概率论与数理统计　理科类　　普通高校“十二五”实用规划教材——公共基础系列　

本书是一本高等学校非数学专业的概率论与数理统计课程的教材。全书共9章，分为两个部分。第一部分由第1～5章组成，讲授概率论的基础知识，包括*事件、*变量、*向量及其分布、*变量的数字特征和极限定理。第二部分是第6～9章，讲授样本与统计量、参数估计、假设检验、方差分析与线性回归分析。本书各章配有适量习题，书后附习题提示和解答。书末给出5个附表。本书力求使用较少的数学知识，强调数理统计概念的阐释，并注意举例的多样性。

本书可作为高等学校工科、农医、经济管理等专业的有关概率论与数理统计课程的教材，也可作为实际工作者的自学参考书。

目 录
第1章 随机事件 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 随机试验与随机事件 1
1.1.2 事件的关系与运算 2
1.2 事件的概率 5
1.2.1 事件的频率 5
1.2.2 概率的统计定义 6
1.2.3 概率的公理化定义 6
1.3 古典概率模型 8
1.4 条件概率 11
1.4.1 条件概率 11
1.4.2 乘法公式 13
1.4.3 全概率公式 15
1.4.4 贝叶斯公式 16
1.5 事件的独立性 17
1.5.1 两个事件的独立性 17
1.5.2 多个事件的独立性 18
习题1 20
第2章 随机变量 24
2.1 随机变量的定义 24
2.2 离散型随机变量 25
2.2.1 离散型随机变量的概率分布 25
2.2.2 常见的离散型随机变量的概率分布 26
2.3 连续型随机变量与随机变量的分布函数 30
2.3.1 概率密度函数 30
2.3.2 随机变量的分布函数 32
2.3.3 常见的连续型随机变量的概率分布 35
2.4 随机变量函数的分布 40
2.4.1 离散型随机变量函数的分布 40
2.4.2 连续型随机变量函数的分布 41
习题2 43
第3章 随机向量 46
3.1 二维随机向量及其分布函数 46
3.2 二维离散型随机向量 47
3.3 二维连续型随机向量及其分布函数 50
3.3.1 二维连续型随机向量 50
3.3.2 均匀分布 51
3.3.3 二维正态分布 52
3.4 边缘分布 52
3.4.1 边缘分布密度 52
3.4.2 二维离散型随机向量 边缘分布 53
3.4.3 二维连续型随机向量的边缘概率密度 54
3.5 条件分布 56
3.5.1 条件分布的概念 56
3.5.2 离散型随机变量的条件分布 56
3.5.3 连续型随机变量的条件概率密度 58
3.6 随机变量的独立性 62
3.7 随机变量的函数的分布 63
3.7.1 Z=X+Y的分布 64
3.7.2 Z =max{X,Y}和Z =min{X,Y}的分布 66
3.8 n维随机变量 68
3.8.1 定义和分布函数 68
3.8.2 n维连续型随机向量 69
3.8.3 n个随机变量的函数的分布 70
习题3 71
第4章 随机变量的数字特征 74
4.1 数学期望 74
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 74
4.1.2 连续型随机变量的数学期望 77
4.1.3 随机变量函数的数学期望 78
4.1.4 数学期望的性质 80
4.2 方差 82
4.2.1 方差的定义 82
4.2.2 方差的性质 84
4.2.3 几种常用随机变量分布的方差 85
4.3 协方差与相关系数 87
4.3.1 协方差 87
4.3.2 相关系数 88
4.4 矩与协方差矩阵 90
4.4.1 矩 90
4.4.2 协方差矩阵 91
习题4 92
第5章 极限定理 96
5.1 大数定律 96
5.1.1 切比雪夫不等式 96
5.1.2 大数定律 97
5.2 中心极限定理 98
习题5 101
第6章 样本与统计量 102
6.1 总体与样本 102
6.1.1 总体与个体 102
6.1.2 样本 103
6.2 统计量及其分布 104
6.2.1 统计量与抽样分布 104
6.2.2 样本均值及其抽样分布 105
6.2.3 样本方差与样本标准差 106
6.2.4 样本矩及其函数 107
6.2.5 正态总体的抽样分布 107
习题6 111
第7章 参数估计 112
7.1 参数的点估计 112
7.1.1 矩法估计 113
7.1.2 极大似然估计 115
7.2 点估计的评价标准 117
7.2.1 无偏性 117
7.2.2 有效性 117
7.2.3 一致性 118
7.3 参数的区间估计 119
7.3.1 置信区间的概念 119
7.3.2 单个正态总体参数的置信区间 121
习题7 124
第8章 假设检验 126
8.1 假设检验的基本概念 126
8.2 正态总体均值的假设检验 130
8.2.1 单个正态总体均值 的假设检验 130
8.2.2 两个正态总体均值的比较 131
8.2.3 成对数据的假设检验 133
8.3 正态总体方差的假设检验 134
8.3.1 单个正态总体方差 的假设检验 134
8.3.2 两个正态总体方差的检验 136
8.4 分布的拟合检验 137
习题8 140
第9章 方差分析与回归分析 142
9.1 单因子试验的方差分析 142
9.2 一元线性回归分析 145
9.2.1 一元线性回归模型 145
9.2.2 、 最小二乘估计 146
9.2.3 回归方程的显著性检验 149
9.2.4 预测问题 149
习题9 150
附录一 重要分布表 152
附录二 各章习题参考答案 171
参考文献 182

前 言
概率论与数理统计是研究随机现象数量规律性的一门科学。它作为现代数学的重要分支，已广泛应用于自然科学与社会科学的各个领域中,它是大学理、工、农、医、经济、管理等学科所有专业必修的一门重要基础课。通过本课程的学习，希望使学生掌握概率论与数理统计的基本思想与方法，并且具备一定的分析与解决实际问题的能力。
本书是根据教育部《高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》的精神和要求，总结作者多年讲授概率论与数理统计课程的实践经验编写而成的。编写本书的指导思想为重视概念、强调应用、侧重计算。本书具有如下几个特点。
(1) 重视基本概念。
概率论与数理统计内容虽然抽象，但其中每个基本概念都有自己的实际应用背景，力求从身边的实际问题出发，自然地引出基本概念，以激发学生的学习兴趣和求知欲。
(2) 强调实际应用。
本着学习数学是为了使用数学这一宗旨，并考虑到本课程的实际应用，书中较多选择了工程和信息方面的例题和习题，以提高运用概率论与数理统计的知识解决实际问题的意识和能力。
(3) 侧重计算、解题能力。
本书内容深入浅出、论证简明易懂，侧重于运算、解题能力的训练，让学生在弄清基本概念的基础上熟悉运算过程、掌握解题方法，提高解题能力。
本书共9章，可分为两个部分。第一部分由第1～5章组成，讲授概率论的基础知识，包括随机事件、随机变量、随机向量及其分布、随机变量的数字特征和极限定理。第二部分是第6～9章，讲授样本与统计量、参数估计、假设检验、方差分析与线性回归分析。本书各章配有适量习题，书后附习题提示和解答。本书可作为不同专业有关概率论与数理统计课程的教材。
本书由马毅、王竞波、岳晓宁担任主编，黄光、牟桂彦担任副主编。具体分工如下：第1、2章由岳晓宁编写，第3、4章由王竞波编写，第5章由马毅编写，第6、7章由牟桂彦编写，第8、9章由黄光编写。全书由王竞波修改统稿。本书在编写过程中，得到了纪德云老师的大力帮助，在此表示衷心感谢！
由于编者水平有限，书中难免有不妥之处，恳请读者批评指正。
编 者

第2章  随 机 变 量

在第1章里讨论了随机事件及其概率。对随机现象的统计规律有了初步的认识，但要想全面地了解随机现象的统计规律性，将随机试验的结果与实数对应起来，使随机试验的结果数量化，就要引入随机变量的概念。
2.1  随机变量的定义

在随机现象中，许多情况下的试验结果是用数量表示的。而在另一些情况下，试验的结果虽然不是与数量直接有关，但是也可以用数量来描述。
例2.1  在一批产品中随机地取10件，考虑其中的废品数，则的所有可能结果为={0,1,2,,10}，这是此试验的样本空间。由于废品数可能取0、1、2、、10中的任意一个值，所以它是一个变量，又由于试验结果具有偶然性，所以这个变量取哪一个值也具有偶然性。像废品数这样的，随着试验结果的不同以偶然方式取得的量叫作随机变量。显然，随机变量是定义在样本空间上的函数。
下面举出几个随机变量的例子。
例2.2  某人射击环靶，每次击中的环数为随机变量，的可能取值为0、1、2、、10。
例2.3  电话交换台在一段时间内收到的电话呼唤数为，则为随机变量，的可能取值为0、1、2、。
例2.4  测试日光灯的使用寿命(h)，则为随机变量，可能取区间[0，+内的任意数值。
有些试验的结果，看来并不具有数量含义。例如，扔一枚硬币，有两个基本事件：“正面朝上”和“正面朝下”。当然也可使它的结果与数对应，比如可以令“正面朝上”对应1，“正面朝下”对应0。类似地，在射击中“命中”、“不命中”；在抽检一件产品，“是合格品”、“是次品”；在观察某一天的天气时、“下雨”、“不下雨”等，都可按同样方法使其结果与数对应。因此，对这类试验也可以在样本空间上定义随机变量。
对于一个随机变量，仅仅知道它可能取什么值是不够的，更有意义的是应当知道它取值在某一范围里的可能性多大，这需要先给出随机变量的确切定义。
定义2.1  设随机试验的样本空间为。=是定义在样本空间上的实值单值函数，称=为随机变量。
通常用等表示随机变量，而用等表示随机变量相对应于某个试验结果所取的值。
随机变量是概率论的又一个重要概念，这个概念的引入使得能用数学的方法研究试验的全部结果及其相互联系。
随机变量按照其取值的不同，一般分为两类。一类随机变量是，它所可能取的值是有限多个或可数无穷多个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量，如例2.2中打靶击中的环数、例2.3中在一段时间内收到的电话呼唤数都是离散型随机变量；另一类随机变量是，它所可能取的值连续地充满了某个区间，这样的随机变量称为连续型随机变量，如例2.4中日光灯的使用寿命就是连续型随机变量。
2.2  离散型随机变量

2.2.1  离散型随机变量的概率分布

要掌握一个离散型随机变量的统计规律，不仅要知道所有可能取的值，而且还要知道取每一个可能值的概率。例如，掷骰子的试验中，只可能取1、2、…、6这6个值，而且由于等可能性，取每一个值的概率都是1/6。
定义2.2  如果离散型随机变量所有可能取的值为则取各个可能值的概率，即事件{}的概率为
                               (2.1)
称式(2.1)为离散型随机变量的分布律。
离散型随机变量的分布律具有下列性质。
(1)。
(2)=1。                                                          (2.2)
分布律也可以用表格的形式来表示，如图2.1所示。
 

图2.1  分布律的表示形式
式(2.2)直观地表示了随机变量取各个值的概率的规律，取各个值各占一些概率，这些概率合起来是1。
例2.5  设有10件产品，其中正品6件，次品4件，从中任取3件产品，用表示从中取出的次品数，求其分布律。
解  用表示取出3件产品中的次品数，则它可能取的值是0、1、2、3。

“”(=0,1,2,3)分别表示事件“有件次品”。由概率的古典定义得

 
  
  
其分布律如图2.2所示。
 

0
1
2
3

图2.2  例2.5的分布律
例2.6  对某一目标进行射击，直至击中为止。设每次射击时命中率为(0<<1)，求射击次数的分布律。
解  设射击次数为，其可能取的值为1,2,…。{}等价于事件“第次射击才击中”，即前次射击都未击中而第次射击击中。由于各次射击是独立进行的，而每次射击击中的概率为，未中的概率为=1-。因此可得
 
或写成如图2.3的形式。
 

1
2
3

图2.3  例2.6的分布律
容易验证，上述分布律满足下面两个性质。
(1)。
(2)。
下面介绍3种重要的离散型分布。
2.2.2  常见的离散型随机变量的概率分布

1. 两点分布 
若随机变量只可能取0与1两个值，它的分布律是
 
则称服从两点分布或0-1分布。
两点分布的分布律也可写成如图2.4所示形式。
 

0
1

图2.4  两点分布的分布律
例2.7  盒中有红、黄、白色球各一个，从中随机地去两球，求取得红球的个数的分布。
解  可能取的值为0、1，且
，

显然，X服从两点分布。
两点分布虽然十分简单，但是很有用，例如一次射击命中与否、抽检一件产品合格与否等，都可以用两点分布的随机变量来描述。
2. 伯努利试验、二项分布
设试验E只有两个可能结果，即A及，则称为伯努利试验。
设，此时。将独立地重复进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。
例如，是抛一颗骰子，若表示得到“6点”，表示得到“非6点”。将骰子抛次，就是重伯努利试验。
又如，在盒中装有5个白球、7个黑球。是在盒中任取一个球，观察其颜色。以表示“取到白球”，5/12。若连续取球次作放回抽样，这就是重伯努利试验。然而若作不放回抽样，就不再是重伯努利试验了。
以表示重伯努利试验中事件发生的次数，是一个随机变量，来求它的分布律。所有可能取的值为。由于各次试验是相互独立的，因此事件A在指定的次试验中发生，在其他次试验中不发生的概率为

这种指定的方式共有种，它们是两两互不相容的，所以在次试验中，发生次的概率为，记，即有
              (2.3)
通常把满足分布律式(2.3)的随机变量X称为服从参数为n,p的二项分布，记为。
这样定义是因为恰是二项式的展开式，即

中的第项，由于=1所以

这说明了此分布满足分布律的性质，特别地，当=1时二项分布化为

这就是两点分布。对于二项分布B(n, p)有时记

例2.8  已知某种大批量产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽取20件，问：20件产品中恰有件()为一级品的概率是多少？
解  这是不放回抽样，但由于产品是大批量的，且抽查的件数相对于产品的总数来说又很小，因而可以当作有放回抽样来处理，这样做会有误差，但误差不大。将抽取的产品是否为一级品看成是一次试验的结果，检查20件产品相当于做20重伯努利试验。设X为20件产品中一级品的件数，则X服从参数=20，=0.2的二项分布，由式(2.3)即得所求的概率为

对不同的值分别进行计算结果见表2.1和图2.5。
表2.1  例2.8的计算结果

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

0.012
0.058
0.137
0.215
0.218
0.175
0.109
0.055
0.022
0.007
0.002
<0.001
 
 

图2.5  例2.8计算结果的图形表示
从图2.5中可以看到，当增加时，概率先是随之增加，直至达到最大值，之后单调减少。一般地，对于固定的n及p，二项分布都具有这一性质。
例2.9  某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，求“在5000次独立射击中命中两次以上”的概率。
解  将一次射击看成是一次试验。设击中的次数为，则。的分布律为

于是所求的概率为

计算结果说明，尽管每次射击命中目标的可能性很小，但只要射击的次数很大，如5000次，命中两次以上的概率就近似等于0.9598，至于命中一次以上的概率还要大，近似等于0.9933，很接近于1，这就可以认为射击5000次几乎是能够命中目标的。
例2.10  已知某地区鸡得某种病的概率是0.25，现有某种对该病的新预防药。对12只鸡进行用药试验，结果12只鸡都没有得该病。从这个结果对新预防药的效果能得出什么结论？
解  对12只鸡进行试验，可看做是独立地进行12次试验。如果药无效，则在每次试验中鸡得病的概率都是0.25，这时，12只鸡中得病的数目X，应该服从参数为(12,0.25)的二项分布，所以，“12只鸡都不得病”的概率为

这说明，若药无效，则12只鸡都不得病的可能性只有0.032，这个概率很小，在实际中不大可能发生。所以，实际上可以认为药物是有效的。
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0，1，2，…，而取各个值的概率为
                   (2.4)
其中是常数。则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为。
易知，且有

即满足分布律的性质。
对于那些试验次数很大，事件在每次试验中发生的概率又很小，且等于或近似等于某个常数的一类随机试验，事件发生的次数通常被看作是服从泊松分布的随机变量。自然界中有很多稀疏现象，例如，一本书一页中的印刷错误数、某医院在一天内的急诊病人数、一段布匹上的疵点数、显微镜下在某观察范围内的微生物数等随机变量都服从泊松分布。
理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。即当，且(常数)时，容易证明

从而在实际计算中，当而，且精度要求不太高时，借助“泊松分布表”(见附表1)，可以进行二项分布取值概率的近似计算。
例2.11  某城市在长度为t(单位：时间)的时间间隔内发生的火灾次数服从参数为0.5的泊松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率。
(1) 某天中午12时至下午15时未发生火灾；
(2) 某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾。
解  (1)= P (0.5×3) = P (1.5)
=
(2)= P (0.5×4) = P (2)
 。
例2.12  某公司生产的一种产品，根据历史生产记录知，该产品的次品率为0.01，问：该种产品300件中次品数大于5的概率是多少？
解  把检验每件产品看作一次试验，它有两个可能的结果；｛正品｝和｛次品｝。检验300件产品相当于做300次伯努利试验。用表示检验出的次品数，则，我们要计算。
由于=300较大，=0.01较小，有，可近似地看作服从参数=3的泊松分布，即所求的概率为

查附表，知。
2.3  连续型随机变量与随机变量的分布函数

2.3.1  概率密度函数

有一些随机变量是在一个区间内连续取值的，不能像离散型随机变量那样一一列举。例如，测试某电器的使用寿命；测试普通混凝土的抗压强度等，它们的可能取值是充满某个区间的，对于这类随机变量，就不能像离散型随机变量那样来建立其分布律。只有确知随机变量取值于某一区间的概率，才能掌握其取值的概率分布情况。
定义2.3  对于随机变量，若存在非负可积函数，使对任意实数都有
                        (2.5)
则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称为概率密度或密度。
由定义可以得到与离散型随机变量的分布律相类似的性质。
(1)(非负性)。
(2)(规范性)。
性质表明，概率密度曲线位于轴上方，且曲线与轴之间的面积恒为1。常常据此确定概率密度中的待定系数；反之，凡是满足了非负性、规范性的函数，则一定是某个连续型随机变量的概率密度函数。因而概率密度函数全面描述了连续型随机变量取值的概率规律。
由式(2.5)可知，对于任意确定的实数，有

=
所以有=0，即连续型随机变量取任一确定值的概率恒为零。因而对于连续型随机变量落入某区间的概率与区间端点处有无等号没有关系，即

 
   =                                        (2.6)
连续型随机变量概率规律的描述不可能像离散型随机变量那样用分布律来刻画。
例2.13  设随机变量的概率密度为

(1) 确定常数。
(2) 求。
(3)。
解  (1) 由概率密度的性质可知

解得，于是的概率密度为

(2) 。
(3)。

2.3.2  随机变量的分布函数

如上