数值计算及其工程应用

本书针对工程硕士的实际需要，在编写的过程中遵循重原理，轻推导，淡化理论，侧重实践的原则，安排了许多案例来培养和训练学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力。 

本教材主要是针对全国工程硕士专业学位研究生“数值分析”或“数值计算”课程的教学而编写的，特别针对各工程领域实际应用的特点，确定了教材的基本内容，其主导思想是： “了解背景、掌握概念、注重原理、淡化推导、强调实现、突出应用．”这也是该教材的主要特点，即介绍问题的工程背景，讲解基本概念和数学原理，介绍一般的数学理论和算法，淡化理论推导和纯粹的计算，重点讲授应用方法，借助于计算机和工具软实现算法，特别突出解决实际工程问题的实用性．

本书可作为相关各工程领域的工程硕士专业学位研究生“数值分析”或“数值计算”课程的教材，也可作为工科各专业的大学本科生和研究生的“数值分析”或“数值计算”课程教材或参考教材，也可供从事相关研究工作的工程技术人员参考之用．

第1章绪论

1.1误差的基本概念

1.2向量范数与矩阵范数

1.3向后误差和条件数

1.4数值实验基础

习题

第2章线性方程组的直接法和迭代法

2.1Gauss消去法

2.1.1顺序Gauss消去法

2.1.2列选主元

2.1.3其他直接法

2.1.4Gauss消去法的误差分析

2.2经典迭代算法

2.2.1经典迭代格式

2.2.2经典迭代格式的收敛性

2.3共轭梯度法

2.4计算实例——线性方程组直接法和迭代法

习题

第3章非线性方程（组）的数值解法

3.1二分法

3.2不动点迭代

3.3Newton法

3.3.1算法介绍

3.3.2Newton法的二次收敛性

3.3.3Newton法的变形

3.4非线性方程组

3.4.1基本格式

3.4.2离散Newton法

3.4.3拟Newton法

3.5多项式求根

3.6计算实例——非线性方程(组)解法

习题

第4章矩阵特征值问题

4.1矩阵特征值的有关性质

4.1.1一般矩阵的扰动性质

4.1.2Hermite矩阵的性质

4.2基本正交变换

4.2.1Householder变换

4.2.2Givens变换

4.3幂法及其若干推广

4.4QR方法

4.4.1基本QR算法

4.4.2上Hessenberg化

4.4.3带原点位移的QR算法

4.4.4隐式双步位移

4.4.5对称QR算法

4.5Jacobi方法

4.6计算实例——矩阵特征值

习题

第5章函数插值与逼近

5.1插值的基本概念

5.1.1插值问题

5.1.2插值多项式的存在性

5.1.3插值余项

5.2Lagrange插值

5.2.1Lagrange插值基函数

5.2.2Lagrange插值多项式

5.3Newton插值

5.3.1差商及性质

5.3.2Newton插值多项式

5.4Hermite插值

5.5分段低次插值

5.5.1高次插值的缺陷

5.5.2分段线性插值

5.5.3分段三次Hermite插值

5.6三次样条插值

5.6.1插值问题与插值条件

5.6.2三弯矩方程

5.7逼近

5.7.1平方逼近

5.7.2正交多项式

5.7.3用正交函数求逼近

5.7.4三角函数逼近与快速Fourier变换

5.8曲线拟合的小二乘法

5.8.1曲线拟合

5.8.2几种具体的拟合曲线类型

5.9计算实例——函数插值与逼近

习题

第6章数值积分

6.1代数精度与插值型求积公式

6.1.1代数精度

6.1.2插值型求积公式

6.2NewtonCotes求积公式

6.2.1NewtonCotes公式

6.2.2几个低阶求积公式

6.3复化求积

6.3.1复化梯形公式

6.3.2复化Simpson公式

6.4Romberg算法

6.4.1复化梯形公式逐次分半算法

6.4.2Richardson外推法

6.4.3Romberg积分法

6.5Gauss型求积公式

6.5.1Gauss型求积公式的定义

6.5.2Gauss型求积公式的建立

6.6二重积分的数值求积

6.7计算实例——数值积分

习题

第7章常微分方程初值问题的数值方法

7.1理论简介

7.2Euler方法和相容性

7.3RungeKutta法

7.4稳定性和收敛性

7.5线性多

全国工程专业学位研究生教育指导委员会根据各工程领域对专业人才的需求，提出了课程改革设想和指导性意见，旨在提高教学水平，提高学生解决工程实际问题的能力．数值计算方法是一门重要的公共基础数学课程，其应用性很强，应用领域涉及各类工程、经济、管理、军事等，是许多工程技术人员和科研工作者的工具．国内外已出版了不少优秀的教材，它们往往理论讲述得很深入.本书注重理论和数值实验的结合，由浅入深地介绍算法的理论基础，同时也强调算法的实际应用，并配以具体的数值算例，引导初学者运用所学理论知识，尝试解决问题，逐步培养初学者的分析能力和动手能力．俗话说，“光说不练假把式”，

数值计算特别强调实践，一方面在计算机上编写程序实现算法，另一方面还要会运用所学的方法解决生产实践中的实际问题．

书中代码经过了精挑细选，几乎每行代码字斟句酌．“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，初学者好对代码仔细阅读，用心体会，并且亲手在计算机上运行一遍，对结果有些定性分析．在学习算例的基础上，逐步培养对算法和代码的感觉，培养分析问题、解决问题的能力，为后续工作打下一定基础．本书代码主要用MATLAB编写，也有部分用C语言写成，我们也鼓励读者用C语言或Fortran语言完成算例．

全书分为8章．第1章绪论是准备工作，涉及误差、范数和条件数等概念．其他各章分别介绍各类问题的数值方法．第2章讨论线性方程组的解法，包括列选主元Gauss消去法和经典迭代法，并介绍了以共轭梯度法为代表的近代方法； 第3章主要是非线性方程(组)的Newton法； 第4章介绍特征值问题的求解方法，特别是QR算法．前面4章以数值代数为主，后面4章则主要是数值逼近与微分方程数值解方面的内容．第5章讨论函数的插值与拟合，包括函数的逼近； 第6章介绍数值积分方法，如NewtonCotes公式，Gauss型求积公式等； 第7章介绍常微分方程(组)的Euler方法，RungeKutta法，线性多步法以及相容性、稳定性和收敛性等概念； 第8章简要介绍三类偏微分方程的典型差分格式．有少量内容的安排是为了满足部分基础扎实学生的学习要求．由于课时的限制，可适当压缩一些内容，比如，第2章中Gauss消去法的误差分析、共轭梯度法、部分经典迭代法的收敛性证明，第3章中Newton法的变形，第4章中的隐式Q定理及相关内容，第5章中的逼近，第6章中Romberg算法及二重积分，第7章中多步法稳定性的讨论，第8章中的一阶双曲方程组，等等．

本书的第5，6章主要由李大美撰写； 第1~4章，第7，8章及5.7节由向华撰写，全书数值算例由向华选编并调试．感谢研究生刘兵、申海伦、许雪敏、尹纯辉和张仕洋帮助输入了部分文字，感谢刘颖编辑大量细致的工作．由于编者水平有限，书中难免有错误之处，欢迎广大读者批评指正．

 向华李大美

2015年1月于珞珈山