描述
开 本: 32开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302458791
勾股定理是初等几何中遇到的*个比较重要的定理，该定理是许多后续定理的基础。1977年的高考试题中，有一道题目的内容就是“证明勾股定理”，出题人是我国著名数学家潘承洞。而勾股定理的证明方法也是多种多样，各有特色，国外已经有学者整理出了该定理的300多个证法，而国内目前列出了近50个证法。本书精选了有代表性的365种证法。这些证法大多只需初中水平，各种思维模式能让读者脑洞大开，挑战思维极限。
本书主要介绍了勾股定理的 365 种证明方法, 并按证法的类型进行归纳、整理和总结, 让 读者有一个全面而系统的了解. 书中大多数证法用到的知识不超过初中几何的教学范围, 许多证法思路巧妙, 别具一格, 对提高读者的几何素养大有裨益. 本书可以作为广大中学师生和数学爱好者的参考读物.
第1 章分块法………………………………………………………………………….. 1
1.1 分块对应法………………………………………………………………….. 2
1.2 镶嵌法………………………………………………………………………… 8
1.3 十字分块法………………………………………………………………….12
第2 章割补法………………………………………………………………………….17
第3 章搭桥法………………………………………………………………………….23
第4 章“化积为方”法……………………………………………………………….38
第5 章等积变换法……………………………………………………………………45
第6 章拼摆法………………………………………………………………………….57
第7 章增积法………………………………………………………………………….78
第8 章消去法………………………………………………………………………….95
8.1 倍积法………………………………………………………………………..95
8.2 面积比例法………………………………………………………………..102
第9 章同积法………………………………………………………………………..111
第10 章射影法………………………………………………………………………131
10.1 作斜边垂线的证法……………………………………………………..131
10.2 作直角边垂线的证法…………………………………………………..139
第11 章长度法………………………………………………………………………142
第12 章方程法………………………………………………………………………152
第13 章平方差法……………………………………………………………………157
第14 章辅助圆法……………………………………………………………………163
第15 章相似转化法………………………………………………………………..172
第16 章间接证法……………………………………………………………………177
16.1 反证法…………………………………………………………………….177
16.2 同一法…………………………………………………………………….178
第17 章解析法………………………………………………………………………183
17.1 坐标法…………………………………………………………………….183
17.2 参数法…………………………………………………………………….191
17.3 三角函数法………………………………………………………………193
第18 章特例法………………………………………………………………………198
第19 章泛化法………………………………………………………………………208
附录A 证法出处汇总……………………………………………………………….232
附录B 勾股定理的365 种证明有用吗？……………………………………….243
参考文献………………………………………………………………………………….246
后记……………………………………………………………………………………….. 247
勾股定理是初等几何的著名定理之一 .它的内容为“直角三角形两直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形的面积” .即“如果直角三角形两直角边长度分别为 a和 b,斜边长度为 c,那么 a2 b2 = c2”.这个定理的内容简洁优美 ,证明方法也是五花八门 ,各式各样 .从古到今 ,无数数学家和数学爱好者都研究过这个定理的证明 ,得到了很多有趣的证法 .于是就有了一个问题 :勾股定理到底有多少种不同的证明方法 ?这个问题的答案在作者看来是无穷多种 ,比如从本书中介绍的十字分块法就可以得到任意数目的分块方案 ,每个分块方案都可以产生一个证法 .所以这个问题可以转化成 :勾股定理到底有多少种不同的有代表性的证明方法 ?下面是笔者在撰写本书前查找到的一些资料,它们的回答如下: 1.美国数学月刊杂志于 1896—1899年连载了一篇名为 New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem的论文 ,作者为 B. F. Yanney和 J. A. Calderhead,里面介绍了 104种勾股定理的不同证法.
2. E. S. Loomis撰写的 Pythagorean Proposition一书中共提到 367种证明方法 .不过据笔者仔细阅读和研究 ,该书的一些证法其本质上是相同的 ,个别证法甚至存在错误 ,有些证法仅是证明了等腰直角三角形的情形 ,因此不算完整的证明.即便如此,该书中有效的证明方法也接近 300个.
3.由王岳庭、程其坚编著 ,内蒙古人民出版社于 1985年出版的《定理的多种证明公式的多种推导》一书中介绍了勾股定理的 48种证法.
4.进入 21世纪以后 ,国外的数学爱好者建立了一个和勾股定理证法相关的网站 (参见文献 [3]).到本书定稿时,该网站已收录了 118种不同的证法.
本书在前人工作的基础上 ,对已有的勾股定理的证法进行整理和改编 ,去粗取精 ,并加入了 56种作者自己发现的证法 .最终本书给出了 365种不同证法.
考虑到不同层次读者的知识水平 ,本书的内容编排尽量遵循从易到难、从特殊到一般的原则 .以分块法开头 ,目的是从一些简单易懂的例子出发 ,让小学生都能动手进行图形的裁剪和拼接 ,加深对这个定理的直观印象 ,由此再演变出割补法和面积法 .对初中生而言 ,面积法和相似法都是可以接受的内容 ,所以一个初中学生经过努力和思考，应该可以看懂书中 2/3的内容 .最后以泛化法结尾 ,把勾股定理的结论一般化 ,符合一般读者的认知规律 .读者在阅读和思考的过程中可以不断地提升自己的数学修养 ,体会数学的抽象之美 .总之一句话 ,不论您是几何初学者还是数学大家,在这 365种证法中,总有一“款”适合您!需要指出的是 ,虽然本书的内容为勾股定理的各种证明，但本书的主要目的是挑战思维极限，这个极限并不是说去刻意追求证法的数量 ,而是要挑战读者的思考极限 ,能够将平面几何中的常见证明思路结合起来 ,学以致用 ,理解不同定理间的横向联系 ,达到融会贯通的目的 .如果读者在读完本书之后 ,开拓了自己的视野 ,体会到了思考的乐趣 ,甚至能在本书的启发之下得到新的证法 ,这将对读者和作者都是一件很有成就感的事 .这才是挑战自己思维极限的真正体现.本书定稿之前 ,由山西临县一中李有贵老师和哈尔滨师范大学数学科学学院 2014级黄小娟同学进行了仔细阅读和校对 ,修正了很多细节性错误 ,使本书得到了进一步完善 ,在这里向他们表示感谢 .由于笔者水平和精力有限 ,书中的疏漏、错误之处难免 ,敬请广大中学师生和数学爱好者提出宝贵意见.另外由于篇幅所限 ,有些证法只提供了证明的思路 ,省略了部分辅助线的作法及详细证明过程 ,给广大读者留下了无限的思考空间 .欢迎感兴趣的读者就阅读过程中的疑惑、想法、建议及书中的一些不完善之处与作者联系探讨 .作者的邮箱为: [email protected],或加入 QQ群:284462481.李迈新 2016年 9月
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第1章 分块法分块法的主要思想是为了证明两个图形的面积相等 ,先将两个图形分割成一些数目相同的图块 ,然后证明每组对应的图块面积相等 ,即可证明两个图形的总面积相等.在证明两个不规则的子图块全等时 ,往往需要用到下面的多边形全等判定条件.它可以看作是判断两个三角形是否全等的角边角定理在多边形中的推广.定理 1.1如图 1.1所示 ,设两个多边形 A1A2 ··· An和 B1B2 ··· Bn同时满足如下条件,则它们全等. (1)两个多边形的边数都为 n.
(2)各内角对应相等,即 ∠A1 = ∠B1, ∠A2 = ∠B2, ··· , ∠An = ∠Bn.
(3)有 n . 2条连续边对应相等,即 a1 = b1,a2 = b2, ··· ,an.2 = bn.2.
～证如图 1.1所示 ,由 a1 = b1,a2 = b2, ∠A2 = ∠B2可知 LA3A2A1 = LB3B2B1,故 ∠1= ∠1d,A1A3 = B1B3,又已知 ∠A4A3A2 = ∠B4B3B2,～所以 ∠2= ∠2d,于是由边角边定理知 LA1A3A4 = LB1B3B4,同理可证 ～～LA1A4A5 = LB1B4B5,依次类推直到 A1An.2An.1 = LB1Bn.2Bn.1.于是可知 A1An.1 = B1Bn.1, ∠α = ∠αd, ∠An.2An.1An = ∠Bn.2Bn.1Bn.d再由 ∠3= ∠3d, ∠4= ∠4d, ··· , ∠α = ∠α可知 ∠A2A1An.1 = ∠B2B1Bn.1,d再从 ∠A2A1An = ∠B2B1Bn可知 ∠β = ∠β.然后根据角边角定理知 ～LA1An.1An = LB1Bn.1Bn.故 An.1An = Bn.1Bn,AnA1 = BnB1.从而 A1A2 ··· An和 B1B2 ··· Bn对应角相等,对应边也相等,因此它们全等.在应用定理 1.1时,条件 (1)和条件 (2)往往是容易验证的 .所以本书中在判定两个图块全等时 ,一般只需证明它们满足条件 (3)即可 .参见后面的证法 1和证法 4.
图 1.1 1.1分块对应法分块对应法是最直观的分块法 ,它的要点是将两个图形分解成对应全等的子图块 ,并为每组对应的图块进行相同的编号 ,从而得到两个图形面积相等的结论 .在参考文献 [2]中有很多用分块对应法证明勾股定理的例子 ,比如下面的证法 1 ～证法 7,它们都非常有代表性,都可以看成弦图 (见第 6章“拼摆法”中的图 6.1)的变种.请读者自行体会其中的演变.证法 1如图 1.2(a)所示 .显然四边形 SMCF和 LHBR的四个角对应相等,以及 BH = AB = MC, BR = AC = FC,由定理 1.1知这两个四边形全等.再截取 AX = GM = b . a(AM = RtLMGS.= BC = a),易证 RtLAXT ～故 XP = b . (b . a)= a = BE(AP = BR = AC = b),再由 KP = BC和定理 1.1可知两个直角梯形 TXPK和 NEBC全等.综上所述 ,可知子图 (b)中编号相同的图块各自对应全等 ,即大正方形面积为两个小正方形面积之和,于是立得 c2 = a2 b2 .口证法 2如图 1.3所示,仿照证法 1易证各同编号的图块对应全等,于是立得 c2 = a2 b2 .口证法 3如图 1.4所示 ,其中图块 4为直角梯形 ,高和下底均为 a.仿照证
图 1.2法 1易证各同编号的图块对应全等,于是立得 8SABHK = 8Si = a 2 b2 = SBCDE SACF G.口i=1 图 1.3图 1.4证法 4如图 1.5(a)所示 ,截取 PW = CL,则有 BW = XL =. ～RtLBZW = RtLXBL,故 WZ = BL = RH.再截取 XU = VZ.作 UQ ⊥ XY ,则 RtLXUQ ～= RtLV ZE.于是有 UQ = ZE.XQ = VE =. QY = VD.又易知 BZ = BX = CP ,故 BE . BZ = CD . CP ,得
～ZE = PD =. RtLZEV = RtLP DJ =. PJ = VZ = XU.再考虑到 BJ = AB = LR,于是可得 LR.LX .XU = BJ .BW .PJ =. UR = P W.图 1.5现在可知两五边形 PDV ZW和 UQY HR有三组连续边对应相等 : RU = W P, UQ = P D, QY = DV ,又显然可以看出这两个五边形的对应角相等 ,于是根据定理 1.1知它们全等.类似可证子图 (b)中其他编号相同的图块对应全等,最后可得 c2 = a2 b2 .口证法 5如图 1.6(a)所示 ,截取 BU = CP , SZ = QU,仿照证法 4可知 BP QU = c,于是 LZ = BP ,再考虑到 ZV = UE = PD, LW = CP = BU,便可根据定理 1.1知五边形 LZV Y W和 BP DQU全等.易证 TL = AC = CF , KL = RC,根据定理 1.1知四边形 KLT X和 RCF M全等.又易证子图 (b)中其他同编号的图块对应全等,故 c2 = a2 b2 .口证法 6如图 1.7(a)所示 ,作 KP I AC交 CR于 X,显然 CX = AK = BH,于是 CXHB是平行四边形,故 XHIBCIAN.从而 ∠PXH = ∠CAN = 90. .= CT ,可知 RtLPXH ～再考虑到 PX = RtLTCB.
图 1.6图 1.7现在截取 BZ = CT,XU = WZ,再仿照证法 4可证子图 (b)中其他同编号的图块对应全等.于是可得 SABHK = 87Si = SACFG SBCDE .口i=1 证法 7如图 1.8(a)所示,截取 KL = CT , BP = CN,并将两直角边上的正方形按子图 (b)进行分块和编号 .然后在子图 (c)中作内正方形 ABHK,截
取 AX = KM, CI = HN.再将正方形 ABHK按子图 (d)进行分块和编号.图 1.8容易验证子图 (b)和 (d)中相同编号的图块对应全等,故 SABHK = 88Si = SACFG SBCDE .口i=1 下面的证法 8利用角分线进行分块,别有一番情趣.证法 8如图 1.9(a)所示 ,作 AB的三条平行线 GY , RP和 EX.易知 ∠10 = ∠4, ∠6= ∠9,再由 AC = FG可知 LGF Y ～= LCAR.现在作 CL平分 ∠ACB,则 CLIAF IBD.且 ∠5 = 45. = ∠7=. CA = AM,再考虑到 ∠1= ∠3, AK = AB,可知 LAKM ～= LABC,于是 ∠AMK为直角,同理可证 NH ⊥ BN.设 SM和 NT分别为 ∠AMK和 ∠BNH的平分线,则由 ∠8 =45. = ∠4, ∠6= ∠3= ∠1, AM = LCAR.= AC可知 LAMS ～同理可证 LHNT ～= LCAR.综上所述 ,我们就证明了子图 (b)中所有编号为 1的三角形彼此全等 .类似可证子图 (b)中其他同编号的三角形彼此全等,于是由子图 (a)和 (b)立得
SABHK =2 84Si = SACF G SBCDE.口i=1 历史上还出现过和图 1.9(b)类似的另外两个分块方案 ,即参考文献 [2]中的第 19个和第 24个几何证法 ,我们把它们集中到图 1.9的子图 (c)和 (d)中,使读者有一个更全面的了解.图 1.9下面看一个利用正方形的对角线 (其实也是角分线 )进行分块的例子 ,即证法 9.证法 9如图 1.10(a)所示,截取 GM = CL = a.易证 ALNM和 XZY W都是边长为 b . a的正方形 ,所以它们面积相等 .再从 ∠2= ∠4= ∠5和
∠2 ∠1 = 90. , ∠5 ∠6 = 90.可知 ∠1= ∠6.现在截取 KS = b. a = MN,再由 MF = AB = ∠KSH可知 LFMN ～= KH及 ∠MNF = 135. = LHKS.再截取 BR = b . a,同理可证 LABR ～= LF LN.图 1.10综上所述 ,我们证明了子图 (b)中所有编号为 2的三角形彼此全等 .类似可证子图 (b)中其他同编号的图块对应全等,于是由子图 (a)和 (b)立得 SABHK = 2(S1 S2 S4) S3 = SACF G SBCDE.口 1.2镶嵌法前一节介绍的分块方案都是历史上比较经典的案例 ,体现了数学爱好者的智慧 .到了 21世纪 ,随着计算机技术的发展 ,人们又发现了用计算机批量生成勾股定理证明方法的途径.在参考文献 [6]中就描述了这样一个新颖的思路 :构造两种不同的正方形瓷砖,边长分别为 a和 b.把它们按图 1.11所示的方式进行摆放,显然可以铺满一个无穷平面 .现在再构造一个边长为 c的瓷砖 ,把它随机地放到平面上的任意位置 ,那么随着瓷砖 c每放到任何一个不同的位置 ,都可以得到一个不同的分块证法.这个思路的英文原名是“Tessellation”,中文可以理解为“镶嵌” ,这即是本节名称的来源. 在参考文献 [4]对应的网址中有一个镶嵌法的计算机动画程序 .下面的图 1.11 ～图 1.19介绍了该程序的不同演示效果.证法 10如图 1.11所示, W、X、Y、Z分别是四个大正方形的对称中心 ,将它们连接起来 ,显然 bb ( b LX = = b, LW = WP . LP = a .22 2 2 b = a.故 XW = c.类似可知 MY = b = LX, MX = a = LW，= RtLXWL.故 RtLY XM ～得 YX = XW , α β = α γ = 90. ,知 XY ⊥ XW .类似可证 WZ = YZ = XY .故 WXY Z是边
长为 c的正方形.易知 ① S1 = 14 b2 .于是立得 图 1.11c 2 = SWXY Z = S2 4S1 = a 2 b2 .口下面将图 1.11中的正方形 c向右平移 ,使其两条边分别过最右侧的小正方形的两个相邻顶点,即可得到图 1.12的分块方案,详见证法 11.证法 11如图 1.12(a)所示 , A、B、C、M分别是三个小正方形的顶点 , AB交 CM于 W点.然后截取 NL = a, TN交 BL于 Z点.用类似过程可作出 X点和 Y点,易证 RtLABC ～= RtLBLN.= RtLCMB ～图 1.12①从正方形的对称中心作两条相互垂直的直线 ,必四等分正方形的面积. =
RtL理可证 又 和 = = = = = = = = = = 合, S2 S4 = = = = = =
图 1.13图 1.14
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