微积分之高分突破

《微积分之高分突破》帮助学有余力的本科生更好地学习“微积分”课程，取得高分，同时满足学生报考研究生的需要。紧扣数学三考研大纲，紧贴考试实际，按题型归类，配有详解。 

《微积分之高分突破》是作者在多年来本科教学和考研辅导经验的基础上编写而成的．全书共分为十章，每章包括四个模块，即知识要点，题型归纳，综合练习及综合练习详解．该套丛书在内容编排上，知识点不前后穿插，便于读者同步学习。本书编写的主要目的有两个，一是帮助学有余力的本科生更好地学习“微积分”课程，开阔学习视野，拓展解题思路；二是为了满足学生报考研究生的需要，本书编写紧扣数学三考研大纲，贴切考试实际，按题型归类、内容详略得当，综合练习全部配有详细的解答过程，有些一题多解，帮助考研学生在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提高综合分析问题、解决问题的能力，以达到融会贯通、举一反三的学习效果．
《微积分之高分突破》既可以作为普通高等院校工科类、经管类本科生学习“微积分”课程的同步训练用书，也可以作为全国硕士研究生统一入学考试的训练辅导用书。

第1章函数

1．1知识要点

1．1．1函数与邻域

1．1．2函数的基本特性

1．1．3反函数与复合函数

1．1．4基本初等函数与初等函数

1．1．5极坐标

1．1．6一些常用公式

1．2题型归纳

1．2．1题型一函数定义域的求解

1．2．2题型二函数表达式的求解

1．2．3题型三反函数的求解

1．2．4题型四复合函数的求解

1．2．5题型五函数的几何特性问题

1．3综合练习

1．4综合练习详解

第2章极限与连续

2．1知识要点

2．1．1极限的概念

2．1．2无穷小量与无穷大量

2．1．3极限的性质

2．1．4极限的运算法则

2．1．5极限存在准则

2．1．6两个重要极限

2．1．7函数的连续性

2．1．8间断点的类型

2．1．9连续函数的性质

2．1．10闭区间上连续函数的性质

2．1．11一些重要的结论

2．2题型归纳

2．2．1题型一极限的概念与性质问题

2．2．2题型二利用极限的四则运算法则求极限

2．2．3题型三利用单侧极限求极限

2．2．4题型四利用两个重要极限求极限

2．2．5题型五利用等价无穷小量替换求极限

2．2．6题型六利用极限存在准则求极限

2．2．7题型七无穷小量的比较

2．2．8题型八函数的连续性问题

2．2．9题型九连续函数的等式证明问题

2．2．10题型十极限的综合问题

2．3综合练习

2．4综合练习详解

第3章导数与微分

3．1知识要点

3．1．1导数的概念

3．1．2导数的几何意义

3．1．3基本导数公式

3．1．4导数的四则运算法则

3．1．5常用求导法则

3．1．6高阶导数

3．1．7微分的概念与性质

3．1．8导数在经济学中的应用

3．2题型归纳

3．2．1题型一按照定义求导数与微分

3．2．2题型二利用导数的定义求极限

3．2．3题型三分段函数的求导问题

3．2．4题型四函数可导性的讨论

3．2．5题型五导数的几何应用

3．2．6题型六导函数的基本特性问题

3．2．7题型七利用可导性求参数值(域)

3．2．8题型八高阶导数问题

3．2．9题型九反函数、复合函数的求导问题

3．2．10题型十隐函数的求导问题

3．2．11题型十一导函数的连续性问题

3．2．12题型十二导数在经济学中的应用

3．3综合练习

3．4综合练习详解

第4章中值定理与导数的应用

4．1知识要点

4．1．1微分中值定理

4．1．2洛必达法则

4．1．3函数的单调区间

4．1．4函数的极值与最值

4．1．5函数的凹凸区间与拐点

4．1．6曲线的渐近线

4．1．7函数作图

4．1．8一些常用的麦克劳林公式

4．1．9达布(Darboux)定理

4．2题型归纳

4．2．1题型一仅出现一个中值的等式证明问题

4．2．2题型二出现多个中值的等式证明问题

4．2．3题型三利用中值定理证明不等式问题

4．2．4题型四利用洛必达法则求极限

4．2．5题型五洛必达法则的综合应用

4．2．6题型六函数的极值与最值问题

4．2．7题型七函数的凹凸性与拐点问题

4．2．8题型八显式不等式的证明问题

4．2．9题型九函数的零点(方程的根)问题

4．2．10题型十渐近线问题

4．2．11题型十一泰勒公式的应用

4．2．12题型十二导数的经济应用

4．3综合练习

4．4综合练习详解

第5章不定积分

5．1知识要点

5．1．1不定积分的概念与性质

5．1．2换元积分法

5．1．3分部积分法

5．1．4有理函数的积分法

5．1．5三角函数有理式的积分法

5．1．6简单无理函数的积分法

5．1．7常用积分公式表

5．2题型归纳

5．2．1题型一利用不定积分的性质求解不定积分

5．2．2题型二求解分段函数的不定积分

5．2．3题型三利用换元积分法求解不定积分

5．2．4题型四利用分部积分法求解不定积分

5．2．5题型五利用等式∫udv ∫vdu=uv C求解不定积分

5．2．6题型六求解有理函数的不定积分

5．2．7题型七求解三角函数有理式的不定积分

5．2．8题型八求解简单无理函数的不定积分

5．2．9题型九求解隐函数的不定积分

5．2．10题型十递推公式问题

5．3综合练习

5．4综合练习详解

第6章定积分

6．1知识要点

6．1．1定积分的概念

6．1．2定积分的几何意义与物理意义

6．1．3定积分的基本性质

6．1．4变上限积分函数

6．1．5定积分的计算

6．1．6广义积分

6．1．7定积分的几何应用

6．1．8几个重要的结论

6．2题型归纳

6．2．1题型一有关定积分的性质问题

6．2．2题型二利用定积分的定义求解极限

6．2．3题型三变限积分问题

6．2．4题型四利用换元法求解定积分

6．2．5题型五利用分部积分法求解定积分

6．2．6题型六利用奇偶性、周期性计算定积分

6．2．7题型七分段函数的积分问题

6．2．8题型八某些不易求出原函数的积分计算问题

6．2．9题型九积分等式的证明问题

6．2．10题型十积分不等式的证明问题

6．2．11题型十一广义积分问题

6．2．12题型十二积分的应用问题

6．3综合练习

6．4综合练习详解

第7章多元函数微积分

7．1知识要点

7．1．1二元函数的定义
 
7．1．2二元函数的极限与连续

7．1．3偏导数

7．1．4全微分

7．1．5高阶偏导数

7．1．6多元函数的求导法则

7．1．7二元函数的极值

7．1．8二重积分的概念与性质

7．1．9利用直角坐标系计算二重积分

7．1．10利用极坐标计算二重积分

7．1．11利用对称性求解二重积分

7．2题型归纳

7．2．1题型一求解多元函数的极限

7．2．2题型二求解多元函数的偏导数

7．2．3题型三计算多元函数的全微分

7．2．4题型四判断多元函数在某点处是否可微

7．2．5题型五抽象复合函数的偏导数的求解

7．2．6题型六隐函数的微分问题

7．2．7题型七求多元函数的极值和最值

7．2．8题型八利用直角坐标系计算二重积分

7．2．9题型九利用极坐标系计算二重积分

7．2．10题型十利用对称性计算二重积分

7．2．11题型十一分段函数的二重积分的计算

7．2．12题型十二二次积分的换序问题

7．2．13题型十三广义二重积分的计算

7．2．14题型十四实际应用题

7．3综合练习

7．4综合练习详解

第8章无穷级数

8．1知识要点

8．1．1无穷级数的概念

8．1．2无穷级数的性质

8．1．3常见级数的敛散性

8．1．4正项级数敛散性的判别法

8．1．5任意项级数的敛散性

8．1．6函数项级数的概念

8．1．7幂级数的概念

8．1．8幂级数的和函数的性质

8．1．9函数的幂级数展开

8．1．10常见的麦克劳林公式

8．2题型归纳

8．2．1题型一利用定义与性质判断级数的敛散性

8．2．2题型二判断正项级数的敛散性

8．2．3题型三判断任意项级数的敛散性

8．2．4题型四函数项级数收敛域的求解

8．2．5题型五讨论幂级数的收敛半径及收敛域

8．2．6题型六利用幂级数的性质求和函数

*8．2．7题型七利用微分方程求幂级数的和函数

8．2．8题型八利用幂级数求数项级数的和

8．2．9题型九函数展开成幂级数问题

8．2．10题型十无穷级数的应用问题

8．3综合练习

8．4综合练习详解

第9章常微分方程

9．1知识要点

9．1．1微分方程的概念

9．1．2一阶微分方程及解法

9．1．3二阶线性微分方程

9．2题型归纳

9．2．1题型一分离变量法求解微分方程

9．2．2题型二求解齐次微分方程

9．2．3题型三求解一阶线性微分方程

9．2．4题型四求解伯努利方程

9．2．5题型五求解二阶线性微分方程

9．2．6题型六微分方程的综合应用

9．3综合练习

9．4综合练习详解

第10章差分方程

10．1知识要点

10．1．1差分方程的概念与性质

10．1．2线性差分方程

10．1．3差分方程的解

10．1．4一阶常系数线性差分方程

10．2题型归纳

10．2．1题型一差分及差分方程的概念问题

10．2．2题型二一阶线性差分方程的求解

10．3综合练习

10．4综合练习详解

参考文献

为了更好地帮助普通高等院校工科类、经管类本科生学好大学数学，提高学习能力，同时为了满足众多考生考研的需要，我们结合多年的本科教学和考研辅导经验，编写了“普通高校工科类、经管类数学同步训练与考研辅导丛书”，该丛书包括微积分、高等数学、线性代数、概率论与数理统计四门课程用书，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书主编． 该套丛书在内容编排上，知识点不前后穿插，便于读者同步学习.
本书为微积分分册，内容涵盖了考研数学三中关于微积分内容的全部考点．本书编写的主要目的有两个： 一是帮助学有余力的本科生更好地学习“微积分”课程，开阔学习视野，拓展解题思路； 二是满足学生报考研究生的需要，本书编写紧扣数学三考研大纲，紧贴考试实际，按题型归类，内容详略得当，综合练习全部配有详细的解答过程，有些题一题多解，帮助考研学生在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提高综合分析问题、解决问题的能力，以达到融会贯通、举一反三的学习效果．
全书共分为10章，每章包括四个模块，即知识要点、题型归纳、综合练习、综合练习详解．具体模块内容为：
1. 知识要点
本模块对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理，方便读者查阅相关内容．
2. 题型归纳
本模块中，作者在多年来本科教学和考研辅导经验的基础上，创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典题目，汇集了一些有代表性的考研真题，按照知识结构、解题思路、解题方法等对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧．
3. 综合练习
在本模块作者精心选编了部分具有代表性的习题以及部分考研真题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果，做到融会贯通、举一反三．
4. 综合练习详解
本模块对综合练习的全部习题均给出了详细的解答过程，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，培养读者的分析能力和发散思维．
为了方便读者查阅，本书在考研真题后面加上了标志，如【2019(3)】表示该题是2019年硕士研究生入学考试数学三考题，【2019(1，3)】表示该题是2019年数学一和数学三考题，等等．
在丛书的编写过程中，得到了北京工商大学曹显兵教授，广东财经大学胡桂武教授，北方工业大学刘喜波教授，北京工业大学李高荣教授，中央财经大学贾尚晖教授，山东工商学院李希亮教授，首都经济贸易大学张宝学教授、马立平教授、任韬副教授以及同事们的大力支持，清华大学出版社的梁云慈编辑也为丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢．
本书既可以作为普通高等学校工科类、经管类本科生学习“微积分”课程的同步训练用书，也可以作为全国硕士研究生统一入学考试的辅导用书．
由于作者水平有限，书中仍可能存在不妥之处，恳请读者和同行们不吝指正．

作者
2019年1月

第1章函数
1．1知识要点
1．1．1函数与邻域

函数y=f(x)有两要素，即定义域和对应法则．两个函数相同的充要条件是定义域与对应法则分别相同．
点x0的δ邻域指的是以点x0为中心、长度为2δ的开区间(x0－δ,x0 δ)； 集合{x|01．1．2函数的基本特性
1. 奇偶性

函数的奇偶性是相对于对称区间而言的，因此如果函数的定义域关于原点不对称，则该函数不具有奇偶性．奇函数的图像关于坐标原点对称； 偶函数的图像关于y轴对称．
奇、 偶函数的一些常用结论：
(1) 常函数(其定义域关于原点对称)为偶函数；
(2) 有限个奇函数的代数和为奇函数，有限个偶函数的代数和为偶函数；
(3) 奇函数与偶函数的乘积为奇函数；
(4) 奇数个奇函数的乘积为奇函数，偶数个奇函数的乘积为偶函数．
2. 单调性
设函数f(x)在某个区间D上有定义，对于x1,x2∈D，且x1(1) 若f(x1)(2) 若f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在区间D单调减少(单调递减)．
3. 周期性
设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对任意的x∈D，有(x±T)∈D，且

f(x T)=f(x)
恒成立，则称该函数为周期函数．T称为函数f(x)的周期，满足上式的最小的正数T0称为函数的最小正周期，通常所说的函数的周期指的是函数的最小正周期．
周期函数的一些常用结论：
(1) 若f(x)的周期为T，则f(ax b)的周期为T|a|(a≠0)；
(2) 若f(x)和g(x)的周期均为T，则f(x)±g(x)也是周期为T的周期函数．
4. 有界性
函数f(x)在D上有界的定义有两种：
(1) 存在M>0，使得对于x∈D，恒有|f(x)|≤M．
(2) 存在实数a和b，使得对x∈D，恒有a≤f(x)≤b．
1．1．3反函数与复合函数
函数y=f(x)的反函数一般记为y=f－1(x)．显然，反函数x=f－1(y)的定义域为Zf，值域为Df，且对任意的y∈Zf，有
f［f－1(y)］=y，
对任意的x∈Df，有
f－1［f(x)］=x．
单调函数一定存在反函数，且函数与反函数具有相同的单调性．
在同一坐标系下，函数y=f(x)与其反函数x=f－1(y)的图像是重合的，y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图像关于直线y=x对称．
复合函数可由两个或多个函数进行有限次复合而成，但并不是任意两个函数都可以进行复合，设外层函数为y=f(u)，u∈Df，内层函数为u=φ(x)，x∈Dφ，仅当外层函数的定义域与内层函数的值域有交集时才可以进行复合．
1．1．4基本初等函数与初等函数
常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数这6大类函数统称为基本初等函数．
由基本初等函数经有限次四则运算和(或)复合运算而得到的函数称为初等函数．
几个常见的结论：
(1) arcsinx arccosx=π2(|x|≤1)；
(2) arctanx arccotx=π2；
(3) arctanx arctan1x=π2(x≠0)．
1．1．5极坐标

在平面上任取一个定点O，称为极点，过点O引一条直线Ox，称为极轴，

图1.1

再选定一个长度单位(图1．1)．对于平面内的任意一点M,用r表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，r称为点M的极径，θ称为点M的极角，有序数对(r,θ)称为M的极坐标．这样建立的坐标系称为极坐标系．

规定从极轴Ox开始，逆时针旋转时θ为正，顺时针旋转时θ为负，从而
－∞规定极径r≥0．
建立极坐标系后，给定有序数对(r,θ)，就可以在平面内唯一确定一点M； 反过来，给定平面内的一点，也可以找到它的极坐标．
设M是平面中的任意一点，它的直角坐标为(x,y)，极坐标为(r,θ)，点M向x轴引垂线，垂足为N，容易推出
x=rcosθ,y=rsinθ．
反之
r=x2 y2，tanθ=yx，x≠0．
在一般情况下，由tanθ确定角度θ时，可根据点M所在的象限取最小正角．
1．1．6一些常用公式
1. 倍角公式

sin(2α)=2sinαcosα=2tanα1 tan2α；

cos(2α)=cos2α－sin2α=1－2sin2α=2cos2α－1=1－tan2α1 tan2α；

tan(2α)=2tanα1－tan2α．
2. 半角公式
sin2α2=1－cosα2； cos2α2=1 cosα2．
3. 某些数列的前n项和公式
1 2 … n=12n(n 1)；
12 22 … n2=16n(n 1)(2n 1)；
13 23 … n3=14n2(n 1)2；
a (a d) (a 2d) … ［a (n－1)d］=na n(n－1)2d；
a aq … aqn－1=a(1－qn)1－q．
4. 乘法与因式分解公式
(a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3；
(a－b)3=a3－3a2b 3ab2－b3；
a3－b3=(a－b)(a2 ab b2)；
a3 b3=(a b)(a2－ab b2)；
an－bn=(a－b)(an－1 an－2b … abn－2 bn－1)，其中n为正整数；
(a b)n=∑nk=0Cknan－kbk=an C1nan－1b C2nan－2b2 … Cn－1nabn－1 Cnnbn，
其中
C0n=1,Ckn=AknAkk=n(n－1)…(n－k 1)k!=n!k!(n－k)!,Ckn=Cn－kn．
5. 对数公式
loga(xy)=logax logay； logaxy=logax－logay；

logaxb=blogax； logax=logcxlogca；

alogax=x．
注在上述对数公式中，要求x>0，y>0，a>0，a≠1，c>0，c≠1．
1．2题型归纳
1．2．1题型一函数定义域的求解

例1．2．1求函数f(x)=1x－2 ln(x－1)的定义域．
解由题意，x－2≠0，且x－1>0，解得不等式有x≠2，且x>1．因此函数的定义域为
Df=(1,2)∪(2, ∞)．
例1．2．2设f(x)=ex2，f［φ(x)］=2－x，且φ(x)≥0，求函数φ(x)的定义域．
解由f(x)=ex2可知
f［φ(x)］=eφ2(x)=2－x，
且φ(x)≥0，于是
φ(x)=ln(2－x)，
因此φ(x)的定义域满足2－x>0，ln(2－x)≥0，解得x≤1．
例1．2．3已知
y=f(x)=1－x2,－1≤x≤1

ln(x2 1),1试求函数f(x－1)的定义域．
解由题意可知，f(x)的定义域为－1≤x≤1与1例1．2．4设函数y=f(x)的定义域为［0,8］，求g(x)=f(3x 2) ln(2x 1)的定义域．
解由于f(x)的定义域为［0,8］，因此f(3x 2)的定义域为0≤3x 2≤8，即x∈－23,2； 又因为2x 1>0，因此x>－12； 所以g(x)的定义域为Dg=－12,2．
1．2．2题型二函数表达式的求解
例1．2．5设函数f(x)满足f1x－x=x2 1×2，x≠0，试求f(x)的表达式．
解由于
f1x－x=x2 1×2=1x－x2 2，
令t=1x－x，则f(t)=t2 2，从而
f(x)=x2 2．
例1．2．6设函数f(x)满足af(x) bf2x=cx，其中a,b,c为常数，且满足|a|≠|b|，试求f(x)的表达式．
解令t=2x，则x=2t，从而有
af2t bf(t)=2ct，
联立方程组
af(x) bf2x=cx，

af2x bf(x)=2cx

解得
f(x)=acxa2－b2－2bc(a2－b2)x，x≠0．
例1．2．7设函数f(x)满足fx 1x－1=2f(x) 3x 1，且x≠1，试求函数f(x)的表达式．
解令t=x 1x－1，则x=t 1t－1，从而
f(t)=2ft 1t－1 3·t 1t－1 1，
联立方程得
fx 1x－1=2f(x) 3x 1

f(x)=2fx 1x－1 3·x 1x－1 1,
解得
f(x)=－x 1x－1－2x－1,x≠1．
1．2．3题型三反函数的求解
例1．2．8求函数y=－x2,x≤0

ln(x 1),x>0 的反函数．
解当x≤0时，y=－x2，从而x=－－y，y≤0； 当x>0时，y=ln(x 1)，x=ey－1，y>0．因此反函数为
y=－－x,x≤0

ex－1,x>0.
例1．2．9求函数y=2x－2－x2x 2－x 2的反函数．
解令2x=t，则2－x=1t，因此有
(y－2)t (y－2)·1t=t－1t，
整理得 t2=1－yy－3，从而t=1－yy－3，即2x=1－yy－3，解得
x=log21－yy－3=12log21－yy－3，
因此反函数为
y=12log21－xx－3，x∈(1,3)．
1．2．4题型四复合函数的求解
例1．2．10设f(x)=1－1x，g(x)=1 1x，求f［g(x)］，g［f(x)］．
解f［g(x)］=1－1g(x)=1－11 1x=1x 1，
g［f(x)］=1 1f(x)=1 11－1x=2x－1x－1．
例1．2．11f(x)=ex,x<1

x,x≥1,g(x)=x 3,x<0

x－2,x≥0,求f［g(x)］．
解由题意，f［g(x)］=eg(x),g(x)<1

g(x),g(x)≥1，下面进行分类讨论．
(1) 当g(x)<1时，则
g(x)=x 3<1

x<0或g(x)=x－2<1

x≥0,
从而有x(2) 当g(x)≥1时, 则
g(x)=x 3≥1

x<0或g(x)=x－2≥1

x≥0.
从而有－2≤x<0或x≥3．
综上所述，有
f［g(x)］=ex 3,x
x 3,－2≤x<0

ex－2,0≤x<3

x－2,x≥3.
1．2．5题型五函数的几何特性问题
例1．2．12设f(x)为任意函数，试讨论函数g(x)=12［f(x)－f(－x)］的奇偶性．
解由题意，函数g(x)的定义域关于原点对称，又因为
g(－x)=12［f(－x)－f(x)］=－g(x)，
因此函数g(x)为奇函数．
注类似方法可以证明函数12［f(x) f(－x)］为偶函数．
例1．2．13设f(x)=|xsinx|ecosx，x∈R是()．
A. 有界函数B. 单调函数C. 奇函数D. 偶函数．
解假设f(x)为有界函数，则存在M>0，使得对x∈R，有
|f(x)|若取x=2nπ π2，n为正整数，则有
|f(x)|=2nπ π2显然当n足够大时，上式不成立，因此假设不成立，f(x)为无界函数，选项A错误；
由于f(0)=0，fπ2=π2，f(π)=0，即有f(0)f(π)，因此f(x)不具有单调性，选项B错误；
由于f(－x)=|xsinx|ecosx=f(x)，因此f(x)为偶函数，选项D正确．
例1．2．14证明函数y=xsinx在(0, ∞)上无界．
证利用反证法．假设y=xsinx在(0, ∞)上有界，则存在M>0，使得对x∈(0, ∞)，有
|xsinx|取x=2nπ π2，从而有
|xsinx|=2nπ π2显然当n足够大时，上式不成立，因此假设不成立，函数y=xsinx在(0, ∞)上无界．
例1．2．15设函数f(x)和g(x)在(a,b)内均为单调递增函数，试证明
h(x)=max{f(x),g(x)}，q(x)=min{f(x),g(x)}
在(a,b)内均为单调递增函数．
证任取x1,x2∈(a,b)，且x1f(x1)又因为
h(x2)=max{f(x2),g(x2)}≥f(x2)>f(x1)，

h(x2)=max{f(x2),g(x2)}≥g(x2)>g(x1)，
所以
h(x2)>max{f(x1),g(x1)}=h(x1)．
从而h(x)在(a,b)内单调递增．类似可证，q(x)在(a,b)内单调递增．
例1．2．16设对于x∈R，有f12 x=12 f(x)－f2(x)，试求f(x)的周期．
解由题意可知，对于任意的x∈R，有f12 x≥12，从而对于任意的x∈R，有
f(x)≥12．
又因为
f12 12 x=12 f12 x－f212 x=12 14－f(x) f2(x)，
因此
f(x 1)=12 f(x)－12=f(x)，
故f(x)的周期为1．
例1．2．17 试证明： 若函数f(x)(－∞证因为f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称，因此对x∈R，有
f(x－a)=f(x a)，f(x－b)=f(x b)，
所以
f(x)=f［(x a)－a］=f［(x a) a］=f(x 2a)

=f［(x 2a b)－b］=f［(x 2a b) b］

=f［x 2(a b)］，
即对x∈(－∞, ∞)，有f(x)=f［x 2(a b)］，因此f(x)为周期函数．
例1．2．18判断函数f(x)=xcosx是否为周期函数，若为周期函数，求其周期，若不是周期函数，说明理由．
解利用反证法．假设y=xcosx是周期函数，则存在T>0，使得对x∈R，有
f(x T)=f(x)．
即
(x T)cos(x T)=xcosx．
取x=0，则有TcosT=0，从而cosT=0，所以有
T=kπ π2,k=0,±1,±2,…．
取x=T，则有2Tcos(2T)=TcosT=0，从而
cos(2T)=0．

而cos(2T)=cos(2kπ π)=－1，矛盾．因此假设不成立，即y=xcosx不是周期函数．
1．3综合练习
1. 填空题
(1) 已知f(x)=(x－1)2,1≤x≤2

x－6,2(2) 设f(x)=11 x，则f［f(x)］=，f［f(x)］的定义域为．
(3) 设f(x)是以2为周期的奇函数，且f(－1)=3，则f(5)=．
(4) 设对于任意的x∈R，恒有f(x y)=f(x) f(y) 2xy，且f(4)=16，则f(1)=．
(5) 设f(x)的最小正周期为T，则f(x) f(2x) f(3x)的最小正周期为．
2. 单项选择题
(1) 【2004(3)】函数f(x)=|x|sin(x－2)x(x－1)(x－2)2在下列哪个区间内有界?()

A. (－1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)
(2) 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，则下列函数中为偶函数的是()．
A. f(x)g(x)B. f(x) g(x)
C. f(x)－g(x)D. f［g(x)］
(3)  若对任意的x∈R，均有f(x 2)=－f(x)，则下列结论正确的是()．
A. f(x)不是周期函数B. f(x)是周期函数，周期为2
C. f(x)是周期函数，周期为4D. 无法确定
(4) 函数f(x)=x－arctanx在(－∞, ∞)上是()．
A. 周期函数B. 有界函数
C. 奇函数D. 偶函数
(5) 下列各选项中，函数f(x)和g(x)相同的是()．
A. f(x)=lnx2，g(x)=2lnx
B. f(x)=x，g(x)=x2
C. f(x)=3×4－x3，g(x)=x·3x－1
D. f(x)=x，g(x)=elnx
3. 求y=ex－e－x2的反函数．
4. 设f(x)为任意函数，且不恒为常数，判断
F(x)=［f(x)－f(－x)］12x 1－12
的奇偶性．
5. 讨论函数f(x)=loga(x 1 x2) (a>0,a≠1)的奇偶性．
6. 已知f(x)=ln(1－x),x<1

sinx,x≥1，g(x)=x 1,x<2

x2 6,x≥2，试求f［g(x)］．
7. 已知 cosα=a，cotβ=b，其中α,β∈(π,2π)，试用反三角函数表示α,β．
8. 已知f(x)是周期为T(T>0)的周期函数，且当x∈［x0,x0 T)时，f(x)=5x 1，试求f(x)在［x0 T,x0 3T］上的表达式．
1．4综合练习详解
1. 填空题
(1) x2,0≤x≤1

x－5,1f(x)=(x－1)2,1≤x≤2

x－6,2故
f(x 1)=x2,1≤x 1≤2

x－5,2=x2,0≤x≤1

x－5,1