大学文科数学

《大学文科数学》可供高等学校纯文科专业、经济管理各专业选用，也可供其他相关专业选用或供报考相关专业的硕士研究生的读者参考. 

《大学文科数学》由一元微积分、多元微积分、微分方程及其应用、应用统计四部分组成.一元微积分、微分方程及其应用、应用统计可适用于建筑、园林、规划、社会、社工、新闻、广电、广告、法学、哲学、外语、翻译（以下简称纯文科）等专业的大学文科数学课程教学，参考学时为56~72课时.一元微积分、多元微积分、微分方程及其应用等适用于国商、英商、工管、行政等专业80左右课时的课程教学.《大学文科数学》讲解详尽、简明实用、例题丰富、兼容性强，每章节后配有适量的习题并附有参考答案.

 

目录
第1章函数、极限与连续1
1.1函数1
1.1.1集合及其运算1
1.1.2常量与变量2
1.1.3函数的概念2
1.1.4函数的简单性质3
1.1.5反函数5
1.1.6基本初等函数及其图像5
1.1.7复合函数8
1.1.8初等函数9
1.1.9函数关系的建立举例10
习题1.1 11
1.2极限的概念12
1.2.1数列的极限12
1.2.2函数的极限16
习题1.2 19
1.3极限的运算20
1.3.1极限的四则运算法则20
1.3.2两个重要极限22
习题1.3 25
1.4无穷小与无穷大26
1.4.1无穷小26
1.4.2无穷大26
1.4.3无穷小的比较28
习题1.4 29
1.5函数的连续性29
1.5.1函数连续和间断的概念29
1.5.2初等函数的连续性31
1.5.3函数的间断点32
1.5.4闭区间上连续函数的性质34
习题1.5 35
第2章导数与微分36
2.1导数概念36
2.1.1平面曲线的切线36
2.1.2瞬时速度37
2.1.3导数的定义38
2.1.4导数的几何意义39
2.1.5函数的可导性与连续性40
习题2.1 40
2.2函数的求导法则41
2.2.1基本初等函数的导数41
2.2.2导数的运算法则41
2.2.3隐函数和参变量函数的导数44
2.2.4高阶导数46
习题2.2 47
2.3函数的微分48
2.3.1微分的定义48
2.3.2函数可微的条件49
2.3.3微分的计算50
2.3.4微分与近似计算51
习题2.3 52
第3章导数的应用53
3.1中值定理53
3.1.1罗尔中值定理53
3.1.2拉格朗日中值定理54
3.1.3柯西中值定理56
习题3.1 57
3.2洛必达法则57
3.2.100型与∞∞型57
3.2.2其他类型的未定型59
习题3.2 60
3.3函数的单调性、极值与***小值61
3.3.1函数的单调性61
3.3.2函数的极值62
3.3.3函数的**值与*小值65
习题3.3 66
第4章不定积分68
4.1不定积分的概念与性质68
4.1.1原函数与不定积分的概念68
4.1.2不定积分的性质70
4.1.3基本积分公式71
4.1.4直接积分法72
习题4.1 73
4.2换元积分法74
4.2.1凑微分法74
4.2.2变量代换法78
习题4.2 81
4.3分部积分法82
习题4.3 84
第5章定积分及其应用86
5.１定积分的概念与性质86
5.1.1定积分问题举例86
5.1.2定积分的定义88
5.1.3定积分的性质90
习题5.1 92
5.2牛顿 莱布尼茨公式92
5.2.1积分上限的函数及其导数92
5.2.2牛顿 莱布尼茨公式94
习题5.2 95
5.3定积分的积分法96
5.3.1定积分的换元积分法96
5.3.2定积分的分部积分法98
习题5.3 98
5.4广义积分99
5.4.1无穷区间上的广义积分99
5.4.2被积函数有无穷型间断点的广义积分100
5.4.3Γ函数102
习题5.4 102
5.5定积分在几何上的应用103
5.5.1平面图形的面积103
5.5.2旋转体的体积104
5.5.3函数的平均值105
习题5.5106
第6章空间曲面与曲线107
6.1空间直角坐标系107
6.1.1空间直角坐标系107
6.1.2空间中两点间的距离108
习题6.1 109
6.2空间曲面与曲线109
6.2.1空间曲面109
6.2.2空间曲线112
习题6.2 113
6.3常见的二次曲面114
习题6.3 116
第7章多元函数及其微分法117
7.1多元函数的极限与连续117
7.1.1多元函数的概念117
7.1.2二元函数的极限119
7.1.3二元函数的连续性120
习题7.1 121
7.2偏导数122
7.2.1偏导数的定义与计算122
7.2.2高阶偏导数125
习题7.2 126
7.3全微分及其应用126
7.3.1全微分126
7.3.2全微分在近似计算中的应用128
习题7.3 129
7.4多元复合函数与隐函数的求导法则129
7.4.1多元复合函数的求导法则129
7.4.2隐函数的求导公式132
习题7.4 133
7.5多元函数的极值133
7.5.1二元函数的极值133
7.5.2二元函数的**（小）值135
7.5.3拉格朗日乘数法136
习题7.5 138
第8章二重积分139
8.1二重积分概念与性质139
8.1.1二重积分的概念139
8.1.2二重积分的性质141
8.2二重积分的计算143
8.2.1.在直角坐标系下二重积分的计算143
8.2.2极坐标系下的二重积分的计算147
习题8.2 149
8.3广义二重积分151
8.3.1无界区域上的广义二重积分151
8.3.2.无界函数的广义二重积分152
习题8.3 153
第9章常微分方程及其应用154
9.1微分方程的基本概念154
9.1.1微分方程的引入154
9.1.2微分方程的基本概念155
习题9.1 156
9.2一阶微分方程156
9.2.1可分离变量的微分方程157
9.2.2一阶线性微分方程159
习题9.2 161
9.3可降阶的二阶微分方程161
习题9.3 162
9.4二阶线性微分方程163
9.4.1二阶线性微分方程解的结构163
9.4.2二阶常系数线性齐次微分方程164
9.4.3二阶常系数线性非齐次微分方程166
习题9.4 167
9.5微分方程的应用167
9.5.1人口模型与商品的销售量模型167
9.5.2投资与劳动力增长的经济增长模型169
第10章数据的搜集与描述172
10.1数据172
10.2数据搜集简介173
10.2.1数据的来源173
10.2.2数据的误差175
10.3数据的直观显示176
10.3.1统计分组176
10.3.2分布数列177
10.3.3统计表177
10.3.4统计图178
10.4数据的概括性度量182
10.4.1数据集中趋势的度量182
10.4.2数据离散程度的度量185
习题10.4 187
第11章概率论与统计推断初步189
11.1概率论基础189
11.1.1概率论的基本概念189
11.1.2随机变量及其分布函数193
11.1.3随机变量的数字特征196
11.1.4大数定律和中心极限定理197
11.1.5由正态分布导出的两个重要分布及相关结论198
习题11.1 199
11.2参数估计200
11.2.1参数估计200
11.2.2点估计201
11.2.3评价估计量的标准203
11.2.4区间估计204
习题11.2 206
11.3假设检验206
11.3.1假设检验206
11.3.2参数假设检验207
习题11.3 208
参考答案209
参考文献221
附表一222
附表二224
附表三225
附表四226
附表五227

 

 

第1章函数、极限与连续
初等数学研究的主要是常量及其运算，而高等数学所研究的主要是变量及变量之间的依赖关系，函数正是这种依赖关系的体现.极限是研究变量之间依赖关系的基本方法之一.本章将在复习高中所学过的函数与极限概念的基础上，进一步介绍两个重要极限，无穷小与无穷大以及函数的连续性.
1.1函数
在我们的日常生活和工作中，会遇到许多不同类型的量.例如，当天的气温、湿度，到商场购买商品的人数、某种商品的价格等.人们发现，这些量往往是变动的，即所谓的变量，并且有些是互相关联的.函数是变量之间关系的一种体现，是微积分学的主要研究对象.
1.1.1集合及其运算
为了说明变动的量的变化范围，我们回顾一下中学数学中的集合概念.一定性质事物的总体叫做集合，组成这个集合的事物称为该集合的元素.一般用大写字母A、B、C、 表示集合，用小写字母a、b、c、 表示集合中的元素.
元素与集合之间的关系：
集合与集合的关系：
集合分为有限集、无限集、空集，空集用表示.
集合的运算主要有：
集合的并A∪B={x|x∈A或x∈B}
集合的交A∩B={x|x∈A或x∈B}
集合运算满足交换律、结合律、分配律等一系列性质.
元素都是实数的集合称为实数集，简称数集.常见的数集有：全体自然数的集合记为N；全体整数的集合记为Z；全体有理数的集合记为Q；全体实数的集合记为R.
区间是微积分中常用的实数集，它包括有限区间和无限(穷)区间.
有限区间设a，b为两个实数，且a后面常用到下面两个特殊的有限区间.
以x0点为中心，半径为δ的开区间称为点x0的邻域，记为
其去心邻域，记为
无限(穷)区间引入记号+∞（读作“正无穷大”）及-∞（读作“负无穷大”），则可类似地表示无限(穷)区间.例如，
特别地，全体实数的集合R也可表示为无限(穷)区间(-∞，+∞).
1.1.2常量与变量
在生产、科学实验过程中，常常会遇到各种不同的量，其中有些量在过程中不起变化，也就是保持一定数值的量，这种量叫做常量；还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同数值的量，这种量叫做变量.
一个量是否为变量与观察的过程有关.例如，重力加速度在同一地点是常量，在不同地点观测，则它是变量.又如，某商场内某种商品的价格在短期内是常量，而在较长时间内它会变化，是变量.因此常量和变量是相对的，它们在一定条件下可以相互转化.
1.1.3函数的概念
定义1.1.1设x和y是两个变量，D为一个非空实数集，如果对属于D中的每个x，依照某个对应法则f，变量y都有确定的数值与之对应，称y为x的函数.记为
并称x为函数的自变量，y称为因变量，数集D称为函数的定义域，函数y的取值范围W=y|y=f(x)，x∈D称为函数的值域.
注1.1.1如果对于每一个x∈D，都有且仅有一个y∈W与之对应，则称这种函数为单值函数.如果对于给定x∈D，有多个y∈W与之对应，则称这种函数为多值函数.一个多值函数通常可看成是由一些单值函数组成的.本书中，若无特别的说明，所研究的函数都是指单值函数.注1.1.2函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素，而函数的值域一般称为派生要素，函数由定义域和对应法则确定.两个函数相同只要定义域相同和对应法则相同即可，与自变量、因变量的记号无关.
在函数y=f(x)中，当x取定x0(x0∈D)时，则称f(x0)为y=f(x)在x0处的函数值，有时记为f(x)x=x0.
在中学里我们已经学过，常用的函数表示法有解析法（又称公式法）、表格法和图像法.本书所讨论的函数一般用解析法表示，有时还同时画出其图像，以便对函数进行分析研究.
下面我们来介绍一个常用的函数，在定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式的函数称为分段函数.
例1.1.1符号函数
为分段函数.它恰好表示自变量x的符号，定义域为(-∞，+∞)，如图1.1.1所示.
例1.1.2取整函数y=x表示不超过x的**整数，如图1.1.2所示.
1.1.4函数的简单性质
由于变量所在的实数域具有大小、正负对应和运算关系，通过对应的函数法则后这些关系可能保持或改变，依情况进行分类，从而得到下面几种具有特殊属性的函数类型.
1.函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称（即x∈D的充要条件是-x∈D），且对每个x∈D，有
则称f(x)是偶函数（奇函数）.
容易验证y=xα，当α=1，3时为奇函数；当α=2时为偶函数.它们的图形（图1.1.3）也不一样.从几何上看，奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称.
2.函数的单调性
设I是函数f(x)的定义域中的一个区间，若对该区间中的任意两个数x1，x2，当x1则称f(x)在区间I上单调增加（单调减少）；若函数值的不等式是如下的严格不等式：
则称f(x)在区间I上严格单调增加（严格单调减少）.
从几何上看（图1.1.4），区间I上单调增加（单调减少）的函数的曲线是沿着x轴的正向逐渐上升（下降）的.
区间I上严格单调增加，严格单调减少，单调增加或单调减少的函数统称为单调函数，而相应的区间I称为单调区间.
例如，函数y=x在区间(-∞，+∞)上严格单调增加；函数y=x2在其定义区间(-∞，+∞)上不是单调函数，但它在区间(-∞，0)上是严格单调减少函数，在区间(0，+∞)上是严格单调增加函数.
3.函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D.若存在正常数T，使得对每个x∈D，都有x±T∈D，且
则称f(x)为周期函数，称常数T为函数f(x)的周期.
从几何上看（图1.1.5），周期函数的图形可以看作是由一个基本周期区间［0，T0］上的图形经复制平移而来的.
例如，y=sinx及y=cosx是以2π为周期的周期函数，而y=|sinx|，y=cos2x，是以π为周期的周期函数.
通常周期函数的周期是指其*小正周期，但并非每个周期函数都有*小正周期.
4.函数的有界性
设I是函数f(x)的定义域中的一个区间.若有常数M，使得对每个x∈I，恒有
则说M是f(x)在I上的一个上界（下界），或者说在I上f(x)有上界（有下界）.当f(x)在I上既有上界又有下界时，说f(x)是I上的有界函数，否则为无界函数.
从几何上看（图1.1.6），有界函数的曲线y=f(x)位于两条水平直线y=A及y=B之间.
例如，函数y=sinx及y=cosx均是其定义域上的有界函数，因为对所有的x，都有sinx≤1，cosx≤1成立.函数f(x)=1x在区间(0，2)上是无界的，但是在区间(1，2)上是有界的.
例1.1.3闭区间［a，b］上的单调函数f(x)是有界函数.
解不妨设函数单调增加，对任意x∈［a，b］，由于a≤x≤b，故有f(a)≤f(x)≤f(b)，这说明f(x)是有界函数.
注1.1.3在学习函数特性的代数描述时，要注意相应的几何图形特征.
1.1.5反函数
在研究变量之间的函数关系时，有时函数和自变量的地位会相互转换，于是就出现了反函数的概念.
定义1.1.2设函数y=f(x)，定义域为D，值域为W.若对于W中的每一个y值，都可由y=f(x)确定**的x值与之对应，则得到一个定义在W上的以y为自变量，x为因变量的新函数，称为y=f(x)的反函数，记为x=f-1(y)，并称y=f(x)为直接函数.为了表述方便，通常将x=f-1(y)改写为y=f-1(x).函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.
例1.1.4求y=x3+4的反函数.
解由y=x3+4得x=3y-4.然后交换x和y，得y=3x-4，即y=x3+4的反函数为y=3x-4.
1.1.6基本初等函数及其图像
1.幂函数
形如y=xα(α为实数)的函数叫做幂函数.
幂函数的定义域与性质随α的不同而不同，但在(0，+∞)内总有定义，它的图像过点(1，1).若α>0，函数在(0，+∞)内单调增加；若α<0，函数在(0，+∞)内单调减少（图1.1.7）.
2.指数函数
形如的函数叫做指数函数.
函数的定义域为(-∞，+∞)，图像在x轴上方，且都过点(0，1).当a>1时，函数单调增加；当0