科学与工程计算方法（第二版）

本书是“科学与工程计算方法”课程的配套教材，介绍了科学与工程计算中常用和基本的数值计算方法.

本书内容充实，重点突出，强调方法的构造与应用； 推导过程既重视理论分析，又避免过多的理论证明； 对每种方法都在计算机上编程实现，并给出真解、数值解和误差的曲面图，让读者有直观的感受.全书共9章，分别是： 两点边值问题的数值解法、刚性方程组的数值解法、偏微分方程的一般概念、抛物方程的差分格式、双曲方程的差分格式、对流扩散方程的差分格式，椭圆方程的差分格式、变分问题的近似计算方程、有限元方法.

    本书适合非数学专业的工科研究生或者计算数学专业高年级本科生学习使用.

第1章两点边值问题的数值解法
1.1两点边值问题
1.1.1电线上的小鸟
1.1.2化学反应的动力学模型
1．2几种经典方法
1.2.1导数逼近方法(有限差分法)
1.2.2基函数法
1.2.3配置法
1.2.4小二乘法
1.2.5打靶法
1．3非线性边值问题的数值解法
1．4其他边界条件的处理
1．5变分法
练习题
第2章刚性方程组的数值解法
2．1刚性方程组的基本概念
2．2刚性方程组的数值解法
2.2.1隐式RungeKuta法(隐式RK法)
2.2.2广义向后差分法
练习题
第3章偏微分方程的一般概念
3．1偏微分方程的定义
3．2典型方程的导出
3.2.1弦的振动方程
3.2.2热传导方程
3.2.3理想流体的力学问题
3．3定解问题及其适定性
3．4工程、经济和生物医学中的偏微分方程
3．5二阶线性方程的分类
练习题
附录一些著名的常用的偏微分方程
第4章抛物方程的差分格式
4．1预备知识
4．1．1微积分和线性代数基本概念回顾
4．1．2差分方法的基本概念
4．2三种古典差分格式
4.2.1简显式格式
4.2.2简隐式格式
4.2.3Richardson格式
4．3稳定性、相容性、收敛性
4.3.1稳定性
4.3.2相容性
4.3.3收敛性
4．4判别稳定性的Fourier分析方法
4.4.1简显式格式
4.4.2简隐式格式
4.4.3Richardson格式的稳定性
4．5常系数方程的其他差分格式
4.5.1CrankNicolson差分格式
4.5.2加权隐式格式
4.5.3三层显式格式
4.5.4三层隐式格式
4.5.5交替显隐式格式
4.5.6紧差分格式
4．6Richardson外推法
4．7变系数抛物方程的差分格式
4.7.1显式格式
4.7.2紧差分格式
4.7.3Keller盒式格式
4.7.4积分插值方法
4．8初边值问题的边界离散
4.8.1类初边值问题
4.8.2第二类或者第三类初边值问题
4．9高维抛物方程
4.9.1一般古典格式
4.9.2CrankNicolson格式
4.9.3交替显隐格式
练习题
第5章双曲方程的差分方法
5.1一阶常系数双曲方程简介
5.2几种显式差分格式
5.2.1迎风格式
5.2.2Lax格式
5.2.3LaxWendroff 格式
5.2.4跳蛙格式（LeapFog）
5.3Courant条件
5.4几种隐式差分格式
5.4.1简隐式格式
5.4.2CrankNicolson格式
5.4.3Wendroff格式
5.4.4紧差分格式
5.5一阶常系数双曲方程组的差分格式
5.5.1Lax格式
5.5.2LaxWendroff格式
5.5.3迎风格式
5.5.4Wendroff格式
5.5.5蛙跳格式
5.6二阶双曲方程的差分格式
5.6.1显式格式
5.6.2隐式格式
5.6.3加权格式
5.6.4紧差分格式
5.7等价方程组的差分格式
5.7.1LaxFriedrichs 格式
5.7.2LaxWendroff格式
5.7.3隐式格式
5.7.4CrankNicolson格式
5.8双曲方程（组）的边值问题
5.9高维双曲方程（组）
5.9.1二维一阶双曲方程
5.9.2二维一阶双曲方程组
5.9.3二维波动方程的差分格式
5.10变系数双曲方程的差分格式
5.10.1一阶变系数对流方程的差分格式
5.10.2变系数方程组
5.10.3变系数波动方程
练习题
第6章对流扩散方程的差分格式
6.1几种差分格式
6.1.1中心差分格式
6.1.2修正中心显式格式
6.1.3迎风格式
6.1.4Samarskii格式
6.1.5CrankNicolson格式
6.2特征差分方法
6.2.1线性插值的特征差分格式
6.2.2基于二次插值的特征差分格式
6.3数值耗散和数值色散
6.3.1介绍
6.3.2偏微分方程的耗散与色散
6.3.3差分格式的数值耗散和数值色散
练习题
第7章椭圆方程的差分格式
7.1几种差分格式
7.1.1五点差分格式
7.1.2九点格式
7.1.3积分方法的差分格式
7.2椭圆方程的边界离散处理
7.2.1矩形区域
7.2.2一般区域
7.3变系数椭圆方程
7.3.1直接差分方法
7.3.2有限体积法（积分差分方法）
7.4极坐标形式的差分格式
7.5多重网格法
练习题
第8章变分问题的近似计算方法
8.1古典变分问题的例子
8.2变分问题的等价问题
8.2.1二次函数的极值问题
8.2.2泛函极值问题中的基本概念和Euler方程
8.2.3泛函极值问题的等价问题
8.3变分问题的数值计算方法
8.3.1Ritz方法
8.3.2Galerkin方法
练习题
第9章有限元方法
9.1Lagrange插值函数
9.2微分方程的弱形式
9.3一维问题的有限元方法
9.3.1线性有限元空间
9.3.2有限元方程的生成
9.3.3一维高次有限元
9.4二维有限元方法
9.4.1三角线性有限元方法
9.4.2有限元方法例题
9.4.3有限元方法的实现
9.5二维矩形双线性元
9.6误差估计
9.6.1一维线性有限元的误差估计
9.6.2二维线性有限元的误差估计
练习题
参考文献

现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程.在科学的计算机化进程中，科学与工程计算作为一门工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展，微分方程的求解方法也得到了前所未有的发展和应用.求解方法总体上分为解析法和数值方法两大类，而绝大多数微分方程（特别是偏微分方程）定解问题都很难以使用解析形式来表示，本书主要关注数值方法.
本书为“科学与工程计算方法”课程的配套教材，书中主要讨论科学与工程研究中的数学建模，即得到微分方程的数学模型后，如何进行近似求解.国内这方面的优秀教材不少，但都存在理论陈述与应用分析之间的巨大鸿沟.科学与工程领域的工程师们在著书描述这些数值方法的时候，往往只关心如何在他们各自领域的应用，致使读者对数值方法基本原理的理解产生困难，妨碍他们对在其他领域应用的认知.另一方面，数学工作者撰写此类书时，只着重于理论分析而忽视应用方面的细节.比如，边界条件的处理、迭代法、软件的实施等细节往往被忽视.本书着力于以简短易懂的语言和方法介绍基本的计算方法，并兼顾应用.
由于科学与工程计算方法的前沿发展迅速，与版相比，本书的目标之一就是引领学生尽快进入本学科的前沿，因此本书在内容的广度和深度上有所取舍.有些传统的知识点在本书中不会特别详细的介绍，比如两点边值问题的数值解法、高维问题的数值解法等.纵观全书，本书将数值方法（差分法和有限元方法）的基本思想和数学软件联系在一起.通过对各种方法从理论上和实践上进行完整的描述，让读者更容易获取知识，进而帮助他们开发自己的应用程序或发展新的理论，也帮助从未接触过数值分析和编程的读者熟悉和掌握数值算法的分析技巧和相关编程技术.
基于目前本书受众以及北京理工大学学习本课程学生的实际情况反馈，本书的读者只需学过微积分和线性代数的知识即可.同时，在这些年的教学过程中，大部分同学一提到数学课程就头疼，一个字——“难”.所以本书再版的宗旨就是让读者有兴趣、有能力去阅读数学，让“高大上”的数学远离，让朴素有用的数学回归.本书会预留一些容易推导的细节给读者，鼓励读者补充那些被编者“遗忘的”（甚至“不会的”）细节作为课后习题.课后练习不是以往的“例行公事”或者“俗套化”的求解问题，而是要帮助读者理解概念和熟悉方法，循序渐进地诱导读者深入到数值方法的本质中去.
第二版增加的章节有： 第1章、第2章、3.4节、4.1节、6.3节、7.5节、9.2节等，同时，删除了版的第8章统计计算以及部分方法，其他变化相对较小的内容在这里不一一表述了.章节增加的主要原因有如下几点： 
① 基于学生的真实需求.比如第1章、第2章、6.3节的内容等，这些内容在硕士研究生的数值分析课程中基本不会涉及.在多年的一线教学中，经常遇到学生问到这些方面的知识，所以本次编写将它们增加进来，但只是简单介绍，旨在让读者初步地了解与以前课程所学知识的区别和联系.
② 源于课程生源结构的变化，由原来的机械与机电专业而扩展到所有理工科专业，于是在第3章的偏微分方程的数学建模中增加了许多工业、工程和经济方面的偏微分模型，也即增加了3.4节.
③ 加深读者对难点知识的理解.有些比较难懂抽象的知识点，学生总是知其然不知所以然.比如有限元方法，为了让读者更加易于理解，增加了9.2节和9.4.2节等，目的是为了解释为什么要这样考虑，或者为什么要继续下一步.
④ 尽量接近本学科的前沿.多重网格方法是近20年迭代求解重要的方法，于是增加了7.5节.差分格式的修正和创新离不开对原有差分格式的理论分析，因此数值色散关系是必不可少的工具，于是在讲授完抛物方程和双曲方程后，增加了此方面的内容，即6.3节.
除了正文的内容的增减外，课后习题也全部更换.编者参考了众多国外的文献后，重新编写了全书的所有习题.这些习题有助于读者深入理解，不再是例行公事般求解一个孤单的问题.此外，还应注意如下两点： ①很多学生在学习本课程之前，没有接触过任何偏微分方程和数学软件的课程，所以对方程的解一无所知.为了增加同学们的感性与理性认识，于是就有了如第1章的习题6类型的习题； ②有些习题的内容因课时所限，无法讲授，故安排在习题中，通过分步提示来帮助解决问题，让学生逐渐了解这些知识，比如，第3章习题9、习题10和第4章习题9等.习题是宝库，花费了编者大量的精力，值得读者去开采.
本书共分9章，由北京理工大学熊春光老师和中国人民武装警察部队学院李育安老师合作编写，各章内容如下： 
第1章和第2章讲述常微分方程的数值求解，分别介绍刚性问题和两点边值问题的数值求解方法，它们是先行课程涉及偏少或者几乎不讲述的内容，但非常有用.第1章两点边值问题的求解，简短地介绍了几种方法，有些方法可以认为是后面内容偏微分方程数值方法的特例，相当于偏微分方程数值方法的预热过程.第2章刚性问题的数值方法，简单罗列了隐式RungKuta法和广义向后差分法，是求解刚性问题的主要方法.
第3章基于大部分同学没有学习偏微分方程课程，讲述偏微分方程的起源，如何由实际问题导出经典方程，然后讲述偏微分方程的基本理论.为了让各专业的学生了解偏微分方程在他们各自专业中的应用，后再讲述工业与工程中出现的各种偏微分方程.
第4章到第7章，是本书的核心之一，主要讲述四大类的偏微分方程（抛物方程、双曲方程、对流扩散方程和椭圆方程）主要的数值求解方法——差分方法.介绍各种差分格式是如何精巧的构造出来的，各种方法的性质和特点以及如何在实践中应用.
第8章和第9章讲述有限元方法.第8章的变分法为第9章的有限元方法做准备工作，是必不可少的一章，有助于学生理解为什么要这样“做”有限元.第8章主要讲述变分法的基本概念、相关的近似计算方法以及它们的缺点.第9章介绍有限元方法的基本思想和几类特殊的有限元（线性有限元、双线性有限元以及二次有限元），后介绍有限元方法的收敛性.
全书各章内容相互独立，因此授课老师可以根据课时长短选取教学内容.使用本教材的课时建议（52~56学时）： 第1章（3学时）、第2章（2学时）、第3章（5学时）、第4章（8~10学时）、第5章（10学时）、第6章（6学时）、第7章（6学时）、第8章（4学时）、第9章（8~10学时）.
本书的再版编写历时两年，期间得到了北京理工大学研究生院和数学学院的大力支持，在此表示衷心感谢.特别地，编者要深深地感谢版的读者们，他们纠正了很多错误并提出了非常宝贵的意见，特别是哈尔滨工程大学的沈艳老师.另外，感谢李志荣重新调试了全书新增的程序.后，感谢清华大学出版社责任编辑的辛勤工作.
限于编者水平，书中定有不少错误，敬请读者指正.希望读者在使用本书时能反馈宝贵意见，不胜感激.
     
编者2015年6月