描述
开 本: 16开纸 张: 轻型纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787220108310
目 录
CONTENTS
译者序 (1)
导读 (1)
第 1 卷 几何基础 / 1
定义 (3)
公设 (4)
公理 (4)
命题I.1 (5)
命题I.2 (7)
命题I.3 (8)
命题I.4 (9)
命题I.5 (10)
命题I.6 (12)
命题I.7 (14)
命题I.8 (15)
命题I.9 (16)
命题I.10 (18)
命题I.11 (19)
命题I.12 (20)
命题I.13 (21)
命题I.14 (22)
命题I.15 (23)
命题I.16 (24)
命题I.17 (25)
命题I.18 (27)
命题I.19 (28)
命题I.20 (29)
命题I.21 (30)
命题I.22 (31)
命题I.23 (33)
命题I.24 (34)
命题I.25 (35)
命题I.26 (36)
命题I.27 (37)
命题I.28 (39)
命题I.29 (40)
命题I.30 (41)
命题I.31 (42)
命题I.32 (43)
命题I.33 (44)
命题I.34 (45)
命题I.35 (46)
命题I.36 (47)
命题I.37 (49)
命题I.38 (50)
命题I.39 (51)
命题I.40 (52)
命题I.41 (53)
命题I.42 (54)
命题I.43 (55)
命题I.44 (56)
命题I.45 (58)
命题I.46 (60)
命题I.47 (61)
命题I.48 (62)
第2卷 几何与代数 / 65
定义 (66)
命题II.1 (66)
命题II.2 (67)
命题II.3 (68)
命题II.4 (69)
命题II.5 (71)
命题II.6 (72)
命题II.7 (73)
命题II.8 (75)
命题II.9 (76)
命题II.10 (78)
命题II.11 (81)
命题II.12 (82)
命题II.13 (83)
命题II.14 (85)
第3卷 圆与角 / 87
定义 (88)
命题III.1 (88)
命题III.2 (90)
命题III.3 (91)
命题III.4 (92)
命题III.5 (93)
命题III.6 (94)
命题III.7 (95)
命题III.8 (97)
命题III.9 (99)
命题III.10 (101)
命题III.11 (102)
命题III.12 (103)
命题III.13 (104)
命题III.14 (106)
命题III.15 (107)
命题III.16 (109)
命题III.17 (110)
命题III.18 (111)
命题III.19 (112)
命题III.20 (113)
命题III.21 (115)
命题III.22 (115)
命题III.23 (116)
命题III.24 (117)
命题III.25 (118)
命题III.26 (119)
命题III.27 (120)
命题III.28 (121)
命题III.29 (122)
命题III.30 (123)
命题III.31 (124)
命题III.32 (126)
命题III.33 (127)
命题III.34 (130)
命题III.35 (131)
命题III.36 (133)
命题III.37 (135)
第4卷 圆与正多边形 / 137
定义 (138)
命题IV.1 (138)
命题IV.2 (140)
命题IV.3 (140)
命题IV.4 (142)
海伦公式 (143)
命题IV.5 (145)
命题IV.6 (146)
命题IV.7 (148)
命题IV.8 (149)
命题IV.9 (150)
命题IV.10 (151)
命题IV.11 (153)
命题IV.12 (155)
命题IV.13 (157)
命题IV.14 (158)
命题IV.15 (159)
命题IV.16 (161)
第5卷 比 例 / 163
定义 (165)
命题V.1 (167)
命题V.2 (168)
命题V.3 (169)
命题V.4 (171)
命题V.5 (172)
命题V.6 (173)
命题V.7 (175)
命题V.8 (176)
命题V.9 (178)
命题V.10 (179)
命题V.11 (180)
命题V.12 (181)
命题V.13 (182)
命题V.14 (184)
命题V.15 (184)
命题V.16 (185)
命题V.17 (187)
命题V.18 (188)
命题V.19 (190)
命题V.20 (191)
命题V.21 (192)
命题V.22 (193)
命题V.23 (193)
命题V.24 (195)
命题V.25 (196)
第6卷 相 似 / 199
定义 (200)
命题VI.1 (200)
命题VI.2 (202)
命题VI.3 (204)
命题VI.4 (205)
命题VI.5 (207)
命题VI.6 (208)
命题VI.7 (210)
命题VI.8 (211)
命题VI.9 (212)
命题VI.10 (213)
命题VI.11 (214)
命题VI.12 (215)
命题VI.13 (216)
命题VI.14 (217)
命题VI.15 (218)
命题VI.16 (220)
命题VI.17 (221)
命题VI.18 (222)
命题VI.19 (224)
命题VI.20 (225)
命题VI.21 (228)
命题VI.22 (229)
命题VI.23 (230)
命题VI.24 (232)
命题VI.25 (233)
命题VI.26 (235)
命题VI.27 (236)
命题VI.28 (237)
命题VI.29 (239)
命题VI.30 (241)
命题VI.31 (242)
命题VI.32 (244)
命题VI.33 (245)
第7卷 数 论（一） / 247
定义 (248)
命题VII.1 (249)
命题VII.2 (251)
命题VII.3 (253)
命题VII.4 (255)
命题VII.5 (256)
命题VII.6 (257)
命题VII.7 (258)
命题VII.8 (259)
命题VII.9 (260)
命题VII.10 (261)
命题VII.11 (262)
命题VII.12 (263)
命题VII.13 (264)
命题VII.14 (264)
命题VII.15 (265)
命题VII.16 (266)
命题VII.17 (267)
命题VII.18 (268)
命题VII.19 (269)
命题VII.20 (270)
命题VII.21 (271)
命题VII.22 (272)
命题VII.23 (273)
命题VII.24 (274)
命题VII.25 (275)
命题VII.26 (276)
命题VII.27 (276)
命题VII.28 (277)
命题VII.29 (278)
命题VII.30 (279)
命题VII.31 (280)
命题VII.32 (281)
命题VII.33 (282)
命题VII.34 (284)
命题VII.35 (285)
命题VII.36 (286)
命题VII.37 (288)
命题VII.38 (288)
命题VII.39 (289)
第8卷 数 论（二） / 291
命题VIII.1 (292)
命题VIII.2 (293)
命题VIII.3 (295)
命题VIII.4 (296)
命题VIII.5 (298)
命题VIII.6 (299)
命题VIII.7 (300)
命题VIII.8 (301)
命题VIII.9 (302)
命题VIII.10 (304)
命题VIII.11 (305)
命题VIII.12 (306)
命题VIII.13 (307)
命题VIII.14 (308)
命题VIII.15 (309)
命题VIII.16 (310)
命题VIII.17 (311)
命题VIII.18 (312)
命题VIII.19 (313)
命题VIII.20 (315)
命题VIII.21 (316)
命题VIII.22 (318)
命题VIII.23 (319)
命题VIII.24 (319)
命题VIII.25 (320)
命题VIII.26 (321)
命题VIII.27 (322)
第9卷 数 论（三） / 323
命题IX.1 (324)
命题IX.2 (325)
命题IX.3 (326)
命题IX.4 (327)
命题IX.5 (328)
命题IX.6 (329)
命题IX.7 (330)
命题IX.8 (331)
命题IX.9 (332)
命题IX.10 (334)
命题IX.11 (336)
命题IX.12 (337)
命题IX.13 (339)
命题IX.14 (341)
命题IX.15 (342)
命题IX.16 (344)
命题IX.17 (345)
命题IX.18 (346)
命题IX.19 (347)
命题IX.20 (347)
命题IX.21 (349)
命题IX.22 (350)
命题IX.23 (351)
命题IX.24 (351)
命题IX.25 (352)
命题IX.26 (352)
命题IX.27 (353)
命题IX.28 (353)
命题IX.29 (354)
命题IX.30 (355)
命题IX.31 (355)
命题IX.32 (356)
命题IX.33 (357)
命题IX.34 (358)
命题IX.35 (359)
命题IX.36 (361)
第10卷 无理量 / 365
定义（一) (366)
命题X.1 (368)
命题X.2 (369)
命题X.3 (371)
命题X.4 (372)
命题X.5 (374)
命题X.6 (375)
命题X.7 (376)
命题X.8 (377)
命题X.9 (377)
命题X.10 (380)
命题X.11 (381)
命题X.12 (382)
命题X.13 (383)
命题X.14 (384)
命题X.15 (386)
命题X.16 (387)
命题X.17 (388)
命题X.18 (391)
命题X.19 (393)
命题X.20 (395)
命题X.21 (396)
命题X.22 (397)
命题X.23 (399)
命题X.24 (400)
命题X.25 (401)
命题X.26 (403)
命题X.27 (404)
命题X.28 (405)
命题X.29 (408)
命题X.30 (409)
命题X.31 (410)
命题X.32 (412)
命题X.33 (414)
命题X.34 (416)
命题X.35 (417)
命题X.36 (418)
命题X.37 (419)
命题X.38 (420)
命题X.39 (422)
命题X.40 (422)
命题X.41 (423)
命题X.42 (424)
命题X.43 (425)
命题X.44 (426)
命题X.45 (428)
命题X.46 (429)
命题X.47 (429)
定义（二） (431)
命题X.48 (431)
命题X.49 (432)
命题X.50 (434)
命题X.51 (435)
命题X.52 (436)
命题X.53 (437)
命题X.54 (440)
命题X.55 (442)
命题X.56 (445)
命题X.57 (446)
命题X.58 (448)
命题X.59 (449)
命题X.60 (451)
命题X.61 (443)
命题X.62 (454)
命题X.63 (456)
命题X.64 (458)
命题X.65 (459)
命题X.66 (460)
命题X.67 (462)
命题X.68 (463)
命题X.69 (464)
命题X.70 (465)
命题X.71 (466)
命题X.72 (469)
命题X.73 (471)
命题X.74 (472)
命题X.75 (473)
命题X.76 (474)
命题X.77 (475)
命题X.78 (476)
命题X.79 (477)
命题X.80 (478)
命题X.81 (479)
命题X.82 (481)
命题X.83 (482)
命题X.84 (482)
定义（三） (484)
命题X.85 (485)
命题X.86 (486)
命题X.87 (487)
命题X.88 (489)
命题X.89 (490)
命题X.90 (491)
命题X.91 (492)
命题X.92 (495)
命题X.93 (497)
命题X.94 (500)
命题X.95 (502)
命题X.96 (504)
命题X.97 (506)
命题X.98 (508)
命题X.99 (510)
命题X.100 (512)
命题X.101 (515)
命题X.102 (517)
命题X.103 (519)
命题X.104 (520)
命题X.105 (521)
命题X.106 (522)
命题X.107 (523)
命题X.108 (523)
命题X.109 (525)
命题X.110 (526)
命题X.111 (527)
命题X.112 (529)
命题X.113 (532)
命题X.114 (534)
命题X.115 (535)
第11卷 立体几何 / 537
定义 (538)
命题XI.1 (540)
命题XI.2 (540)
命题XI.3 (541)
命题XI.4 (542)
命题XI.5 (544)
命题XI.6 (545)
命题XI.7 (546)
命题XI.8 (547)
命题XI.9 (548)
命题XI.10 (549)
命题XI.11 (550)
命题XI.12 (551)
命题XI.13 (552)
命题XI.14 (553)
命题XI.15 (554)
命题XI.16 (555)
命题XI.17 (556)
命题XI.18 (557)
命题XI.19 (558)
命题XI.20 (559)
命题XI.21 (560)
命题XI.22 (561)
命题XI.23 (562)
命题XI.24 (565)
命题XI.25 (566)
命题XI.26 (568)
命题XI.27 (569)
命题XI.28 (570)
命题XI.29 (571)
命题XI.30 (572)
命题XI.31 (573)
命题XI.32 (576)
命题XI.33 (577)
命题XI.34 (579)
命题XI.35 (582)
命题XI.36 (585)
命题XI.37 (586)
命题XI.38 (587)
命题XI.39 (588)
第12卷 立体的测量 / 591
命题XII.1 (592)
命题XII.2 (593)
命题XII.3 (597)
命题XII.4 (599)
命题XII.5 (602)
命题XII.6 (604)
命题XII.7 (606)
命题XII.8 (607)
命题XII.9 (609)
命题XII.10 (611)
命题XII.11 (615)
命题XII.12 (617)
命题XII.13 (621)
命题XII.14 (622)
命题XII.15 (624)
命题XII.16 (626)
命题XII.17 (627)
命题XII.18 (632)
第13卷 作正多面体 / 635
命题XIII.1 (636)
命题XIII.2 (637)
命题XIII.3 (639)
命题XIII.4 (641)
命题XIII.5 (642)
命题XIII.6 (643)
命题XIII.7 (645)
命题XIII.8 (646)
命题XIII.9 (648)
命题XIII.10 (649)
命题XIII.11 (651)
命题XIII.12 (654)
命题XIII.13 (655)
命题XIII.14 (658)
命题XIII.15 (660)
命题XIII.16 (661)
命题XIII.17 (665)
命题XIII.18 (669)
附录：数学的历史年谱 / 675
译者序 ORIGINAL PREFACE
数学是一个高贵的世界，即使身为世俗的君主在这里也毫无特权。与在时间中速朽的物质相比，数学所揭示的世界才是永恒的。
古希腊数学直接脱胎于哲学，它使用各种可能的描述，解析我们的宇宙，使它不致混沌、分离；它建立起物质与精神世界的确定体系，致使渺小如人类也能从中获得些许自信。
被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，他所著的《几何原本》是哲学意义上的几何，它完全有别于起源并应用于世俗计算的中国数学和古埃及数学。
在本书里，欧几里得建立了人类历史上座宏伟的演绎推理大厦，利用很少的自明公理、定义，推演出四百余个命题，将人类的理性之美展现到了极致。欧几里得坚信，物质、宇宙、空间和人的精神之中存在着一种超然于一切的形式之美，他设定“点、线、面、角”为一切存在的始基，因为在他的世界里，脱离空间之物是不存在的。万物的根本关系是数量关系，找到这些数量关系，就找到了从现实世界通往神界的道路。
欧几里得在哲学上信任原子论。以德谟克里特为代表的原子论学派认为，线段、面积和立体是由许多不可再分的原子所构成，计算面积和体积等于将这些原子集合起来。所以根据欧几里得的个人动机，他的《几何原本》与其说是数学叙述，不如说是他寻找宇宙始基的哲学叙述。汉语“几何”为“多少”的数量关系，与“万物之始基”这一意义相去甚远，明代翻译家徐光启将希腊文的Ε υ κ λ ε ι δ η译成“几何”，这有点舍本逐末，失掉了原汁。或许，译为“宇宙基本元素的数量关系”更为妥帖。
欧几里得把距离、角度转换成任意数维的坐标系，描绘出一幅有限维、实和内积空间的图景，欧氏空间也被理解为线性流形。
赫拉克利特和亚里士多德开启了逻辑理论以后，欧几里得创造了逻辑演绎的标本。几乎多数哲学家都相信，在逻辑里可以看到神的踪迹，柏拉图就直接把有理性思考的精神当成天国制品。一个有理性思考的人，其思考本身是具有神性的。这种理性是指对事物抽象性质进行判断与推理，也指思想、概念、理论、言辞、规律性。它们被黑格尔称为“精神的掌握”，并以此揭示事物的本质。正因如此，《几何原本》从它诞生时起就被视为人类锻炼和培养逻辑理性的杰出甚至的教本，它也是这个世界所能找到的美丽的逻辑剧本。
我还想对《几何原本》作以下描述：
它是一部关于事物秩序之书；空间理性的黑夜之书；一部想建立生活秩序的书；一部描述原子形态的书；一部试图找到宇宙“始基”的书；它是物质世界（甚至精神世界——根据柏拉图《理想国》）的表述方式，是对宇宙的终极解释。
我始终没将它作为数学教本来读，却引为歌剧、诗、哲学、宇宙之舞来欣赏。对优雅事物的欣赏，以抵抗单向度的混乱情景是那么必要；物质世界的协调，文化、精神的和谐是那么必要。希腊数学，是伟大的希腊人向宇宙秩序射出的光芒。希腊数学的精神，不同于美索不达米亚文明的数学，也不同于古埃及和中国数学，它对世俗的计算几乎不感兴趣，而是在寻找宇宙的基本构成和数量关系，也因此开创了通过自明的简单公理进行演绎推理得出结论的方法。也正因为如此，其气质华美高贵是其他民族的数学难以媲美的。希腊数学其实是世上热情洋溢的诗篇。
我们已无法考察欧几里得的身世，只知道他给这个世界留下过一本书和两句话。句在本文开头说了，现在转述他的第二句。当欧几里得面对一位青年的质问“你的几何学有何用处”时，他的回答简洁而确定，他对身边的侍从说：“请给这小伙子三个硬币，因为他想从几何学里得到实际利益。”
第 1 卷
几何基础
CHAPTER 1
毕达哥拉斯学派试图用数来解释一切。他们把数
学从具体事物中抽象出来，建立自己的理论体系。他 们提出了勾股定理、不可公约量以及五种正多面体， 所有这些都成了本书的重要内容。希波战争后，雅典 的巧辩学派提出了几何作图的三大问题：①三等分任 意角；②倍立方——求作一个立方体，使其体积等于 已 知 立 方 体 的 两 倍 ； ③ 化 圆 为 方 —— 求 作 一 个 正 方 形，使其面积等于已知圆。问题的难处在于，作图只 允许用没有刻度的直尺和圆规。
本卷确立了基本定义、公设和公理，还包括全等 形、平行线和直线形中的相关定理。
本卷提要
※定义I.23 ，定义了平行线。
※公设I.5，平行线公设。
※本卷公理，只涉及量。
※命题I.1，怎么作一个等边三角形。
※ 三 角 形 全 等 理 论 。 三 角 形 全 等 的 几 个 条 件 ： 边 — 角 — 边 相 等 （ 命 题
I.4）；边—边—边相等（命题I.8）；角—边—角相等（命题I.26）。
※等腰三角形。等角意味着等边（命题I.5）；反之，等边意味着等角（命题
I.6）。
※命题I.9、 I.10，等分角及线段的建
维特鲁威人
意 大 利 科学家列昂纳多·达·芬奇
（1452—1519年）的人体比例图，现珍藏于 威尼斯艺术学院。达·芬奇认为，把完善的 人体造型包含在一个圆形和正方体中是成 功的设想，而且人的体长是头长的八倍为 匀称恰当。达·芬奇，这位文艺复兴时期百 科全书式的人物，他的天赋在工程、解剖、 建筑、数学和光学等领域中都表现得淋漓尽 致，他在历史上留下了一个任何后人都无法 企及的高度。
立。
※ 命 题 I. 11 、 I . 1 2 ， 给 一 条 直 线 作 垂 线。
※命题I.16，三角形的外角大于两个不 相邻的内角。
※命题I.29，一条线穿过两条平行线时 构成的三角形。
※命题I . 2 0，三角形两边之和大于第三
边。
※命题I.22，用已知边作三角形。
※命题I . 3 2 ，三角形的外角等于两个
不相邻的内角之和；三内角之和等于两个直 角。
※命题I.42，面的使用。作一个平行四 边形等于已知三角形。
※命题I.45，作一个平行四边形等于已 知多边形。
※命题I.47、I.48，毕达哥拉斯定理及
第 1 卷 几何基础 3
其逆定理。
定 义
定义I.1 点：点不可以再分割成部分。 定义I.2 线：线是无宽度的长度。 定义I.3 线的两端是点。
定义I.4 直线：直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺。 定义 I.5 面：面只有长度和宽度。
定义I.6 一个面的边是线。
定义I.7 平面：平面是直线自身的均匀分布。
定义I.8 平面角：平面角是两条线在一个平面内相交所形成的倾斜度。 定义I.9 直线角：含有角的两条线成一条直线时，其角成为直线角（现
代称为平角）。
定义I.10 直角与垂线：一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角相 等，两角皆称为直角，其中一条称为另一条的垂线。
定义I.11 钝角：大于直角的角。 定义I.12 锐角：小于直角的角。 定义I.13 边界：边界是物体的边缘。
定义I.14 图形：由一个边界或几个边界所围成的。
定义I.15 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任 何一个点所连成的线段都相等。
定义I.16 这个点叫圆心。
定义I.17 直径是穿过圆心、端点在圆上的任意线段，该线段将圆分成两 等份。
定义I.18 半圆：是直径与被它切割的圆弧围成的图形。半圆的圆心与原 圆心相同。
定义I.19 直线图形是由线段首尾顺次相接围成的。三角形是由三条线段 围成的，四边形是由四条线段围成的，多边形是由四条以上的线段围成的。
定义I.20 三角形中，三条边相等的称等边三角形，两条边相等的称等腰
4 几何原本
Euclid’s Elements
三角形，各边都不相等的称不等边三角形。
定义I.21 三角形中，有一个角为直角的是直角三角形；有一个角为钝角 的称钝角三角形；三个角都为锐角的为锐角三角形。
定义I.22 四边形中，四条边相等并四个角为直角的称为正方形；四角为 直角，但边不完全相等的为长方形（也叫矩形）；四边相等，角不是直角的为 菱形；两组对边、两组对角分别相等的为平行四边形；一组对边平行，另一 组对边不平行的称为梯形。
定义I.23 平行直线：在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。
公 设
I.1 过两点可以作一条直线。
I.2 直线可以向两端无限延伸。
I.3 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。
I.4 凡直角都相等。
I.5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角 之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
公 理
I.1 等于同量的量彼此相等。
I.2 等量加等量，其和仍相等。
I.3 等量减等量，其差仍相等。
I.4 彼此能够重合的物体是全等的。
I.5 整体大于部分。
关于定义
《几何原本》开始于一系列定义，这些定义分为三类，类指明某些概 念，比如定义I.1、I.2、I.5，指派了术语点、线、面（注意：欧几里得的线的概念 也包含曲线）。第二类是由原概念衍生的新概念。第三类是非实质性定义，从表 面上看，这些定义是实质性的，其实不然，比如定义I.4所表述的直线为“点沿
第 1 卷 几何基础 5
着一定方向及其相反方向无限平铺”，这一定义几乎是不可用的，多指出将
要讨论的线是直线。 可能有些定义不是欧几里得所著，而是编著的后人加上去的，另一种可能
是来源于其他著作，有可能更古老。
关于公设
紧接定义之后是几个公设。公设是自明的，意即无需证明的显在事实，尤 其表现在平面几何中。公设内容多为作图。
关于量与公理
公理也是自明的，涉及各种不同类型的大小。线段的量出现得频繁，另 一些量是直线的角和面（平面图形），也包含其他类型。在命题Ⅲ.16中直线角 与曲线角相比较，以示直线角是平面角的特殊类型。这与欧几里得在定义I.9和 定义I.8中的定义相吻合。
在卷3中，出现圆上的弓形的量，仅相等圆的弓形可以比较与相加，因此， 相等圆上的弓形组成量，同不相等圆上的弓形是另一类不同的量。这些量皆不 同于线段量。无论图形的哪个区域进行比较，不同的曲线不被讨论。
卷5讨论比例理论，并不涉及特殊类型的量。比例并不来自特殊类型的量， 它们可以相比，但不能相加。卷7至卷10讨论数论，可以认为是讨论亚里士多德 提出的数理。从卷11开始讨论立体，这是本书讨论的后一个类型。
命题Ⅰ. 1 已知一条线段可作一个等边三角形。 设：AB为已知的线段。
要求：以线段A B为边作一个等边三角形，以A为圆心、A B为半径作圆 B C D；再以B为圆心、以B A为半径作圆A C E；两圆相交于C点，连接C A、 CB。
因为：A点是圆CDB的圆心，故AC等于AB（定义I.15）。
又，点B是圆C A E的圆心，故B C等于B A（定义I.15），C A等于A B；所 以：线段CA等于CB等于AB。
6 几何原本
Euclid’s Elements
C
D A B E
因为等于同量的量互相相等（公理I.1）；所以：C A等于C B。所以：三条
线段CA、AB、BC相等。 所以：三角形ABC是作在线段AB上的等边三角形。
证完
注 解
将这一命题作为《原本》的命题是令人愉快的，三角形结构清晰，对 等边三角形的证明过程，也条理清晰，当然对C点可以有两个选择，任意一个皆 可。或许，欧几里得应将命题I.4作为《原本》的命题，因为该命题逻辑上 不依赖于前三个命题；但是，欧几里得的命题的选择，也自有他的理由。 首先，本书接触五个正多边形，从一个正三角形开始，有其美学意义。另外， 命题I.2和命题I.3皆需要命题I.1，命题I.2和命题I.3给出了移动线的结构，命题I.4 虽然在逻辑上不依赖于命题I.2和命题I.3，但却引用了叠合的概念，从某种意义 上讲，是移动的点和线。
欧几里得在某个命题结束时，用了“证完”一词。这是几何学命题证明 结束的一个标准。尽管两千多年来这部天才的巨著受到了历代数学批评家们的 挑剔，并且他们也指出了不少漏洞，但丝毫无损它的光辉。本命题是两千余年 来受到批评多的一个命题，批评者指出，如此简洁明了的命题，却充满了漏 洞，这是陈述不够充分的逻辑裂缝。为什么生成C点？证明一开始，点C就被设 定为圆的相交点，但它的存在却没有证明。欧几里得虽然在平行公设里说到点 的生成，但那一公设却与该命题无关。所以点C的存在不能获得保证。事实上， 在几何学模式中，不相交的圆自然是存在的，因此，在这里出现了欧几里得尚
第 1 卷 几何基础 7
未定义的公设。在第3卷中，欧几里得小心谨慎地分析圆相交的可能情况，但无
论他怎么小心，还是得出了错误的定理。
为什么A B C是一个平面图形？在总结了线段A C、A B和B C相等以后，就确 定A B C是平面图形，三条线段并未表明在一个平面内，却构成了平面图形，缺 乏逻辑链。命题X.1中声明了“三角形在一个平面内”，从逻辑上讲，这两个命 题应该被置于卷的命题。然而二者却没有被置于命题，这显然是 因为第10卷中的命题属于立体几何，而《原本》中，立体几何从平面几何发展 而来。从历史观点的考察来看，无疑是这样的。
不能排除这种可能性：边可以构成多次多区域的相交，就像泡沫链一样。 这里需要证明（或者设立公设）：两条无限延伸的直线至少能在一点相交。
命题的应用 这一命题直接应用在本卷的命题I.2、I.9、I.10、I.11及命题X.11、X.12中。
命题Ⅰ. 2
从一个给定的点可以引一条线段等于已知的线段。
C
K H
D B
G
A F
L
E
设：A为给定的点，BC为给定的线段。
求作：以A为端点的一条线段等于BC。
连接A、B两点成线段A B（公设I.1）；并以此作一个等边三角形D A B（命 题I.1）。
8 几何原本
Euclid’s Elements
作D A的延长线A E，D B的延长线B F（公设I.2）；以B为圆心、B C为半
径，作圆CGH（公设I.3），再以D为圆心、DG为半径，作圆GKL（公设I.3）。 那么因为，B点是圆CGH的圆心， 故BC等于BG。 又，因为D点是圆GKL的圆心，故DL等于DG。
因为DA等于DB， 那么其余下部分AL等于BG（公理I.3）。 同理可证：BC等于BG； 于是线段AL等于BG等于BC。 等量减等量，差相等（公理I.1）。
所以：AL等于BC。
所以：从给定的点A作出的线段AL等于给定的线段BC。
证完
注 解
这是一个聪明的作图法，用以解决看似简单的问题，滑动线段B C，以使其 末端与A点重叠。但是在欧几里得的几何里，运动是并未涉及的领域。命题I.4仿 佛也涉及运动，但实际上并没有什么真正移动过。在公设I.1、I.2、I.3中描述过基础 的作图法。
命题的应用
这一命题仅应用在命题I.3的作图中。本图假定了所有的A点和线段B C位于 一个平面内。
命题Ⅰ. 3
给定两条不等线段，可以在较长的线段上截取一条线段等于较短的线 段。
设：AB和c是给定的两条不等线段，AB较长。 现在要求：从较长线段AB上切取一条线段等于较短线段c。 在点A上取AD等于c，又，以A为圆心、AD为半径作圆DEF（公设I.3）。 因为点A是圆DEF的圆心，所以：AE=AD（定义I.15）。
又，c也等于AD，所以：线段AE和c都等于AD。所以：AE也等于c（公理
I.1）。
第 1 卷 几何基础 9
D
c E B A
F
所 以 ： 给 定 两 条 不 等 线 段 A B 和 c ， 从 较 长 线 段 A B 上 作 出 了 A E 等 于
短 线 段 c 。
证完
注 解
很显然，命题I.2在本命题中发挥了作用，根据普鲁库鲁斯（410—485年） 的记载，《几何原本》首先由希波克拉底写成，另外，里昂和赛奥底留斯也著 过不同的版本，但欧几里得的版本出现以后，它们就消隐失传了，后者取而代 之。命题I.2可能出现在希波克拉底时代。这一命题开始了线的几何代数，允许 相减、相加计算，用以比较线段的大于、小于或等于性质。
这一命题在《原本》中被大量使用，比其他命题都多。从本卷命题5开始以 后，在卷4、6、11、13中均有大量利用。
命题Ⅰ. 4
如果三角形的两条对应边及夹角相等，那么其第三边亦相等，两个三角 形亦全等，其余的两对应角亦相等。
设：作三角形A B C、三角形D E F ，使其A B=D E、A C=D F，A B是 D E的 对应边，AC是 DF的对应边，∠BAC等于∠EDF。
求证：边B C等于边E F，三角形A B C全等于三角形D E F， 相应的角亦相 等，即∠ABC等于∠DEF，∠ACB等于∠DFE。
因为A B=D E，假定三角形A B C与三角形D E F不全等，置A点于D点上，
10 几何原本
Euclid’s Elements
A D
B C E F
AB线于DE线上，B点就同E点重合；
又，因为∠BAC等于∠EDF，于是AB与DE相等，AC与DF相等；于是点
C与点F必然重合，因为AC也等于DF。 另外：B与E重合，于是底边BC与底边EF相等。
假定：当B替换 E、C替换F时，底边BC不等于底边EF，两条线段就要形 成一个空间，这是不可能的。所以底边BC与底边EF重合并相等（公理I.4）。 所以：三角形A B C与三角形D E F重合并全等，其余对应角重合并相等，
∠ABC对应∠DEF，∠ACB对应∠DFE。 所以：如果三角形的两条对应边及夹角相等，那么其第三边亦相等，两
个三角形亦全等，其余的两对应角亦相等。
证完
注 解
本命题涉及三角形的叠合，欧几里得没有明确地使用叠合的概念。在讨论 立体几何时，欧几里得使用了“相似且相等”这一概念，以表述“叠合”，这 一概念出现在卷6中，它理应放在书的开始部分。
本命题的全等定理应用在本卷的下两个命题中，同时也高频率地应用在从 卷1开始的各卷中，在卷2、 3、4、6、11、12、13中皆不时地出现。
命题Ⅰ. 5
等腰三角形的两底角相等，将腰延长，与底边形成的两个补角亦相等。
第 1 卷 几何基础 11
A
B C
F G
D E
设：作等腰三角形ABC，使AB=AC；作AB的延长线BD、AC的延长线CE
（公设I.2）。 求证：∠ABC等于∠ACB，∠CBD等于∠BCE。
令：在B D上任取一点F。在AE上截取线段AG等于AF，连接FC、GB（公设
I.1）。
既然A F等于A G ，A B等于A C，那么FA、 A C两边就等于对应边G A、
AB，且它们有一个公用角∠FAG。
于是： F C等于G B， 三角形 A F C全等于三角形A G B，其余对应角亦相 等，即∠ACF等于∠ABG，∠AFC等于∠AGB。
又，因为AF等于AG，AB等于AC， 那么其余下的部分BF等于CG。 又可得FC等于GB。
所以：B F、F C两边等于对应边C G、G B；∠B F C等于∠C G B，B C为公 共边，于是三角形B F C也全等于三角形C G B，其余对应角相等，即∠F B C等 于∠GCB，∠BCF等于∠CBG。
又，因为∠ABG被证明等于∠ACF， ∠CBG等于∠BCF，余下的∠ABC
等于∠ACB；它们在三角形ABC的底边上，∠FBC也就等于∠GCB。 所以：等腰三角形的两底角相等，将腰延长，与底边形成的两个补角亦
相等。
证完
12 几何原本
Euclid’s Elements
四个规则多面体
古希腊数学家很早就知道，只有五种可能的正多 面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面 体和正二十面体，并且这些正多面体只能由三种形状 构成，即等边三角形、正方形和正五边形。由于柏拉 图把这五种正多边形同他的宇宙构成论联系起来，因 此又被称为柏拉图立体。这幅作品即由柏拉图立体中 的四种均匀地交叉构成，埃舍尔用红、黄、白、黑四 种颜色把它们描绘成半透明状使其得以辨认。
注 解
这一命题有两个结论，一是内 底∠A B C和∠A C B相等，二是外底
∠F B C和∠G C B相等。从图上看， 仿 佛 证 明 第 二 个 结 论 是 容 易 的 ， 根据个结论，简单地从∠A B F 和∠A C G中分别减去相等∠A B C和
∠ACB即可。但是欧几里得不接受直 角，即使他接受，也并未证明所有 的直角皆相等。命题I.13其实是个足 够的证明，因为它意味着∠A B C 与
∠FBC之和等于两个直角的和，同时
∠ACB与∠GCB之和也等于两个直角 的和，于是，二者之和相等，这便 是所说的所有的直角皆相等。
不 幸 的 是 ， 这 一 论 据 是 循 环
的，命题I.13依赖于命题I.11，命题
I.11依赖于命题 I.8，命题I.8依赖于命题I.7，而命题I.7则依赖于命题I.5。于是命 题I.13不能应用在命题I.5的证明中。
这一命题被称为“庞斯命题”，也称为“驴桥”，这一命名到底是因为它 的证明困难呢，还是在形式上有桥的特征？难以知道。在欧几里得的《原本》 中，命题很少被命名。
这一命题应用在本卷的I.7开始的几个命题中，也高频率地用在卷2、3、4、
6、 13中。
命题Ⅰ. 6 如果在一个三角形里，有两个角相等，那么也有两条边相等。 设：在三角形ABC中，∠ACB等于∠ABC。 求证：边AB等于边AC。
如果A B不等于A C，一条比另一条长，假定A B长于A C，在较长边上取一
第 1 卷 几何基础 13
A
D
B C
点D，使DB等于AC，连接DC。
既然D B等于A C，而B C是公共边，那么D B、B C的对应边A C、C B应相 等；∠D B C就等于∠A C B；于是底边D C便等于底边A B，三角形D B C便全等 于三角形ACB，小三角形全等于大三角形，这是不成立的。
因此AB不能不等于AC；所以AB等于AC。 所以：如果在一个三角形里，有两个角相等，那么也有两条边相等。
证完
注 解 逆命题 这一命题是命题I.5的逆命题（部分的）。欧几里得在证明了命题后，接着
证明逆命题，这一实践一直延续到今天。一个命题和它的逆命题，并不是逻辑
上的相等，举例说“如果P，那么Q”是有效的，并不是“如果Q，那么P”就 有效。欧几里得的这一例子出现在命题Ⅲ.5中，该命题陈述“如两个圆相交， 那么它们没有相同的圆心”，逆命题是“两圆如没有相同的圆心，那么它们相 交”，这当然是错误的。因为一个圆完全可以在另一个圆外或者圆内，它们自 然也没有相同的圆心。
矛盾证法
这是使用矛盾证法的命题。在本命题中，为了证明A B等于A C，欧几里 得假定它们不相等，由此引出矛盾结论。即三角形A C B等于它自身的一部分，
14 几何原本
Euclid’s Elements
即三角形D C B，于是与公理I.5的整体大于部分的定义形成矛盾。矛盾是三角形
ACB既等于三角形DBC同时又不等于三角形DBC。 欧几里得常用矛盾法，使用此法，他并不为推断新的几何目标的存在，而
是用来证明他已经证明的几何学目标的正确性。 这一命题在本卷中再也未被利用，但在卷2、3、4、6、13中被调用。
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