线性代数

随着高等教育的大众化，高校学生的层次也在发生变化，高校也制定了相应层次的培养计划及培养目标。线性代数的特点是概念多、定理多、内容抽象、计算量大，为了教材内容的系统性，传统的教材很难避免上述几个特点。本书主要针对非数学少学时专业的或者数学基础相对薄弱的读者。本书中的概念的英文注释很精准，适合有需要的学生对照参考使用。 

本书包含矩阵、行列式、线性方程组、向量、特征值与特征向量、二次型等内容.各章的每一节后都配有习题，书末附有习题参考答案.本书还给出了一些比较简单的线性代数应用问题.
本书的读者对象为高等院校非数学专业的学生，也可供教师参考或者自学者阅读.

张勤修，成都中医药大学耳鼻喉科教授，博士生导师，成都中医药大学附属医院主任医师。现任成都中医药大学附属医院副院长、耳鼻咽喉科主任、*重点学科耳鼻眼口科学专业带头人、国家中医药管理局重点专科主任；兼任四川省科技青年联合会理事、四川省青年联合会委员；2009年入选中央组织部“西部之光”访问学者，国家*学位与研究生教育评审专家；四川省卫生厅与四川省学术技术带头人后备人才；四川省卫生系统/四川省中医药系统/成都中医药大学高级职称评审专家；世界中联耳鼻咽喉口齿专业委员会常务理事、中国中西医结合学会围手术期专业委员会委员、中华耳鼻咽喉头颈外科薛慧青年委员、中华中医药耳鼻咽喉科学会委员、四川省中西医结婚耳鼻喉科学会常务委员、四川省耳鼻咽喉头颈外科学会青年委员、成都市耳鼻咽喉头颈外科专业委员会委员；《中国中西医结合耳鼻咽喉科杂志》、《西部医学杂志》等编委；《中医眼耳鼻喉科杂志》副主编。2009年作为全国15名候选人之一参选全国首届中华耳鼻咽喉头颈外科杰出青年获得第七名；2011年7月获得首届“四川省卫生厅有突出贡献中青年专家”称号。个人事迹入选《科学中国人》、《探索者之歌—四川省优秀青年科学家、优秀青年企业家创新历程》以及《首届四川省卫生厅突出贡献青年专家画册》等。

第1章矩阵1

1.1线性方程组的概念1

思考4

习题1.14

1.2矩阵的概念5

1.2.1矩阵的定义5

1.2.2几种特殊矩阵6

思考8

习题1.28

1.3矩阵的运算9

1.3.1矩阵的加法9

1.3.2数与矩阵的乘法10

1.3.3矩阵的乘法10

1.3.4矩阵的转置12

思考14

习题1.315

1.4矩阵的初等变换与初等矩阵16

1.4.1矩阵的初等变换16

1.4.2阶梯形矩阵19

1.4.3初等矩阵23

思考26

习题1.426

1.5矩阵的逆27

1.5.1逆矩阵的定义27

1.5.2矩阵可逆的条件30

1.5.3计算逆矩阵的初等行变换法31

思考34

习题1.534

1.6矩阵的分块35

1.6.1分块矩阵35

1.6.2分块矩阵的运算36

思考39

习题1.640

复习题一40

〖1〗目录〖1〗线性代数第2章行列式43

2.1行列式的定义43

2.1.1二阶行列式43

2.1.2三阶行列式45

2.1.3二、三阶行列式间的关系46

2.1.4n阶行列式48

思考50

习题2.151

2.2行列式的性质与计算52

2.2.1行列式的性质52

2.2.2行列式的计算57

思考59

习题2.259

2.3行列式的简单应用61

2.3.1矩阵可逆的行列式判别法61

2.3.2克莱姆法则63

思考67

习题2.367

复习题二68

第3章矩阵的秩与线性方程组70

3.1矩阵的秩70

3.1.1矩阵的秩的定义70

3.1.2矩阵的秩的计算72

思考74

习题3.174

3.2齐次线性方程组解的讨论74

思考78

习题3.278

3.3非齐次线性方程组解的讨论79

思考85

习题3.386

复习题三87

第4章向量90

4.1向量组及其线性相关性90

4.1.1n维向量90

4.1.2向量组的线性组合91

4.1.3向量组的等价94

4.1.4向量组的线性相关性95

思考99

习题4.199

4.2向量组的秩102

4.2.1向量组的极大无关组和秩的定义102

4.2.2向量组的秩和极大无关组的求法103

思考105

习题4.2105

4.3向量空间107

4.3.1向量空间的定义107

4.3.2向量空间的基与维数108

4.3.3向量在基下的坐标109

4.3.4过渡矩阵与坐标变换110

思考112

习题4.3112

4.4线性方程组解的结构114

4.4.1齐次线性方程组解的结构114

4.4.2非齐次线性方程组解的结构118

思考121

习题4.4121

复习题四122

第5章方阵的特征值与特征向量124

5.1特征值与特征向量124

5.1.1特征值与特征向量的概念124

5.1.2特征值与特征向量的计算125

5.1.3特征值与特征向量的性质128

5.1.4特征值与特征向量的简单应用129

思考131

习题5.1131

5.2相似矩阵与矩阵的对角化132

5.2.1相似矩阵132

5.2.2矩阵的对角化133

5.2.3矩阵对角化的简单应用136

思考140

习题5.2140

复习题五141

第6章向量的内积及二次型144

6.1向量的内积144

6.1.1向量的内积144

6.1.2正交向量组146

6.1.3格拉姆施密特正交化过程147

6.1.4正交矩阵149

思考150

习题6.1150

6.2实对称矩阵的对角化150

6.2.1实对称矩阵的特征值与特征向量150

6.2.2实对称矩阵正交相似于实对角阵151

思考153

习题6.2153

6.3二次型154

6.3.1二次型的基本概念及标准形式154

6.3.2用正交代换化二次型为标准形156

6.3.3正定二次型158

思考160

习题6.3160

复习题六161

习题参考答案163

索引180

参考文献182

线性代数是理工类、经管类等专业学生必修的重要数学基础课之一.在计算机技术日益发展和普及的今天，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，而线性代数则在其中提供了必要的数学基础.时代的发展，学生的变化，给线性代数教学提出了诸多问题，在多年的教学工作中，很多问题一直萦绕在编者脑际，例如: 如何使线性代数学起来容易些？如何让学生体会到线性代数的用途？这样，在对学生的牵挂中，对问题的思考中，这本凝聚集体智慧的教材终于付梓.和传统的线性代数教材相比，本教材有如下特点: （1） 由浅入深、由易推难，层层铺垫，注重概念和定理的直观描述，同时也体现了必要的推理.（2） 以线性方程组为中心，突出了矩阵工具这条主线.（3） 在教材中每章的开始，以问句的形式体现了这一章的主要内容，既有助于读者在学习中把握重点，统领全章，还起到了一种书与读者之间的沟通作用.（4） 在例题和习题的选择上，尽量减少计算量，降低抽象，以说明概念和方法为主要目的.（5） 针对一些内容，给出了一些应用问题，这些问题涉及密码学、化学、人口学、生态学等诸多领域，问题选择难易适度，解答详细.（6） 每一节后面都设置了思考题，便于学生对一些重要概念及方法的理解.（7） 每一节的课后习题既是对本节内容的理解与巩固，也为后续内容埋下伏笔，起到承前启后的作用.（8） 教材后附有主要概念的索引，便于读者查找.本教材第1、2章由何素艳编写，第3、4章由万丽英编写，第5、6章由曹宏举编写.本教材的出版得到大连外国语大学校级教材基金项目（2014）、辽宁省教育科学规划项目（JG12DB318）、*人文社会科学研究项目（15YJCZH005）等的资助.本教材的出版也得到大连外国语大学软件学院的关心与支持，同时感谢清华大学出版社陈明博士的帮助及建议.尽管作者力求完美，但由于水平所限，教材中难免会出现一些疏漏，希望读者提出宝贵意见和建议.
编者2016年8月

1、直观形象，插图众多，图文并茂；2、多学科知识交叉融合；3、基础与临床紧密结合。

第3章矩阵的秩矩阵的秩与线性方程组在第2章，我们曾利用克莱姆法则求解线性方程组，但克莱姆法则只适用于方程组的系数矩阵为方阵，且系数矩阵的行列式不为零的情况.若系数矩阵的行列式为零或系数矩阵不是方阵，如何判断线性方程组是否有解？在有解的情况下，究竟有多少解及如何去求解？本章将解决以上问题.本章主要讨论1. 何谓矩阵的秩？如何求矩阵的秩？2. 由系数矩阵的秩怎样判断齐次线性方程组解的情况？ 3. 由系数矩阵和增广矩阵的秩怎样判断非齐次线性方程组解的情况？
3.1矩阵的秩[*4/5]3.1.1矩阵的秩的定义定义3.1设A是一个m×n矩阵，在A中任取k行和k列(1≤k≤min{m,n})，位于这些选定的行和列的交叉位置上的k2个元素按原来的相对位置所组成的k阶行列式，称为A的k阶子式子式（k阶）（minor of order k），记作Dk.例如，在矩阵A=132020651014000-1中，选、三行和第三、四列，它们交叉位置上的元素所构成的二阶行列式2014是A的一个二阶子式；又如，选、二、三行和第二、三、四列，得A的一个三阶子式为320065014.显然，m×n矩阵A的k阶子式共有Ckm·Ckn个.定义3.2设A是一个m×n矩阵，若A中存在一个r阶子式Dr不为零，且所有的r 1阶子式Dr 1(如果存在的话)全为零，则称数r为矩阵A的秩（rank），记作r(A)=r .规定零矩阵的秩为零.由定义3.2易知，若A为m×n矩阵，则0≤r(A)≤min{m,n}.由于矩阵A的行列式与其转置AT的行列式相等，因此AT的子式与A的子式对应相等，所以r(AT)=r(A).[1]第3章矩阵的秩与线性方程组[1]线性代数从定义可以看出，矩阵A的秩就是A中不等于零的子式的阶数.特别地，若A是n阶方阵，由于A的n阶子式只有一个｜A｜，故当｜A｜≠0时，r(A)=n，当｜A｜=0时，r(A)＜n.由此可知，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数.因此，我们也把可逆矩阵称为满秩（full rank）矩阵，不可逆矩阵称为降秩（rank deficient）矩阵.
例1求下列矩阵的秩:（1） A=210842; (2) B=101210-32-5; (3) C=26023013-120004100000.解（1） 显然，A有一个二阶子式D2=1042=2≠0，且A没有三阶子式，所以r(A)=2.（2） 因为B只有一个三阶子式，就是｜B｜，且｜B｜=101210-32-5=2≠0，所以B可逆，且r(B)=3.（3） C是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，即C的所有的四阶子式全为零，而以非零行的非零首元素所在的行和列交叉位置上的元素构成的三阶子式为D3=26201-1004=8≠0，所以r(C)=3.由此可以看出，阶梯形矩阵的秩等于矩阵的非零行的行数.
3.1.2矩阵的秩的计算由例1可以看出，对于一般的矩阵，当行数和列数较多时，按定义求秩比较麻烦.然而对于阶梯形矩阵而言，它的秩就等于非零行的行数，一看便知，无需计算.因此自然想到利用初等变换可将矩阵化为阶梯形矩阵，但两个等价矩阵的秩是否相等呢？下面定理对此做出了肯定的回答.定理3.1初等变换不改变矩阵的秩.证明先证矩阵A经过一次初等行变换变为矩阵B，则r(B)≥r(A).设r(A)=r，且A的某个r阶子式D≠0.当ArirjB或AkriB时，在B中总能找到与D相对应的r阶子式D1，使D1=D，或D1=-D，或D1=kD，即D1≠0，从而r(B)≥r.当Ari krjB时，可分以下三种情况讨论: （1） D中不含第i行；（2） D中同时含有第i行和第j行；（3） D中含第i行但不含第j行.在第（1）种情况下，很容易在B中找到与D对应的子式D1，此时D1=D≠0，从而r(B)≥r.在第（2）种情况下，在B中也能找到与D对应的子式D1，即D1=αi kαj
αj，由2.2节行列式的性质5知D1=D≠0，从而r(B)≥r.在第（3）种情况下，在B中找到的与D对应的子式D1=αi kαj，由2.2节行列式的性质4知D1=αi kαj=αi kαj=D kD2，若D2=0，则D1=D≠0，从而r(B)≥r，若D2≠0，由D=D1-kD2≠0知，D1和D2不同时为0，所以，在B中存在r阶非零子式D1或D2，从而r(B)≥r.以上证明了矩阵A经过一次初等行变换变为矩阵B，则r(B)≥r(A).由于矩阵B经过一次初等行变换也可变为矩阵A，故也有r(A)≥r(B).因此r(A)=r(B).同理可知，经过有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.若矩阵A经过初等列变换变为矩阵B，则相当于AT经过初等行变换变为BT，由以上证明知r(AT)=r(BT)，又r(A)=r(AT)，r(B)=r(BT)，因此r(A)=r(B).综上知，初等变换不改变矩阵的秩.■上述定理也可叙述为，若AB，则r(A)=r(B).由定理1.9的（3）及定理3.1可得推论1.推论1若矩阵P,Q可逆，则r(PAQ)=r(A).

例2求矩阵A=11141-13-221353154的秩.解对矩阵A实施初等行变换，化为阶梯形矩阵: A=11141-13-221353154r2-r1r3-2r1r4-3r111140-22-60-11-30-22-8r2×-12111401-130-11-30-22-8r3 r2r4 2r2111401-130000000-2r3r4111401-13000-20000=B,阶梯形矩阵B有3个非零行，即r(B)=3，所以r(A)=3.思考1. 若A是m×n矩阵，则A的秩可能为多少？2. 根据矩阵的秩的定义，下面两个结论成立吗？（1） r(A)≥rA中存在一个r阶子式不等于零；（2） r(A)≤rA的所有r 1阶子式都等于零.习 题 3.1１. 求下列矩阵的秩: (1) A=12323-5472;(2) A=1234-1-1-4-234117;(3) A=13-2202-13-2015;(4) A=3603-2320012-4.2. 设矩阵A=1-13-21-32-615-11031c 2c，已知r(A)=3，求c的值.3. 设A=11k1k1k11，问k满足什么条件，可使(1) r(A)=1; (2) r(A)=2; (3) r(A)=3.4. 设A,B为同型矩阵，证明: (1) max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A) r(B); (2) r(A±B)≤r(A) r(B).3.2齐次线性方程组解的讨论设齐次线性方程组a11x1 a12x2 … a1nxn=0a21x1 a22x2 … a2nxn=0
am1x1 am2x2 … amnxn=0,其矩阵形式为Ax=0,其中A=a11a12…a1na21a22…a2n
am1am2…amn为系数矩阵，x=x1x2
xn为未知数列向量.因为齐次线性方程组Ax=0一定有零解，于是，对齐次线性方程组，我们需要讨论何时只有零解，何时有非零解，在有非零解的情况下怎样表示出它的非零解.定理3.2n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是其系数矩阵的秩r(A)＜n.证明（必要性）设方程组Ax=0有非零解，要证r(A)＜n.用反证法，假设r(A)不小于n，即r(A)=n，则A中一定存在一个n阶子式D≠0，于是由克莱姆法则知，此n阶子式D所对应的n个方程只有零解，所以原方程组只有零解，这与已知条件方程组有非零解矛盾，故r(A)＜n.（充分性）记r(A)=r＜n，要证明方程组Ax=0有非零解.因为r(A)=r＜n，所以将A化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵中有r个非零行，将非零行的非零首元素所对应的未知量称为固定未知量固定未知量（leading variables），其余未知量称为自由未知量（free variables）.而固定未知量的个数为r，从而知道其有n-r个自由未知量.任取一个自由未知量为1，其余自由未知量为0，即可得方程组的一个非零解.■推论n元齐次线性方程组Ax=0只有零解的充要条件是其系数矩阵的秩r(A)=n.
例1求齐次线性方程组x1 x2 x3 x4=0x1 2×2 3×3=02×1 3×2 4×3 x4=03×1 4×2 5×3 2×4=0的解.解对系数矩阵实施初等行变换，得A=1111123023413452r2-r1r3-2r1r4-3r11111012-1012-1012-1r3-r2r4-r21111012-100000000r1-r210-12012-100000000,由于r(A)=2＜4，故方程组有非零解，显然与原方程组同解的方程组为x1-x3 2×4=0x2 2×3-x4=0，即x1=x3-2x4x2=-2×3 x4，令自由未知量x3=c1,x4=c2，可得通解x1=c1-2c2x2=-2c1 c2x3=c1x4=c2(c1,c2为任意常数）.  上面的解包含了该方程组的所有解，通常称其为方程组的通解（general solution）.
例2求齐次线性方程组x1 2×2-x3=0-x1 x2-2×3=02×1 x2 3×3=0x1 5×2-4×3=0的解.解对系数矩阵实施初等行变换，得A=12-1-11-221315-4r2 r1r3 2r1r4-r112-103-30-3503-3r3 r2r4-r212-103-3002000，由于r(A)=3，故方程组只有零解，即x1=0,×2=0,×3=0.
例3已知齐次线性方程组x1 2×2 λx3=02×1 5×2-x3=0x1 x2 13×3=0有非零解，求λ的值.解对系数矩阵实施初等行变换，得A=12λ25-11113r3r1111325-112λr2-2r1r3-r1111303-2701λ-1313r2111301-901λ-13r3-r2111301-900λ-4,因为方程组有非零解，故r(A)＜3，则必有λ-4=0，即λ=4，所以，当λ=4时，方程组有非零解. 此题也可利用定理2.5的推论2，计算｜A｜=0，得λ=4.
例4（化学方程式的配平）化学实验的结果表明，丁烷（C4H10）燃烧时将消耗氧气（O2），并产生二氧化碳（CO2）和水（H2O），该反应的化学方程式具有下列形式:x1C4H10 x2O2x3CO2 x4H2O.要使该化学方程式平衡，求正整数x1,x2,x3,x4，使上式两端的C、H、O的原子数目对应相等.解要使化学方程式两端C、H、O的原子数目对应相等，需满足4×1=x310x1=2x42x2=2×3 x4，即4×1-x3=010×1-2×4=02×2-2×3-x4=0.此方程组为四元齐次线性方程组，对其系数矩阵实施初等行变换，得A=40-101000-202-2-15r1,2r2200-502000-402-2-1r2-r1200-50005-402-2-1r2r3200-5002-2-1005-4r1 r3r2 25r32000-4020-135005-4120r1,12r2,15r3100-15010-1310001-45,得同解方程组x1=15x4x2=1310x4x3=45×4，其中x4为自由未知量，因为化学方程式的系数为正整数，取x4=10,得x1=2，x2=13，x3=8，故该化学方程式为2C4H10 13O2=8CO2 10H2O.如果上面方程式的每个系数乘以正整数，该方程式仍然是平衡的，但一般情况下，化学平衡方程式的系数都采用小正整数.思考若A是m×n矩阵，且m＜n，则齐次线性方程组Ax=0是否一定有非零解？习 题 3.21. 判断下列结论哪些是正确的，哪些是错误的，并说明理由.（1） n元齐次线性方程组Ax=0总有解； （2） 设A为n阶方阵，若有两个不同的列向量u,?瘙經满足Au=A?瘙經,则r(A)=n；（3） 设A为n阶方阵，若A中有两行元素对应成比例，则Ax=0有零解；（4） 设A为m×n矩阵，若r(A)=r＜n，则齐次线性方程组Ax=0一定有非零解，且自由未知量的个数为n-r个；（5） 设A为方阵，若有非零向量x满足Ax=5x，则｜A-5E｜=0.2. 求下列齐次线性方程组的解: (1) x1-3×2 2×3=02×1-5×2 3×3=03×1-8×2 2×3=0;(2) x1-x2 x4=0x1-2×2 x3 4×4=02×1-3×2 x3 5×4=0;(3) x1-2×2 3×3-4×4=0x2-x3 x4=0x1 3×2-3×4=0x1-4×2 3×3-2×4=0;(4) x1 x2 x3 x4 x5=03×1 2×2 x3 x4-3×5=0x2 2×3 2×4 6×5=05×1 4×2 3×3 3×4-x5=0.3. 设A=12-24t33-11，B为三阶非零矩阵，且AB=O，求t.4. 当k为何值时，齐次线性方程组x1 x2 kx3=0x1 kx2 x3=0kx1 x2 x3=0有非零解？并求其通解.5. （化学方程式的配平）硫化硼(B2S3)与水(H2O)剧烈反应，生成硼酸(H3BO3)和硫化氢气体(H2S)，该反应的化学方程式具有下列形式:x1B2S3 x2H2Ox3H3BO3 x4H2S.要使该化学方程式平衡，求正整数x1,x2,x3,x4，使上式两端的B、S、H、O的原子数目对应相等.3.3非齐次线性方程组解的讨论设非齐次线性方程组a11x1 a12x2 … a1nxn=b1a21x1 a22x2 … a2nxn=b2
am1x1 am2x2 … amnxn=bm，