

3.1.1二维随机变量

3.1.2二维随机变量的联合分布函数

3.1.3二维随机变量的边缘分布函数

3.1.4n维随机变量的联合分布函数

习题3.1

3.2二维离散型随机变量

3.2.1二维离散型随机变量的联合分布律

3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律

3.2.3二维离散型随机变量的条件分布

3.2.4二维离散型随机变量的相互独立性

习题3.2

3.3二维连续型随机变量

3.3.1二维连续型随机变量的概率密度函数

3.3.2两个常用二维连续型随机变量的概率密度函数

3.3.3二维连续型随机变量的边缘概率密度函数

*3.3.4二维连续型随机变量的条件分布

3.3.5二维连续型随机变量的独立性

习题3.3

3.4两个随机变量函数的分布

3.4.1二维离散型随机变量的函数的分布

3.4.2二维连续型随机变量的函数的分布

习题3.4

总复习题3

第4章随机变量的数字特征

4.1随机变量的数学期望

4.1.1离散型随机变量的数学期望

4.1.2连续型随机变量的数学期望

习题4.1

4.2随机变量函数的数学期望与数学期望的性质

4.2.1随机变量函数的数学期望

4.2.2数学期望的性质

习题4.2

4.3方差

4.3.1方差的定义

4.3.2常用分布的方差

4.3.3方差的性质

习题4.3

4.4协方差、相关系数与矩

4.4.1协方差与相关系数

*4.4.2矩与协方差矩阵

习题4.4

总复习题4

第5章大数定律与中心极限定理

5.1大数定律

5.1.1切比雪夫不等式

5.1.2大数定律

习题5.1

5.2中心极限定理

习题5.2

总复习题5

第6章数理统计的基础知识

6.1总体、样本及统计量

6.1.1总体和样本

6.1.2统计量

6.1.3常用的统计量

习题6.1

6.2常用分布与分位点

6.2.1常用分布

6.2.2四种常见分布的上α分位点

习题6.2

6.3正态总体的抽样分布

习题6.3

总复习题6

第7章参数估计

7.1点估计

7.1.1矩法估计

7.1.2最大似然估计

习题7.1

7.2估计量的评选标准

7.2.1无偏性

7.2.2有效性

7.2.3一致(相合)性

习题7.2

7.3区间估计

7.3.1单个正态总体参数的区间估计

7.3.2两个正态总体参数的区间估计

7.3.3单侧置信区间

习题7.3

总复习题7

第8章假设检验

8.1假设检验的基本概念

8.1.1问题的提出

8.1.2假设检验的基本思想

8.1.3两类错误

8.1.4假设检验的基本步骤

8.1.5双侧检验与单侧检验

习题8.1

8.2单个正态总体参数的假设检验

8.2.1单个正态总体均值μ的假设检验

8.2.2单个正态总体方差σ2的假设检验

习题8.2

8.3两个正态总体参数的假设检验

8.3.1关于两个正态总体均值的检验

8.3.2关于两个正态总体方差的检验

习题8.3

总复习题8

第9章方差分析与回归分析

9.1单因素方差分析

9.1.1问题的提出

9.1.2单因素方差分析模型

9.1.3平方和的分解

9.1.4F检验

习题9.1

9.2双因素方差分析

9.2.1无重复试验的双因素方差分析

9.2.2等重复试验的双因素方差分析

习题9.2

9.3一元线性回归

9.3.1引例

9.3.2一元线性回归模型

9.3.3参数a,b的最小二乘估计

9.3.4回归方程的显著性检验

习题9.3

*9.4非线性回归的线性化处理

9.4.1几种常见的曲线及其变换

9.4.2非线性回归分析实例

习题9.4

*9.5多元线性回归简介

9.5.1多元线性回归模型

9.5.2参数b0,b1,…,bm的最小二乘估计

9.5.3线性回归的显著性检验

习题9.5

总复习题9

附录概率论与数理统计附表

附表1泊松分布表

附表2标准正态分布表

附表3χ2分布表

附表4t分布表

附表5F分布表

习题答案

参考文献

概率论与数理统计是研究随机现象数量规律性的一门学科。它的应用十分广泛，在自然科学、工程技术、农业生产等领域有着广泛的应用。随着计算机的发展，概率论与数理统计在经济、医学、金融、保险等领域也有着越来越广泛的应用，正因如此，概率论与数理统计课程也成为各专业大学生最重要的数学必修课之一。 它对培养和提高学生的数学思维能力、创新精神以及量化分析问题的能力有非常重要的作用。为此我们努力将概率论与数理统计的思想融入到各个部分当中，力求做到科学性与通俗性的结合，并有意识地提高学生的数学能力。
本书是我们在总结多年教学实践经验基础上编写而成的，本书具有以下特色：
1. 在注意保持数学学科本身的科学性、系统性、严谨性的同时，力求做到由浅入深、深入浅出、通俗易懂、重点突出、简单扼要，既便于教师教学，又便于学生自学。
2. 在每一节都有课后习题，其中包括基础题和提高题，每一章最后还有总复习题，以供不同层次的学生选用。本书在例题和习题的选取上，力求做到典型性、应用性和现代性，以期注重学生学习兴趣的培养，达到提高综合运用数学知识能力的目的。
3. 在重点的数学概念后附有英文，可以使学生在学习这门课的过程中，逐渐学会英文词汇，这对学生查阅概率论与数理统计外文资料有很大的好处。
4. 在有些章节，大胆地改变了传统的书写顺序，改变后的顺序对老师的教学和学生系统的学习大有益处。
5. 书中提高题部分，有些题目是全国硕士研究生入学考试概率论与数理统计试题，通过真题，可使读者深入地了解考研的要求、题型及重要的考点，开阔学生的视野。
在撰写《概率论与数理统计》过程中，为了便于读者理解和掌握，我们力求将概念叙述得清晰易懂，同时还注意了例子的多样性，所举例子涉及工业、农业、工程技术、保险、医学、经济等多个领域，以使读者在理解基本概念、掌握基本方法的同时，体会到概率统计应用的广泛性。
本书可作为高等学校工科、理科（非数学类专业）本科生概率论与数理统计课程的教材，也可作为经济、管理类有关专业本科生概率论与数理统计课程的教材。本书中带有“*”的部分可供对概率论与数理统计知识有较高要求专业的学生选用。
学习《概率论与数理统计》内容只需微积分和线性代数的相关知识，全书共9章，包括两部分内容，前5章是概率论部分，包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理；后4章是数理统计部分，包括数理统计的基础知识、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析。
讲授本教材的全部内容建议用64学时，如果讲前8章，建议用48学时，如果讲前5章，建议用32学时。
 本教材是大学数学基础丛书系列教材之一,由大连民族大学理学院组织编写，主编齐淑华、刘强，副主编丁淑妍、李阳，参加编写的还有王金芝、周庆健、刘力军、刘恒、刘红梅、谢丛波、董莹、楚振艳、董丽、张誉铎、曲程远、余军、唐玲丽、李秀文、何晓、邹燕清、李娇、殷亮、臧林，理学院领导和同事对本书的编写提出了宝贵的意见和建议，在此表示感谢。
由于作者水平有限，难免有不当之处或错误，敬请同行和广大读者指正。

编者

2018年11月

第1章随机事件及其概率

本章介绍概率论与数理统计中用到的基本概念及随机事件的关系与运算，重点论述概率的定义、古典概率的求法、条件概率和乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式以及事件的相互独立性。
1.1随机事件及其运算
1.1.1随机现象

概率论与数理统计研究的对象是随机现象。客观世界中，人们观察到的现象，大体上存在着两种现象，一种是在一定条件下必然发生的现象，称为确定性现象或必然现象。例如，在一个标准大气压下，水在100℃时一定沸腾； 两个同性的电荷一定互斥。另一种称为随机现象(random phenomenon)，它是指在进行个别试验或观察时其结果具有不确定性，但在大量的重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。例如，向上抛一枚质地均匀的硬币，硬币落地的结果可能正面朝上，也可能反面朝上； 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现1点到6点中的任一点。在随机现象中，虽然在一次观察中，不知道哪一种结果会出现，但在大量重复观察中，其每种可能结果却呈现出某种规律性。例如，在多次抛一枚硬币时，正面朝上的次数大致占总次数的一半； 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点到6点中的任何一点的可能性为16。这种在大量重复观察中所呈现出的固有规律性，就是我们所说的统计规律性。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
把对某种随机现象的一次观察、观测或测量等称为一个试验。
下面看几个试验的例子：
（1） 将一枚硬币抛三次，观察正面H、反面T出现的情况；
（2） 掷一枚骰子，观察出现的点数；
（3） 观察某城市某个月内交通事故发生的次数；
（4） 对某只灯泡做试验，观察其使用寿命；
（5） 对某只灯泡做试验，观察其使用寿命是否小于200h。
上述试验具有以下特点： （1）在相同的条件下试验可以重复进行； （2）每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验前可以明确试验的所有可能结果； （3）在每次试验前，不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果。称这样的试验为随机试验(random experiment)，简称试验，记为E。
注本书以后所提到的试验均指随机试验。

1.1随机事件及其运算

第1章随机事件及其概率

1.1.2样本空间
对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结果是已知的，称试验所有可能结果组成的集合为样本空间（sample space），记为Ω={ω}。其中试验结果ω为样本空间的元素，称之为样本点（sample point）。

设Ei(i=1,2,…,5)分别表示上述试验(1)~试验(5)，以Ωi表示试验Ei(i=1,2,…,5)的样本空间，则
(1) Ω1={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}；
(2) Ω2={1,2,3,4,5,6}；
(3) Ω3={0,1,2,…}；
(4) Ω4={t|t≥0}；
(5) Ω5={寿命小于200h，寿命不小于200h}。
注虽然随机试验(4)和试验(5)都观察某只灯泡的使用寿命，但试验目的不同，所以对应的样本空间也不同。
1.1.3随机事件
一般地，我们称试验E的样本空间Ω的任意一个子集为随机事件（random event）,简称事件，常用大写字母A,B,C，…表示。
做试验E时，若试验结果属于A，则称事件A发生； 否则为事件A不发生。
如果事件中只包含一个样本点，则称该事件为基本事件(elementary event)。
【例1】掷一枚骰子，随机试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}。指出下述集合表示什么事件？并指出哪些是基本事件。
事件A1={1},A2={2}； 事件B={2,4,6}； 事件C={1,3,5}； 事件D={4,5,6}。
解事件A1={1},A2={2}——分别表示“出现1点”，“出现2点”，都是基本事件；
事件B={2,4,6}——表示“出现偶数点”，非基本事件；
事件C={1,3,5}——表示“出现奇数点”，非基本事件；
事件D={4,5,6}——表示“出现点数不小于4点”，非基本事件。
由于样本空间Ω包含了所有的样本点，且其也是自身的一个子集，故在每次试验中Ω一定发生，因此，称Ω为必然事件(certain event)。
例如，掷一枚骰子，事件“出现的点数小于7”是必然事件。
空集不包含任何样本点，但它也是样本空间Ω的一个子集，由于它在每次试验中肯定不发生，所以称为不可能事件(impossible event)。
例如，掷一枚骰子，事件“出现7点”是不可能事件。

1.1.4事件间的关系与运算
事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然可按照集合论中集合之间的关系和集合运算来处理。
设试验E的样本空间为Ω，而A,B,Ak(k=1,2,…)是Ω的子集。
1. 事件间的关系
（1） 事件的包含与相等
若事件A发生，必有事件B发生，则称事件B包含事件A（如图11（a）所示），记作AB。特别地，若AB且BA，则称事件A与事件B相等，记作A=B。
例如，掷一枚骰子，事件A=“出现4点”，B=“出现偶数点”，则AB； 掷两枚骰子，事件A=“两颗骰子的点数之和为奇数”，B=“两颗骰子的点数为一奇一偶”，则A=B。

图11

（2） 事件的和
事件A或B至少有一个发生，称为事件A与事件B的和事件（union of events）（如图11（b）所示），记作A∪B或A B。
例如，掷一枚骰子，事件A=“出现的点数小于3点”，B=“出现奇数点”，则

A∪B={1,2,3,5}。

n个事件A1,A2,…,An的和事件表示为∪ni=1Ai，含义就是事件A1,A2,…,An中至少有一个发生。
（3） 事件的积
事件A与B同时发生，称为事件A与事件B的交事件（intersection of events）（如图12（a）所示），也称事件A与B的积，记作A∩B或AB。

图12

例如，掷一枚骰子，事件A=“出现的点数小于5点”，B=“出现偶数点”，则A∩B={2,4}。
n个事件A1,A2,…,An的积事件记作∩ni=1Ai，它表示事件A1,A2,…,An同时发生。
（4） 事件的差
事件A发生而B不发生，称为事件A与事件B的差事件（如图12（b）所示），记作A－B。
例如，掷一枚骰子，事件A=“出现的点数小于4”，B=“出现奇数点”，则A－B={2}。
（5） 互不相容事件
当AB=时,称事件A与事件B为互斥事件(mutually exclusive events)(或互不相容事件)（如图13（a）所示）,简称A与B互斥，也就是说事件A与事件B不能同时发生。
例如，在电视机寿命试验中，“寿命小于1万小时”与“寿命大于5万小时”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生。

图13

（6） 对立事件
若A∪B=Ω且A∩B=，则称事件A与事件B互为对立事件，或互为逆事件(complementary event)（如图13（b）），A的对立事件记作，则=B。
例如，掷一枚骰子，事件A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，则A与B互为对立事件。
注由事件的关系可得A－B=A。
2. 事件的运算
（1） 交换律： A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
（2） 结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。
（3） 分配律： A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
（4） 德摩根(De Morgan)律： A∪B=∩，A∩B=∪。
注由分配律我们还可推出如下常用的运算： A=A(B∪)=AB∪A。
【例2】从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回）,事件Ai表示第i次取到合格品（i=1,2,3），试表示：
（1）三次都取到合格品； （2）三次中至少有一次取到合格品； （3）三次中恰有两次取到合格品； （4）三次中都没取到合格品； （5）三次中最多有一次取到合格品。
解（1） A1A2A3；
（2） A1∪A2∪A3或A1 A2 A3；
（3） A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3或A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3；
（4） A1A2A3或A1∪A2∪A3；
（5） A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2 A3∪A1A2A3或A2A3∪A1A2∪A1A3。
1.1.5排列与组合
在接下来的古典概率中要用到排列组合的知识,因此在这里我们简要介绍一下排列组合。
排列与组合公式的推导都基于如下两条原理。
1. 乘法原理
如果某件事需经k个步骤才能完成，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1m2…mk种方法。
譬如，甲城到乙城有三条旅游线路，由乙城到丙城有两条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2＝6条旅游线路。
2. 加法原理
如果某件事可由k类不同途径之一去完成，在第一类途径中有m1种完成方法，在第二类途径中有m2种完成方法，……，在第k类途径中有mk种完成方法，那么完成这件事共有m1 m2 … mk种方法。
譬如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具： 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5 3 2=10个班次供旅游者选择。
排列与组合都是计算“从n各元素中任取r个元素”的取法总数公式，其主要区别在于： 如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式。而所谓讲究元素间的次序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的； 而两个人排队是讲次序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事。
3. 排列
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素出来（要考虑元素出现的先后次序），称此为一个排列，这种排列的总数记为Pmn。
由乘法原理，取出第一个元素有n种取法，取出第二个元素有n-1种取法，……，取出第m个元素有n-m 1种取法，故Pmn=n（n-1）…（n-m 1）=n!（n-m）!。
若m=n，则称为全排列，记为Pnn，显然Pnn=n!。
4. 组合
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并成一组（不考虑元素出现的先后次序），称此为一个组合，这种组合的总数记为n
m或Cmn。
按照乘法原理，Cmn=Pmnm!=n!m!(n－m)!=n(n－1)…(n－m 1)m!。这里规定0！＝1。
习题1.1
基础题
1. 写出下列随机试验的样本空间：
（1） 掷两枚骰子，观察出现的点数；
（2） 连续抛一枚硬币，直至出现正面为止，正面用“1”表示，反面用“0”表示；
（3） 一超市在正常营业的情况下，某一天内接待顾客的人数；
（4） 某城市一天内的用电量。
2. 同时掷两枚骰子，设事件A表示“两枚骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本点的集合表示事件B－A,BC,B 。
3. 设A,B,C为三事件，试用A,B,C的运算关系表示下列事件：
（1） A发生，B与C不发生； （2） A与B发生，C不发生；
（3） A,B,C都发生； （4） A,B,C都不发生；
（5） A,B,C不都发生； （6） A,B,C中至少有一个发生；
（7） A,B,C中不多于一个发生； （8） A,B,C中至少有两个发生。
4. 指出下列关系中哪些成立，哪些不成立：
（1） A∪B=A∪B;（2） B=A∪B;
（3） (AB)(A)=;（4） 若AB=,且CA,则BC=;
（5） 若AB,则A∪B=B； （6） 若AB,则AB=A;
（7） 若AB,则;（8） (A∪B)C=。
5. 设A，B是两个事件，那么事件“A，B都发生”，“A，B不都发生”，“A，B都不发生”中，哪两个是对立事件？
6. 从数字1,2,…,9中可重复地任取n次(n≥2)。以A表示“所取的n个数字中没有5”，B表示“所取的n个数字中没有偶数”，问事件“所取的n个数字的乘积能被10整除”如何用A，B表示？
提高题
1. 设事件A与B满足条件AB=，则下面结论正确的是()。

A. A∪B= B. A∪B=Ω
C. A∪B=A D. A∪B=B
2. 设A，B，C是随机事件，满足ABC，则下面结论正确的是（）。
A. B. AC且BC
C. ∪D. AC或BC
3. 设A,B为随机事件,试证明下列等式：
(1) A∪B=A∪B;
(2) (A－B)C=AC－BC;
(3) (A∪B)－B=A－B=A－AB;
(4) (A∪B)－AB=(A－B)∪(B－A)。
1.2概率的定义及其性质

1.2概率的定义及其性质

概率的定义是概率论中最基本的一个问题。简单而直观的说法是： 概率是随机事件发生的可能性的大小。在一次试验中，某事件A能否发生难以预料，但在多次重复试验中，事件A的发生却能显现出确定的规律性。事实上，事件A发生的可能性大小是可以确定的。我们的任务就是要找到对随机事件发生可能性的科学的、合理的定量描述。为了合理地刻画事件在一次试验中发生的可能性的大小，我们首先引入频率的概念，进而引出表征事件在一次试验中发生可能性大小的数字度量——概率。
1.2.1事件的频率

定义1如果随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，则称比值nA/n为事件A发生的频率(frequency)，记为fn(A)。
由定义易见频率具有下述基本性质:
（1） 0≤fn(A)≤1;
（2） fn(Ω)=1，fn()=0;
（3） 若A1,A2,…,An是两两互不相容事件，则

fn(A1∪A2∪…∪An)=fn(A1) fn(A2) … fn(An)。

【例1】抛硬币试验。历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见表11，从表中的数据可以看出： 出现正面的频率逐渐稳定在0.5。

表11历史上抛硬币试验的若干结果

试验者
抛硬币试验
出现正面次数
频率

德摩根（De Morgan）
2048
1061
0.5181
蒲丰（Buffon）
4040
2048
0.5069
费勒（Feller）
10000
4979
0.4979
皮尔逊（Pearson）
12000
6019
0.5016

【例2】产品合格率试验。为了检测某种产品的合格率，从一批产品中分别随机地抽出3件，5件，15件，50件，100件，200件，400件，600件，在相同条件下进行检验，得到的统计结果如下：

产品数
3
5
15
50
100
200
400
600

合格品数
3
4
13
46
89
180
362
541
合格品频率
1.00
0.80000.8670.9200.8900.9000.9050.902

当n取不同值时，合格品的频率fn(A)不尽相同。但当n很大时，fn(A)在0.9这个固定的数值附近摆动。
从上面两个例子可以看出： 事件发生的频率在0与1之间随机波动，当试验次数较小时，波动的幅度较大。因而，当试验次数较少时，用频率表示事件在一次试验中发生的可能性大小是不恰当的。但是，随着试验次数的增多，频率逐渐稳定于一个固定常数。对于每个事件，都有这样一个客观存在的常数与之对应。这种 “频率的稳定性”就是通常所说的“统计规律性”，它已经不断地被人类实践所证实，解释了隐藏在随机现象中的内在规律性。于是，用这个频率的稳定值来表示事件发生的可能性的大小是恰当的。
但是，在实际问题中，我们不可能，也没有必要对每个事件都做大量的试验，从中得到频率的稳定值。现在，从频率的稳定性和频率的性质出发，给出度量事件发生可能性大小的量——概率的定义和性质。
1.2.2概率的定义

定义2设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于Ω中的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P(·)满足下述3条公理：
（1） 非负性P(A)≥0；
（2） 规范性P(Ω)=1；
（3） 可列可加性事件A1,A2,…,An,…两两互不相容，则有

P∪∞i=1Ai=∑∞i=1P(Ai)。

则称实数P(A)为事件A的概率（probability）。
由概率的定义，可以推出概率的一些重要性质。
性质1P()=0，即不可能事件的概率为零。
证明令Ai=(i=1,2,…),则∪i=1∞Ai=,AiAj=(i≠j,i,j=1,2,…)。
由可列可加性得

P()=P∪∞i=1Ai=∑∞i=1P(Ai)=∑∞i=1P()，即P()=P() P() …，

所以P()=0。
性质2(有限可加性)如果A1,A2,…,An是两两互不相容的事件，则有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1) P(A2) … P(An)。（1.1）

证明令An 1=An 2=…=AiAj=(i≠j,i,j=1,2,…)，由概率的可列可加性得

P(A1∪A2∪…∪An)=P∪i=1∞Ai=P(A1) P(A2) … P(An) 0

=P(A1) P(A2) … P(An)。

注由式（1.1）及A=AB∪A可得P(A)=P(AB) P(A)。
性质3(对立事件的概率)对于任一事件A，有

P()=1－P(A)。（1.2）

证明由A∪=Ω,A=,P(Ω)=1，得

P(Ω)=P(A∪)=P(A) P()=1，所以P()=1－P(A)。

性质4如果AB,那么P(B－A)=P(B)－P(A),且有P(B)≥P(A)。
证明由于 AB,故B=A∪(B－A)。又因为A(B－A)=，所以

P(B)=P(A) P(B－A)，即P(B－A)=P(B)－P(A)。

根据P(B－A)≥0,有 P(B)≥P(A)。
性质5对任意事件A,B,有

P(A－B)=P(A)－P(AB)。（1.3）

证明因为A－B=A－AB且ABA，所以由性质4得P(A－B)=P(A)－P(AB)。
【例3】设事件A与B的概率分别为0.3,0.2,试在下列3种情况下求P(A－B)： （1）AB=； （2）BA； （3）P(AB)=0.1。
解（1） 由AB= 得P(AB)=0，于是

P(A－B)=P(A)－P(AB)=0.3－0=0.3。

(2) 由BA，得P(A－B)=P(A)－P(B)=0.3－0.2=0.1。
(3) P(A－B)=P(A)－P(AB)=0.3－0.1=0.2。
性质6(加法公式)给定任意事件A,B，有

P(A∪B)=P(A) P(B)－P(AB)。（1.4）

证明因为A∪B=A∪(B－AB)，所以P(A∪B)=P(A) P(B－AB)。
又因为ABB，所以P(B－AB)=P(B)－P(AB)，于是

P(A∪B)=P(A) P(B)－P(AB)。

类似地，任意三个事件A,B,C和的概率公式为

P(A∪B∪C)=P(A) P(B) P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) P(ABC)。

【例4】已知事件A,B,A∪B的概率分别为0.4,0.3,0.6,求P(A)。
解由P(A∪B)=P(A) P(B)－P(AB)得

P(AB)=P(A) P(B)－P(A∪B)=0.4 0.3－0.6=0.1，
P(A)=P(A)－P(AB)=0.4－0.1=0.3。

【例5】设有事件A，B，C,已知P(A)=P(B)=P(C)=14,P(AC)=P(BC)=116，P(AB)=0。问： （1）A,B,C中至少有一个发生的概率是多少？（2）A,B,C都不发生的概率是多少？
解（1） 因为P(AB)=0且ABCAB，所以由性质4知P(ABC)=0。
再由加法公式，得A,B,C中至少发生一个的概率为

P(A∪B∪C)=P(A) P(B) P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) P(ABC)

=34－216=58。

（2） 因为“A,B,C都不发生”的对立事件为“A,B,C中至少有一个发生”，所以由对立事件计算公式得

P(A,B,C都不发生)=P()=P(A∪B∪C)=1－P(A∪B∪C)=1－58=38。

习题1.2
基础题
1. 已知事件A,B满足P(AB)=P(),记P(A)=p,试求P(B)。
2. 已知事件A，B满足P(A)=0.7,P(A－B)=0.3,试求P(AB)。
3. 某人外出旅游两天。根据天气预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1。试求：
（1） 第一天下雨而第二天不下雨的概率；
（2） 第一天不下雨而第二天下雨的概率；
（3） 至少有一天下雨的概率；
（4） 两天都不下雨的概率；
（5） 至少有一天不下雨的概率。
4. 已知事件A，B，C满足P(A)=P(B)=P(C)=14，P(AC)=18，P(AB)=P(BC)=0。求： （1）A,B,C中至少有一个发生的概率是多少？（2）A,B,C都不发生的概率是多少？
5. 若A，B为两事件，并满足P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(A－B)=0.3，求P(A∪B)和P(∪)。
6. 设A,B是两事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7。问：
（1） 在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？
（2） 在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值是多少？
提高题
1. 设事件A与事件B互不相容，则()。

A. P(AB)=0 B. P(AB)=P(A)P(B)
C. P(A)=1－P(B) D. P(∪)=1
2. 设随机事件A与B为对立事件，0A. 0C. 03. 若P(A)=0.4，P(B)=0.3，求P()。

1.3古典概型和几何概型

1.3古典概型和几何概型
1.3.1古典概型

通过前面讲过的掷一枚骰子或一枚硬币的试验，不难发现这两个试验的结果都具有有限性和等可能性两个特点。
定义1如果试验E满足：
(1) 试验的样本空间Ω只含有有限个样本点，即Ω={ω1,ω2,…,ωn}；
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同，即

P({ω1})=P({ω2})=…=P({ωn})，

则称此试验为古典概率模型(classical probabilistic model)，简称古典概型。