描述
开 本: 16开包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030400123
编辑推荐
可作为高等院校数学、物理和教育等专业解析几何课程的教材，科技工作者和数学爱好者
内容简介
《解析几何》共分4章，第1章作为解析几何的主要基础，引入向量，建立坐标系，介绍了向量运算的定义、性质、计算以及应用。第2章建立了空间直线和平面的方程；讨论了点、线、面位置关系的判定；定义并计算了点、线、面的相关距离以及线、面之间的相关夹角；展示了平面束在求直线、平面方程上的应用。第3章利用轨迹建立了柱面、锥面、旋转曲面的方程；给出了二次曲面和直纹面的方程，描述了它们的性质、作图、手工制作的方法。第4章利用坐标变换和实对称矩阵的性质，对二次曲面进行了完整的分类。
目 录
目录
前言
符号说明
第1章 向量与坐标 1
1.1 向量的定义、加法及数乘 1
1.1.1 向量的定义 1
1.1.2 向量的加减法 2
1.1.3 数乘 3
1.2 向量组的线性相关性 6
1.2.1 线性相关与共线、共面 7
1.2.2 应用和例子 8
1.3 标架与坐标 11
1.3.1 向量和点的坐标 11
1.3.2 用坐标作向量的线性运算 13
1.4 数量积 15
1.4.1 数量积的定义和性质 15
1.4.2 用坐标计算数量积 17
1.4.3 方向角和方向余弦 18
1.5 向量积 19
1.5.1 向量积的定义和性质 19
1.5.2 用坐标计算向量积 21
1.6 混合积和双重向量积 23
1.6.1 混合积的定义和性质 23
1.6.2 用坐标计算混合积 24
1.6.3 双重向量积的定义和计算 26
补充材料：极坐标与方程 28
第2章 平面与直线 33
2.1 平面方程 33
2 .1.1 平面的点位式方程 33
2.1.2 平面的 般方程 34
2.1.3 平面的点法式方程 35
2.2 直线方程 37
2.2.1 直线的点向式方程 37
2.2.2 直线的 般方程 38
2.3 线、面间的位置关系 40
2.3.1 两平面的位置关系 40
2.3.2 两直线的位置关系 40
2.3.3 直线与平面的位置关系 42
2.4 点、线、面间的距离 46
2.4.1 点到直线的距离 47
2.4.2 点到平面的距离 47
2.4.3 两直线间的距离 48
2.5 线、面间的夹角 51
2.5.1 直线与直线的夹角 51
2.5.2 直线与平面的夹角 52
2.5.3 平面与平面的夹角 53
2.6 平面束 54
阅读材料：几何学 57
第3章 常见曲面 62
3.1 曲面与空间曲线 62
3 .1.1 曲面的方程 62
3.1.2 空间曲线的方程 64
3.2 柱面与投影曲线 66
3.2.1 柱面的定义和方程 66
3.2.2 与坐标轴平行的柱面 67
3.2.3 圆柱面 68
3.2.4 投影柱面和投影曲线 69
3.3 锥面和旋转曲面 72
3.3.1 锥面的方程 72
3.3.2 旋转曲面的方程 74
3.4 二次曲面 79
3.4.1 椭球面 79
3.4.2 双曲面 80
3.4.3 抛物面 81
3.5 直纹面 83
3.5.1 直纹面的定义 83
3.5.2 直纹面的判定 84
3.6 作简图 88
3.6.1 坐标系常用的三种画法 88
3.6.2 作简图的步骤 88
实践材料：几何模型的制作 92
第4章 二次曲面的分类 99
4.1 坐标变换 99
4.1.1 平面坐标变换 99
4.1.2 空间坐标变换 101
4.1.3 本章的主要结果 104
4.2 二次曲面的渐近方向和中心 106
4.2.1 二次曲面的渐近方向 108
4.2.2 二次曲面的中心 108
4.3 二次曲面的对称面与主径面 111
4.3.1 径面与奇向 111
4.3.2 主径面和主方向 114
4.4 二次曲面的化简与分类 116
4.5 二次曲面的切线与切平面 120
阅读材料：二次型 122
参考文献 124
附录1 行列式与Cramer法则 126
附录2 实对称矩阵和正交矩阵 131
附录3 二次曲线的分类 133
前言
符号说明
第1章 向量与坐标 1
1.1 向量的定义、加法及数乘 1
1.1.1 向量的定义 1
1.1.2 向量的加减法 2
1.1.3 数乘 3
1.2 向量组的线性相关性 6
1.2.1 线性相关与共线、共面 7
1.2.2 应用和例子 8
1.3 标架与坐标 11
1.3.1 向量和点的坐标 11
1.3.2 用坐标作向量的线性运算 13
1.4 数量积 15
1.4.1 数量积的定义和性质 15
1.4.2 用坐标计算数量积 17
1.4.3 方向角和方向余弦 18
1.5 向量积 19
1.5.1 向量积的定义和性质 19
1.5.2 用坐标计算向量积 21
1.6 混合积和双重向量积 23
1.6.1 混合积的定义和性质 23
1.6.2 用坐标计算混合积 24
1.6.3 双重向量积的定义和计算 26
补充材料：极坐标与方程 28
第2章 平面与直线 33
2.1 平面方程 33
2 .1.1 平面的点位式方程 33
2.1.2 平面的 般方程 34
2.1.3 平面的点法式方程 35
2.2 直线方程 37
2.2.1 直线的点向式方程 37
2.2.2 直线的 般方程 38
2.3 线、面间的位置关系 40
2.3.1 两平面的位置关系 40
2.3.2 两直线的位置关系 40
2.3.3 直线与平面的位置关系 42
2.4 点、线、面间的距离 46
2.4.1 点到直线的距离 47
2.4.2 点到平面的距离 47
2.4.3 两直线间的距离 48
2.5 线、面间的夹角 51
2.5.1 直线与直线的夹角 51
2.5.2 直线与平面的夹角 52
2.5.3 平面与平面的夹角 53
2.6 平面束 54
阅读材料：几何学 57
第3章 常见曲面 62
3.1 曲面与空间曲线 62
3 .1.1 曲面的方程 62
3.1.2 空间曲线的方程 64
3.2 柱面与投影曲线 66
3.2.1 柱面的定义和方程 66
3.2.2 与坐标轴平行的柱面 67
3.2.3 圆柱面 68
3.2.4 投影柱面和投影曲线 69
3.3 锥面和旋转曲面 72
3.3.1 锥面的方程 72
3.3.2 旋转曲面的方程 74
3.4 二次曲面 79
3.4.1 椭球面 79
3.4.2 双曲面 80
3.4.3 抛物面 81
3.5 直纹面 83
3.5.1 直纹面的定义 83
3.5.2 直纹面的判定 84
3.6 作简图 88
3.6.1 坐标系常用的三种画法 88
3.6.2 作简图的步骤 88
实践材料：几何模型的制作 92
第4章 二次曲面的分类 99
4.1 坐标变换 99
4.1.1 平面坐标变换 99
4.1.2 空间坐标变换 101
4.1.3 本章的主要结果 104
4.2 二次曲面的渐近方向和中心 106
4.2.1 二次曲面的渐近方向 108
4.2.2 二次曲面的中心 108
4.3 二次曲面的对称面与主径面 111
4.3.1 径面与奇向 111
4.3.2 主径面和主方向 114
4.4 二次曲面的化简与分类 116
4.5 二次曲面的切线与切平面 120
阅读材料：二次型 122
参考文献 124
附录1 行列式与Cramer法则 126
附录2 实对称矩阵和正交矩阵 131
附录3 二次曲线的分类 133
前 言
序言
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第1章 向量与坐标
解析几何（analytic geometry）是用坐标系、代数、分析方法来研究的几何，又称为坐标几何（coordinate geometry），因为几何对象在某坐标系下用点的n元组来描述，通常，使用二维（n=2）或三维（n=3）的直角坐标系来研究平面、直线、曲面和曲线。1637年，笛卡儿在《方法论>的附录“几何”中提出了解析几何的基本方法，解析几何的方法不同于欧几里得几何把特定的几何概念作为基点，在公理和定理的基础上用演绎推理得出事实的综合方法，解析几何使得原先两个独立的数学分支——几何和代数联系到一起，使得代数的很多对象有了直观的几何解释，同时，利用代数和分析的知识也很方便地解决几何上的问题，解析几何广泛应用于物理和工程中，是当今包括代数几何，微分几何，离散与计算几何学等众多领域的基础。
在中学数学中，已经涉及了向量的概念及向量的加减法的运算法则，本章给出了数与向量的乘法运算法则的详细证明；利用线性无关的向量组建立了仿射坐标系、定义了向量的坐标；利用向量的坐标计算力做的功（向量的内积）、力矩（向量的外积）和平行六面体的体积（向量的混合积）；给出了这些向量运算的定义、运算规律和坐标计算公式，同时展示了向量运算在共点、共线、共面、平行、垂直、恒等式以及一些关于三角形经典定理证明上的应用。
1.1 向量的定义、加法及数乘
1.1.1 向量的定义
为了表示力学中的力、速度等这些既有大小，又有方向的量，我们引入了向量，并且将代数运算引到向量中去，来研究图形性质，这种方法具有几何直观性，并且它在物理等学科中有重要的应用，此外，向量的概念及其运算也为线性代数中深入理解向量空间提供了直观的几何背景。
下面回顾向量的相关定义。
定义1.1.1 既有大小，又有方向的量称为向量或矢量（vector）。用加粗的符号a，b，c， 来表示，向量a的大小称为向量的长度（或模），记为。
一个向量a可用有向线段来表示，从始点A到终点B的指向表示a的方向（图1.1），有向线段的长度表示向量a的大小。
图1.1 图1.2
长度为零的向量称为零向量，记为0。长度为1的向量称为单位向量，与非零向量n同向的单位向量记为a0。
如果一个向量a能够由另一个向量b经平行移动得到，则称这两个向量相等（图1.2），显然它们方向相同大小相等，记为a-b。大小相等，方向相反的两个向量互为反向量（或负向量），向量a的反向量记为-a。
如果两个向量a，b通过平行移动可移到同一条直线上，则称这两个向量共线或者平行，记为。平行于同一平面的一组向量称为共面的向量组，特别地，零向量与任意向量共线：共线的向量组一定共面。
讨论 不同起点的任意两向量是否共面？（提示：所指向量为自由向量）
1.1.2 向量的如减法
依据物理学中力、速度、位移的合成方法定义向量加法（addition）。
定义1.1.2 对于向量a，b，作有向线段，把表示的向量c称为向量a与b的和，记为c=a+b（图1.3），即由此公式表示的向量加法规则称为三角形法则。
从同一始点O作，再以OA，OB为边作平行四边形OACB，则对角线OC也表示向量a与b的和（图1.4），这种表示和向量的方法称为向量的平行四边形法则（parallelogram rule）。在向量相等的意义下，“平行四边形法则”和“三焦形法则”等价。
图1.3 图1.4
向量加法运算有以下性质。
定理1.1.1 对于任意向量a，b，c，有
（1）a+0=a；
（2）a+(-a)=0；
（3）a+b=b+a（交换律）；
（4）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）；
（5）（三角不等式，等号成立当且仅当a，b同向）；
（5’）。
证 （1）设可得；
（2）设可得；
（3）利用平行四边形法则可得；
（4）设可得；
（5）直接由三角形法则可得；
（5’）可以重复运用（5）可得。
作为加法的逆运算，减法（subtraction）定义如下。
定义1.1.3 向量的减法：
减法的几何意义如图1.5所示，即
练习 证明。（提示：利用字母规律，多边形法则）
图1.5
1.1.3 数乘
定义1.1.4 实数与向量的乘积是一个向量，它的模为，它的方向为当时与同向；当时反向；当或时，则。我们把这种运算叫做实数和向量的乘法，简称数乘（scalar multiplication）。
已知向量和与它同向的单位向量，所以，这称为把向量a单位化。
根据定义若向量或向量，则a与b共线。
讨论 若向量a，b共线，则一定存在实数使得成立吗？（提示：）
数乘有下面性质。
定理1.1.2 对于任意的向量a，b和任意的实数，有
（1）(-1)a=-a；
（2）0a=0；
（3）λ(μa)=(λμ)a；
（4）(λ+μ)a=λa+μa；
（5）λ(a+b)=λa+λb；
证 （1）、（2）和（3）直接由定义1.1.4可得。
（4）参见若或，中有一个为零时，则（4）显然成立，下面设。
情形1若，则与同向，且同向，因此有，又，因此。
情形2若，不妨设。
若，则，而故（4）成立。
若，则由情形1知，即得，从而有。
若，类似于2可得式（4），留作练习。
（5）若或者a，b中有一个为0，则（5）显然成立，下面设a≠0，b≠0。
情形1若，且平行，则存在实数使，于是。
情形2若，那么当时，如图1.6所示，分别作，于是，则△OAB~△OCD，从而D在直线OB上，于是。当时，类似讨论。
图1.6
例1.1.1 设点0是平面上正多边形A1 A2 An的中心，证明：
证 如图1.7所示，因为，所以，因此。事这上。，得A1， A2，A3在一条直线上，矛盾。
图1.7
习题
1. 在例1.1.1的条件下，设P是任意点，证明：。
2. 利用数乘运算规律解下列各题。
（1）化简；
（2）从向量方程组，解出向量x，y。
3. 要使下列各式成立，向量a，b应满足什么条件？
4. 请补充完善定理1.1.2中（4）的证明。
1.2 向量组的线性相关性
向量的加法和数乘的运算统称为向量的线性运算。
定义1.2.1 由向量ai（i=1，2， ，n）和实数ki（i=1，2， ，n）所组成的向量称为向量组ai（i=1，2， ，n）的一个线性组合（linear combination）。此时也称向量a可由向量ai（i=1，2， ，n）线性表示。
定义1.2.2 如果对于向量组ai（i=1.2， ，n），存在不全为0的实数ki（i=1，2， ，n），使得，则称向量组ai（i=1，2， ，n）线性相关；否则，称向量组线性无关（linear indepen-dence）。
解析几何（analytic geometry）是用坐标系、代数、分析方法来研究的几何，又称为坐标几何（coordinate geometry），因为几何对象在某坐标系下用点的n元组来描述，通常，使用二维（n=2）或三维（n=3）的直角坐标系来研究平面、直线、曲面和曲线。1637年，笛卡儿在《方法论>的附录“几何”中提出了解析几何的基本方法，解析几何的方法不同于欧几里得几何把特定的几何概念作为基点，在公理和定理的基础上用演绎推理得出事实的综合方法，解析几何使得原先两个独立的数学分支——几何和代数联系到一起，使得代数的很多对象有了直观的几何解释，同时，利用代数和分析的知识也很方便地解决几何上的问题，解析几何广泛应用于物理和工程中，是当今包括代数几何，微分几何，离散与计算几何学等众多领域的基础。
在中学数学中，已经涉及了向量的概念及向量的加减法的运算法则，本章给出了数与向量的乘法运算法则的详细证明；利用线性无关的向量组建立了仿射坐标系、定义了向量的坐标；利用向量的坐标计算力做的功（向量的内积）、力矩（向量的外积）和平行六面体的体积（向量的混合积）；给出了这些向量运算的定义、运算规律和坐标计算公式，同时展示了向量运算在共点、共线、共面、平行、垂直、恒等式以及一些关于三角形经典定理证明上的应用。
1.1 向量的定义、加法及数乘
1.1.1 向量的定义
为了表示力学中的力、速度等这些既有大小，又有方向的量，我们引入了向量，并且将代数运算引到向量中去，来研究图形性质，这种方法具有几何直观性，并且它在物理等学科中有重要的应用，此外，向量的概念及其运算也为线性代数中深入理解向量空间提供了直观的几何背景。
下面回顾向量的相关定义。
定义1.1.1 既有大小，又有方向的量称为向量或矢量（vector）。用加粗的符号a，b，c， 来表示，向量a的大小称为向量的长度（或模），记为。
一个向量a可用有向线段来表示，从始点A到终点B的指向表示a的方向（图1.1），有向线段的长度表示向量a的大小。
图1.1 图1.2
长度为零的向量称为零向量，记为0。长度为1的向量称为单位向量，与非零向量n同向的单位向量记为a0。
如果一个向量a能够由另一个向量b经平行移动得到，则称这两个向量相等（图1.2），显然它们方向相同大小相等，记为a-b。大小相等，方向相反的两个向量互为反向量（或负向量），向量a的反向量记为-a。
如果两个向量a，b通过平行移动可移到同一条直线上，则称这两个向量共线或者平行，记为。平行于同一平面的一组向量称为共面的向量组，特别地，零向量与任意向量共线：共线的向量组一定共面。
讨论 不同起点的任意两向量是否共面？（提示：所指向量为自由向量）
1.1.2 向量的如减法
依据物理学中力、速度、位移的合成方法定义向量加法（addition）。
定义1.1.2 对于向量a，b，作有向线段，把表示的向量c称为向量a与b的和，记为c=a+b（图1.3），即由此公式表示的向量加法规则称为三角形法则。
从同一始点O作，再以OA，OB为边作平行四边形OACB，则对角线OC也表示向量a与b的和（图1.4），这种表示和向量的方法称为向量的平行四边形法则（parallelogram rule）。在向量相等的意义下，“平行四边形法则”和“三焦形法则”等价。
图1.3 图1.4
向量加法运算有以下性质。
定理1.1.1 对于任意向量a，b，c，有
（1）a+0=a；
（2）a+(-a)=0；
（3）a+b=b+a（交换律）；
（4）(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）；
（5）（三角不等式，等号成立当且仅当a，b同向）；
（5’）。
证 （1）设可得；
（2）设可得；
（3）利用平行四边形法则可得；
（4）设可得；
（5）直接由三角形法则可得；
（5’）可以重复运用（5）可得。
作为加法的逆运算，减法（subtraction）定义如下。
定义1.1.3 向量的减法：
减法的几何意义如图1.5所示，即
练习 证明。（提示：利用字母规律，多边形法则）
图1.5
1.1.3 数乘
定义1.1.4 实数与向量的乘积是一个向量，它的模为，它的方向为当时与同向；当时反向；当或时，则。我们把这种运算叫做实数和向量的乘法，简称数乘（scalar multiplication）。
已知向量和与它同向的单位向量，所以，这称为把向量a单位化。
根据定义若向量或向量，则a与b共线。
讨论 若向量a，b共线，则一定存在实数使得成立吗？（提示：）
数乘有下面性质。
定理1.1.2 对于任意的向量a，b和任意的实数，有
（1）(-1)a=-a；
（2）0a=0；
（3）λ(μa)=(λμ)a；
（4）(λ+μ)a=λa+μa；
（5）λ(a+b)=λa+λb；
证 （1）、（2）和（3）直接由定义1.1.4可得。
（4）参见若或，中有一个为零时，则（4）显然成立，下面设。
情形1若，则与同向，且同向，因此有，又，因此。
情形2若，不妨设。
若，则，而故（4）成立。
若，则由情形1知，即得，从而有。
若，类似于2可得式（4），留作练习。
（5）若或者a，b中有一个为0，则（5）显然成立，下面设a≠0，b≠0。
情形1若，且平行，则存在实数使，于是。
情形2若，那么当时，如图1.6所示，分别作，于是，则△OAB~△OCD，从而D在直线OB上，于是。当时，类似讨论。
图1.6
例1.1.1 设点0是平面上正多边形A1 A2 An的中心，证明：
证 如图1.7所示，因为，所以，因此。事这上。，得A1， A2，A3在一条直线上，矛盾。
图1.7
习题
1. 在例1.1.1的条件下，设P是任意点，证明：。
2. 利用数乘运算规律解下列各题。
（1）化简；
（2）从向量方程组，解出向量x，y。
3. 要使下列各式成立，向量a，b应满足什么条件？
4. 请补充完善定理1.1.2中（4）的证明。
1.2 向量组的线性相关性
向量的加法和数乘的运算统称为向量的线性运算。
定义1.2.1 由向量ai（i=1，2， ，n）和实数ki（i=1，2， ，n）所组成的向量称为向量组ai（i=1，2， ，n）的一个线性组合（linear combination）。此时也称向量a可由向量ai（i=1，2， ，n）线性表示。
定义1.2.2 如果对于向量组ai（i=1.2， ，n），存在不全为0的实数ki（i=1，2， ，n），使得，则称向量组ai（i=1，2， ，n）线性相关；否则，称向量组线性无关（linear indepen-dence）。
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