AP微积分辅导手册

本书特色：

1.以英文思维主导，辅以母语的优势，中英文结合，更适合中国学生；

2.汲取多本知名英语原著教材之精华，结合作者8年AP微积分辅导经验；

3.衔接PreCalculus，总结提炼，全面对接国内高中数学；

4.有效覆盖AP微积分所有考点，涵盖了全部专业词汇；

5.每章配备典型题，力求指导性、清晰性、真实性和辅导性。

 

 

《AP微积分辅导手册》融汇众多成功案例，直击中国学生的薄弱点，解构整门考试的知识点、考点，为参加AP微积分考试的中国学生提供一套应对AP微积分（AB&BC）考试的完备方案。希望考生学完本书内容，可以顺利通过考试。

《AP微积分辅导手册》一书的内容有：函数、极限和连续性、导数、微分、不定积分和定积分、积分的应用、微分方程和级数，涵盖了AP微积分AB和AP微积分BC考试大纲中要求的全部考点，并且有相关的例题演示，在理论讲解上兼顾实战性。

本书适合准备前往海外读大学的高中生，准备参加AP考试的考生学习使用，同时可用作相关培训和辅导机构的参考教材。

 

第1章AP微积分简介 Introduction of AP Calculus001

1.1课程及考试The Courses and Examinations001

1.2AP微积分AB和BC大纲要求 The Examination Outline of AP Calculus AB & BC004

1.3AP微积分参考词汇表 Reference Vocabulary of AP Calculus006

1.4图形计算器的使用 Use of Graphing Calculators013

第2章函数 Functions019

2.1函数的定义 Definition of Functions020

2.2函数的基本性质 Function Basic Properties022

2.3基本初等函数 Basic Elementary Functions023

2.4反函数&复合函数 Inverse
Functions & Composite Functions033

2.5函数变换 Transforming of Functions035

2.6#参数方程&向量函数 Parametric
Equations & Vector Functions037

2.7#极坐标函数 Polar Functions039

2.8习题 Practice Exercises041

第3章极限 Limit043

3.1极限的定义 Definition of the Limit044

3.2极限存在的判定 The Limit does Exist or Not045

3.3极限的运算 Operations of Limit047

3.4极限的应用 Applications of Limit052

3.5习题 Practice Exercises053

第4章连续 Continuity055

4.1连续性的定义 Definition of the Continuity056

4.2间断点的分类 Kinds of Discontinuities059

4.3连续函数定理 The Continuous Functions Theorem061

4.4习题 Practice Exercises063

第5章导数和微分 Derivative and
Differential065

5.1导数的定义 Definition of the Derivative066

5.2可导性和连续性 Derivability and Continuity072

5.3导数的基本公式和法则 Basic Differentiation Formulas and
Rules075

5.4链式法则和反函数求导 The Chain Rule & Derivative of an
Inverse Function077

5.5隐函数求导和二阶导数 Implicit Differentiation & Second
Derivatives082

5.6#参数方程求导 Derivatives of Parametric Equations088

5.7#向量函数和极坐标函数求导 Derivatives of Vector Functions and
Polar Functions090

5.8微分 Differential093

5.9习题 Practice Exercises096

第6章微分的应用 Applications of
Differential Calculus098

6.1切线方程和法线方程Equations of Tangent and Normal099

6.2值问题The Problems of Maxima and Minima101

6.3运动问题The Problems of Motion112

6.4微分中值定理The Mean Value Theorem for Derivatives118

6.5洛必达法则L’Hpital’s Rule120

6.6估算问题The Problems of Estimate125

6.7#欧拉方法Euler’s Method129

6.8习题Practice Exercises130

第7章不定积分 The Indefinite
Integral132

7.1不定积分的定义Definition of The Indefinite Integral133

7.2不定积分公式Formulas of The Indefinite Integral135

7.3U-替换法U-Substitution138

7.4#分部积分法Integration by Parts148

7.5#有理函数的积分Integration of Rational Functions153

7.6不定积分的应用Applications of Indefinite Integral156

7.7习题Practice Exercises157

第8章定积分 The Definite Integral159

8.1黎曼和与梯形法则Riemann Sums and Trapezoid Rule160

8.2定积分的定义Definition of the Definite Integral165

8.3微积分基本定理The Fundamental Theorem of Calculus169

8.4定积分的性质Properties of Definite Integral174

8.5积分中值定理The Mean Value Theorem for Integrals176

8.6定积分的计算The Operations of Definite Integrate178

8.7#广义积分Improper Integrals180

8.8习题Practice Exercises185

第9章积分的应用 Applications of
Integral186

9.1面积Area187

9.2体积Volume195

9.3#弧长 Arc Length204

9.4位移和距离Displacement and Distance206

9.5习题 Practice Exercises207

第10章微分方程 Differential
Equations209

10.1一阶微分方程First-Order Differential Equations210

10.2求解可分离变量微分方程Solving Separable D.E.211

10.3斜率场 Slope Fields213

10.4指数增长与衰减 Exponential Growth and Decay216

10.5约束增长与衰减 Restricted Growth and Decay219

10.6#逻辑斯谛微分方程Logistic Differential Equation222

10.7习题 Practice Exercises225

第11章无穷级数 Infinite Series226

11.1数列的极限 The Limit of The Sequence227

11.2无穷级数 Infinite Series228

11.3四类重要级数Four Important Series232

11.4正项级数的四大判别法Four Tests of Nonnegative Series235

11.5收敛和条件收敛 Absolute and Conditional Convergence240

11.6幂级数 Power Series242

11.7泰勒级数和麦克劳林级数 Taylor and Maclaurin Series245

11.8幂级数的计算 Computations with Power Series251

11.9习题 Practice Exercises254

习题答案Practice Answer255

附录Appendix287

A.1常用公式和定理Common Formulas and Theorems287

A.2AP微积分公式总结Summary AP Calculus Formula291

A.3VIP服务及网站298

参考文献References299

 

自2012年开始，不经意间竟攒下教学总结数百页.同时，伴随着学员的好成绩，越来越多家长找到我，希望我辅导孩子学习微积分，也在很多家长朋友建议下，我开始萌生编撰本书的想法.

2014年本书部分内容线上发布，截止到2017年元旦，累计读者12万多人次，许多学生考出5分（满分）的优异成绩，我感到很自豪！

置身教学线多年，我深切体会到学生在微积分学习上的难点、易错点和薄弱点.微积分很抽象，学生在学习过程中，可能遭遇抽象性和数学语言符号化等困难，也可能遭遇有限运算到无限运算转变的困难，还可能遭遇基础不够等困难.

正是因为笔者知道如何才能培养和提高学生的能力，了解后继课程的需要以及沉淀教学经验，本书考虑到多数中国学生所遇到的问题和需求，并完全适应的AP微积分考纲（2017年），确保学生能从这本教材中真正地受益，取得好成绩.

如何阅读本书

本书在编排方式上循序渐进，便于读者随时参阅并配合练习，合理使用本书，将大有裨益.

首先，充分了解AP微积分并及早制订学习计划.第1章，详细介绍了AP微积分及考试大纲、常见问题、试卷结构和考试时间等，帮你打“有准备的战”，帮你制订出适合自身的学习计划.

其次，全面掌握本书每一个知识点.第2章，集中回顾了Pre-Calculus知识点，用来确保学习微积分良好的数学基础；第3～11章，每章都有思维导图、英文思维的核心概念、精选的Example、方法总结和Note标注，多层次地帮你全面掌握每一个必考知识点.

后，注重练习与分享.演算典型例题和习题，真题实战训练，是保证考试成绩不可或缺的一个环节.并且，以分享者的角色来阅读，效果大不一样.

分享的阅读方式可以增强记忆、加深体会、扩大视野.开诚布公地与人分享读书心得，可以为你带来一群学习好伙伴.也欢迎通过微信与我取得联系，加入官方阅读群.

你将有何收益（本书的特点）

我想借用美国作家Marilyn Ferguson的一段话：

“谁也无法说服他人改变.我们每个人都守着一扇只能从内开启的改变之门，不论动之以情或晓之以理，我们都不能替别人开门.”

当你决定对微积分打开“接纳之门”，接纳本书，你将得到以下收获.

首先，一书在手，AP微积分考试无忧.

微积分在近代数学的地位，本书聚焦AP微积分考试，共计11章，有效覆盖AP微积分考试所有考点，专注于中国学生的需求.

■ 详细介绍了AP微积分及其考试，精心汇编了专业词汇；

■ 以美国本土广为流行的TI-89 Titanium*为例，讲解图形计算器使用；

■ 解构知识点、考点，精心配备了380余道典型例题，100余道课后习题；

■ 直击考生薄弱点，函数图像、图表200多幅，Note标注近80处，方法总结超过30个.

作为一本内容翔实的备考教材，本书还针对考生Free-Response薄弱的状况，习题“分解式”紧密呼应考点并附详细解答，全面对接国内高中数学，衔接Pre-Calculus，让基础薄弱的同学无忧，还总结了考试常用公式定理，实现“一书在手，AP微积分考试无忧”.

其次，希望本书能弥补预定不上我们课程的遗憾.

本书一开始即为AP微积分辅导课程编撰，参加我的课程无疑是一个好选择，然而，由于笔者时间不足，一部分同学可能预定不上，希望本书弥补笔者的部分遗憾，以另一种形式为你的备考出力.

■ 例题选取上，如本书Example 5.42，在常规求导（Derivative）外，示例避开繁杂运算，Example 5.47再示例简化方法，颇费心思；

■ 梯度设置上，如本书5.4.1节Chain Rule的实际应用，分解举例，先结合Quotient Rule，再结合三角函数，循序渐进，步步深入考生的难点；

■ 类似本书7.3.2节和7.3.3节，点出学生容易掉入的“坑”，并不仅仅停留于理论分析，还分解具体题型（如本书7.3节、7.4节和7.5节），帮考生“跳出坑”；

■ 准确把握知识程度，如本书3.1节，明确指出极限的考试范围是函数极限，不包含数列极限，4.1节讲解连续，不用一般性定义，选用3个判断条件；

■ 力求帮助同学们“知其然，更知其所以然”，如以Example形式给出导数基本公式证明，同学们可以掌握导数基础公式，还可以跟随练习.

通过研究真题发现，只给函数图像，不给解析式，中国考生很不习惯，特别在Free-Response部分.于是，借助我们过去开发的针对性训练，在本书各个章节分布重点函数图像.

笔者清楚，选修AP微积分的学生的情况多种多样，基础参差不齐，部分学生对数学兴趣不大，对微积分的重要性也不了解.本书入门门槛不高，突出重点，注重知识点内在脉络，使学生能逐步学好微积分.

后，中英文结合，不止于通过AP微积分考试.

本书定位：做更适合中国考生的AP微积分辅导教材.一些英文原版教材对中国考生而言，或讲解过于空泛，或例题与知识点呼应不够紧密；国内不乏优秀的微积分教材，而专门针对AP微积分的却比较少.

本书汲取多本知名英语原著教材之精华，参考国内知名高等数学教材（见参考文献），中英文结合，英文思维为主，辅以母语的优势：

■ 专业词汇中英文对照；

■ 基本概念、定义和性质，典型例题、习题和解答，英文思维，英文表达；

■ 过程讲解发挥母语优势，脉络清晰，重点内容标注专业英语词汇；

■ 让你轻松应对AP微积分考试，更适应未来国外的大学数学课堂.

一本AP微积分辅导教材，若能尽可能快地向学生介绍微积分的基本概念、方法和应用，鼓励学生“数形结合”“特值代入”等直观形象地分析、演算及思考，重点加强学生代数运算和抽象思维，兼顾中英文数学差异，这才是更适合中国考生的.

读者对象

本书可以作为一些学校和老师的AP微积分课程参考教材，也适合很多刚进入AP微积分辅导行业老师入门参考.本书适合如下读者：

■ 在初中和高中阶段选修AP微积分的同学；

■ 有出国意愿和规划的国内同学；

■ 就读于国内国际班或国际学校的同学；

■ 就读于国外高中，计划申请一流大学的同学；

■ 已经获得国外大学offer，而又想有所提高的同学；

■ 微积分或数学爱好者.

勘误和支持

由于笔者的水平有限，书中难免出现一些不妥之处，在此恳请读者批评指正.笔者个人微信号（709645945），将努力回答所有与本书内容相关的问题，虚心接受您的宝贵意见和各种批评建议.另外，微信订阅号“AP微积分”（微信号:
apcalculus）用于及时更新读者反馈和的研究成果.

致谢

感谢我的学生们，让笔者更清楚学生的薄弱点在哪里，更需要什么，以及如何更高效并更有保障地获取5分（满分）的成绩.部分学生已经步入社会的各领域，看着学生的成长，笔者觉得自己的工作很有意义.

感谢众多家长朋友的信任和支持，有些凭借十几分钟的电话，素未谋面，便把孩子的学习托付到我手上，这份信任一直鼓舞着我.

感谢化学工业出版社的编辑，始终支持我的写作，让我顺利完成本书全部书稿.

谨以此书献给我亲爱的家人和朋友们！

编著者