微积分学习指导(上册)

与教材配套的微积分辅导用书 

本学习指导是与我们编写的教材《微积分》配套辅导用书.书中按教材章节顺序编排，与教材保持一致.全书共5章，每章又分4个板块，即大纲要求与重点内容、内容精要、题型总结与典型例题、课后习题解答，以起到同步辅导的作用，帮助学生克服学习中遇到的困难.

第1章函数、极限和连续1
1.1大纲要求及重点内容1
1.2内容精要2
1.3题型总结与典型例题8
1.4课后习题解答33
第2章导数与微分63
2.1大纲要求及重点内容63
2.2内容精要63
2.3题型总结与典型例题66
2.4课后习题解答80
第3章微分中值定理与导数的应用99
3.1大纲要求及重点内容99
3.2内容精要99
3.3题型总结与典型例题103
3.4课后习题解答129
第4章不定积分157
4.1大纲要求及重点内容157
4.2内容精要157
4.3题型总结与典型例题159
4.4课后习题解答169
第5章定积分及其应用189
5.1大纲要求及重点内容189
5.2内容精要189
5.3题型总结与典型例题191
5.4课后习题解答203
目录目录

微积分是高等院校的重要基础课之一，它不仅是后续课程学习及在各个学科领域中进行研究的必要基础，而且对学生综合能力的培养起着重要的作用，同时更是考研数学试题的重要组成部分.为更好地指导学生学好这门课程，加深学生对所学内容的理解和掌握，提高其综合运用知识解决问题的能力，我们组织编写此书. 本书按教材章节顺序编排，与教材保持一致.全书共5章，每章又分4个板块，即大纲要求及重点内容、内容精要、题型总结与典型例题、课后习题解答，对现行教材逐章逐节同步辅导. 各板块具有以下特点：
1. 大纲要求及重点内容部分列出了国家教学大纲对本章内容的基本要求，帮助同学们明确本章应该掌握的数学概念及相关知识.
2. 内容精要部分对每章的内容都给出了简明的摘要，用以帮助读者理解和记忆本书中的主要概念、结论和方法，对本章有一个全局性的认识和把握.
3. 题型总结与典型例题部分，选取了近几年的考研题和竞赛题作为例题，并进行了详细的解答.每种题型的解法都具有代表性.读者可以通过典型例题既对这部分知识消化理解，掌握了常见的解题方法与技巧，又扩充了知识面，同时也做到举一反三，触类旁通.
4. 课后习题解答部分，是对《微积分》一书的课后习题的详细解答，用以帮助读者在完成课后习题遇到困难时参考、查阅.对于课后习题，希望读者在学习过程中，先独立思考，自己动手解题，然后再对照检查，不要依赖于解答.
本书既是大学本科学生学习微积分有益的参考用书，又是有志考研同学的良师益友,相信通过对本书的系统阅读,会对学好微积分有很大帮助.
本书由大连民族大学理学院组织编写，由王金芝、齐淑华主编,参加编写的有刘强、张誉铎、李娇.理学院领导和同事们对本书的编写提出了宝贵的意见和建议，在此表示感谢.
由于作者水平有限，难免有疏漏、不足或错误之处，敬请同行和广大读者指正.

编者2018年6月

第3章

微分中值定理与导数的应用

3.1大纲要求及重点内容1. 大纲要求(1) 理解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，会运用中值定理证明一些等式和不等式．
(2) 掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间，会利用单调性证明一些不等式．
(3) 熟练掌握求函数极值的方法，会求函数在闭区间上的最大值和最小值，会解简单的最大值、最小值的应用题．
(4) 会求曲线的凹凸区间和拐点，会求曲线的渐近线，能正确地做出某些函数的图形草图．
(5) 了解泰勒公式、泰勒定理、麦克劳林公式及其拉格朗日型余项，能写出某些初等函数的麦克劳林展开式．
(6) 熟练掌握洛必达法则，会求各类“未定式”的极限．
2. 重点内容
(1) 用中值定理讨论方程在给定区间内的根的情况、证明等式；
(2) 用中值定理和单调性证明不等式；
(3) 用洛必达法则求未定式的极限；
(4) 函数的极值、单调性、凹凸性、拐点及渐近线的求法；
(5) 函数的最大值和最小值以及求实际问题的最大值或最小值.
3.2内容精要1. 中值定理与泰勒公式定理1（费尔马定理）若函数f(x)满足条件：
(1) f(x)在点x0的某邻域有定义，并且在某邻域内恒有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)；第3章微分中值定理与导数的应用3.2内容精要(2) f(x)在x0处可导.
则有f′(x0)=0.
定理2（罗尔定理）设函数f(x)满足条件：
（1） 在[a,b]上连续；
（2） 在(a,b)内可导；
（3） f(a)=f(b).
则在(a,b)内至少存在一点ξ使f′(ξ)=0.
定理3（拉格朗日中值定理）设函数f(x)满足条件：
（1） 在[a,b]上连续；
（2） 在(a,b)内可导.
则在(a,b)内至少存在一点ξ使f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a).
注意（1） 在需要建立f(x)与其导数f′(x)联系时，应考虑使用拉格朗日中值定理.
（2） 在证明不等式时，应判断是否使用拉格朗日中值定理.
定理4（柯西定理）设函数f(x)，g(x)满足条件：
（1） 在[a,b]上连续；
（2） 在(a,b)内均可导;且g′(x)≠0.
则在(a,b)内至少存在一点ξ使f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ).
定理5(泰勒公式)设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n 1阶导数，则对该邻域内异于x0的任意点x，在x0与x之间至少存在一个ξ，使得f(x)=f(x0) f′(x0)(x－x0) f″(x0)2!(x－x0)2 … f(n)(x0)n!(x－x0)n Rn(x),其中Rn(x)=fn 1(ξ)(n 1)!(x-x0)n 1称为拉格朗日型余项, Rn(x)=ο((x－x0)n)称为佩亚诺型余项.
(麦克劳林公式)当x0=0时，有f(x)=f(0) f′(0)x f″(0)2!x2 … f(n)(0)n!xn f(n 1)(ξ)(n 1)!xn 1（ξ在0与x之间），
f(x)=f(0) f′(0)x f″(0)2!x2 … f(n)(0)n!xn ο(xn).常用的五种函数的麦克劳林公式,如ex,sinx,cosx,ln(1 x),(1 x)m的展开式如下：  ex=1 x x22! … xnn! eθx(n 1)!xn 1,θ∈(0,1),
sinx=x-x33! x55!-… (-1)nx2n 1(2n 1)! o(x2n 2),
cosx=1-x22! x44!-x66! … (-1)nx2n(2n)! o(x2n),
ln(1 x)=x-x22 x33-… (-1)nxn 1n 1 o(xn 1),
11-x=1 x x2 … xn o(xn),
(1 x)α=1 αx α(α-1)2!x2 … α(α-1)…(α-n 1)n!xn o(xn).2. 一元函数微分的应用
(1） 函数的单调性
① 定义x1,x2∈(a,b),且当x1f(x2)）,则函数f(x)在(a,b)内单调增加（或单调减少）.
② 判别方法x∈(a,b)，都有f′(x)>0（或f′(x)<0)，则函数f(x)在(a,b)内单调增加（或单调减少）.
③ 用函数的单调性可以证明不等式.
(2） 极值与最值
① 极值的定义函数f(x)在x0的某一邻域内异于x0的任意一点，若恒有f(x)>f(x0)(f(x)② 驻点若f′(x0)=0,则x0为函数f(x)的驻点.
③ 定理1（极值存在的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f′(x0)=0.
④ 定理2（极值存在的第一充分条件）设函数f(x)在x0的某一邻域内可导，且f′(x0)=0（或f(x)在x0处连续，但f′(x0)不存在），若设函数f(x)在x0的某一邻域内，若：
Ⅰ  f′(x)在x0的附近左正右负，则f(x0)为极大值;
Ⅱ  f′(x)在x0的附近左负右正，则f(x0)为极小值;
Ⅲ  f′(x)在x0的附近不变号，则f(x0)不是极值.
⑤ 定理3（极值存在的第二充分条件）设函数f(x)在x0处有f″(x0)≠0且f′(x0)=0,则：
Ⅰ 当f″(x0)<0时，f(x0)为极大值;
Ⅱ 当f″(x0)>0时，f(x0)为极小值;
Ⅲ 当f″(x0)=0时，无法判断.
推论设函数f(x)在x0处具有二阶以上的n阶导数，且f′(x0)=f″(x0)=…=f(n－1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0,则:
Ⅰ n为偶数且f(n)(x0)<0，则f(x)在x0处取得极大值；
Ⅱ  n为偶数且f(n)(x0)>0，则f(x)在x0处取得极小值；
Ⅲ  n为偶数且f(n)(x0)=0，无法判断；
Ⅳ n为奇数时，f(x)在x0处无极值.
⑥ 最值    
若f(x)为定义在[a,b]上的连续函数，则在[a,b]函数值最大的为最大值，最小的为最小值.这时，求最值的求法步骤为：
Ⅰ 求f′(x)，求出驻点和使f′(x)不存在的点；
Ⅱ 计算出（Ⅰ）中所得到的各点的函数值及f(a),f(b)；
Ⅲ 比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值.
若f(x)为定义在[a,b]上有唯一的极值点，则这个极值点为最值点.
应用问题的最值：
Ⅰ 建立目标函数（根据实际问题）;
Ⅱ 求目标函数的最值.
(3） 函数的凹凸和拐点  
① 函数的凹凸定义： 设x1,x2∈I，恒有fx1 x22>f(x1) f(x2)2fx1 x22② 凹凸性的判断: 设x∈I，若f″(x)<0（或f″(x)>0）,则f(x)在I上是上凸的（下凸）.
③ 拐点： 函数f(x)的图形上上凸弧和下凸弧的分界点称为图形的拐点.
④ 拐点的求法: 若在x0处f″(x0)=0（或f″(x0)不存在），当x变动经过x0时，f″(x)变号，则(x0,f(x0))为拐点；否则不是拐点.
(4） 渐近线
① 水平渐近线： 若limx→ ∞f(x)=b或limx→-∞f(x)=b,则称y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线.
② 铅直渐近线： 若limx→x-0f(x)=∞或limx→x 0f(x)=∞,则称x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线.
③ 斜渐近线： 若a=limx→∞f(x)x，b=limx→∞[f(x)-ax],则称y=ax b为曲线y=f(x)的斜渐近线.
(5） 边际与弹性
① 边际
   设函数y=f(x)可导，称导数f′(x)为f(x)的边际函数，f′(x)在x0处的函数值f′(x0)为f(x)在x0处的边际函数值，即当x=x0时，若x改变一个单位，则y改变f′(x0)个单位.
   在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本，边际收益定义为多销售一个单位产品时增加的销售总收入,等等.
 C(x)表示产量为x单位时的总成本，R(x)表示销售x单位产品时的总收益，C′(x)和R′(x)表示边际成本和边际收益，则
总利润函数L(x)=R(x)－C(x)，边际利润L′(x)=R′(x)－C′(x).
② 弹性
     弹性用于定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度，即当一个经济变量变动百分之一时另一个经济变量变动百分之几.设x和y是两个变量，y对x的弹性记为EyEx，当y=y(x)可导时，其计算公式为EyEx=xy·dydx.
      设某商品的需求量为Q，价格为P，需求函数Q=Q(P)可导，则该商品需求对价格的弹性（需求弹性）为EQEP=PQ·dQdP.由于需求函数Q=Q(P)一般是单调减少的，因而需求对价格的弹性常为负值.
      收益对价格的弹性为EREP=PQ·dRdP.因为R=PQ，于是有EREP=1Q·dPQdP=1QQ PdQdP=1 EQEP.3.3题型总结与典型例题1. 中值定理3.3题型总结与典型例题题型31欲证结论： 在(a,b)内至少存在一点ξ使f(n)(ξ)=0的命题的证明
【解题思路】此类型的命题证法有三种思路：
（1） 验证f(n-1)(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，由该定理证得.
（2） 验证ξ为f(n-1)(x)的最值或极值点，用费尔马定理证明.
（3） 条件涉及某一点的高阶导数都存在时，也可用泰勒公式；在使用泰勒公式之后可能需要用介值定理.
例3.1设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f″(x)，且f(2)=f(1)=0.如果F(x)=(x-1)f(x)，证明： 至少存在一点ξ∈(1,2），使F″(ξ)=0．
证明由已知F(x)在[1,2]上连续，在（1，2）内可导，F（1）=F（2）=0，所以F（x）满足罗尔定理条件，则至少存在一点a∈(1,2)，使得F′(a)=0．因为F′(x)=f(x) (x-1)f′(x)，则由题设知F′(x)在[1,a]上连续，在(1,a)内可导，且F′(1)=f(1)=0=F′(a)，故F′(x)在[1,a]上满足罗尔定理条件，则至少存在一点ξ∈(1,a)(1,2)，使F″(ξ)=0.
例3.2设f(x)在 ［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导．连接点A(a,f(a))与点B(b,f(b))的直线段交曲线f(x)于C(c,f(c))处，此处a证明f(x)在［a,c］,［c,b］上满足拉格郎日中值定理，因此，至少分别存在一点ξ1∈(a,c)，ξ2∈(c,b)使得f′(ξ1)=f(c)－f(a)c－a,f′(ξ2)=f(b)－f(c)b－c，由a,b,c三点位于同一直线上，因此f′(ξ1)=f′(ξ2)，不妨设ξ1例3.3设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导.又f(0) f(1) f(2)=3，f(3)=1,证明存在一点ξ∈(0,3)，使得f′(ξ)=0.
证明有题设可知，函数f(x)在[0,2]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m,M分别为f(x)在[0,2]的最小值和最大值，于是m≤f(1)≤M,m≤f(2)≤M,m≤f(0)≤M,
3m≤f(0) f(1) f(2)≤3M,即m≤f(0) f(1) f(2)3≤M.由介值定理，存在点η∈[0,2]，使得f(η)=f(0) f(1) f(2)3=1.又f(3)=1，可知f(x)在[η,3]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(η,3)(0,3)，使得f′(ξ)=0.
例3.4设函数f(x)在区间(a,b)上连续可导，xi∈(a,b),λi>0(i=1,2,…,n)，且∑ni=1λi=1，证明： 存在ξ∈(a,b)，使得∑ni=1λif′(xi)=f′(ξ).
证明不妨设 x1≤x2≤…≤xn－1≤xn.若x1=xn，则取ξ=x1，∑ni=1λif′(xi)=f′(ξ)显然成立.
若x1≤∑ni=1λif′(xn)=f′(xn)∑ni=1λi=f′(xn),即f′(x1)≤∑ni=1λif′(xi)≤f′(xn).又因为f′(x)在区间(a,b)上连续，因而也在(x1,xn)上连续，由连续函数的介值定理，存在ξ∈(x1,xn)(a,b)，使得f′(ξ)=∑ni=1λif′(xi).本题去掉导函数的连续性结论也成立.
例3.5已知函数f(x)具有二阶导数，且lim x→0f(x)x=0，f(1)=0.证明： 存在一点ξ∈(0,1)使f″(ξ)=0.
证明由limx→0f(x)x=0,得f(0)=0，f′(0)=0.                  
函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，由罗尔定理，至少存在x0∈(0,1)使f′(x0)=0.                                       
函数f′(x)在［0,x0］上连续，在(0,x0)内可导，且f′(0)=f′(x0)=0，由罗尔定理，至少存在ξ∈(0,x0)(0,1)使f″(ξ)=0.
例3.6设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)，f′ (a)f′－(b)>0，试证： 在(a,b)内至少存在一点ξ，使f″(ξ)=0.
证明因为f′ (a)f′－(b)>0，所以，可设f′ (a)>0,f′－(b)>0.由于limx→a f(x)－f(a)x－a=f′ (a)>0，所以，总存在ca0.又limx→b－f(x)－f(b)x－b=f′－(b)>0，所以，总存在da b20，即f(c)>f(a)=f(b)>f(d),且［c,d］［a,b］.
由f(x)在［a,b］上连续知, f(x)在［c,d］上也连续，由介值定理知总存在x0∈［c,d］［a,b］使f(x0)=f(a)=f(b).将f(x)分别在［a,x0］、［x0,b］上用罗尔定理得： 总存在x1∈(a,x0)，x2∈(x0,b)，使f′(x1)=0，f′(x2)=0，在［x1,x2］上再用罗尔定理得： 总存在ξ∈(x1,x2)(a,b)，使f″(ξ)=0.
题型32欲证结论： 在(a,b)内至少存在一点ξ使f(n)(ξ)=k的命题的证明
【解题思路】（1） 作辅助函数F(x);
（2） 验证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，由该定理结论证得.
构造辅助函数F(x)的方法:  (1)原函数法; (2)常数k值法.
1） 原函数方法
具体步骤: (1) 将欲证结论中的ξ改写成x;
              (2) 将式子写成容易去掉一次导数符号的形式(即容易积分的形式)；
              (3) 去掉一次导数符号(即积分一次),移项，使等式一端为“0”, 另一端即为新作的辅助函数F(x)(为简便，积分常数取为0).
例如,证明存在ξ∈(a,b)，使得cf′(ξ)=dg′(ξ)，其中c,d为常数.
因为cf′(ξ)=dg′(ξ) ［cf(x)］′x=ξ=［dg(x)］′x=ξ［cf(x)－dg(x)］′x=ξ=0,
所以可构造辅助函数F(x)=cf(x)－dg(x).
有的时候需要把待证等式进行变形，求辅助函数F(x).
例3.7设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导, f(a)=0(a>0).证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ 使f(ξ)=b－ξaf′(ξ).
    【分析】将欲证结论中的ξ改写成x，则 f(ξ)=b－ξaf′(ξ)f(x)=b－xaf′(x)f(x)f′(x)=b－xa f′(x)f(x)=ab－x［lnf(x)］′
=［－aln(b－x)］′lnf(x)=－aln(b－x) C(b－x)af(x)=C.证明做辅助函数F(x)=(b－x)af(x)，则F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0.由罗尔定理，在(a,b)内至少存在一点ξ 使F′(ξ)=0，即a(b－ξ)a－1f(ξ) (b－ξ)af′(ξ)=0，约去(b－ξ)a－1得af(ξ) (b－ξ)f′(ξ)=0，即f(ξ)=b－ξaf′(ξ).
例3.8设函数f（x）在0,12上二阶可导，且f(0)=f′(0)，f12=0.试证： 至少存在一点ξ∈0,12,使得f″(ξ)=3f′(ξ)1-2ξ.
【分析】欲证结论可写为f″(ξ)(1-2ξ)-2f′(ξ)=f′(ξ).
令ξ=x,则上式为f″(x)(1-2x)-2f′(x)=f′(x),即[f′(x)(1-2x)]′=f′(x).根据拉格朗日中值定理的推论得f′(x)(1-2x)=f(x) C. 令C=0，并移项得f′(x)(1-2x)-f(x)=0.则令辅助函数F(x)=f′(x)(1-2x)-f(x).
证明做辅助函数F(x)=f′(x)(1-2x)-f(x)，显然F(x)在0,12上连续，在0,12内可导,且F(0)=f′(0)(1-0)-f(0)=0,F12=f′121-2·12-f12=0.F(x)在0,12上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点ξ∈0,12，使F′(ξ)=0，即
f″(ξ)(1-2ξ)-3f′(ξ)=0，亦即f″(ξ)=3f′(ξ)1-2ξ.
2） 常数k值法
此方法适用于常数部分可被分离出来的命题.构造辅助函数的步骤如下：
(1) 令常数部分为k.
(2) 做恒等变形，使上式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构成的代数式.
(3) 分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式.若是，只要把a(或b)改成x,相应的函数值f(a)(或f(b))改成f(x)，则代换变量后的表达式就是所求的辅助函数F(x).
例3.9设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. 证明: 在(a,b)内至少存在一点ξ使bf(b)-af(a)b-a=f(ξ) ξf′(ξ).
【分析】令bf(a)-af(a)b-a=kbf(b)-kb=af(a)-ka为轮换对称式.
证明令F(x)=xf(x)-kx=xf(x)-bf(b)-af(a)b-ax，则F(b)-F(a)=bf(b)-bf(b)-af(a)b-ab-af(a) bf(b)-af(a)b-aa=0,所以F(x)在[a,b]上满足罗尔定理，在(a,b)内至少存在一点ξ使F′(ξ)=0，即bf(b)-af(a)b-a=f(ξ) ξf′(ξ).题型33证明存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)g(ξ) f(ξ)g′(ξ)=0
【解题思路】利用导数公式f′(x)g(x) f(x)g′(x)=［f(x)g(x)］′，找出辅助函数F(x)=f(x)g(x).
例3.10设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且g′(x)≠0，证明存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)－f(a)g(b)－g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ).
证明将待证结论改写为 f(ξ)g′(ξ) f′(ξ)g(ξ)－f(a)g′(ξ)－g(b)f′(ξ)=0,即 ［f(x)g(x)］′x=ξ－［f(a)g(x) g(b)f(x)］′x=ξ=0,
       {［f(x)g(x)］－［f(a)g(x) g(b)f(x)］}′x=ξ=0.令F(x)=［f(x)g(x)］－［f(a)g(x) g(b)f(x)］,则F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=－f(a)g(b)=F(b), 由罗尔定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0，即                   f(ξ)－f(a)g(b)－g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ).题型34证明存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)g(ξ)－f(ξ)g′(ξ)=0
【解题思路】常将等式化为f′(ξ)g(ξ)－f(ξ)g′(ξ)g2(ξ)=f(x)g(x)′x=ξ=0，令F(x)=f(x)g(x).
特别地，当g(ξ)=ξ时,g′(ξ)=1，可令F(x)=f(x)x.
注凡遇到含导数的两个函数乘积只差时，常用上述求导公式找出辅助函数.
例3.11设函数f(x)在［0,2］上连续，在(0,2)内可导，且f(2)=5f(0)，证明存在ξ∈(0,2) 使得(1 ξ2)f′(ξ)=2ξf(ξ).
证明待证等式可写为(1 x2)f′(x)－2xf(x)=0，即(1 x2)f′(x)－(1 x2)′f(x)=0,
亦即(1 x2)f′(x)－(1 x2)′f(x)(1 x2)2=0.
令F(x)=f(x)(1 x2)，则F(x)在［0,2］上连续，在(0,2)内可导，且F(0)=f(0),F(2)=f(2)5=f(0).由罗尔定理，存在一点ξ∈(0,2)，使得F′(ξ)=0，即有(1 ξ2)f′(ξ)－2ξf(ξ)(1 ξ2)2=0,即(1 ξ2)f′(ξ)=2ξf(ξ).题型35证明存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ) g′(ξ)f(ξ)=0
【解题思路】可构造辅助函数F(x)=f(x)eg(x)，利用罗尔定理证明.
例3.12设函数f(x)在［－a,a］上连续，在(－a,a)内可导，且f(－a)=f(a),a>0.证明存在ξ∈(－a,a) 使得证明存在f′(ξ)=2ξf(ξ).
证明待证结论改写为［f′(x)－2xf(x)］x=ξ=0.
令F(x)=f(x)e－x2，则F(x)在［－a,a］上连续，在(－a,a)内可导，且F(－a)=f(－a)e－(－a)2=f(a)e－a2=F(a).由罗尔定理，存在一点ξ∈(－a,a)，使得F′(ξ)=0，即有 f′(ξ)e－ξ2－2ξe－ξ2f(ξ)=0故 f′(ξ)=2ξf(ξ).例3.13设奇函数f(x)在［－1,1］上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
（1） 存在ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=1；
（2） 存在η∈(－1,1)，使得f″(η) f′(η)=1.
证明（1） 由于f(x)为奇函数，则f(0)=0. 由于f(x)在［－1,1］上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=f(1)－f(0)1－0=1．
（2） 由于f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数，由（1）可知存在ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=1，且f′(－ξ)=1.
令φ(x)=ex(f′(x)－1)，由条件显然可知φ(x)在［－ξ,ξ］上连续，在(－ξ,ξ)内可导，且φ(－ξ)=φ(ξ)=0，由罗尔定理可知，存在η∈(－ξ,ξ)(－1,1)，使得φ′(η)=0,即f″(η) f′(η)=1.
题型36证明存在ξ∈(a,b)，使得nf(ξ) ξf′(ξ)=0，n为正整数
【解题思路】可构造辅助函数F(x)=xnf(x)，利用罗尔定理证明.
例3.14设函数f(x)在［0,a］上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0,a>0，证明存在ξ∈(0,a)使得nf(ξ) ξf′(ξ)=0(n为正整数).
证明令F(x)=xnf(x)，则 F(x)在［0,a］上连续，在(0,a)内可导，且F(0)=F(a)=0.由罗尔定理，存在一点ξ∈(－a,a)，使得F′(ξ)=0，即有nξn－1f(ξ) ξnf(ξ)=0,故nf(ξ) ξf′(ξ)=0.题型37证明存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)g(ξ)=f″(ξ)g″(ξ)   
【解题思路】由f(ξ)g(ξ)=f″(ξ)g″(ξ)得f(ξ)g″(ξ)－f″(ξ)g(ξ)=0,可构造辅助函数F(x)=f(x)g′(x)－f′(x)g(x)，利用罗尔定理证明.
例3.15设函数f(x),g(x)在［a,b］上二阶可导，g″(x)≠0，且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明:
（1） 在(a,b)内g(x)≠0;
（2） 存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)g(ξ)=f″(ξ)g″(ξ).
证明（1） 反证法假设存在c∈(a,b)，使得g(c)=0，对g(x)在［a,c］和［c,b］上应用罗尔定理，存在ξ1∈(a,c)，ξ2∈(c,b)，使得g′(ξ1)=0，g′(ξ2)=0.对g′(x)在［ξ1,ξ2］ 上应用罗尔定理，存在ξ3∈(ξ1,ξ2)，使得g″(ξ3)=0.这与条件 g″(x)≠0矛盾，故在(a,b)内g(x)≠0.
    （2） 做辅助函数F(x)=f(x)g′(x)－f′(x)g(x)，则F(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0，即 f(ξ)g″(ξ)－f″(ξ)g(ξ)=0，故                          f(ξ)g(ξ)=f″(ξ)g″(ξ).题型38欲证结论： 在(a,b)内存在ξ，η且ξ≠η满足某种关系式的命题的证明
【解题思路】两次使用拉格朗日中值定理或两次使用柯西中值定理，或一次拉格朗日中值定理、一次柯西中值定理，然后再做某种运算，证明中的辅助函数的做法不同于题型35，而是利用分离变量法，使等式一端只含ξ的代数式，另一端只含η的代数式，结合原函数法稍加分析ξ，η的代数式，即可看出该做什么样的辅助函数.
例3.16设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η) f′(η)]=1.
【分析】eη-ξ[f(η) f′(η)]=1eη[f(η) f′(η)]=eξ[exf(x)]′x=η=eξ.
证明(1) 令F(x)=exf(x)，则由拉格朗日中值定理，存在η∈(a,b),使得F′(η)=F(b)-F(a)b-a,即eη[f(η) f′(η)]=ebf(b)-eaf(a)b-a=eb-eab-a(f(a)=f(b)=1).
(2) 令φ(x)=ex，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b),使得φ′(ξ)=φ(b)-φ(a)b-a=eb-eab-a,即eξ=eb-eab-a.综合(1)(2)可得eη[f(η) f′(η)]=eξ,即eη-ξ[f(η) f′(η)]=1.
例3.17设函数f(x)在闭区间［0,1］上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1.试证明： 对于任意给定的正数a和b，在开区间(0,1)内存在不同的ξ和η，使得af′(ξ) bf′(η)=a b.证明取数μ∈(0,1)，由连续函数介值定理知，存在C∈(0,1)，使得f(C)=μ.在区间［0,C］与［C,1］上分别应用拉格朗日中值定理，有f′(ξ)=f(C)－f(0)C－0=μC,0