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开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030444585丛书名: 普通高等教育”十二五”规划教材·经济管理类数学基础系列
编辑推荐
可作为高等学校经济类、管理类专业和其他相关专业线性代数课程的教材或教学参考书，报考研究生者
内容简介
《线性代数（第二版）》是“普通高等教育‘十二五’规划教材·经济管理类数学基础课系列”其中一本。《线性代数（第二版）》共7章，内容包括行列式、矩阵、n维向量与线性方程组、线性方程组解的存在性与解的结构、向量空间、矩阵的对角化、二次型。
目 录
目录
第1章 行列式 1
1.1 n阶行列式的定义 1
一、二阶和三阶行列式 1
一、排列与逆序数 2
三、n阶行列式的定义 4
1.2 行列式的性质 6
1.3 行列式按行（列）展开 13
一、行列式按某一行（列）展开 13
一、行列式按k行（列）展开 17
1.4 克拉默法则 18
习题1 22
第2章 矩阵 28
2.1 矩阵的概念及运算 28
一、矩阵的概念 28
一、矩阵的运算 30
2.2 几种特殊的矩阵 37
一、对角矩阵 37
一、数量矩阵 38
三、三角矩阵 39
四、对称矩阵与反对称矩阵 40
2.3 可逆矩阵 40
一、可逆矩阵的概念 40
一、伴随矩阵求逆法 41
三、可逆矩阵的性质 44
四、方阵多项式简介 45
2.4 初等矩阵与矩阵的初等变换 45
一、矩阵的初等变换与初等矩阵 45
一、初等变换求逆法 48
2.5 分块矩阵 53
一、分块矩阵的概念 53
二、分块矩阵的运算 54
2.6 矩阵的秩 57
一、矩阵秩的定义 57
二、用初等变换求矩阵的秩 58
习题2 60
第3章 n维向量与线性方程组 67
3.1 n维向量及其线性运算 67
一、n维向量的概念 67
二、n维向量的线性运算 68
3.2 线性方程组的解及其向量表示 69
一、线性方程组的表达形式 69
二、线性方程组的消元解法 71
三、线性方程组解的情况 75
3.3 向量间的线性关系 80
一、向量的线性组合 80
二、向量组的线性相关性 82
3.4 向量组的秩 88
一、两个向量组的等价 88
二、向量组的极大线性无关组 90
三、向量组的秩与矩阵的秩 92
四、向量组的秩的计算 93
习题3 94
第4章 线性方程组解的存在性与解的结构 97
4.1 线性方程组解的存在性 97
一、线性方程组有解的判定定理 97
二、线性方程组解的个数 98
4.2 线性方程组解的结构 104
一、齐次线性方程组解的结构 104
二、非齐次线性方程组解的结构 109
习题4 112
第5章 向量空间 116
5.1 向量空间及相关概念 116
一、向量空间及其子空间 116
二、向量的坐标 117
三、基变换 118
四、坐标变换 122
5.2 向量的内积 126
一、向量内积的定义及基本性质 126
二、向量的长度 127
三、两个向量的夹角 130
四、向量空间的标准正交基 133
5.3 正交矩阵 135
习题5 137
第6章 矩阵的对角化 139
6.1 矩阵的特征值与特征向量 139
一、矩阵的特征值与特征向量的定义 139
二、矩阵的特征值与特征向量的求法 140
三、矩阵的迹 144
6.2 相似矩阵与矩阵的对角化 145
一、相似矩阵 145
二、矩阵可以对角化的条件 146
6.3 实对称矩阵的对角化 152
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 152
二、实对称矩阵的对角化的方法 153
6.4 矩阵级数 156
一、矩阵序列及其极限 156
二、矩阵级数收敛的条件 158
6.5 投入产出数学模型 159
一、分配平衡方程组 159
二、消耗平衡方程组 162
习题6 163
第7章 二次型 165
1.1 二次型的标准形 165
一、关于二次型的几个概念 166
二、化二次型为标准形的方法 169
7.2 实二次型的分类与判走 176
一、实二次型的**性 176
二、实二次型分类 178
三、实二次型的有定性 179
习题7 184
部分习题参考答案 186
第1章 行列式 1
1.1 n阶行列式的定义 1
一、二阶和三阶行列式 1
一、排列与逆序数 2
三、n阶行列式的定义 4
1.2 行列式的性质 6
1.3 行列式按行（列）展开 13
一、行列式按某一行（列）展开 13
一、行列式按k行（列）展开 17
1.4 克拉默法则 18
习题1 22
第2章 矩阵 28
2.1 矩阵的概念及运算 28
一、矩阵的概念 28
一、矩阵的运算 30
2.2 几种特殊的矩阵 37
一、对角矩阵 37
一、数量矩阵 38
三、三角矩阵 39
四、对称矩阵与反对称矩阵 40
2.3 可逆矩阵 40
一、可逆矩阵的概念 40
一、伴随矩阵求逆法 41
三、可逆矩阵的性质 44
四、方阵多项式简介 45
2.4 初等矩阵与矩阵的初等变换 45
一、矩阵的初等变换与初等矩阵 45
一、初等变换求逆法 48
2.5 分块矩阵 53
一、分块矩阵的概念 53
二、分块矩阵的运算 54
2.6 矩阵的秩 57
一、矩阵秩的定义 57
二、用初等变换求矩阵的秩 58
习题2 60
第3章 n维向量与线性方程组 67
3.1 n维向量及其线性运算 67
一、n维向量的概念 67
二、n维向量的线性运算 68
3.2 线性方程组的解及其向量表示 69
一、线性方程组的表达形式 69
二、线性方程组的消元解法 71
三、线性方程组解的情况 75
3.3 向量间的线性关系 80
一、向量的线性组合 80
二、向量组的线性相关性 82
3.4 向量组的秩 88
一、两个向量组的等价 88
二、向量组的极大线性无关组 90
三、向量组的秩与矩阵的秩 92
四、向量组的秩的计算 93
习题3 94
第4章 线性方程组解的存在性与解的结构 97
4.1 线性方程组解的存在性 97
一、线性方程组有解的判定定理 97
二、线性方程组解的个数 98
4.2 线性方程组解的结构 104
一、齐次线性方程组解的结构 104
二、非齐次线性方程组解的结构 109
习题4 112
第5章 向量空间 116
5.1 向量空间及相关概念 116
一、向量空间及其子空间 116
二、向量的坐标 117
三、基变换 118
四、坐标变换 122
5.2 向量的内积 126
一、向量内积的定义及基本性质 126
二、向量的长度 127
三、两个向量的夹角 130
四、向量空间的标准正交基 133
5.3 正交矩阵 135
习题5 137
第6章 矩阵的对角化 139
6.1 矩阵的特征值与特征向量 139
一、矩阵的特征值与特征向量的定义 139
二、矩阵的特征值与特征向量的求法 140
三、矩阵的迹 144
6.2 相似矩阵与矩阵的对角化 145
一、相似矩阵 145
二、矩阵可以对角化的条件 146
6.3 实对称矩阵的对角化 152
一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 152
二、实对称矩阵的对角化的方法 153
6.4 矩阵级数 156
一、矩阵序列及其极限 156
二、矩阵级数收敛的条件 158
6.5 投入产出数学模型 159
一、分配平衡方程组 159
二、消耗平衡方程组 162
习题6 163
第7章 二次型 165
1.1 二次型的标准形 165
一、关于二次型的几个概念 166
二、化二次型为标准形的方法 169
7.2 实二次型的分类与判走 176
一、实二次型的**性 176
二、实二次型分类 178
三、实二次型的有定性 179
习题7 184
部分习题参考答案 186
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序言
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第1章 行列式
行列式是研究线性代数及其他数学分支的一个重要工具。本章主要介绍”阶行列式的概念、性质与计算方法，以及利用n阶行列式解含有n个未知量n个方程的线性方程组的克拉默法则。
1.1 n阶行列式的定义
一、二阶和三阶行列式
1. 二阶行列式
考虑二元线性方程组
(1.1)
用加减消元法解方程组(1.1)，得
当时，得到方程组(1.1)的**解
(1.2)
为便于记忆，引入记号称为二阶行列式。其中称为行列式的元素，其**下标i为行标，表示该元素位于第i行，第二下标j为列标，表示该元素位于第列，表示该元素为行列式第i行第j列的元素。二阶行列式可用对角线法则来记忆。如图1-1所示，把a11到a22的实连线称为主对角线，把a12到a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
图1-1
利用二阶行列式的记法，式(1.2)中z，，z：的分子也可写成二阶行列式，即
记
如果行列式D≠0，则方程组(1.1)的**解(1.2)可表示为
(1.3)
其中，分母D是由方程组(1.1)的系数构成的二阶行列式（称为系数行列式）；x1的分子D1是用常数项b1，b2替换D中**列元素a11，a21得到的二阶行列式；x2的分子D2是用常数项b1，b2替换D中第二列元素a12，a22得到的二阶行列式。
2. 三阶行列式
类似于二阶行列式，记
称为三阶行列式。三阶行列式有6项，每项均是由不同行不同列的三个元素的乘积冠以正负号得到的，其规律遵循图1 2所示的对角线法则，图中三条实线看成平行于主对角线的连线，三条虚线看成平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号。
二、排列与逆序数
定义1.1 由姐个不同的数1，2， ，n组成的一个有序数组。称为一个n级排列，简称为排列。构成排列的数称为排列的元素。
例如，1234和3421都是4级排列，25314是一个5级排列。由数1，2，3共可构成6种不同的排列：123，132，213，231，312，321。
图1-2
由数1，2， ，n构成的不同的”级排列共有n！个。
定义1.2 在一个n级排列中，若数，则称数与构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为。
例1 计算5级排列25314的逆序数。
解 因为2排在首位，故其逆序的个数为0；在5前面且比5大的数有0个，故其逆序的个数为0；在3前面且比3大的数有1个，故其逆序的个数为1；在1前面且比1大的数有3个，故其逆序的个数为3；在4前面且比4大的数有1个，故其逆序的个数为1，即
对于n级排列n（n-1） 321，有
在n级排列12 （n-1）粗中，各数是按照由小到大的白然顺序排列的，这一排列称为n元自然序排列。由于其中任何一个数对都不构成逆序，因此。
定义1.3 逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如，排列25314的逆序数是5，为奇排列；12 （n-1）n的逆序数是零，为偶排列。
定义1.4 在一个排列。中，如果将它的两个元素与互换位置，而其余元素不动，得到另一个排列。这样的变换称为一次对换，记为。
例如
定理1.1 任意一个排列经过一次对换后，奇偶性改变。
证 用s表示排列，将与对换后得排列。
(1) 即与处于相邻的位置，此时，而当时，所以s与s’的奇偶性相反。
(2) 在排列s中与对换，再把与对换，这样用相邻两数对换的方法，经是次对换后，得到排列s’’，
然后将排列中与对换，再把与对换，这样用相邻两数对换的方法，经k-1次对换后，就将s化为了s’。由于2k-1是奇数，所以s与s’这两个排列的奇偶性相反。
定理1.2 n个不同的数1，2， ，n的n！个n级排列中，奇偶排列各占一半。
证假设在n！个n级排列中，共有k个奇排列，l个偶排列。若对每个奇排列都作同一对换，则由定理1. 1，k个奇排列均变为偶排列，故k≤l；同理对每个偶排列都作向一对换，则l个偶排列均变为奇排列，故l≤k。所以k=l，从而是。
三、n阶行列式的定义
为了给出 n阶行列式的定义，首先研究三阶行列式的结构，给出三阶行列式
易见以下三条规律：
(1) 三阶行列式展开式是3！项的代数和。
(2) 三阶行列式展开式的每一项都是其不同行不同列的三个元素的乘积。每一项除正负号外都可以写成，这里**下标成自然序123，而第二下标恰为一个3级排列j1j2 j3。
(3) 三阶行列式的正项与负项各占一半，当该项元素的行标按自然数顺序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号，因此各项所带的正负号为。
这样，三阶行列式可以写成
其中表示对所有3级排列求和。
下面把三阶行列式的结构特点加以推广，定义”阶行列式，
定义1.5 由n2个元素排成n行粗列组成的
(1.4)
称为n阶行列式，其中表示对所有级排列，求和。
称为行列式的一般项。式(1.4)也称为粗阶行列式的展开式，称为第i行第j列的元素。n阶行列式(1.4)可简记为。
n阶行列式表示所有取白不同行不同列的姐个元素乘积。的代数和，其中。为数的一个n级排列，由于这样的排列共有n！个，因此阶行列式共有n！项；当组成项的各元素的行标按自然序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号。例如，六阶行列式中符号为的项是。
更一般地，可以将n阶行列式定义为
其中表示对行标构成的所有的n级排列或列标构成的所有的n级排列求和。
显然这个定义与定义1.5是一致的，当行标的粗级排列取自然序排列12 n时，即是定义1.5。
例如，四阶行列式是项的代数和，是其中一项，其行标、列标对应的排列分别为1234，3142，所以该项前的符号为，取负号。
例2 计算n阶行列式
其中。
解 根据定义1.5知D的一般项为
在D中，只有当时一般项不等于零，因此
这样的行列式称为下三角行列式，下三角行列式等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上的元素的乘积。
下三角行列式的特殊情形
其中主对角线以外的元素都是零，称为对角行列式，它也等于主对角线上的元素的乘积。
例3 计算行列式
解 这是一个n阶行列式，有n！项，不为零的项只有
因此
1.2 行列式的性质
由n阶行列式的定义知，行列式展开式是n！项的代数和。每一项都是取自行列式不同行不同列的n个元素的乘积，同时还要确定各项前的正负号，因此，对于较高阶数的行列式，直接按定义计算是比较困难的，为了简化行列式的计算，有必要研究行列式的性质。
行列式是研究线性代数及其他数学分支的一个重要工具。本章主要介绍”阶行列式的概念、性质与计算方法，以及利用n阶行列式解含有n个未知量n个方程的线性方程组的克拉默法则。
1.1 n阶行列式的定义
一、二阶和三阶行列式
1. 二阶行列式
考虑二元线性方程组
(1.1)
用加减消元法解方程组(1.1)，得
当时，得到方程组(1.1)的**解
(1.2)
为便于记忆，引入记号称为二阶行列式。其中称为行列式的元素，其**下标i为行标，表示该元素位于第i行，第二下标j为列标，表示该元素位于第列，表示该元素为行列式第i行第j列的元素。二阶行列式可用对角线法则来记忆。如图1-1所示，把a11到a22的实连线称为主对角线，把a12到a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
图1-1
利用二阶行列式的记法，式(1.2)中z，，z：的分子也可写成二阶行列式，即
记
如果行列式D≠0，则方程组(1.1)的**解(1.2)可表示为
(1.3)
其中，分母D是由方程组(1.1)的系数构成的二阶行列式（称为系数行列式）；x1的分子D1是用常数项b1，b2替换D中**列元素a11，a21得到的二阶行列式；x2的分子D2是用常数项b1，b2替换D中第二列元素a12，a22得到的二阶行列式。
2. 三阶行列式
类似于二阶行列式，记
称为三阶行列式。三阶行列式有6项，每项均是由不同行不同列的三个元素的乘积冠以正负号得到的，其规律遵循图1 2所示的对角线法则，图中三条实线看成平行于主对角线的连线，三条虚线看成平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号。
二、排列与逆序数
定义1.1 由姐个不同的数1，2， ，n组成的一个有序数组。称为一个n级排列，简称为排列。构成排列的数称为排列的元素。
例如，1234和3421都是4级排列，25314是一个5级排列。由数1，2，3共可构成6种不同的排列：123，132，213，231，312，321。
图1-2
由数1，2， ，n构成的不同的”级排列共有n！个。
定义1.2 在一个n级排列中，若数，则称数与构成一个逆序。一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为。
例1 计算5级排列25314的逆序数。
解 因为2排在首位，故其逆序的个数为0；在5前面且比5大的数有0个，故其逆序的个数为0；在3前面且比3大的数有1个，故其逆序的个数为1；在1前面且比1大的数有3个，故其逆序的个数为3；在4前面且比4大的数有1个，故其逆序的个数为1，即
对于n级排列n（n-1） 321，有
在n级排列12 （n-1）粗中，各数是按照由小到大的白然顺序排列的，这一排列称为n元自然序排列。由于其中任何一个数对都不构成逆序，因此。
定义1.3 逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如，排列25314的逆序数是5，为奇排列；12 （n-1）n的逆序数是零，为偶排列。
定义1.4 在一个排列。中，如果将它的两个元素与互换位置，而其余元素不动，得到另一个排列。这样的变换称为一次对换，记为。
例如
定理1.1 任意一个排列经过一次对换后，奇偶性改变。
证 用s表示排列，将与对换后得排列。
(1) 即与处于相邻的位置，此时，而当时，所以s与s’的奇偶性相反。
(2) 在排列s中与对换，再把与对换，这样用相邻两数对换的方法，经是次对换后，得到排列s’’，
然后将排列中与对换，再把与对换，这样用相邻两数对换的方法，经k-1次对换后，就将s化为了s’。由于2k-1是奇数，所以s与s’这两个排列的奇偶性相反。
定理1.2 n个不同的数1，2， ，n的n！个n级排列中，奇偶排列各占一半。
证假设在n！个n级排列中，共有k个奇排列，l个偶排列。若对每个奇排列都作同一对换，则由定理1. 1，k个奇排列均变为偶排列，故k≤l；同理对每个偶排列都作向一对换，则l个偶排列均变为奇排列，故l≤k。所以k=l，从而是。
三、n阶行列式的定义
为了给出 n阶行列式的定义，首先研究三阶行列式的结构，给出三阶行列式
易见以下三条规律：
(1) 三阶行列式展开式是3！项的代数和。
(2) 三阶行列式展开式的每一项都是其不同行不同列的三个元素的乘积。每一项除正负号外都可以写成，这里**下标成自然序123，而第二下标恰为一个3级排列j1j2 j3。
(3) 三阶行列式的正项与负项各占一半，当该项元素的行标按自然数顺序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号，因此各项所带的正负号为。
这样，三阶行列式可以写成
其中表示对所有3级排列求和。
下面把三阶行列式的结构特点加以推广，定义”阶行列式，
定义1.5 由n2个元素排成n行粗列组成的
(1.4)
称为n阶行列式，其中表示对所有级排列，求和。
称为行列式的一般项。式(1.4)也称为粗阶行列式的展开式，称为第i行第j列的元素。n阶行列式(1.4)可简记为。
n阶行列式表示所有取白不同行不同列的姐个元素乘积。的代数和，其中。为数的一个n级排列，由于这样的排列共有n！个，因此阶行列式共有n！项；当组成项的各元素的行标按自然序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列则取负号。例如，六阶行列式中符号为的项是。
更一般地，可以将n阶行列式定义为
其中表示对行标构成的所有的n级排列或列标构成的所有的n级排列求和。
显然这个定义与定义1.5是一致的，当行标的粗级排列取自然序排列12 n时，即是定义1.5。
例如，四阶行列式是项的代数和，是其中一项，其行标、列标对应的排列分别为1234，3142，所以该项前的符号为，取负号。
例2 计算n阶行列式
其中。
解 根据定义1.5知D的一般项为
在D中，只有当时一般项不等于零，因此
这样的行列式称为下三角行列式，下三角行列式等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上的元素的乘积。
下三角行列式的特殊情形
其中主对角线以外的元素都是零，称为对角行列式，它也等于主对角线上的元素的乘积。
例3 计算行列式
解 这是一个n阶行列式，有n！项，不为零的项只有
因此
1.2 行列式的性质
由n阶行列式的定义知，行列式展开式是n！项的代数和。每一项都是取自行列式不同行不同列的n个元素的乘积，同时还要确定各项前的正负号，因此，对于较高阶数的行列式，直接按定义计算是比较困难的，为了简化行列式的计算，有必要研究行列式的性质。
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