描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302402107丛书名: 高职高专公共课教材
内容简介
本书是作者近年来在建设“高等数学”(高职高专)国家精品课程的教学实践中，以培养应用型人才为目的，从打好基础、培养能力，兼顾后续课程的需要出发，在我们编写的“高等数学”(专科)教材的基础上，学习并吸收国内外教材的优点，为适应我国各类高等职业技术教育“高等数学”的教学而编写。
本书可作为高等(专科)职业学校“高等数学”的教材，也可作为职工大学、函授、网络教育及培训班的教材。
目 录
第1章 函数、极限与连续
1.1 函数的概念与简单性质
1.1.1 集合、常量与变量
1.1.2 函数的概念
1.1.3 函数的简单性质
1.1.4 反函数和复合函数
1.1.5 初等函数
习题1-1
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的定义
1.2.2 收敛数列极限的性质
1.2.3 数列极限的存在准则
1.2.4 数列极限的四则运算法则
习题1-2
1.3 函数的极限
1.3.1 x→时函数的极限
1.3.2 x→x0时函数的极限
1.3.3 函数极限的运算法则
1.3.4 两个重要极限
习题1-3
1.4 无穷小量和无穷大量
1.4.1 无穷小量
1.4.2 无穷大量
习题1-4
1.5 函数的连续性
1.5.1 函数的连续性
1.5.2 函数的间断点
1.5.3 初等函数的连续性及连续函数的性质
1.5.4 闭区间上连续函数的性质
习题1-5
总习题一
习题答案
第2章 导数与微分
2.1 导数的概念
2.1.1 引例
2.1.2 导数的概念
2.1.3 左导数和右导数
2.1.4 可导与连续的关系
习题2-1
2.2 导数的四则运算法则
习题2-2
2.3 复合函数求导法
2.3.1 复合函数的求导法则
2.3.2 反函数的导数
2.3.3 隐函数的导数
2.3.4 对数求导法
2.3.5 参数方程确定函数的导数
2.3.6 基本求导公式和法则
习题2-3
2.4 高阶导数
习题2-4
2.5 函数的微分
2.5.1 微分的定义
2.5.2 微分的几何意义
2.5.3 微分的运算法则
*2.5.4 微分在近似计算中的应用
习题2-5
总习题二
习题答案
……
第3章 微分中值定理与导数的应用
第4章 不定积分
第5章 定积分及其应用
第6章 微分方程
第7章 向量代数与空间解析几何
第8章 多元函数微分法及其应用
第9章 多元函数积分学
第10章 无穷级数
附录Ⅰ 几种常用的曲线
附录Ⅱ 简明积分表
参考文献
1.1 函数的概念与简单性质
1.1.1 集合、常量与变量
1.1.2 函数的概念
1.1.3 函数的简单性质
1.1.4 反函数和复合函数
1.1.5 初等函数
习题1-1
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的定义
1.2.2 收敛数列极限的性质
1.2.3 数列极限的存在准则
1.2.4 数列极限的四则运算法则
习题1-2
1.3 函数的极限
1.3.1 x→时函数的极限
1.3.2 x→x0时函数的极限
1.3.3 函数极限的运算法则
1.3.4 两个重要极限
习题1-3
1.4 无穷小量和无穷大量
1.4.1 无穷小量
1.4.2 无穷大量
习题1-4
1.5 函数的连续性
1.5.1 函数的连续性
1.5.2 函数的间断点
1.5.3 初等函数的连续性及连续函数的性质
1.5.4 闭区间上连续函数的性质
习题1-5
总习题一
习题答案
第2章 导数与微分
2.1 导数的概念
2.1.1 引例
2.1.2 导数的概念
2.1.3 左导数和右导数
2.1.4 可导与连续的关系
习题2-1
2.2 导数的四则运算法则
习题2-2
2.3 复合函数求导法
2.3.1 复合函数的求导法则
2.3.2 反函数的导数
2.3.3 隐函数的导数
2.3.4 对数求导法
2.3.5 参数方程确定函数的导数
2.3.6 基本求导公式和法则
习题2-3
2.4 高阶导数
习题2-4
2.5 函数的微分
2.5.1 微分的定义
2.5.2 微分的几何意义
2.5.3 微分的运算法则
*2.5.4 微分在近似计算中的应用
习题2-5
总习题二
习题答案
……
第3章 微分中值定理与导数的应用
第4章 不定积分
第5章 定积分及其应用
第6章 微分方程
第7章 向量代数与空间解析几何
第8章 多元函数微分法及其应用
第9章 多元函数积分学
第10章 无穷级数
附录Ⅰ 几种常用的曲线
附录Ⅱ 简明积分表
参考文献
前 言
前 言
本书第一版在经过多年使用之后，发现了书中存在的一些错误，因此有必要对其进行勘误修订，使之能更好地服务教学的需要。
本书文字通俗易懂，例题较多，便于学生学习和理解，为了适应各类学时的班级使用，内容包括了高职类“高等数学”的大部分内容，使用者可根据学时及专业需要适当取舍。全书内容共分为10章：第1章，函数、极限与连续；第2章，导数与微分；第3章，微分中值定理与导数的应用；第4章，不定积分；第5章，定积分及其应用；第6章，微分方程；第7章，向量代数与空间解析几何；第8章，多元函数微分法及其应用；第9章，多元函数积分学；第10章，无穷级数。在讲授本书的内容时，建议教学学时至少为140学时，带*的内容可根据需要进行取舍。
本书不追求严密论证，但仍注意学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及分析和解决应用问题能力的培养，重点概念均从实例引出，重视其几何意义和物理意义，从而加深学生对概念的理解。根据高职高专学生的特点，书中选编了较多的典型例题，并注意从图例引出结论，略去了部分较难定理的证明，分散难点，以便提高学生的学习兴趣。
本书由王金金、李广民任主编，任春丽、陈慧婵任副主编。其中第1、2章由王金金教授编写，第4、9章由李广民教授编写，第3、7、8章由任春丽副教授编写，第5、6、10章由陈慧婵副教授编写。最后由王金金教授统稿及整理。
本书由西安电子科技大学理学院教授、全国数学教学指导委员会委员、陕西省数学学会副理事长、陕西大学数学教学委员会副主任刘三阳主审，他对本书的编写提出了很多宝贵意见，对此我们表示衷心的感谢。
本书在编写过程中得到西安电子科技大学理学院的领导及从事“高等数学”教学的广大教师的热情支持，并提出了许多的宝贵意见，编者在此致以深深的谢意。本书的出版得到清华大学出版社的领导及编辑的大力支持，编者在此一并表示感谢。
编者虽然对本书的编写做出了最大努力，但由于水平及经验有限，错误与不妥之处在所难免，敬请广大读者批评指正。
编 者
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第2章 导数与微分
导数和微分在自然科学、工程技术、社会科学等各方面有着极为广泛的应用. 为了准确描述曲线的切线和质点运动的速度这一类有关变化率的问题，就很自然地、不可避免地要求在数学上引入导数和微分的概念. 只有在运用了这两个概念之后，才能将这些问题精确地解答出来. 而这两个概念实质上是由极限概念得到的.
本章我们将从这两个具体问题入手，引出导数和微分的概念，进而讨论导数和微分的各种运算法则以及有关的性质.
2.1 导数的概念
2.1.1 引例
例1 非匀速直线运动的速度问题.
设质点做非匀速直线运动，其位移 是时间 的函数 ，求时刻 的瞬时速度.
由物理学知，质点做匀速直线运动时，可由 来求质点的运动速度. 而当质点做非匀速直线运动时，就不能简单地用 来描述质点运动的速度了. 此时，在时刻 取时间 的增量 ，从 到 这一段时间间隔内，质点运动的距离为 ，于是在这个时间间隔内质点运动的平均速度为
显然，当 越小时，这个平均速度越接近 时刻的瞬时速度. 因此，当 时，平均速度的极限就可用来准确描述 时刻的瞬时速度了.
设 ，对上式取极限，若此极限存在，则可得质点在 时刻的瞬时速度为
（2-1-1）
例2 曲线的切线问题.
设有平面曲线 ，求其上一点 处切线的斜率.
如图2.1所示，在曲线 上取一点 ，并在其邻近取曲线上的另一点 ，则易知，割线 的斜率为 ，当点 沿曲线 趋近于 时，割线 将趋近于曲线在点 的切线 . 也就是说，曲线 在点 的切线实际上就是点 沿曲线趋近于点 时割线 的极限位置. 因此，曲线 在点 的切线斜率为
（2-1-2）
上述这两个例子的意义各不相同，但是它们的数学表达形式完全相同. 如果抛开它们所代表的具体意义（瞬时速度和切线斜率），则式（2-1-1）和式（2-1-2）所代表的数学意义完全相同，它们的共同实质都是求函数在一点的变化率，即当自变量的增量趋近于零时，求函数的增量与自变量的增量比值的极限. 在自然科学和工程技术中，还有许多问题的解决，如电流强度、角速度、线密度等，都归结为求函数的增量与自变量增量比的极限. 我们抛开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的实质，就可引出导数的概念.
图2.1
2.1.2 导数的概念
定义1 设函数 在点 的某一邻域上有定义，当自变量 在点 处取得一增量 （ ，且 仍在该邻域内）时，相应地，函数 也有增量
如果极限 （2-1-3）
存在，则称函数 在点 处可导，并称此极限值为函数 在点 处的导数，记作 ，或 ，即
也可以写成
或
实际上， 就是函数 在点 的变化率，它反映了函数 在点 处相对自变量 变化的快慢程度.
如果式（2-1-3）中的极限不存在，则称函数 在点 处不可导. 如果该极限为无穷大，那么导数也是不存在的，但有时为了方便，也称函数 在点 处的导数为无 穷大.
例3 求函数 在 处的导数.
解
若对于区间 内的每一个 ，函数 都可导，则称函数 在区间 内可导. 此时对应于 内的每一个 值都有一个导数值与之对应，这样便得到了一个新的函数，此函数称为函数 的导函数，简称导数，记为 ， 或 . 即
或
在以上引入导数概念的过程中，已经明确了导数的意义，现归纳如下.
（1） 导数的物理意义是质点做非匀速直线运动时的瞬时速度. 若将路程写成时间的函数 ，则任意时刻 的速度为
（2） 导数的几何意义是曲线在一点处切线的斜率. 即曲线 在点 的切线斜率为
（3） 导数在数学上表示的是变化率. 设函数 ，则 在点 处的导数 反映了函数 相对自变量 变化的“快慢”程度，即变化率.
下面根据导数的定义来求一些简单函数的导数.
例4 求常数函数 的导数.
解 由于 恒等于常数，于是对于任意的 ，都有 ，因此
即常数的导数恒等于零.
例5 求幂函数 的导数.
解 由导数的定义
当 时， 是无穷小量，而由1.4节知， 与 是等价无穷小. 于是，
即幂函数的求导公式为
用此公式可以很方便地求出幂函数的导数. 如：
例6 求正弦函数 的导数.
解 根据导数的定义
即正弦函数的导数是余弦函数
类似地，可以证明，余弦函数的导数是正弦函数的负值，即
例7 求对数函数 的导数.
解 根据导数的定义
即对数函数的求导公式为
特别地，当 时，自然对数的求导公式为
例8 求指数函数 的导数.
解 根据导数的定义
当 时， 是无穷小量，而由1.4节知， 与 是等价无穷小. 于是
即指数函数的求导公式为
特别地，以 为底的指数函数的求导公式为
以上给出了几个基本初等函数的求导公式，其他一些基本初等函数的导数将在以后陆续介绍.
例9 求三次曲线 在点（2,8）处的切线斜率及切线、法线方程.
解 由导数的几何意义知，切线的斜率为函数 在该点的导数值，即
即曲线 在点（2,8）处的切线斜率为12. 由直线的点斜式方程，得切线方程为
即
曲线 在点（2,8）处的法线斜率为
法线方程为
即
一般来说，如果函数 在点 处可导，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，切线方程为
如果 ，则法线斜率为 ，法线方程为
2.1.3 左导数和右导数
既然导数是当 时 的极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等. 因此，函数可导的充分必要条件也可表述为 时 的左、右极限存在且相等. 这两个极限分别称为函数的左、右导数.
定义2 对于函数 ，如果极限
存在，则称此极限值为函数 在 点的左导数，记为 .
若极限
存在，则称此极限值为函数 在 点的右导数，记为 .
显然，函数 在 点可导的充分必要条件是函数在 点的左导数和右导数均存在并且相等.
定义了左、右导数以后，就可以给出函数 在闭区间 上可导的定义：若函数 在开区间 可导，并且 与 都存在，则称 在闭区间 上可导.
例10 考察分段函数
在点 处的可导性.
解 函数 在 点的左导数和右导数分别为
由于左、右导数不相等，所以 在点 处不可导.
从该函数的图形（见图2.2）中可以清楚地看到，曲线 在 点处没有切线.
2.1.4 可导与连续的关系
根据导数的定义，若函数 在 点可导，即极限 存在，所以 ，从而函数 在 处连续. 因此，我们可得到如下定理.
定理 若函数 在点 处可导，则函数 在点 处连续.
此定理表明，函数可导必连续. 但反之，函数在某点连续不能推出它在该点可导.
例11 已知分段函数
在 处可导，求 的值.
解 在 处可导必定连续. 而 在 处的左、右极限分别为
所以根据函数连续性的定义，应有
再由 在 处可导可知，它在该点的左、右导数应存在且相等，而
故
例12 研究函数 在 处的可导性.
解 由于
此极限不存在，因此 在 处不可导.
习题2-1
1. 举例说明函数的可导性和连续性之间的关系.
2. 做直线运动的质点，它所经过的路程与时间的关系为 ，求 时质点运动速度.
3. 设 ，根据导数的定义求 .
4. 导数的定义证明 .
5. 已知 存在，求下列极限.
（1） ；
（2） ；
（3） .
6． 求下列函数的导数.
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） .
7. 讨论下列函数在 处的连续性和可导性.
（1） ； （2） .
8. 设 ，试用导数的定义讨论 在 处的可导性.
9. 设某产品生产 个单位时的总收入为 ，求生产100个产品时的总收入、平均收入及当生产第100个产品时，总收入的变化率.
10. 证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于 .
2.2 导数的四则运算法则
2.1节介绍了导数的概念. 根据导数的定义，可以求出一些简单函数的导数. 但对比较复杂的函数，利用定义求导数就比较困难了. 本节和下一节将介绍求导法则，从而解决初等函数的求导问题. 首先介绍导数的四则运算法则.
定理（导数的四则运算法则） 设函数 和 都在点 可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零）也都在点 可导，且有：
（1） ；
（2） ；
（3） .
下面根据导数的定义证明定理的（1）和（2），（3）的证明请读者自行完成.
证 （1） 设 ，则由导数的定义知
所以
（2） 设 ，则
所以
其中， 是由于 存在，故 在点 连续.
由定理容易推知，函数的和、差、积的求导法则可推广到有限个可导函数的情形. 例如，若函数 均可导，则
在定理（2）中，若令 ，则 ，于是 . 这说明，常数因子可以提到求导符号的外面.
下面通过例题说明导数四则运算法则的应用.
例1 设 ，求 .
解
例2 设 ，求 .
解
例3 设 ，求 .
解
例4 设 ，求 .
解
例5 证明 .
证
同理可证
例6 证明 .
证
同理可证
例7 求 及双曲正弦、双曲余弦和双曲正切函数的导数.
解
习题2-2
1. 求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） ；
（13） ； （14） ；
（15） ； （16） ；
（17） ； （18） ；
（19） ； （20） ；
（21） ； （22） .
2. 设 ，求 和 .
3. 求曲线 在横坐标 处的法线方程.
4. 求曲线 上的一点，使该点处的切线与 轴平行.
5. 求曲线 的平行于直线 的法线方程.
2.3 复合函数求导法
由导数的定义和四则运算法则，可以求出一些比较复杂函数的导数，但是对于像 、 这类复合函数，还不能求出它的导数. 本节首先证明复合函数的求导法则，在此基础上再讨论隐函数、反函数及由参数方程确定的函数的求导方法.
2.3.1 复合函数的求导法则
定理1（复合函数的求导法则） 设函数 在点 处可导，且 在点 处也可导，则复合函数 在点 处可导，且有
（2-3-1）
证 设自变量 有增量 ，则函数 有增量
于是函数 有对应增量
由于 在 处可导，所以， . 由极限与无穷小的关系，有
且 ，当 时，有
（2-3-2）
当 时，规定 ，这时因 ，故式（2-3-2）对 也成立. 用 除式（2-3-2）两边，得
由于 在 处可导，故 在 处连续，所以 ，且 .
因此
即
例1 设 ，求 .
解 函数 可看成由 和 复合而成的函数. 所以
例2 设 ，求 .
解 函数 可以看成由 和 复合而成的函数. 于是
由2.1节知，当 时，函数 不可导，而当 时，其导数为
于是，得
这个结果请记住.
例3 设 ，求 .
解 函数 可以看成由 和 复合而成的函数. 故
例4 设 ，求 .
解 函数 可看成由 和 复合而成的函数. 于是
而 又可视为是由 和 复合而成的函数. 因此
所以
同理可证
由于 ，
于是 ，
建议读者记住这些结果.
以后对复合函数的分解比较熟悉后，就不必再写出中间变量，而直接进行求导运算.
例5 设 ，求 .
解
例6 设 ，求 .
解
复合函数的求导法则可以推广到任意由有限个可导函数复合而成的函数. 例如，对三个函数 复合而成的函数 ，有
例7 设 ，求 .
解 函数 可以看成由函数 lnu， 和 复合而成的函数. 于是
例8 设 ，求 .
解
例9 气球充气时，其半径以 的速度增大. 设在充气过程中，气球始终保持球形，求气球半径为10cm时，其体积增加的速度.
解 设在时刻 气球的体积为 ，半径为 ，它是时间 的函数，则
，
在时刻 ，气球的体积为
因此气球体积增加的速度
将 ， 代入上式，得
即当气球半径为 时，其体积增加的速度为 .
2.3.2 反函数的导数
作为复合函数求导法则的应用，下面讨论反函数的导数.
设 是直接函数， 是它的反函数. 将 写成复合函数的形式，即 ，将该式两端同时对 求导，则有
于是，若 ，则有 . 由此得到如下定理.
定理2（反函数求导法则） 若单调连续函数 在点 处可导，且 ，则它的反函数 在对应点 处可导，且有
或
此定理表明，反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
作为反函数导数的应用，下面导出反三角函数的导数公式.
由于 和 互为反函数，于是，由反函数求导法则，有
而 ，从而得到反正弦函数的导数
类似地，可以得到反余弦函数的导数
对于反正切函数 ，有
即反正切函数的导数
类似地，可以得到反余切函数的导数
例10 求 的导数.
解
2.3.3 隐函数的导数
函数 表示自变量 与因变量 的依赖关系. 能用 的算式 表示的函数 称为显函数. 如果 对 的依赖关系是由含 的二元方程
确定的，如 等，则称为隐函数.
有时隐函数可以化为显函数，例如由 可解出 . 将隐函数化为显函数的过程称为隐函数的显化. 但将隐函数显化有时很困难，有些隐函数甚至不能化为显函数. 如 确定的函数就不能化为显函数. 而实际问题却需要求这类函数的导数. 下面通过例题说明隐函数的求导法，其依据仍是复合函数求导法.
例11 设函数 由方程 确定，试求 和 .
解 将方程的两端对 求导，在求导的过程中，注意 是 的函数，并且运用复合函数求导法则，得
即
解出 ，得 .
当 时，由原方程可确定 ，于是
由此例可以看出，求隐函数的导数时，不需要将隐函数显化，可直接将所给方程两端同时对 求导；只是在求导过程中要注意 是 的函数，需要应用复合函数的求导法则；然后解出 ，即求出了隐函数的导数.
例12 求曲线 在点 处的切线方程.
解 由导数的几何意义知，曲线在点 处的切线斜率为 . 将曲线方程的两端对 求导，得
注意 时 ，代入上式得
故得
所以曲线在点 处的切线方程为
2.3.4 对数求导法
所谓对数求导法，是先将 两边取对数，然后再求 对 导数的方法. 有时可用此方法简化计算.
例13 求 的导数.
解 此函数不是幂函数，也不是指数函数，而是幂指函数. 为求此类函数的导数，可将两边同时取对数，得
两端同时求导，注意运用隐函数求导法，得
即得
将 代入上式，即有
例14 设 ，求 .
解
于是，得
2.3.5 参数方程确定函数的导数
由平面解析几何知，椭圆可表示为 ，消去参数 ，即可得到椭圆方程 .
斜抛物体（见图2.3）的运动方程可表示为
图2.3
消去参数 ，可得轨迹方程
一般来说，若参数方程
（2-3-3）
可确定 与 之间的函数关系，则称此函数为参数方程（2-3-3）确定的函数.
由于从参数方程（2-3-3）消去参数 比较困难，下面介绍直接由参数方程（2-3-3）求出它所确定的函数 的导数的方法.
设想函数 有反函数 ，则
故根据复合函数求导法则及反函数求导公式，得
（2-3-4）
此即参数方程（2-3-3）确定函数的求导公式.
例15 已知斜抛物体运动轨迹的参数方程为 ，求该物体在任意时刻 的速度.
解 由于速度分量分别为
物体在时刻 的速度大小为
再求速度的方向. 由于速度是沿轨迹切线方向的，所以只需求出轨迹的切线斜率. 设此时切线的倾角为 ，则由导数的几何意义，得
例16 求曲线 在 处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义知，曲线切线的斜率为
而
所以
注意当 时， ， ，便知曲线在该点的切线方程为
即
曲线在该点的法线斜率为 ，故法线方程为
即
2.3.6 基本求导公式和法则
现将上面导出的基本的求导公式和求导法则汇总如下. 建议熟记公式，熟练应用求导法则.
1. 基本初等函数的导数
（1） 常数 （ 为任意常数）；
（2） 幂函数 ；
（3） 指数函数 ；
（4） 对数函数 ；
（5） 三角函数
；
（6） 反三角函数
；
（7） 双曲函数与反双曲函数
.
2. 函数和、差、积、商的求导法则
（1） （ 为常数）；
（2） ；
（3） ；
（4） .
3. 复合函数的求导法则
设由 和 可构成复合函数，且 和 分别在 和 处可导，则
4. 反函数求导法则
设 与 互为反函数，且 ，则
5. 隐函数求导法
将所给方程的两边对 求导，在求导的过程中注意 是 的函数并应用复合函数的求导法则，然后解出 .
6. 参数方程求导法
若 与 之间的函数关系由参数方程
确定，则
习题2-3
1. 求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） ；
（13） ； （14） ；
（15） ； （16） ；
（17） ； （18） ；
（19） ； （20） ；
（21） ； （22） ；
（23） ； （24） .
2. 设 可导，求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） .
3. 求曲线 过 点的切线方程和法线方程.
4. 设质点做直线运动，其运动规律为 （ 为常数），求 时质点的运动速度.
5. 求下列方程所确定隐函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） .
6. 试证曲线 上任一点的切线所截两坐标轴的截距之和等于 .
7. 用对数求导法求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
8. 求下列由参数方程所确定函数的导数 .
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
9. 求曲线 在 处的切线方程.
2.4 高 阶 导 数
在一些实际问题中，不仅需要求函数的导数，还需要对其导数再求导. 如变速直线运动的速度 是其位置函数 对时间 的导数，而其加速度又是速度对时间的导数.
这个导数称为 对 的二阶导数. 一般来说，若函数 的导函数 仍然可导，则称 的导数为函数 的二阶导数，记为 、 或 ，即
、 或
同理，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，依次类推， 阶导数的导数称为 阶导数. 分别记为
或
或
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 相对于高阶导数，也将 称为一阶导数.
例1 设 ，求 .
解
例2 分别求 的 阶导数.
解 对于 ，
一般
对于正弦函数 ，
一般
类似地，可得
例3 设 ，求 .
解 这是一个隐函数求导的问题，将方程 两端对 求导，得
所以
将上式再对 求导，得
2.4节讨论了参数方程确定函数的一阶导数求法，即对 确定的函数，其一阶导数为
下面再来分析其二阶导数的求法. 若 都二阶可导，则有
即
（2-4-1）
例4 求由参数方程 确定函数的一阶和二阶导数.
解 由于
则有
所以根据式（2-4-1），有
在求二阶导数时，也可以对一阶导数直接求导，而不必套用公式（2-4-1）：
习题2-4
1. 求下列函数的二阶导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） .
2. 验证函数 满足 .
3. 一质点做直线运动，其路程函数为 ，证明其加速度 .
4. 设 ，求 .
5. 设 ，求 .
6. 设 ，求 .
7. 设 存在，求下列函数的二阶导数.
（1） ； （2） .
8. 求方程 所确定的隐函数 的二阶导数 .
9. 求由参数方程所确定的函数 的二阶导数 .
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
10. 设 ，求二阶导数 .
11. 验证 所确定的函数 满足下面的关系式.
12. 验证函数 满足关系式 .
13. 求下列函数的 阶导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
导数和微分在自然科学、工程技术、社会科学等各方面有着极为广泛的应用. 为了准确描述曲线的切线和质点运动的速度这一类有关变化率的问题，就很自然地、不可避免地要求在数学上引入导数和微分的概念. 只有在运用了这两个概念之后，才能将这些问题精确地解答出来. 而这两个概念实质上是由极限概念得到的.
本章我们将从这两个具体问题入手，引出导数和微分的概念，进而讨论导数和微分的各种运算法则以及有关的性质.
2.1 导数的概念
2.1.1 引例
例1 非匀速直线运动的速度问题.
设质点做非匀速直线运动，其位移 是时间 的函数 ，求时刻 的瞬时速度.
由物理学知，质点做匀速直线运动时，可由 来求质点的运动速度. 而当质点做非匀速直线运动时，就不能简单地用 来描述质点运动的速度了. 此时，在时刻 取时间 的增量 ，从 到 这一段时间间隔内，质点运动的距离为 ，于是在这个时间间隔内质点运动的平均速度为
显然，当 越小时，这个平均速度越接近 时刻的瞬时速度. 因此，当 时，平均速度的极限就可用来准确描述 时刻的瞬时速度了.
设 ，对上式取极限，若此极限存在，则可得质点在 时刻的瞬时速度为
（2-1-1）
例2 曲线的切线问题.
设有平面曲线 ，求其上一点 处切线的斜率.
如图2.1所示，在曲线 上取一点 ，并在其邻近取曲线上的另一点 ，则易知，割线 的斜率为 ，当点 沿曲线 趋近于 时，割线 将趋近于曲线在点 的切线 . 也就是说，曲线 在点 的切线实际上就是点 沿曲线趋近于点 时割线 的极限位置. 因此，曲线 在点 的切线斜率为
（2-1-2）
上述这两个例子的意义各不相同，但是它们的数学表达形式完全相同. 如果抛开它们所代表的具体意义（瞬时速度和切线斜率），则式（2-1-1）和式（2-1-2）所代表的数学意义完全相同，它们的共同实质都是求函数在一点的变化率，即当自变量的增量趋近于零时，求函数的增量与自变量的增量比值的极限. 在自然科学和工程技术中，还有许多问题的解决，如电流强度、角速度、线密度等，都归结为求函数的增量与自变量增量比的极限. 我们抛开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的实质，就可引出导数的概念.
图2.1
2.1.2 导数的概念
定义1 设函数 在点 的某一邻域上有定义，当自变量 在点 处取得一增量 （ ，且 仍在该邻域内）时，相应地，函数 也有增量
如果极限 （2-1-3）
存在，则称函数 在点 处可导，并称此极限值为函数 在点 处的导数，记作 ，或 ，即
也可以写成
或
实际上， 就是函数 在点 的变化率，它反映了函数 在点 处相对自变量 变化的快慢程度.
如果式（2-1-3）中的极限不存在，则称函数 在点 处不可导. 如果该极限为无穷大，那么导数也是不存在的，但有时为了方便，也称函数 在点 处的导数为无 穷大.
例3 求函数 在 处的导数.
解
若对于区间 内的每一个 ，函数 都可导，则称函数 在区间 内可导. 此时对应于 内的每一个 值都有一个导数值与之对应，这样便得到了一个新的函数，此函数称为函数 的导函数，简称导数，记为 ， 或 . 即
或
在以上引入导数概念的过程中，已经明确了导数的意义，现归纳如下.
（1） 导数的物理意义是质点做非匀速直线运动时的瞬时速度. 若将路程写成时间的函数 ，则任意时刻 的速度为
（2） 导数的几何意义是曲线在一点处切线的斜率. 即曲线 在点 的切线斜率为
（3） 导数在数学上表示的是变化率. 设函数 ，则 在点 处的导数 反映了函数 相对自变量 变化的“快慢”程度，即变化率.
下面根据导数的定义来求一些简单函数的导数.
例4 求常数函数 的导数.
解 由于 恒等于常数，于是对于任意的 ，都有 ，因此
即常数的导数恒等于零.
例5 求幂函数 的导数.
解 由导数的定义
当 时， 是无穷小量，而由1.4节知， 与 是等价无穷小. 于是，
即幂函数的求导公式为
用此公式可以很方便地求出幂函数的导数. 如：
例6 求正弦函数 的导数.
解 根据导数的定义
即正弦函数的导数是余弦函数
类似地，可以证明，余弦函数的导数是正弦函数的负值，即
例7 求对数函数 的导数.
解 根据导数的定义
即对数函数的求导公式为
特别地，当 时，自然对数的求导公式为
例8 求指数函数 的导数.
解 根据导数的定义
当 时， 是无穷小量，而由1.4节知， 与 是等价无穷小. 于是
即指数函数的求导公式为
特别地，以 为底的指数函数的求导公式为
以上给出了几个基本初等函数的求导公式，其他一些基本初等函数的导数将在以后陆续介绍.
例9 求三次曲线 在点（2,8）处的切线斜率及切线、法线方程.
解 由导数的几何意义知，切线的斜率为函数 在该点的导数值，即
即曲线 在点（2,8）处的切线斜率为12. 由直线的点斜式方程，得切线方程为
即
曲线 在点（2,8）处的法线斜率为
法线方程为
即
一般来说，如果函数 在点 处可导，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，切线方程为
如果 ，则法线斜率为 ，法线方程为
2.1.3 左导数和右导数
既然导数是当 时 的极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等. 因此，函数可导的充分必要条件也可表述为 时 的左、右极限存在且相等. 这两个极限分别称为函数的左、右导数.
定义2 对于函数 ，如果极限
存在，则称此极限值为函数 在 点的左导数，记为 .
若极限
存在，则称此极限值为函数 在 点的右导数，记为 .
显然，函数 在 点可导的充分必要条件是函数在 点的左导数和右导数均存在并且相等.
定义了左、右导数以后，就可以给出函数 在闭区间 上可导的定义：若函数 在开区间 可导，并且 与 都存在，则称 在闭区间 上可导.
例10 考察分段函数
在点 处的可导性.
解 函数 在 点的左导数和右导数分别为
由于左、右导数不相等，所以 在点 处不可导.
从该函数的图形（见图2.2）中可以清楚地看到，曲线 在 点处没有切线.
2.1.4 可导与连续的关系
根据导数的定义，若函数 在 点可导，即极限 存在，所以 ，从而函数 在 处连续. 因此，我们可得到如下定理.
定理 若函数 在点 处可导，则函数 在点 处连续.
此定理表明，函数可导必连续. 但反之，函数在某点连续不能推出它在该点可导.
例11 已知分段函数
在 处可导，求 的值.
解 在 处可导必定连续. 而 在 处的左、右极限分别为
所以根据函数连续性的定义，应有
再由 在 处可导可知，它在该点的左、右导数应存在且相等，而
故
例12 研究函数 在 处的可导性.
解 由于
此极限不存在，因此 在 处不可导.
习题2-1
1. 举例说明函数的可导性和连续性之间的关系.
2. 做直线运动的质点，它所经过的路程与时间的关系为 ，求 时质点运动速度.
3. 设 ，根据导数的定义求 .
4. 导数的定义证明 .
5. 已知 存在，求下列极限.
（1） ；
（2） ；
（3） .
6． 求下列函数的导数.
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） .
7. 讨论下列函数在 处的连续性和可导性.
（1） ； （2） .
8. 设 ，试用导数的定义讨论 在 处的可导性.
9. 设某产品生产 个单位时的总收入为 ，求生产100个产品时的总收入、平均收入及当生产第100个产品时，总收入的变化率.
10. 证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于 .
2.2 导数的四则运算法则
2.1节介绍了导数的概念. 根据导数的定义，可以求出一些简单函数的导数. 但对比较复杂的函数，利用定义求导数就比较困难了. 本节和下一节将介绍求导法则，从而解决初等函数的求导问题. 首先介绍导数的四则运算法则.
定理（导数的四则运算法则） 设函数 和 都在点 可导，则它们的和、差、积、商（商的分母不为零）也都在点 可导，且有：
（1） ；
（2） ；
（3） .
下面根据导数的定义证明定理的（1）和（2），（3）的证明请读者自行完成.
证 （1） 设 ，则由导数的定义知
所以
（2） 设 ，则
所以
其中， 是由于 存在，故 在点 连续.
由定理容易推知，函数的和、差、积的求导法则可推广到有限个可导函数的情形. 例如，若函数 均可导，则
在定理（2）中，若令 ，则 ，于是 . 这说明，常数因子可以提到求导符号的外面.
下面通过例题说明导数四则运算法则的应用.
例1 设 ，求 .
解
例2 设 ，求 .
解
例3 设 ，求 .
解
例4 设 ，求 .
解
例5 证明 .
证
同理可证
例6 证明 .
证
同理可证
例7 求 及双曲正弦、双曲余弦和双曲正切函数的导数.
解
习题2-2
1. 求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） ；
（13） ； （14） ；
（15） ； （16） ；
（17） ； （18） ；
（19） ； （20） ；
（21） ； （22） .
2. 设 ，求 和 .
3. 求曲线 在横坐标 处的法线方程.
4. 求曲线 上的一点，使该点处的切线与 轴平行.
5. 求曲线 的平行于直线 的法线方程.
2.3 复合函数求导法
由导数的定义和四则运算法则，可以求出一些比较复杂函数的导数，但是对于像 、 这类复合函数，还不能求出它的导数. 本节首先证明复合函数的求导法则，在此基础上再讨论隐函数、反函数及由参数方程确定的函数的求导方法.
2.3.1 复合函数的求导法则
定理1（复合函数的求导法则） 设函数 在点 处可导，且 在点 处也可导，则复合函数 在点 处可导，且有
（2-3-1）
证 设自变量 有增量 ，则函数 有增量
于是函数 有对应增量
由于 在 处可导，所以， . 由极限与无穷小的关系，有
且 ，当 时，有
（2-3-2）
当 时，规定 ，这时因 ，故式（2-3-2）对 也成立. 用 除式（2-3-2）两边，得
由于 在 处可导，故 在 处连续，所以 ，且 .
因此
即
例1 设 ，求 .
解 函数 可看成由 和 复合而成的函数. 所以
例2 设 ，求 .
解 函数 可以看成由 和 复合而成的函数. 于是
由2.1节知，当 时，函数 不可导，而当 时，其导数为
于是，得
这个结果请记住.
例3 设 ，求 .
解 函数 可以看成由 和 复合而成的函数. 故
例4 设 ，求 .
解 函数 可看成由 和 复合而成的函数. 于是
而 又可视为是由 和 复合而成的函数. 因此
所以
同理可证
由于 ，
于是 ，
建议读者记住这些结果.
以后对复合函数的分解比较熟悉后，就不必再写出中间变量，而直接进行求导运算.
例5 设 ，求 .
解
例6 设 ，求 .
解
复合函数的求导法则可以推广到任意由有限个可导函数复合而成的函数. 例如，对三个函数 复合而成的函数 ，有
例7 设 ，求 .
解 函数 可以看成由函数 lnu， 和 复合而成的函数. 于是
例8 设 ，求 .
解
例9 气球充气时，其半径以 的速度增大. 设在充气过程中，气球始终保持球形，求气球半径为10cm时，其体积增加的速度.
解 设在时刻 气球的体积为 ，半径为 ，它是时间 的函数，则
，
在时刻 ，气球的体积为
因此气球体积增加的速度
将 ， 代入上式，得
即当气球半径为 时，其体积增加的速度为 .
2.3.2 反函数的导数
作为复合函数求导法则的应用，下面讨论反函数的导数.
设 是直接函数， 是它的反函数. 将 写成复合函数的形式，即 ，将该式两端同时对 求导，则有
于是，若 ，则有 . 由此得到如下定理.
定理2（反函数求导法则） 若单调连续函数 在点 处可导，且 ，则它的反函数 在对应点 处可导，且有
或
此定理表明，反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
作为反函数导数的应用，下面导出反三角函数的导数公式.
由于 和 互为反函数，于是，由反函数求导法则，有
而 ，从而得到反正弦函数的导数
类似地，可以得到反余弦函数的导数
对于反正切函数 ，有
即反正切函数的导数
类似地，可以得到反余切函数的导数
例10 求 的导数.
解
2.3.3 隐函数的导数
函数 表示自变量 与因变量 的依赖关系. 能用 的算式 表示的函数 称为显函数. 如果 对 的依赖关系是由含 的二元方程
确定的，如 等，则称为隐函数.
有时隐函数可以化为显函数，例如由 可解出 . 将隐函数化为显函数的过程称为隐函数的显化. 但将隐函数显化有时很困难，有些隐函数甚至不能化为显函数. 如 确定的函数就不能化为显函数. 而实际问题却需要求这类函数的导数. 下面通过例题说明隐函数的求导法，其依据仍是复合函数求导法.
例11 设函数 由方程 确定，试求 和 .
解 将方程的两端对 求导，在求导的过程中，注意 是 的函数，并且运用复合函数求导法则，得
即
解出 ，得 .
当 时，由原方程可确定 ，于是
由此例可以看出，求隐函数的导数时，不需要将隐函数显化，可直接将所给方程两端同时对 求导；只是在求导过程中要注意 是 的函数，需要应用复合函数的求导法则；然后解出 ，即求出了隐函数的导数.
例12 求曲线 在点 处的切线方程.
解 由导数的几何意义知，曲线在点 处的切线斜率为 . 将曲线方程的两端对 求导，得
注意 时 ，代入上式得
故得
所以曲线在点 处的切线方程为
2.3.4 对数求导法
所谓对数求导法，是先将 两边取对数，然后再求 对 导数的方法. 有时可用此方法简化计算.
例13 求 的导数.
解 此函数不是幂函数，也不是指数函数，而是幂指函数. 为求此类函数的导数，可将两边同时取对数，得
两端同时求导，注意运用隐函数求导法，得
即得
将 代入上式，即有
例14 设 ，求 .
解
于是，得
2.3.5 参数方程确定函数的导数
由平面解析几何知，椭圆可表示为 ，消去参数 ，即可得到椭圆方程 .
斜抛物体（见图2.3）的运动方程可表示为
图2.3
消去参数 ，可得轨迹方程
一般来说，若参数方程
（2-3-3）
可确定 与 之间的函数关系，则称此函数为参数方程（2-3-3）确定的函数.
由于从参数方程（2-3-3）消去参数 比较困难，下面介绍直接由参数方程（2-3-3）求出它所确定的函数 的导数的方法.
设想函数 有反函数 ，则
故根据复合函数求导法则及反函数求导公式，得
（2-3-4）
此即参数方程（2-3-3）确定函数的求导公式.
例15 已知斜抛物体运动轨迹的参数方程为 ，求该物体在任意时刻 的速度.
解 由于速度分量分别为
物体在时刻 的速度大小为
再求速度的方向. 由于速度是沿轨迹切线方向的，所以只需求出轨迹的切线斜率. 设此时切线的倾角为 ，则由导数的几何意义，得
例16 求曲线 在 处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义知，曲线切线的斜率为
而
所以
注意当 时， ， ，便知曲线在该点的切线方程为
即
曲线在该点的法线斜率为 ，故法线方程为
即
2.3.6 基本求导公式和法则
现将上面导出的基本的求导公式和求导法则汇总如下. 建议熟记公式，熟练应用求导法则.
1. 基本初等函数的导数
（1） 常数 （ 为任意常数）；
（2） 幂函数 ；
（3） 指数函数 ；
（4） 对数函数 ；
（5） 三角函数
；
（6） 反三角函数
；
（7） 双曲函数与反双曲函数
.
2. 函数和、差、积、商的求导法则
（1） （ 为常数）；
（2） ；
（3） ；
（4） .
3. 复合函数的求导法则
设由 和 可构成复合函数，且 和 分别在 和 处可导，则
4. 反函数求导法则
设 与 互为反函数，且 ，则
5. 隐函数求导法
将所给方程的两边对 求导，在求导的过程中注意 是 的函数并应用复合函数的求导法则，然后解出 .
6. 参数方程求导法
若 与 之间的函数关系由参数方程
确定，则
习题2-3
1. 求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） ；
（13） ； （14） ；
（15） ； （16） ；
（17） ； （18） ；
（19） ； （20） ；
（21） ； （22） ；
（23） ； （24） .
2. 设 可导，求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） .
3. 求曲线 过 点的切线方程和法线方程.
4. 设质点做直线运动，其运动规律为 （ 为常数），求 时质点的运动速度.
5. 求下列方程所确定隐函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） .
6. 试证曲线 上任一点的切线所截两坐标轴的截距之和等于 .
7. 用对数求导法求下列函数的导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
8. 求下列由参数方程所确定函数的导数 .
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
9. 求曲线 在 处的切线方程.
2.4 高 阶 导 数
在一些实际问题中，不仅需要求函数的导数，还需要对其导数再求导. 如变速直线运动的速度 是其位置函数 对时间 的导数，而其加速度又是速度对时间的导数.
这个导数称为 对 的二阶导数. 一般来说，若函数 的导函数 仍然可导，则称 的导数为函数 的二阶导数，记为 、 或 ，即
、 或
同理，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，依次类推， 阶导数的导数称为 阶导数. 分别记为
或
或
二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 相对于高阶导数，也将 称为一阶导数.
例1 设 ，求 .
解
例2 分别求 的 阶导数.
解 对于 ，
一般
对于正弦函数 ，
一般
类似地，可得
例3 设 ，求 .
解 这是一个隐函数求导的问题，将方程 两端对 求导，得
所以
将上式再对 求导，得
2.4节讨论了参数方程确定函数的一阶导数求法，即对 确定的函数，其一阶导数为
下面再来分析其二阶导数的求法. 若 都二阶可导，则有
即
（2-4-1）
例4 求由参数方程 确定函数的一阶和二阶导数.
解 由于
则有
所以根据式（2-4-1），有
在求二阶导数时，也可以对一阶导数直接求导，而不必套用公式（2-4-1）：
习题2-4
1. 求下列函数的二阶导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
（11） ； （12） .
2. 验证函数 满足 .
3. 一质点做直线运动，其路程函数为 ，证明其加速度 .
4. 设 ，求 .
5. 设 ，求 .
6. 设 ，求 .
7. 设 存在，求下列函数的二阶导数.
（1） ； （2） .
8. 求方程 所确定的隐函数 的二阶导数 .
9. 求由参数方程所确定的函数 的二阶导数 .
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
10. 设 ，求二阶导数 .
11. 验证 所确定的函数 满足下面的关系式.
12. 验证函数 满足关系式 .
13. 求下列函数的 阶导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
……
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