描述
开 本: 128开纸 张: 胶版纸包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030506290
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《概率论与数理统计》可作为高等学校对理论证明要求不高的理科、工科和经管等专业的教材.
内容简介
《概率论与数理统计》主要内容包括**事件与概率、一维**变量及其分布、多维**变量及其分布、**变量的数字特征、大数定律及中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析和一元回归分析等. 《概率论与数理统计》注重理论与应用相结合，强调直观性、准确性和应用性.
目 录
目录
前言
第1章**事件与概率1
1.1**事件及其运算1
习题1-15
1.2**事件的概率6
习题1-29
1.3古典概型与几何概型10
习题1-313
1.4条件概率14
习题1-420
1.5独立性21
习题1-524
第2章一维**变量及其分布25
2.1**变量及其分布函数25
习题2-129
2.2离散型**变量及其分布29
习题2-239
2.3连续型**变量及其分布40
习题2-351
2.4**变量函数的分布52
习题2-456
第3章多维**变量及其分布58
3.1二维**变量及其分布58
习题3-169
3.2**变量的独立性71
习题3-275
3.3二维**变量函数的分布76
习题3-384
iv概率论与数理统计
3.4条件分布*84
习题3-489
第4章**变量的数字特征91
4.1数学期望91
习题4-197
4.2方差98
习题4-2103
4.3协方差、相关系数与矩104
习题4-3108
第5章大数定律与中心极限定理110
5.1大数定律110
习题5-1112
5.2中心极限定理113
习题5-2116
第6章数理统计的基本概念117
6.1总体与样本117
习题6-1119
6.2统计量119
习题6-2122
6.3正态总体的抽样分布123
习题6-3129
第7章参数估计131
7.1点估计131
习题7-1138
7.2点估计量的评选标准138
习题7-2141
7.3区间估计142
习题7-3147
第8章假设检验148
8.1假设检验的基本概念148
8.2单个正态总体参数的假设检验151
习题8-2155
8.3两个正态总体参数的假设检验156
习题8-3159
8.4分布拟合检验160
目录v
习题8-4164
第9章方差分析165
9.1单因素方差分析165
习题9-1171
9.2双因素方差分析172
习题9-2179
第10章一元回归分析181
10.1一元线性回归分析181
习题10-1189
10.2一元非线性回归分析190
习题10-2192
习题答案194
参考文献208
附录209
附表1泊松分布表209
附表2标准正态分布212
附表3χ2分布表213
附表4t分布表215
附表5F分布表217
前言
第1章**事件与概率1
1.1**事件及其运算1
习题1-15
1.2**事件的概率6
习题1-29
1.3古典概型与几何概型10
习题1-313
1.4条件概率14
习题1-420
1.5独立性21
习题1-524
第2章一维**变量及其分布25
2.1**变量及其分布函数25
习题2-129
2.2离散型**变量及其分布29
习题2-239
2.3连续型**变量及其分布40
习题2-351
2.4**变量函数的分布52
习题2-456
第3章多维**变量及其分布58
3.1二维**变量及其分布58
习题3-169
3.2**变量的独立性71
习题3-275
3.3二维**变量函数的分布76
习题3-384
iv概率论与数理统计
3.4条件分布*84
习题3-489
第4章**变量的数字特征91
4.1数学期望91
习题4-197
4.2方差98
习题4-2103
4.3协方差、相关系数与矩104
习题4-3108
第5章大数定律与中心极限定理110
5.1大数定律110
习题5-1112
5.2中心极限定理113
习题5-2116
第6章数理统计的基本概念117
6.1总体与样本117
习题6-1119
6.2统计量119
习题6-2122
6.3正态总体的抽样分布123
习题6-3129
第7章参数估计131
7.1点估计131
习题7-1138
7.2点估计量的评选标准138
习题7-2141
7.3区间估计142
习题7-3147
第8章假设检验148
8.1假设检验的基本概念148
8.2单个正态总体参数的假设检验151
习题8-2155
8.3两个正态总体参数的假设检验156
习题8-3159
8.4分布拟合检验160
目录v
习题8-4164
第9章方差分析165
9.1单因素方差分析165
习题9-1171
9.2双因素方差分析172
习题9-2179
第10章一元回归分析181
10.1一元线性回归分析181
习题10-1189
10.2一元非线性回归分析190
习题10-2192
习题答案194
参考文献208
附录209
附表1泊松分布表209
附表2标准正态分布212
附表3χ2分布表213
附表4t分布表215
附表5F分布表217
前 言
序言
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第1章 **事件与概率
本章介绍概率论的一些基本概念: **事件、概率、条件概率及独立性等， 这些概念将在后面学习中反复使用.
1.1 **事件及其运算
自然界和人类社会存在两类现象: 一类是在一定条件下必然发生的现象， 称为确定性现象. 比如“太阳不会从西边升起”“水从高处流向低处”， 这类现象的特征是条件完全决定结果. 另一类是在一定条件下可能出现也可能不出现的现象， 称为**现象. 比如“在相同条件下掷一枚均匀的硬币， 观察正反两面出现的情况”“明天的天气可能是晴， 也可能是多云或雨”. 这类现象的特征是条件不能完全决定结果. **现象在一次观察或测量中是否发生呈现偶然性， 但在多次重复观察或测量中则表现为一定的统计规律性. **现象的这种统计规律性是通过**试验来研究的.
1.1.1 **试验
在概率论中， 试验是指对**现象的观察或测量. 一个试验若满足条件:
(1) 可在相同条件下重复进行;
(2) 试验的全部可能结果(不止一个)， 在试验前就明确;
(3) 一次试验结束之前， 不能准确预知哪一个结果会出现， 称这样的试验为**试验， 记为E:以下是一些**试验的例子:
E : 抛一枚硬币， 观察哪一面朝上;
E : 将一枚硬币连续抛两次， 观察正面出现的次数;
E : 在一批灯泡中任意抽取一只， 测试它的寿命;
E : 在某一批产品中依次选取两件， 观察正品的件数;
E : 在某一批产品中依次选取两件， 观察正品、次品出现的情况.
但“观察某地明天的气温”不是**试验， 因为它不能在相同条件下重复. 无特殊说明， 本书以后所提到的试验都是指**试验.
1.1.2 样本空间与**事件
**试验E的所有可能结果组成的集合， 称为E的样本空间， 记为 试验E的每个结果， 即样本空间的每一个元素称为E的一个样本点， 用ω表示. 例1.1.1 写出上面所列举的**试验Ei( i=1， 2， ，5 )的样本空间.
(1) 试验E1的样本空间为Ω1={正面，反面}.
(2) 试验E2的样本空间为Ω2={0， 1， 2} .
(3) 试验E3的样本空间为Ω3=ωω≥0} ， 这是一个无限区间.
(4) 试验E4的样本空间为Ω4={0， 1， 2} .
(5)试验E5的样本空间为
Ω5 = (正品，正品)(正品， 次品)， (次品，次品 }. □
**试验的若干个结果组成的集合称为**事件， 简称事件. 一般用大写字母，，等表示. 只含一个试验结果的事件称为基本事件. 也就是说， 事件是样ABC 本空间.的子集， 基本事件只包含一个样本点.
在每次试验中， 当且仅当事件A所包含的某个样本点出现时， 称事件A发生.
样本空间Ω有两个特殊的子集: 一个是Ω本身， 每次试验它总是发生， 称为必然事件; 另一个子集是， 每次试验它都不发生， 称为不可能事件.
例1.1.2 E: 抛掷一枚骰子， 观察出现的点数， 则样本空间为.={1， 2， 3， 4， 5， 6};
A=“出现2 点”， 即A={2} ， 是一个基本事件;
B=“出现偶数点”即B={2， 4， 6} ， 是一个事件;
C=“出现奇数点”即C={1， 3， 5} ， 是一个事件;
D=“点数不大于6”， 即D={1， 2，3， 4，5，6} ， 是必然事件;
F=“点数大于6”， 是不可能事件
如果在抛掷一枚骰子后， 出现点数2， 则事件A， B，D都发生; 如果出现点数5， 则事件C，D发生， 但AB都不发生.
1.1.3 **事件之间的关系及运算
对于一个**试验来说， 有很多**事件. 我们希望通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律. 为此， 需要研究事件之间的关系和运算. 事件是一个集合， 因此我们可利用集合论的知识来研究事件之间的关系及其运算.
设试验E的样本空间为都是事件.
1. 事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A， 或称事件A包含于事件B(图1-1)， 记为. 在例1.1.2 中， 显然有.
对任一事件A， 必有
2. 事件的相等
若且， 则称事件A与事件B相等， 记为A=B.
3. 事件的和(并)
事件A与事件B至少有一个发生的事件， 称为事件A与B的和(并)， 记为A∪B(图1-2). 在例1.1.2 中， B∪C = {1， 2，3， 4，5，6} .
n个事件中至少有一个发生的事件， 称为的和(并)，记作
可列无限个事件中至少有一个发生的事件， 称为的和(并)， 记作
图1-1 图1-2
4. 事件A与B的积(交)
事件A与B同时发生的事件， 称为事件A与B的积(交)(图 1-3)， 记作A∩B 或AB. 在例1.1.2 中， AB={2} .
n个事件中每一个事件都发生的事件， 称为的积(交)，记作
可列无限个事件中每一个事件都发生的事件， 称为，的积(交)， 记作
5. 事件A与B的差
事件A发生而B不发生这一事件， 称为事件A与B的差(图 1-4)， 记作. 在例1.1.2 中，
图1-3 图1-4
6. 事件的互不相容(互斥)
事件A 与事件B 不能同时发生这一事件， 即AB = (图 1-5)， 称A 与B 互不相容(互斥). 在例1.1.2 中， 事件A与C， B与C都是互不相容的. 显然， 基本事件是两两互不相容的.
7. 事件的对立
事件A 不发生这一事件， 称为事件A 的对立事件或逆事件(图 1-6)， 记作A . 在例1.1.2 中， 事件B 是C 的对立事件， 但事件A 不是C 的对立事件.
图1-5 图1-6
由于A也是A 的对立事件， 所以称事件A与A为互逆事件. 又， 因此每次试验中， 事件A， A 中有且仅有一个发生. 显然有
(1)
(2) A与B对立事件的充分必要条件是.且
例1.1.3 设ABC 是某个**现象的三个事件， 则
(1)事件“A发生”可表示为: A .
(2) 事件“只有A 发生”可表示为: ABC .
(3) 事件“三个事件都发生”可表示为: ABC.
(4) 事件“三个事件中至少有两个发生”可表示为:
(5) 事件“三个事件中恰好有两个发生”可表示为:
(6) 事件“三个事件都不发生”可表示为: ABC.
(7) 事件“三个事件中不多于两个发生”可表示为:
(8) 事件“三个事件中不多于一个发生”可表示为:
事件运算满足下述规律， 证明从略.
(1) 交换律
(2) 结合律
(3) 分配律
(4) 对偶律(德 摩根律)
德 摩根律可推广至n个及可列个事件的情形:
习题1-1
1. 写出下列**试验的样本空间:
(1) 同时抛掷两颗骰子， 记录两颗骰子点数之和;
(2) 50人的班级举行一次数学考试， 已知**分100分， **分60分， 记录该班的平均成绩;
(3) 某人对靶标射击， 直到有5 次击中为止， 记录射击的总次数;
(4) 将长为1米的绳剪成两段， 记录两段的长度;
(5) 平面直角坐标系中， 在以原点为圆心的单位圆内任意取一点， 记录它的坐标;
(6) 对一批产品进行检验， 合格的记为1， 不合格的记为0. 如果连续查出2个次品就停止检查， 如果检查了4个产品也停止检查， 记录检查的结果.
2. 袋中有10个分别编有号码1至10的球， 从中任取1球， 设A={取得球的号码是偶数}， B={取得球的号码是奇数}， C={取得球的号码小于5}， 问下列运算表示什么事件:
(1)
3. 在数学系的学生中任选一名学生， 令事件A表示被选学生是男生， 事件B表示被选学生是三年级学生， 事件C表示该生是运动员.
(1) 叙述ABC 的意义.
(2) 在什么条件下ABCC成立？
(3) 什么条件下关系式CB成立？
(4) 什么条件下A=B成立?
4. 连续进行三次射击， 设Ai={第i次射击命中}， i=1，2，3 ， B={三次射击恰好命中两次}， C={三次射击至少命中两次}， 试用Ai表示B和C.
5. 指出下列命题中哪些成立， 哪些不成立， 并说明理由.
(1)(2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
6. 若事件满足， 试问B=C是否成立？举例说明.
1.2 **事件的概率
**试验中的**事件， 可能发生， 也可能不发生， 人们不能事先知道， 但它们发生的可能性大小却是客观存在的. 例如， 购买彩票中头奖的可能性远远小于中尾奖的可能性. 概率正是描述**事件发生可能性大小的量.
1.2.1 概率的统计定义
定义1.2.1在相同的条件下进行n次试验， 事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数， 比值称为事件A发生的频率， 记作.
由定义， 易知频率具有以下性质:
(1)
(2)
(3)设A1， A2， ， Ak是两两互不相容的事件， 则
由定义可知， 频率反映了一个**事件在大量重复试验中发生的频繁程度. 频率越大， 事件A发生就越频繁， 在一次试验中A发生的可能性就越大， 也就是说， 事件A发生的概率就越大.
历史上曾经有一些著名统计学家做过抛掷硬币的试验， 以观察出现正面的次数， 其结果如表1-1所示.
表1-1 历史上抛硬币试验
本章介绍概率论的一些基本概念: **事件、概率、条件概率及独立性等， 这些概念将在后面学习中反复使用.
1.1 **事件及其运算
自然界和人类社会存在两类现象: 一类是在一定条件下必然发生的现象， 称为确定性现象. 比如“太阳不会从西边升起”“水从高处流向低处”， 这类现象的特征是条件完全决定结果. 另一类是在一定条件下可能出现也可能不出现的现象， 称为**现象. 比如“在相同条件下掷一枚均匀的硬币， 观察正反两面出现的情况”“明天的天气可能是晴， 也可能是多云或雨”. 这类现象的特征是条件不能完全决定结果. **现象在一次观察或测量中是否发生呈现偶然性， 但在多次重复观察或测量中则表现为一定的统计规律性. **现象的这种统计规律性是通过**试验来研究的.
1.1.1 **试验
在概率论中， 试验是指对**现象的观察或测量. 一个试验若满足条件:
(1) 可在相同条件下重复进行;
(2) 试验的全部可能结果(不止一个)， 在试验前就明确;
(3) 一次试验结束之前， 不能准确预知哪一个结果会出现， 称这样的试验为**试验， 记为E:以下是一些**试验的例子:
E : 抛一枚硬币， 观察哪一面朝上;
E : 将一枚硬币连续抛两次， 观察正面出现的次数;
E : 在一批灯泡中任意抽取一只， 测试它的寿命;
E : 在某一批产品中依次选取两件， 观察正品的件数;
E : 在某一批产品中依次选取两件， 观察正品、次品出现的情况.
但“观察某地明天的气温”不是**试验， 因为它不能在相同条件下重复. 无特殊说明， 本书以后所提到的试验都是指**试验.
1.1.2 样本空间与**事件
**试验E的所有可能结果组成的集合， 称为E的样本空间， 记为 试验E的每个结果， 即样本空间的每一个元素称为E的一个样本点， 用ω表示. 例1.1.1 写出上面所列举的**试验Ei( i=1， 2， ，5 )的样本空间.
(1) 试验E1的样本空间为Ω1={正面，反面}.
(2) 试验E2的样本空间为Ω2={0， 1， 2} .
(3) 试验E3的样本空间为Ω3=ωω≥0} ， 这是一个无限区间.
(4) 试验E4的样本空间为Ω4={0， 1， 2} .
(5)试验E5的样本空间为
Ω5 = (正品，正品)(正品， 次品)， (次品，次品 }. □
**试验的若干个结果组成的集合称为**事件， 简称事件. 一般用大写字母，，等表示. 只含一个试验结果的事件称为基本事件. 也就是说， 事件是样ABC 本空间.的子集， 基本事件只包含一个样本点.
在每次试验中， 当且仅当事件A所包含的某个样本点出现时， 称事件A发生.
样本空间Ω有两个特殊的子集: 一个是Ω本身， 每次试验它总是发生， 称为必然事件; 另一个子集是， 每次试验它都不发生， 称为不可能事件.
例1.1.2 E: 抛掷一枚骰子， 观察出现的点数， 则样本空间为.={1， 2， 3， 4， 5， 6};
A=“出现2 点”， 即A={2} ， 是一个基本事件;
B=“出现偶数点”即B={2， 4， 6} ， 是一个事件;
C=“出现奇数点”即C={1， 3， 5} ， 是一个事件;
D=“点数不大于6”， 即D={1， 2，3， 4，5，6} ， 是必然事件;
F=“点数大于6”， 是不可能事件
如果在抛掷一枚骰子后， 出现点数2， 则事件A， B，D都发生; 如果出现点数5， 则事件C，D发生， 但AB都不发生.
1.1.3 **事件之间的关系及运算
对于一个**试验来说， 有很多**事件. 我们希望通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律. 为此， 需要研究事件之间的关系和运算. 事件是一个集合， 因此我们可利用集合论的知识来研究事件之间的关系及其运算.
设试验E的样本空间为都是事件.
1. 事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A， 或称事件A包含于事件B(图1-1)， 记为. 在例1.1.2 中， 显然有.
对任一事件A， 必有
2. 事件的相等
若且， 则称事件A与事件B相等， 记为A=B.
3. 事件的和(并)
事件A与事件B至少有一个发生的事件， 称为事件A与B的和(并)， 记为A∪B(图1-2). 在例1.1.2 中， B∪C = {1， 2，3， 4，5，6} .
n个事件中至少有一个发生的事件， 称为的和(并)，记作
可列无限个事件中至少有一个发生的事件， 称为的和(并)， 记作
图1-1 图1-2
4. 事件A与B的积(交)
事件A与B同时发生的事件， 称为事件A与B的积(交)(图 1-3)， 记作A∩B 或AB. 在例1.1.2 中， AB={2} .
n个事件中每一个事件都发生的事件， 称为的积(交)，记作
可列无限个事件中每一个事件都发生的事件， 称为，的积(交)， 记作
5. 事件A与B的差
事件A发生而B不发生这一事件， 称为事件A与B的差(图 1-4)， 记作. 在例1.1.2 中，
图1-3 图1-4
6. 事件的互不相容(互斥)
事件A 与事件B 不能同时发生这一事件， 即AB = (图 1-5)， 称A 与B 互不相容(互斥). 在例1.1.2 中， 事件A与C， B与C都是互不相容的. 显然， 基本事件是两两互不相容的.
7. 事件的对立
事件A 不发生这一事件， 称为事件A 的对立事件或逆事件(图 1-6)， 记作A . 在例1.1.2 中， 事件B 是C 的对立事件， 但事件A 不是C 的对立事件.
图1-5 图1-6
由于A也是A 的对立事件， 所以称事件A与A为互逆事件. 又， 因此每次试验中， 事件A， A 中有且仅有一个发生. 显然有
(1)
(2) A与B对立事件的充分必要条件是.且
例1.1.3 设ABC 是某个**现象的三个事件， 则
(1)事件“A发生”可表示为: A .
(2) 事件“只有A 发生”可表示为: ABC .
(3) 事件“三个事件都发生”可表示为: ABC.
(4) 事件“三个事件中至少有两个发生”可表示为:
(5) 事件“三个事件中恰好有两个发生”可表示为:
(6) 事件“三个事件都不发生”可表示为: ABC.
(7) 事件“三个事件中不多于两个发生”可表示为:
(8) 事件“三个事件中不多于一个发生”可表示为:
事件运算满足下述规律， 证明从略.
(1) 交换律
(2) 结合律
(3) 分配律
(4) 对偶律(德 摩根律)
德 摩根律可推广至n个及可列个事件的情形:
习题1-1
1. 写出下列**试验的样本空间:
(1) 同时抛掷两颗骰子， 记录两颗骰子点数之和;
(2) 50人的班级举行一次数学考试， 已知**分100分， **分60分， 记录该班的平均成绩;
(3) 某人对靶标射击， 直到有5 次击中为止， 记录射击的总次数;
(4) 将长为1米的绳剪成两段， 记录两段的长度;
(5) 平面直角坐标系中， 在以原点为圆心的单位圆内任意取一点， 记录它的坐标;
(6) 对一批产品进行检验， 合格的记为1， 不合格的记为0. 如果连续查出2个次品就停止检查， 如果检查了4个产品也停止检查， 记录检查的结果.
2. 袋中有10个分别编有号码1至10的球， 从中任取1球， 设A={取得球的号码是偶数}， B={取得球的号码是奇数}， C={取得球的号码小于5}， 问下列运算表示什么事件:
(1)
3. 在数学系的学生中任选一名学生， 令事件A表示被选学生是男生， 事件B表示被选学生是三年级学生， 事件C表示该生是运动员.
(1) 叙述ABC 的意义.
(2) 在什么条件下ABCC成立？
(3) 什么条件下关系式CB成立？
(4) 什么条件下A=B成立?
4. 连续进行三次射击， 设Ai={第i次射击命中}， i=1，2，3 ， B={三次射击恰好命中两次}， C={三次射击至少命中两次}， 试用Ai表示B和C.
5. 指出下列命题中哪些成立， 哪些不成立， 并说明理由.
(1)(2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
6. 若事件满足， 试问B=C是否成立？举例说明.
1.2 **事件的概率
**试验中的**事件， 可能发生， 也可能不发生， 人们不能事先知道， 但它们发生的可能性大小却是客观存在的. 例如， 购买彩票中头奖的可能性远远小于中尾奖的可能性. 概率正是描述**事件发生可能性大小的量.
1.2.1 概率的统计定义
定义1.2.1在相同的条件下进行n次试验， 事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数， 比值称为事件A发生的频率， 记作.
由定义， 易知频率具有以下性质:
(1)
(2)
(3)设A1， A2， ， Ak是两两互不相容的事件， 则
由定义可知， 频率反映了一个**事件在大量重复试验中发生的频繁程度. 频率越大， 事件A发生就越频繁， 在一次试验中A发生的可能性就越大， 也就是说， 事件A发生的概率就越大.
历史上曾经有一些著名统计学家做过抛掷硬币的试验， 以观察出现正面的次数， 其结果如表1-1所示.
表1-1 历史上抛硬币试验
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