描述
开 本: 16开包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030438263丛书名: 普通高等教育”十二五”规划教材
第七章 微分方程与差分方程 1
**节微分方程的基本概念 1
习题7-1 5
第二节一阶微分方程及其解法 5
一？可分离变量的微分方程 5
二？齐次方程 8
三？一阶线性微分方程 9
四？伯努利方程 12
习题7-2 14
第三节可降阶的高阶微分方程 15
一？y(n)=f(x)型的微分方程 15
二？y″=f(x，y′)型的微分方程 16
三？y″=f(y，y′)型的微分方程 16
习题7-3 18
第四节 高阶常系数线性微分方程 18
一？线性微分方程的概念 18
二？线性微分方程解的结构 19
三？二阶常系数齐次线性微分方程 21
四？常系数非齐次线性微分方程 25
习题7-4 28
第五节差分方程简介 29
一？差分的定义 29
二？差分方程的概念 30
三？线性差分方程 32
四？常系数线性差分方程的解法 33
习题7-5 38
第六节微分方程和差分方程在经济中的应用 38
一？微分方程的经济应用 38
二？差分方程的经济应用 41
习题7-6 45
本章重要概念英文词汇 45
数学家简介 45
总习题七 46
第八章 无穷级数 48
**节 常数项级数的概念和性质 48
一？无穷级数的概念 48
二？收敛级数的基本性质 50
习题8-1 52
第二节常数项级数的收敛性判别法 52
一？正项级数的审敛法 52
二？交错级数及其审敛法 58
三？收敛与条件收敛 59
习题8-2 61
第三节幂级数 62
一？函数项级数的概念 62
二？幂级数及其收敛性 62
三？幂级数的运算 65
习题8-3 68
第四节函数展开成幂级数 68
习题8-4 74
第五节级数的应用 75
一？常数项级数的应用 75
二？幂级数的应用 76
三？欧拉公式 78
习题8-5 79
本章重要概念英文词汇 79
数学家简介 79
总习题八 80
第九章 多元函数微分学及其应用 83
**节空间解析几何简介 83
一？空间直角坐标系 83
二？空间任意两点间的距离 84
三？曲面及其方程 85
习题9-1 91
第二节多元函数的基本概念 92
一？平面区域的概念 92
二？多元函数的概念 92
三？多元函数的极限 95
四？多元函数的连续性 97
习题9-2 98
第三节偏导数 99
一？偏导数的概念 99
二？偏导数的计算方法 101
三？高阶偏导数 103
习题9-3 104
第四节全微分 105
一？全微分的概念 105
二？全微分在近似计算中的应用 108
习题9-4 108
第五节多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式 109
一？多元复合函数求导的链式法则 109
二？全微分形式不变性 113
三？隐函数的求导公式 114
习题9-5 115
第六节多元函数的极值与*值 116
一？多元函数的极值 117
二？**值和*小值问题 119
三？多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法 120
习题9-6 122
本章重要概念英文词汇 122
数学家简介 123
总习题九 123
第十章 二重积分 127
**节二重积分的概念 127
一？引例 127
二？二重积分的概念 128
三？二重积分的存在性与几何意义 129
习题10-1 129
第二节二重积分的性质 130
习题10-2 132
第三节在直角坐标下二重积分的计算 132
习题10-3 136
第四节在极坐标下二重积分的计算 137
习题10-4 139
本章重要概念英文词汇 140
数学家简介 140
总习题十 141
附录 微积分实验指导(下) 144
一？MATLAB篇 144
项目1 多元函数微积分 144
项目2 微分方程 148
项目3 级数 148
二？EXCEL篇 152
项目1 多元函数微积分 152
项目2 级数 154
习题答案与提示 156
第七章 微分方程与差分方程
由牛顿和莱布尼茨创立的微积分是科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展与人们求解微分方程的需要有密切联系.在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程.物理?化学?生物学?工程技术和某些社会科学中的大量问题加以精确的数学描述后，往往会出现微分方程.微分方程建立以后，找出未知函数，这就是解微分方程.微分方程是数学联系实际并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.
在经济与管理及其他实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的，这些量为离散型变量.对离散型变量，差分方程是研究它们之间变化规律的用效方法.
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.本章主要介绍微分方程的一些基本概念?几种常用的微分方程的解法?差分方程的一些基本概念?常系数线性差分方程的解法以及它们在经济学上的简单应用.
节微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义.下面通过几何学?物理学?经济管理中的几个例子来说明微分方程的基本概念.
例1(平面曲线的切线) 一曲线过点A(0，1)，且在该曲线上任一点M (x，y)处的导数都等于x2，求该曲线方程.
解设所求曲线方程为y=f(x)，由题意知
且曲线还满足下列条件
x=0时y=1. (2)
对式(1)两端积分得
其中C 为任意常数.
将条件y(0)=1代入式(3)，得C=1，故所求曲线方程为
例2(自由落体运动) 设质量为m 的物体，只受重力的作用，在距地面s0 处，以初速度
v0 下落，试求其运动规律.
解建立坐标系如图7-1所示.取物体下落时所沿垂直于地面的直线为s 轴，s 轴与地面的交点为坐标原点，垂直地面向上的方向为正方向.
设物体在t时刻的位置坐标为s(t)，则速度v(t)=ds(t)
dt1，加速度a(t)=d2s(t)
dt2 .物体在下落过程中只受重力作用且方向与规定的正方向相反，得F=-m-，根据牛顿第二定律F=ma，可以得出
其中- 为重力加速度，式(5)即
对式(6)两端积分一次得
再对式(7)两端积分一次得
其中C1，C2 为任意常数.
将条件v(0)=v0 代入式(7)得
将条件s(0)=s
代入式(8)得
故物体的运动规律为
例3(价格调整模型) 如果某商品在时刻t 的售价为P ，社会对该商品的需求量和供给量分别是P 的函数Q(P)，S(P)，则在时刻t的价格P(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q(P)-S(P)成正比，即有微分方程
在Q(P)，S(P)确定情况下，可解出价格P(t)与时间t的函数关系.
例1~例3中的关系式(1)，(6)和(10)都含有未知函数的导数，它们都是微分方程.一般地，把含有未知函数的导数(或微分)的方程，称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程(本书中暂不讨论).
微分方程中所出现的未知函数的阶导数的阶数，称为微分方程的阶.例如，方程(1)，(10)是一阶微分方程;方程(6)是二阶微分方程.又如
y(n)+1=0 (11)
是n阶微分方程.
n 阶常微分方程的一般形式是
F(x，y，y′，???，y(n))=0. (12)
其中x 为自变量，y 是未知函数.在方程(12)中，y(n)必须出现，而其余变量可以不出现.例如，微分方程(11)中，其余变量都没有出现.
如果能从方程(12)中解出阶导数，则可得微分方程
y(n)=f(x，y，y′，???，y(n-1)). (13)
从上面例子中可以看到，在研究某些实际问题时，先要建立微分方程，然后求出未知函数，即求微分方程的解.满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)称为该微分方程的解.
如果在区间I 上，函数y=f(x)有n 阶连续导数，且满足
F(x，f(x)，f′(x)，??，f(n)(x))≡0，
则称函数y=f(x)为微分方程F(x，y，y′，??，y(n))=0在区间I 上的解.例如，函数(3)和(4)是微分方程(1)的解;函数(8)和(9)是微分方程(6)的解.
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.其中的任意常数必须是相互独立的，即不能合并而使任意常数的个数减少.例如，函数(3)是微分方程(1)的通解;函数(8)是微分方程(6)的通解.
由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映事物的规律，还必须确定其中任意常数的值.如例2中，在同一时刻从不同高度和以不同初速度自由下落的物体，将表现为不同的运动，式(8)不能完全确定题中描述的运动，还需要结合题中的条件“在距地面s0 处，
以初速度v0 下落”才能具体地描述.
设微分方程中的未知函数为y=y(x)，如果微分方程是一阶的，通常用于确定通解中任意常数的条件是
x=x0 时，y=y0.
也可以写成
y|x=x0 =y0，
其中x0，y0 都是给定的值;如果微分方程是二阶的，用于确定通解中任意常数的条件是
x=x0 时，y=y0，y′=y′0 .
也可以写成
y|x=x0 =y0， y′|x=x0 =y′0 ，
其中x0，y0，y′0 都是给定的值.上述这种条件称为初始条件，也称为定解条件.
确定了通解中的任意常数后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解.例如，函数 (4)是微分方程(1)满足初始条件(2)的特解;函数(9)是微分方程(6)满足初始条件v(0)=v0，s(0)=s
0 的特解.
求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.
求微分方程y′=f(x，y)满足初始条件y|x=x0 =y0 的解的问题，记为
y′=f(x，y)，
微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.初值问题(14)的几何意义
是求微分方程的通过点(x0，y0)的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题的几何意义是求微分方程的通过点(x0，y0)且在该点处的切线斜率为y′0 的那条积分曲线.
从上面实例中可以得出下面的启示.
，解微分方程与不定积分运算相联系.由于每进行一次不定积分会产生一个任意常数，所以n 阶微分方程的通解中会包含n 个任意常数.
第二，微分方程描述的是物体运动的瞬时规律，求解微分方程，就是从这种瞬时规律出发，去获得运动的全部过程.为此，需要给定一个初始状态(即初始条件)，并以此为基点去推断运动的未来，同时也可以追溯过去.
例4 验证函数x=C1cos2t+C2sin2t 是微分方程d2xdt2 +4x=0的通解，并求满足初始条件x|t=0=1，x′|t=0=0的特解.
解要验证一个函数是否是微分方程的通解，只要将函数代入方程，验证是否恒等，再看函数式中所含独立的任意常数的个数是否与微分方程的阶数相同即可.
求所给函数的一阶?二阶导数:
dt2 及x 的表达式代入所给微分方程，得
这表明函数x=C1cos2t+C2sin2t是微分方程d2x的解.
同时，函数x=C1cos2t+C2sin2t含有两个独立的任意常数，微分方程d2xdt2 +4x=0为二阶的，所以函数x=C1cos2t+C2sin2t是微分方程d2xdt2 +4x=0的通解.
将初始条件x|t=0=1，x′|t=0=0代入中，得C1=1，C2=0，所以特解为x=cos2t.
例5 求以(C，0)为圆心，以3为半径的圆族所满足的微分方程，其中C 为任意常数.
解由题意得，该圆族为
在上式中，将y 看成x 的函数，并对x 求导得
将上面两个式子联立并消去C 得所求的微分方程为
注本题实际上是已知微分方程的通解求微分方程本身，关键之处在于先由通解中任意常数的个数确定微分方程的阶，然后再求导(求导次数与微分方程的阶数相同).
习题7-1
1.指出下列微分方程的阶数.
(1)3y′-5×2+2x=1; (2)yy″-(y′)2-y′=0;
2.验证下列各函数是所给微分方程的解.
(1)y=3sinx-4cosx，y″+y=0; (2)y=5×2，xy′=2y.
3.根据所给的初始条件确定通解中常数的值.
(1)x=C1coskt+C2sinkt，x|t=0=A，x′|t=0=0;
(2)y=C1ex +C2e-4x ，y(0)=2，y′(0)=0.
4.求曲线族y=Cx+x2 所满足的微分方程.
5.一曲线通过原点，且它的任一点(x，y)处的切线的斜率等于4x-y，写出曲线满足的微分方程及初
始条件.
第二节一阶微分方程及其解法
一阶微分方程的一般形式是
F(x，y，y′)=0.
本节所讨论的是能把导数解出的一阶微分方程，其一般形式为
y′=f(x，y)，
或写成对称形式
P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0.
我们仅就几种特殊类型的一阶微分方程讨论其求解方法.
一?可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程能写成
的形式，即能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy，另一端只含x 的函数和dx，那么原微分方程就称为可分离变量的微分方程.
下列微分方程中哪些是可分离变量的微分方程
(1)y′=2xy?y-1dy=2xdx，是可分离变量的微分方程.
(2)3×2+5x-y′=0?dy=(3×2+5x)dx，是可分离变量的微分方程.
(3)(x2+y2)dx-xydy=0，不是可分离变量的微分方程.
可分离变量的微分方程的解法:
步 分离变量，将微分方程写成- y ( )dy=f(x)dx 的形式;
第二步 两端积分，设积分后得
第三步 对进行适当的整理.
其中，称为隐式通解，有时可以从该式中解出显式通解y=φ(x)
(或者x=?(y)).需要指出的是解微分方程时不必一定求出显式通解，只要整理成较简的
形式即可.
可分离变量的微分方程有时也写成如下对称形式
M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy=0.
此时，变量x 与y 的地位是同等的，即都可以看成自变量和函数.
例1 求微分方程y-2dy
dx=-sinx 的通解.
解此微分方程为可分离变量的微分方程.分离变量后得
为原微分方程的通解.
注分离变量后的微分方程和原微分方程未必是同解微分方程，有可能会丢失一些解.
若丢失的解没有包含在通解中，要补充上去.另外，本题中式(1)为隐式通解，式(2)为显式
通解.
例2 求微分方程x 1-y2dx+y 1-x2dy=0的通解.
解若1-y2 1-x2≠0，分离变量得
两端积分得
当C=0时，可得1-x2= 1-y2=0.故原微分方程的通解为
……
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