高等数学（经管数学）（下册）

本书定位于应用型本科经济管理类专业的”高等数学”课程教材，紧扣专业培养目标，在梳理和精简传统”高等数学”知识系统的基础上编写而成。全书主要内容包括： 空间解析几何，多元函数的微分及其应用，重积分，级数，常微分方程与差分方程。每章后附带大量的习题，书后附带习题答案。

第1章　空间解析几何……………………………………………………………………… 1
1.1　空间直角坐标系………………………………………………………………… 1
1.1.1　空间直角坐标系………………………………………………………… 1
1.1.2　空间中的点坐标………………………………………………………… 2
1.1.3　空间中两点间的距离…………………………………………………… 2
1.2　曲面及其方程…………………………………………………………………… 4
1.2.1　平面及其方程…………………………………………………………… 4
1.2.2　曲面及其方程…………………………………………………………… 5
第2章　多元函数的微分及其应用……………………………………………………… 12
2.1　多元函数的基本概念…………………………………………………………… 12
2.1.1　点集和邻域…………………………………………………………… 12
2.1.2　多元函数的概念……………………………………………………… 13
2.1.3　多元函数的极限……………………………………………………… 13
2.1.4　多元函数的连续性…………………………………………………… 15
2.2　偏导数…………………………………………………………………………… 17
2.2.1　偏导数的定义及其计算……………………………………………… 17
2.2.2　高阶偏导数…………………………………………………………… 20
2.3　全微分…………………………………………………………………………… 22
2.3.1　全微分的定义及计算………………………………………………… 22
2.3.2　全微分在近似计算中的应用………………………………………… 26
2.4　多元复合函数的求导法则……………………………………………………… 27
2.4.1　复合函数的中间变量均为一元函数的情形………………………… 27
2.4.2　复合函数的中间变量均为多元函数的情形………………………… 28
2.4.3　复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形………… 28
2.4.4　复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量的情形…… 29
2.5　隐函数的求导公式……………………………………………………………… 30
2.6　多元函数的极值及其求法……………………………………………………… 33
2.6.1　多元函数的极值……………………………………………………… 33
2.6.2　条件极值　拉格朗日乘数法………………………………………… 35
2.6.3　函数的值和小值……………………………………………… 36
第3章　重积分…………………………………………………………………………… 38
3.1　二重积分………………………………………………………………………… 38
3.1.1　二重积分的概念……………………………………………………… 38
3.1.2　二重积分的性质……………………………………………………… 41
3.2　二重积分的计算………………………………………………………………… 43
3.2.1　利用直角坐标计算二重积分………………………………………… 43
3.2.2　利用极坐标计算二重积分…………………………………………… 48
3.3　二重积分的应用………………………………………………………………… 53
3.3.1　立体体积……………………………………………………………… 53
3.3.2　平面图形的面积……………………………………………………… 54
3.3.3　曲面的面积…………………………………………………………… 55
?3.3.4　质心………………………………………………………………… 56
?3.3.5　转动惯量…………………………………………………………… 57
3.4　三重积分………………………………………………………………………… 59
3.4.1　三重积分的概念与性质……………………………………………… 59
3.4.2　三重积分的计算……………………………………………………… 59
第4章　级数……………………………………………………………………………… 65
4.1　常数项级数的概念与性质……………………………………………………… 65
4.1.1　常数项级数的概念…………………………………………………… 65
4.1.2　常数项级数的基本性质……………………………………………… 67
4.2　常数项级数的审敛法…………………………………………………………… 71
4.2.1　正项级数及其审敛法………………………………………………… 71
4.2.2　交错级数及其审敛法………………………………………………… 76
4.2.3　收敛与条件收敛………………………………………………… 78
4.3　幂级数…………………………………………………………………………… 79
4.3.1　函数项级数的概念…………………………………………………… 79
4.3.2　幂级数及其收敛性…………………………………………………… 80
4.3.3　幂级数的运算及性质………………………………………………… 83
4.4　函数展开成幂函数……………………………………………………………… 86
4.4.1　泰勒级数……………………………………………………………… 86
4.4.2　初等函数的幂级数展开……………………………………………… 88
第5章　常微分方程与差分方程………………………………………………………… 93
5.1　微分方程的基本概念…………………………………………………………… 93
5.2　可变量分离的微分方程………………………………………………………… 96
5.2.1　可分离变量的微分方程……………………………………………… 96
5.2.2　齐次微分方程………………………………………………………… 98
?5.2.3　可化为齐次方程的微分方程……………………………………… 100
5.3　一阶线性微分方程…………………………………………………………… 102
5.3.1　一阶线性微分方程…………………………………………………… 102
5.3.2　伯努利方程…………………………………………………………… 106
5.4　可降阶的高阶微分方程……………………………………………………… 107
5.4.1　y(n)=f(x)型的微分方程…………………………………………… 107
5.4.2　y″=f(x,y′)型的微分方程………………………………………… 108
5.4.3　y″=f(y,y′)型的微分方程………………………………………… 109
5.5　线性微分方程解的结构……………………………………………………… 110
5.5.1　二阶齐次线性微分方程解的结构…………………………………… 111
5.5.2　二阶非齐次线性微分方程解的结构………………………………… 112
5.6　二阶常系数线性微分方程…………………………………………………… 114
5.6.1　二阶常系数齐次线性微分方程……………………………………… 115
5.6.2　二阶常系数非齐次线性微分方程…………………………………… 117
5.7　差分方程……………………………………………………………………… 123
5.7.1　差分的概念…………………………………………………………… 123
5.7.2　差分方程的概念……………………………………………………… 124
5.7.3　线性差分方程解的基本定理………………………………………… 125
5.7.4　一阶常系数线性差分方程…………………………………………… 126
习题答案与提示…………………………………………………………………………… 130
参考文献…………………………………………………………………………………… 140

高等数学是普通高等院校本、专科各专业普遍开设的一门公共基础课,不但是培养学生的思维能力的重要方法,也是学生学习专业课的重要前提,更在培养应用型人才方面起着重要作用。在不断适应国家和社会发展要求的办学过程中,很多高校都将培养高素质的应用型、技能型人才作为学校的办学定位,为适应这一发展要求,经管类专业对基础课程尤其是数学类课程提出了新的要求,在坚持理论完整的情况下,还要保证其应用性、实用性。而目前的多数同类教材理论性过强,应用性较少,基于此种原因,我们组织了多位一线教师,根据多年对不同专业学生讲授该课程所积累的经验,针对应用型人才的培养目标和学生的学习特点编写了本教材。
本教材根据数学与统计学教学指导委员会关于“经济管理类本科数学基础教学基本要求”,参考各经管类专业对该课程知识点的需求情况编写而成。编写时,我们以*的教学大纲为准绳,以专业要求为目标,侧重于必要的理论、全面的知识及在经济中的应用。通过本教材的学习使学生系统地获得微积分、无穷级数和常微分方程的基本知识、基本理论和基本方法,培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及创新能力,为学习后继课程和专业课程奠定必要的数学基础。更重要的是使学生能运用所掌握的高等数学特有的思维方式和处理问题的思想方法去分析、解决现实世界中的各种实际问题。
本教材叙述深入浅出、结构严谨、知识系统、难度适中、经管应用突出,可读性强,便于教与学,充分体现了经济数学、应用数学的特点,在内容设计方面淡化数学在纯理论方面的教学,增强数学在经济和管理方面的应用教学;在一些数学概念上采用描述性叙述,淡化理论证明,降低概念理解的难度,同时增加部分应用型的例题、习题,使经管类学生能更好地应用数学知识理解专业知识,体现经济数学的应用性。
本教材适合作为普通高等院校经济管理类相关本科专业或对知识面要求较高的专科专业的公共基础课程教材使用,也可作为大学本、专科理工类学生高等数学课程的教学参考书,还可供成教学院或申请升本的专科学校选用。
本教材具有以下特点:
(1)在满足教学基本要求前提下,紧紧围绕应用型教学的要求,简化理论推导,增强数学语言的形象生动性。
(2)突出经济数学特色,学术术语多采用经济类语言,改变现有经管类教材中多采用工科体系语言叙述的形式。
(3)突出应用数学特色,注重应用与理论的统一,增加了数学在经济中应用的例子,培养学生解决实际问题的能力。
(4)突出基本教学与教学辅导相结合的特色。例题解答详细,使学生能理解解题思路,尽量减少学习障碍,每节均配有适量习题,可以帮助学生巩固所学的有关理论和方法。
全书由烟台南山学院孔德斌统稿定稿。全书在编写过程中得到了渤海大学吕志远教授、山西广播电视大学大同分校王捷副教授的热心指导,提出了具体的意见和建议,我们在此表示诚挚的谢意。
由于编者水平有限,书中难免存在错误或不尽如人意之处,敬请专家和读者不吝批评、赐教。
编　者
2015年12月