高等数学教程 上册 第2版

本书的编写汲取国内外众多优秀教材之长，在透彻研究的基础上，以尽可能简单的方式来呈现微积分知识.本书是课本与网络（手机）相结合的立体教材.网络（手机）支持重点知识讲解、图形演示、习题答案或提示、扩展阅读、讨论等移动学习功能.本套教材分为上、下册，并配有《高等数学教程例题与习题集》.本书是上册，内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理及其应用、不定积分、定积分及其应用.本书各节末均配有分层习题，各章末还配有综合习题.书后附录的“研究与参考”，对若干重点问题进行了细致的分析.本书为高等院校理工科类各专业学生的教材，也可作为自学或考研的参考书.

目录序第2版前言第1版前言第1章函数11函数的概念12几种具有特殊性质的函数13反函数14函数的表示15基本初等函数16复合函数17极坐标系与极坐标方程18常用符号19关于命题综合习题1第2章极限与连续21数列无穷小与极限习题2122函数无穷小与极限221函数在一点的极限222函数在无穷远的极限223极限的性质224无穷大习题2223极限的运算法则习题2324极限存在准则与两个重要极限习题2425函数的连续性251函数连续性的概念252函数的间断点253闭区间上连续函数的性质习题2526无穷小的比较习题26综合习题2第3章导数与微分31导数的概念习题3132导数的计算321导数的四则运算法则322反函数的求导法则323复合函数的求导法则324高阶导数325几种特殊的求导法326函数的相关变化率习题3233微分331微分的定义332微分的运算法则333微分在近似计算中的应用习题33综合习题3第4章微分中值定理及其应用41费马引理与函数最值习题4142罗尔中值定理及其应用习题4243拉格朗日中值定理及其应用431拉格朗日中值定理432函数的单调性习题4344极值与凹凸性441函数的极值及其求法442曲线的凹凸性及拐点443函数图形的描绘习题4445单调性与不等式习题4546柯西中值定理与洛必达法则习题4647泰勒公式习题4748曲率481弧长的微分482曲率及其计算公式483曲率圆与曲率半径习题48综合习题4第5章不定积分51不定积分的概念和性质习题5152换元积分法习题5253分部积分法习题5354几种特殊类型函数的不定积分541有理函数的积分542简单无理函数的积分543三角函数有理式的积分习题54综合习题5第6章定积分及其应用61定积分的概念与性质611定积分的概念612定积分的几何意义613定积分的性质习题6162微积分基本定理习题6263定积分的换元积分法和分部积分法631定积分的换元积分法632定积分的分部积分法习题6364广义积分641无穷限的广义积分642无界函数的广义积分*643广义积分的审敛法习题6465定积分的几何应用651平面图形的面积652体积问题653平面曲线的弧长习题6566定积分的物理应用661变力沿直线所做的功662液体的静压力663引力习题66综合习题6附录研究与参考参考文献

第2版前言高等数学（微积分）是学习如何解决问题的一门课程.尽管有些人可能在工作之后再也用不到微积分，但是他们仍然可以从微积分的学习中受益，因为学习微积分的好处不仅体现在专业上，而且还体现在智力上.我们编写本书的目的正是期望读者能够更顺利地完成微积分的学习.本书延续了第1版逻辑简约，语言科学、平易的优点，取国内外众多优秀教材之长，秉承透彻研究、简单呈现的原则，对微积分的内容及叙述方式做了进一步的梳理.　　本次修订的最大变化是增加了网络支持功能，这是传统教材与现代化教育手段有机结合的一次尝试.网络（手机）视频、音频或文本支持重点知识讲解、图形演示、习题答案或提示、扩展阅读、讨论等，实现移动学习的功能，并将不断升级、扩展和完善.本次修订得到了众多支持与帮助.感谢吴斌副校长、郭福处长.感谢黄秋梅、邢秀侠、韩敏、彭娟、张真宁、杨蓉老师及大数数学教育教学研究中心的所有同事.北京服装学院谢伟献、董庆华、刘蓉、侯志萍老师提出了习题分级及其他有益的建议，并完成了习题分级工作，在此表示感谢.　　对关心并支持我们的朋友和出版社的朋友们一并表示感谢！ 　　由于编者水平所限，对书中不妥之处，敬请广大读者批评指正.编者2016年春于北京工业大学高等数学教程上册第2版前言第1版前言高等数学（微积分）是大学各工科专业最重要的公共基础课程，具有周期长、课时多、内容多、难点多等特点.一套好的教材应该用科学、平易的语言阐明微积分的主要内容，并且应该易教易学.为了实现这一目标，我们长期致力于高等数学教材的建设工作，先后有范周田、张汉林、平艳茹、杨晓华、丁津、唐兢、王术、田鑫、张方、李贵斌、胡京兴、徐大川等十余位教师参与其中.在教材的写作过程中，我们有幸得到了林群院士的指导.林群院士指出：“擒贼先擒王，无穷小就是微积分的王.抓住了无穷小就可以学会微积分.”同时，我们学习了张景中院士的教育数学理论，即要“通过对数学本身的研究来化解数学的难点”，知识的结构与表达要做到“逻辑结构尽可能简单，概念引入要平易直观，要建立有力而通用的解题工具”.《高等数学教程》的写作充分借鉴了这些思想和理论.《高等数学教程》具有以下特点： 1化解障碍，平易衔接.极限理论是微积分理论的重要基础，也是微积分入门的主要障碍.我们首先从自变量的变化趋势出发，直观地介绍了三个基本的无穷小，然后用极限的εδ定义证明了无穷小的比较定理.以此为基础，我们从正面诠释极限理论，避开了极限定义中“颠倒因果关系”造成的学习困难.这样既能表达极限εδ语言的意境和作用，又和初学者已有的知识水平和思维习惯相适应，在一定程度上降低了极限理论的学习难度.2重点突出，难点分散.例如，中值定理是导数应用的理论基础，也是一元微积分教学的重点和难点，我们从便于学习者加深理解并掌握的角度对其进行了重新设计.每一节都只有一个重点或难点，从定理证明、思想方法、应用等多侧面由易到难进行介绍.3对重点概念或定理的表述更加科学，更加平易直观.例如，函数、不定积分和曲率等概念的表述，以及复合函数的导数公式、积分换元法、牛顿莱布尼兹公式的证明等.4突出数学的思想方法，用数学思想解决实际问题.例如，教材中借助求解常微分方程过程中经常使用的变量替换的思想，简化了二阶常系数线性微分方程的求解过程.又如，对坐标的曲面积分是为解决物理中的场论问题产生的，我们从物理问题出发建立对坐标的曲面积分的概念，并从概念中产生了计算方法.《高等数学教程》整套教材的写作得到了韩云瑞教授、李心灿教授、郭镜明教授等多位专家的热心支持与无私帮助，其中韩云瑞教授认真审阅了本书的全部书稿，李心灿教授审阅了部分书稿，并提出了许多宝贵意见.专家们广博深厚的知识、严谨治学的风范以及乐于助人的美德深刻地影响了我们.正是在他们的帮助和鼓励下本书才得以顺利完成，在此向他们表示崇高的敬意！ 在《高等数学教程》成书之际，诚挚感谢林群院士和张景中院士！ 感谢我校蒋毅坚副校长、教务处及数理学院的相关领导们长期以来对我们的关心和支持！ 对我们的同事，关心并支持我们的朋友和出版社的朋友们一并表示感谢！ 由于编者水平和时间所限，书中难免有不妥之处，敬请广大读者批评指正.编者2011年春于北京工业大学