线性代数与线性规划

塔里木河,流域,水资源,资源配置,研究 

《线性代数与线性规划》是*“高等理工教育数学基础课程教学改革与实践立项课题(2007—143)”之“新世纪农林院校大学数学教学规范(教学基本要求)的研究与实践”项目的研究成果，《线性代数与线性规划》根据新的教学基本要求，结合作者多年教学经验并按照继承、发展与改革的精神编写而成，是集体智慧的结晶。《线性代数与线性规划》内容共分八章，包括：行列式；矩阵及其应用；线性空间与线性变换；线性方程组；相似矩阵与二次型的化简；线性规划问题；线性规划问题的进一步讨论；线性代数应用举例等。与现行同类教材相比，《线性代数与线性规划》的特点是：突出矩阵方法；侧重线性代数的应用，并从实际例子出发，引出线性代数的一些基本概念、基本理论和方法；注重与中学知识的衔接，许多知识用附录呈现，使其自成体系，结果严谨；例题丰富，通俗易懂，难点分散，便于自学；尤其注重数学思想与数学文化的渗透；也适当参考了近年来考研数学大纲。

目录
**章 行列式 1
**节 行列式的概念 1
一、二阶与三阶行列式 1
二、排列及其逆序数 3
三、n阶行列式 6
第二节 行列式的性质 7
第三节 行列式按行(列)展开法则 11
第四节 拉普拉斯定理 行列式乘法规则(简介) 16
第五节 克拉默法则 18
一、克拉默法则 18
二、齐次线性方程组 20
阅读与思考行列式及其应用 21
习题一 22
补充题 24
第二章 矩阵及其应用 26
**节 n维向量的基本概念和线性运算 26
一、n维向量的概念 26
二、n维向量的线性运算 27
第二节 矩阵的概念与运算 31
一、矩阵的概念 31
二、矩阵的线性运算 34
三、矩阵与矩阵相乘 36
第三节 方阵的行列式及其逆矩阵 40
一、方阵的行列式 40
二、逆矩阵 41
第四节 矩阵的分块 48
一、矩阵的分块 48
二、分块矩阵的运算 49
三、分块对角矩阵与分块三角阵 51
第五节 向量组的线性相关性 55
第六节 矩阵的初等变换与初等矩阵 61
一、矩阵的初等变换 61
二、初等矩阵 61
第七节 用初等变换方法求逆矩阵 69
第八节 向量组的正交化 71
阅读与思考费马大定理是怎么证明的 73
习题二 75
补充题 77
第三章 线性空间与线性变换 79
**节 线性空间 79
一、线性空间的基本概念 79
二、子空间及其充要条件 81
三、向量空间的基、维数与坐标 82
四、向量空间的坐标 84
五、基变换与坐标变换 85
第二节 线性变换 88
一、线性变换的概念 88
二、线性变换的性质 90
三、线性变换在给定基下的矩阵 90
四、线性变换在不同基下的矩阵 91
习题三 92
第四章 线性方程组 94
**节 高斯消元法 94
第二节 齐次线性方程组解的结构 101
第三节 非齐次线性方程组解的结构 108
阅读与思考华罗庚与联立线性方程组 110
习题四 113
补充题 114
第五章 相似矩阵与二次型的化简 116
**节 方阵的特征值与特征向量 116
一、引例——“农业经济”发展与环保 116
二、特征值与特征向量的概念 116
三、特征值与特征向量的性质 119
第二节 相似矩阵与矩阵的对角化 121
第三节 二次型与二次型的化简 125
第四节 正交变换与二次型的标准形 126
一、线性变换 127
二、实对称阵的相似对角化 129
第五节 化二次型为标准形 131
第六节 惯性定律与正定二次型 138
一、惯性定律 138
二、正定二次型 138
阅读与思考李氏恒等式 140
习题五 141
补充题 142
第六章 线性规划问题 144
**节 线性规划问题简介 144
一、线性规划问题举例 144
二、线性规划问题的数学模型 146
三、线性规划问题与LINGO软件 146
第二节 线性规划问题的图解法 148
一、线性规划问题的图解法 148
二、线性规划问题解的性质 151
第三节 线性规划问题的基及其典式理论 151
一、线性规划问题的标准形式 151
二、基及其典式 153
三、单纯形法简介 155
第四节 线性规划在土方调配中的应用 156
一、土方调配问题介绍 156
二、土方调配的线性规划模型 156
三、线性规划在土方调配中的应用实例 157
习题六 158
第七章 线性规划问题的进一步讨论 160
**节 灵敏度分析 160
一、灵敏度分析的引入 160
二、目标函数系数cj的灵敏度分析 160
三、约束方程右端项的灵敏度分析 162
四、灵敏度分析的几何解释 162
第二节 对偶线性规划 163
一、对偶线性规划 163
二、影子价格及其应用 165
三、影子价格的应用 166
习题七 169
第八章 线性代数应用举例 170
**节 行列式应用举例 170
第二节 矩阵应用举例 170
第三节 线性方程组应用举例 172
第四节 特征值与特征向量应用举例 173
附录1 线性方程组的加减消元法 180
附录2 数学归纳法 183
附录3 连加号∑与连乘号∏ 187
附录4 多项式理论初步 190
附录5 数的扩充 195
附录6 习题参考答案 198目录
**章 行列式 1
**节 行列式的概念 1
一、二阶与三阶行列式 1
二、排列及其逆序数 3
三、n阶行列式 6
第二节 行列式的性质 7
第三节 行列式按行(列)展开法则 11
第四节 拉普拉斯定理 行列式乘法规则(简介) 16
第五节 克拉默法则 18
一、克拉默法则 18
二、齐次线性方程组 20
阅读与思考行列式及其应用 21
习题一 22
补充题 24
第二章 矩阵及其应用 26
**节 n维向量的基本概念和线性运算 26
一、n维向量的概念 26
二、n维向量的线性运算 27
第二节 矩阵的概念与运算 31
一、矩阵的概念 31
二、矩阵的线性运算 34
三、矩阵与矩阵相乘 36
第三节 方阵的行列式及其逆矩阵 40
一、方阵的行列式 40
二、逆矩阵 41
第四节 矩阵的分块 48
一、矩阵的分块 48
二、分块矩阵的运算 49
三、分块对角矩阵与分块三角阵 51
第五节 向量组的线性相关性 55
第六节 矩阵的初等变换与初等矩阵 61
一、矩阵的初等变换 61
二、初等矩阵 61
第七节 用初等变换方法求逆矩阵 69
第八节 向量组的正交化 71
阅读与思考费马大定理是怎么证明的 73
习题二 75
补充题 77
第三章 线性空间与线性变换 79
**节 线性空间 79
一、线性空间的基本概念 79
二、子空间及其充要条件 81
三、向量空间的基、维数与坐标 82
四、向量空间的坐标 84
五、基变换与坐标变换 85
第二节 线性变换 88
一、线性变换的概念 88
二、线性变换的性质 90
三、线性变换在给定基下的矩阵 90
四、线性变换在不同基下的矩阵 91
习题三 92
第四章 线性方程组 94
**节 高斯消元法 94
第二节 齐次线性方程组解的结构 101
第三节 非齐次线性方程组解的结构 108
阅读与思考华罗庚与联立线性方程组 110
习题四 113
补充题 114
第五章 相似矩阵与二次型的化简 116
**节 方阵的特征值与特征向量 116
一、引例——“农业经济”发展与环保 116
二、特征值与特征向量的概念 116
三、特征值与特征向量的性质 119
第二节 相似矩阵与矩阵的对角化 121
第三节 二次型与二次型的化简 125
第四节 正交变换与二次型的标准形 126
一、线性变换 127
二、实对称阵的相似对角化 129
第五节 化二次型为标准形 131
第六节 惯性定律与正定二次型 138
一、惯性定律 138
二、正定二次型 138
阅读与思考李氏恒等式 140
习题五 141
补充题 142
第六章 线性规划问题 144
**节 线性规划问题简介 144
一、线性规划问题举例 144
二、线性规划问题的数学模型 146
三、线性规划问题与LINGO软件 146
第二节 线性规划问题的图解法 148
一、线性规划问题的图解法 148
二、线性规划问题解的性质 151
第三节 线性规划问题的基及其典式理论 151
一、线性规划问题的标准形式 151
二、基及其典式 153
三、单纯形法简介 155
第四节 线性规划在土方调配中的应用 156
一、土方调配问题介绍 156
二、土方调配的线性规划模型 156
三、线性规划在土方调配中的应用实例 157
习题六 158
第七章 线性规划问题的进一步讨论 160
**节 灵敏度分析 160
一、灵敏度分析的引入 160
二、目标函数系数cj的灵敏度分析 160
三、约束方程右端项的灵敏度分析 162
四、灵敏度分析的几何解释 162
第二节 对偶线性规划 163
一、对偶线性规划 163
二、影子价格及其应用 165
三、影子价格的应用 166
习题七 169
第八章 线性代数应用举例 170
**节 行列式应用举例 170
第二节 矩阵应用举例 170
第三节 线性方程组应用举例 172
第四节 特征值与特征向量应用举例 173
附录1 线性方程组的加减消元法 180
附录2 数学归纳法 183
附录3 连加号∑与连乘号∏ 187
附录4 多项式理论初步 190
附录5 数的扩充 195
附录6 习题参考答案 198

**章 行列式
　　行列式是在对线性方程组的研究中开发出来的一种重要的工具.正是这个工具，使得由n个方程组成的n元线性方程组的解以及其完美的形式展现于读者面前，行列式还有超越线性方程组的更为广泛的应用.本章首先引进二阶、三阶行列式的概念，在此基础上通过对n元排列的研究给出n阶行列式的一般概念，进而介绍行列式的性质.计算以及用行列式求解线性方程组的克拉默(Cramer)法则.
　　**节 行列式的概念
　　一、二阶与三阶行列式
　　解方程是代数中一个基本问题，在中学我们学过一元、二元、三元以至四元一次线性方程组.在解线性方程组时，我们曾用代入消元法和加减消元法来解线性方程组.例如，对二元一次方程组
　　其中x1，x2是未知量，下面用中学学过的消元法求它的解.
　　利用加减消元法，为消去x2，用分别乘**、二个方程的两边，然后相加，就得到消去x2后的方程
　　用类似的方法可得到消去x1后的方程
　　当时，由(2)、(3)可得方程组的解
　　(4)为了找出解的表达式(4)的规律，便于推广，引进下述记号表示，称这个记号为二阶行列式.构成二阶行列式的4个数a11，a12，a21，a22称为行列式的元素，横的各排称为行，纵的各排称为列.元素aij的下标i表示它在行列式的第i行，称为元素aij的行下标(或行标)；下标j表示aij在行列式的第j列，称为列下标(或列标).行列式通常用大写字母D表示.线性方程组(1)的系数构成的行列式
　　也称为方程组(1)的系数行列式.根据二阶行列式的定义，方程组(1)的解(4)中，x1，x2的表达式的分子可分别写成下面的行列式
　　因而当方程组(1)的系数行列式D≠0时，它的解可以写成两个行列式的商的形式.用行列式表示方程组(1)的解，我们很容易发现其规律性：分母都是方程组的系数行列式；x1的分子是将系数行列式D中x1对应的列换成常数项后得到的行列式，x2的分子是将系数行列式D中x2对应的列换成常数项后得到的行列式.对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组
　　称符号
　　为三阶行列式，它定义为其元素的下列代数和
　　三阶行列式的值仍可由对角线法则来记忆.以D为例.由式(*)可见，D由6项构成，每一项均为行列式D的不同行不同列的3个元素的乘积再冠以正负号，其规律如图1-1所示.图中的3条实线平行于主对角线，实线上3个元素之积冠以正号；3条虚线平行于副对角线，虚线上三元素之积冠以负号.
　　例1 计算行列式
　　当三阶行列式时，上述三元线性方程组有**解，解为
　　其中
　　此为求解三元线性方程组的克拉默法则.
　　前面我们利用二、三阶行列式给出了求解二元、三元线性方程组的克拉默法则.克拉默法则同样适用于n个未知量n个方程的线性方程组，此时，需要计算n阶行列式.而用于计算二、三阶行列式的对角线法，对于高于三阶的行列式就不再适用了.为此，我们给出n阶行列式的一般算法.
　　由式(*)可见：
　　(1) 三阶行列式展开式的每一项都是其位于不同行不同列的3个元素之积；
　　(2) 展开式共有6项，每一项的3个元素的行下标按自然顺序排列时，其列下标都是1，2，3的某个排列.1，2，3的全排列共有6种，每一排列分别对应着展开式的一个项；
　　(3) 展开式6个项的符号各有三正三负.带正号的3项列下标的排列分别为(123)，(312)，(231)，它们都是自然排列123中的任意两个数经零次或二次(偶数次)对换得到的；而带负号的3项的列下标是自然排列123中的任意两个数经一次(奇数次)对换得到的.也就是说，行列式展开式的每一项的符号与排列的对换次数(奇数次或偶数次)有关.
　　为了阐明n阶行列式展开项的符号规律，下面引入逆序数的概念.
　　二、 排列及其逆序数
　　1. 排列及其逆序数
　　定义1由n个数1，2， ，n组成的一个无重复的有序数组称为这n个数码的一个排列，简称为n元排列.例如，312是一个3元排列，2341是一个4元排列，45321是一个5元排列等.显然1 2 n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其他的排列或多或少地已改变了自然顺序.
　　定义2 在一个n元排列中，如果有一个较大的数码排在一个较小的数码前面，则称这两个数码在这个排列中构成一个逆(反)序，一个n元排列中所有逆(反)序的总和称为这个排列的逆(反)序数，记为或.
　　设在一个n级排列j1j2 jn中，比jk (k=1，2， ，n)大的且排在jk前面的数有tk个，则这个排列的逆序数为.例如这是计算一个n元排列的反序数的一般方法.
　　2. 排列的奇偶性
　　定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.
　　例2 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.
　　解由逆序数的定义，任一排列i1i2 in的逆序数为
　　后面比i1小的数的个数+i2后面比i2小的数的个数后面比in-1小的数的个数
　　(1)τ为偶排列；
　　(2)而n(n-1)2的奇偶性需由n而定，讨论如下：当n=4k时，n(n-1)2=2k(4k-1)是偶数；当n=4k+1时，n(n-1)2=2k(4k+1)是偶数；
　　当n=4k+2时，n(n-1)2=(2k+1)(4k+1)是奇数；
　　当n=4k+3时，n(n-1)2=(2k+1)(4k+3)是奇数.所以，
　　当n=4k，n=4k+1时，此排列为偶排列；
　　当n=4k+2，n=4k+3时，此排列为奇排列.
　　在一个n级排列j1j2 jn 中，仅将其中两个数字ji，jk对调而其余数字不动，这样一次对调称为一个对换，记为(ji，jk).当k=i±1，即排列中两个相邻的数字的对换称为相邻对换.
　　例如，
　　问题1 任意两个n元排列是否可经一系列对换而互变？
　　引理1 任意一个n元排列 可经一系列对换变为 自然排列12 n.
　　证 (用归纳法)
　　1. 当n=2时，结论显然成立.
　　2. 假设结论对n-1元排列成立，
　　(1) 对任一个n元排列j1j2 jn，假如jn=n，则由归纳假设知可经一系列对换变为12 (n-1).于是经同样一系列的对换变为
　　(2) 假如jn≠n，设jk=n 1≤k≤n-1，于是经一次对换得
　　由(1)知，经一系列对换可把变为.因而可经一系列变换变为由于对换是可逆的，
　　因此有:推论1自然排列12 n可经一系列对换变到任意一个n元排列由引理1和推论1，我们圆满地解决了上面提出的问题1，这就是：推论2任意两个n元排列可经一系列对换互化.定理1对换改变排列的奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.证先看对换的两个数码j，k在排列中是相邻位置的情形.设此排列为
　　经对换(j，k)变为
　　这里“ ”表示那些不动的数码.于是，若
　　因此，这种特殊情况下定理1成立.一般情形，设排列为经对换(j，k)变为
　　为将(11)变为(12)，
　　可先对(11)施行相邻位置的j与i1对换，然后j与i2对换与k对换，共经过t+1次对换后变为 (13)
　　再对(13)施行相邻位置的k与it对换，k与it-1对换，k与i1对换，共t次对换后便变为(12).由上所述，由于每次这样的对换都改变排列的奇偶性，因而2t+1次对换将(11)变为(12)，它们有互异的奇偶性.定理成立.
　　问题2 在全体n元排列中，究竟是奇排列多还是偶排列多？一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半，这就是下面的
　　推论3 在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!2个.
　　证设奇排列个数为k，偶排列个数为m，则又调换每个奇排列的前两个元素的位置，则由定理1知道它们都变为偶排列，且易知不同的奇排列经一次相同位置的对换后变为不同的偶排列，因此k≤m.同理可证m≤k，故.结合推论2，类似地，还可以证明：
　　定理2 任意一个n级排列与排列12 n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
　　二、n阶行列式
　　在给出n阶行列式的定义之前，再来看一下二阶和三阶行列式的定义.以三阶行列式为例(二阶同样)由前面式(10)知
　　从三阶行列式的定义可以看出，它们是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同行不同列的元素构成，这种可能的乘积共有n!项.另一方面，每一项乘积都带有符号.该符号是按什么原则确定的呢？在三阶行列式(10)中，项的一般形式可以写成
　　其中是1，2，3的一个排列.可以看出，当j1j2j3是偶排列时.对应的项在三阶行列式的定义中带有正号，当j1j2j3是奇排列时带有负号.
　　定义4 称为n阶行列式，它表示代数和即.这里表示对所有n级排列求和.
　　显然，行列式的项
　　为取自不同行不同列的n个元素的乘积；每一项都按下面规则带有符号：当是偶排列时，带正号，当是奇排列时，带负号；对于1，2， ，n的每一个排列都对应一项，所以式(16)共有n!项.定义4实际上是按乘积中元素的行标为自然排列来定义行列式，同样地，可以按列标为自然排列定义行列式.