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开 本: 16开包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030432711
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《电介质与标度数学理论》适用于材料专业、物理学和数学专业本科以上的读者使用
内容简介
“《电介质与标度数学理论》讨论了我国学者近三十年对电介质的实验和理论研究中逐步形成标度的要领和使用标度的数学方法 标度方法成为研究历史记忆效应、疲劳和老化的有力手段 《电介质与标度数学理论》比较了新世纪在国外才引起广泛关注的时间标度微积分，结合有关的主要结果和公式，说明了标度不仅涉及连续和断续统一分析，还涉及数学的其他分支的发展和应用 同时讨论了用标度数学改写统计力学基本原理的意义，以及标度数学和量子力学、宇宙学的关系 介绍了时间标度的相关实验方法。
《电介质与标度数学理论》共分为八章，主要阐述了介电极化的连续与断续数学分析、时间标度上的铁电动力学、统一分析中的δ微积分、统一分析中的统计热力学、统一分析的动力学方程、统一分析和量子化、电介质的时间标度实验研究以及域和标度的意义等内容 “
《电介质与标度数学理论》共分为八章，主要阐述了介电极化的连续与断续数学分析、时间标度上的铁电动力学、统一分析中的δ微积分、统一分析中的统计热力学、统一分析的动力学方程、统一分析和量子化、电介质的时间标度实验研究以及域和标度的意义等内容 “
目 录
“目录
前言
第1章介电极化的连续与断续数学分析1
1.1引言1
1.2动力学方程2
1.3连续和重复测量4
1.4连续数学分析的局限性6
1.5时间标度8
1.6Δ微商10
1.7δ微商11
1.8固体的快效应13
1.9电介质的平衡态和动力学描述方法*16
1.10δ微积分的实验数字计算18
1.11纯铁电微分回线22
1.12初条件和原始态的区别24
1.13极化疲劳中的时间标度28
1.14隐性和显性老化30
1.15铁电铁磁性33
第2章时间标度上的铁电动力学35
2.1长周期动力学方程35
2.2屏蔽电荷的微观态37
2.3零外场铁电动力学39
2.4铁电原始态41
2.5理论电滞螺线43
2.6屏蔽电荷的浅陷阱俘获46
2.7δ微积分的物理意义48
2.8δ微商和稳定值50
2.9铁电性提供的顺电极化52
2.10线型函数53
2.11铁磁动力学理论55
2.12时间标度的具体意义57
第3章统一分析中的δ微积分60
3.1时间标度上的基本运算60
3.2具体运算61
3.3简单函数的δ微商64
3.4闭区间的端点66
3.5时间标度变换69
3.6函数的连续性69
3.7δ微商定理的证明71
3.8组合函数δ微商的定理73
3.9δ微商的常用公式75
3.10因果律和时间的反演79
3.11δ微积分的预备概念82
3.12中值定理84
3.13准逆导数的存在定理87
3.14δ积分公式89
3.15连续和断续统一分析的数学92
3.16生命科学中的动力学方程94
3.17时间标度方法的评论95
3.18时间的平移和反演99
3.19统一分析中的标度101
3.20量子力学中的标度变换103
3.21温度标度105
第4章统一分析中的统计热力学107
4.1数学物理和标度107
4.2平衡态热力学中的统一分析109
4.3连续分析中的唯象近似111
4.4统一分析中的唯象近似113
4.5连续分析的统计力学115
4.6空间标度和动量标度118
4.7统一分析描述的晶体中热运动图像120
4.8简谐子的统计力学122
4.9各态经历问题124
4.10简谐子的动量126
4.11理想晶体的相宇和系综127
4.12相空间的标度129
4.13连续分析的非平衡统计力学130
4.14随机过程132
4.15相空间的成型和代表球聚集134
4.16统计规律的独立性和必要性136
4.17统计热力学的小结和展望138
4.18标度的意义140
4.19标度分析中的物理学142
第5章统一分析的动力学方程144
5.1一阶动力学方程144
5.2广义复数的运算规则146
5.3柱面变换149
5.4纯数标度153
5.5广义指数函数155
5.6广义指数函数的意义157
5.7一阶非齐次线性方程162
5.8朗斯基行列式165
5.9广义双曲线函数167
5.10广义三角函数170
5.11二阶方程的降阶法172
5.12因式分解法174
5.13一般二阶方程175
5.14广义拉普拉斯变换178
5.15多项式180
5.16拉普拉斯变换的应用182
5.17广义卷积184
5.18紧致和离散的时间标度186
5.19广义函数的时间反演189
5.20双时标度191
第6章统一分析和量子化194
6.1时间的量子化194
6.2断续分析和经典力学的矛盾196
6.3量子化时间变量的分离198
6.4动力学方程中的时间变量200
6.5二次量子化和表象202
6.6简谐子的统计力学205
6.7一维双原子链的简谐子208
6.8中频支简谐子211
6.9真空中电磁场的振动214
6.10电磁波谱的频率高限216
6.11经典的动力学方程218
6.12经典物理和科学决定论220
6.13单个光子的电场221
6.14虚时间轴223
6.15零光子能量和质量226
6.16统一分析应用的评论229
目录 i ?
第7章电介质的时间标度实验研究232
7.1宏观物理的非经典发展232
7.2时间标度谱仪235
7.3频域介电谱方法的评论237
7.4时间标度测量原则240
7.5补偿式微电流的测量243
7.6时间标度谱分析246
7.7微分回线的变形250
7.8时间标度介电谱图算解谱法254
7.9微分介电谱解谱方法259
第8章域和标度的意义264
8.1频域和时域264
8.2实验中的时间标度267
8.3有机物分子的空间标度269
8.4晶体的空间标度271
8.5自然标度274
8.6数序和数量276
参考文献279″
前言
第1章介电极化的连续与断续数学分析1
1.1引言1
1.2动力学方程2
1.3连续和重复测量4
1.4连续数学分析的局限性6
1.5时间标度8
1.6Δ微商10
1.7δ微商11
1.8固体的快效应13
1.9电介质的平衡态和动力学描述方法*16
1.10δ微积分的实验数字计算18
1.11纯铁电微分回线22
1.12初条件和原始态的区别24
1.13极化疲劳中的时间标度28
1.14隐性和显性老化30
1.15铁电铁磁性33
第2章时间标度上的铁电动力学35
2.1长周期动力学方程35
2.2屏蔽电荷的微观态37
2.3零外场铁电动力学39
2.4铁电原始态41
2.5理论电滞螺线43
2.6屏蔽电荷的浅陷阱俘获46
2.7δ微积分的物理意义48
2.8δ微商和稳定值50
2.9铁电性提供的顺电极化52
2.10线型函数53
2.11铁磁动力学理论55
2.12时间标度的具体意义57
第3章统一分析中的δ微积分60
3.1时间标度上的基本运算60
3.2具体运算61
3.3简单函数的δ微商64
3.4闭区间的端点66
3.5时间标度变换69
3.6函数的连续性69
3.7δ微商定理的证明71
3.8组合函数δ微商的定理73
3.9δ微商的常用公式75
3.10因果律和时间的反演79
3.11δ微积分的预备概念82
3.12中值定理84
3.13准逆导数的存在定理87
3.14δ积分公式89
3.15连续和断续统一分析的数学92
3.16生命科学中的动力学方程94
3.17时间标度方法的评论95
3.18时间的平移和反演99
3.19统一分析中的标度101
3.20量子力学中的标度变换103
3.21温度标度105
第4章统一分析中的统计热力学107
4.1数学物理和标度107
4.2平衡态热力学中的统一分析109
4.3连续分析中的唯象近似111
4.4统一分析中的唯象近似113
4.5连续分析的统计力学115
4.6空间标度和动量标度118
4.7统一分析描述的晶体中热运动图像120
4.8简谐子的统计力学122
4.9各态经历问题124
4.10简谐子的动量126
4.11理想晶体的相宇和系综127
4.12相空间的标度129
4.13连续分析的非平衡统计力学130
4.14随机过程132
4.15相空间的成型和代表球聚集134
4.16统计规律的独立性和必要性136
4.17统计热力学的小结和展望138
4.18标度的意义140
4.19标度分析中的物理学142
第5章统一分析的动力学方程144
5.1一阶动力学方程144
5.2广义复数的运算规则146
5.3柱面变换149
5.4纯数标度153
5.5广义指数函数155
5.6广义指数函数的意义157
5.7一阶非齐次线性方程162
5.8朗斯基行列式165
5.9广义双曲线函数167
5.10广义三角函数170
5.11二阶方程的降阶法172
5.12因式分解法174
5.13一般二阶方程175
5.14广义拉普拉斯变换178
5.15多项式180
5.16拉普拉斯变换的应用182
5.17广义卷积184
5.18紧致和离散的时间标度186
5.19广义函数的时间反演189
5.20双时标度191
第6章统一分析和量子化194
6.1时间的量子化194
6.2断续分析和经典力学的矛盾196
6.3量子化时间变量的分离198
6.4动力学方程中的时间变量200
6.5二次量子化和表象202
6.6简谐子的统计力学205
6.7一维双原子链的简谐子208
6.8中频支简谐子211
6.9真空中电磁场的振动214
6.10电磁波谱的频率高限216
6.11经典的动力学方程218
6.12经典物理和科学决定论220
6.13单个光子的电场221
6.14虚时间轴223
6.15零光子能量和质量226
6.16统一分析应用的评论229
目录 i ?
第7章电介质的时间标度实验研究232
7.1宏观物理的非经典发展232
7.2时间标度谱仪235
7.3频域介电谱方法的评论237
7.4时间标度测量原则240
7.5补偿式微电流的测量243
7.6时间标度谱分析246
7.7微分回线的变形250
7.8时间标度介电谱图算解谱法254
7.9微分介电谱解谱方法259
第8章域和标度的意义264
8.1频域和时域264
8.2实验中的时间标度267
8.3有机物分子的空间标度269
8.4晶体的空间标度271
8.5自然标度274
8.6数序和数量276
参考文献279″
在线试读
“第1章介电极化的连续与断续数学分析
1.1引言
《电介质理论》一书归纳了大量实验结果，指出凝聚态电介质中普遍存在历史记忆效应.这是物理学发展中碰到的新问题.当涉及这个问题时，熟知的各种实验方法思想?理论概念原理乃至数学描述逻辑，都显得无能为力[1].现在面临的是根据所提出的新实验方法，讨论适用于研究历史记忆效应的数学原理.只有找到了数学手段，才能探讨有关的物理规律.
电介质的基本概念是认为电位移D和外力电场E之间有关系
D=εε0E(11)
相对介电常量ε≠1的物质称为电介质，只有真空才有ε=1.具体测量中可将电介质填充于两平行电极之间.设电极直径为，其间距为l0，在两电极上加外电压U，可观察到电极有电荷Q流出，而
Q=εC0U，C0=π2ε0/4l(12)
Q和U是直接测量的量.注意式(12)和式(11)并不等价.因为由式(12)过渡到式(11)必须附加一些假设条件.例如，设电介质的结构必须是宏观均匀的，而这对于凝聚态电介质一般都是不成立的.因此，我们将从更基本的式(12)出发.实验研究的是一个电容器，Q=εC0.电偶极矩端面的电荷称为极化电荷.观测到的Q称为屏蔽电荷，屏蔽电荷存在于电极还是存在于电介质表面这是传统讨论的老问题.但是，若电极与介质表面具有欧姆接触，则Q存在于电极或介质表面是等价的.因此，可以认为Q存在于介质表面，这可使问题大为简化.因为屏蔽电荷和极化电荷总是反号相等，故无论U为任何值，电介质的总电偶极矩均为零.这时引入极化强度P和电位移D的概念都成为不必要.
热力学理论要求式(11)和式(12)描述的是平衡态规律.但是，热力学本身不能说明什么时间t的体系才能建立平衡态.对于凝聚态电介质，实验证明即使令电容器两电极短路使U=0，仍可在很长时间内观察到I=dQ/dt≠0，这种现象称为慢效应.在介电?压电和热释电现象中都可以观察到慢效应，慢效应广泛存在于各种液态?固态?单晶?陶瓷?无机和有机电介质[1].慢效应电流I(t)的变化规律和样品数秒?数分钟?数小时?数天乃至更长时间以前经历过的外加作用有关.严格地说，慢效应和体系的全部热力学史有关，而且还和样品的形状尺寸有关.慢效应把样品的历史记忆下来了，这是历史记忆效应的一种表现.慢效应不遵从熟知的各种物理规律.为区别起见，符合一般物理规律的效应称为快效应[1].
为解释这些效应，需将宏观物质结构分级描述.结构粒子的理想规则排列为一级结构，一级结构的拓扑形变为二级结构，多个二级结构的聚集方式为三级结构，类似地，可定义更高级结构.定义可适用于无机物?有机物和生命物质.高于一级的结构称为高级结构.一级结构的运动提供快效应，高级结构的运动提供慢效应.高级结构有无限多种平衡态和亚稳态，这是历史记忆效应的基础[1].
铁电体的畴花样是二级结构.样品的不同电畴中电位移矢量可以不同，使体系不是宏观均匀的.故式(11)失去意义而只能从式(12)出发研究凝聚态电介质.样品的形状和尺寸无非是高级结构的一种表征，故实验观察到的慢效应与之有关[1，2，3].电介质物理的基本问题成为在已知U(t)作用下研究的变化规律Q(t).这时式(12)不再正确.只有在U(t)=Us为恒定值时式(12)才可正确地改为
Qs=CsUs，Cs=εsC0(13)
Cs为静态电容，εs为静态介电常量，Qs为平衡态电荷.研究快效应的时间尺度范围小于10-4s，这时慢效应可忽略.研究慢效应的时间尺度范围为10-4~105s，这时快和慢极化效应都要分开考虑.
材料或器件的老化和疲劳在技术应用中已被熟知.这是另外两种历史记忆效应:老化记忆了体系自然放置的历史，疲劳记忆了体系经受外加作用的历史.直到近年，才出现对部分特殊电介质的疲劳效应的初步定量研究[4].研究老化和疲劳的时间的尺度范围大于105s.这时，式(13)中的εs也将与时间t有关.可见历史记忆效应是十分复杂的问题.
近年出现的形状记忆合金为历史记忆效应提供了重要的技术应用[5].但一般作者仍只局限于参照电介质的平衡态热力学方法从理论上研究形状记忆.因此，虽可找到一些定性结果，但定量上不能和实验一致[6].形状记忆合金通过马氏体的高级结构提供历史记忆效应.
生命物质的自组装能力需凭DNA的历史记忆效应，属数字式，而慢极化?老化和疲劳的历史记忆效应属模拟式.
可见历史记忆效应是广泛存在的重要问题，其复杂性要求有合适的新的数学描述方法出现.
1.2动力学方程
在非相对论问题中，时间变量t和其他物理变量相比具有特殊意义.不管测量者的希望如何，t总要由小至大地不断变化下去，故可称为主动有变量.物理学是由力学开始发展起来的，力学的基本问题是在给定外力x(t)的条件下研究物体的位移y(t).力学原理可归结为y(t)决定的方程
f(t，y，dy/dt，d2y/dt2 ，dry/dtr)=0(14)
其中，r为正整数.式(14)称为动力学方程.经典力学的公理认为，只要t=0的初条件已知，则t≥0的y(t)可地完全由式(14)决定;而不需知道t<0的历史情况.电磁学和统计热力学是参照力学的方法建立起来的，力和位移被推广为广义力和广义位移.因此，现有物理学原理作为公理决定了t<0的历史条件不会改变t≥0的动力学规律.或者说，作为公理假设了t=0的初条件足以包括了t≤0的全部历史.故这种理论不能用来描述初条件相同而历史条件不同的历史记忆效应.
在宏观均匀的固态电介质中[7]，电场E?温度T?应力X等被视为广义力，可称为作用;而电位移D?熵σ?应变S等被视为广义位移，可称之为响应.这时式(11)~式(13)均成立，而式(11)和式(12)是等价的，因此，也可以用Q代替D为广义位移，用U代替E为广义力.历史条件定量地描述为t<0时的U(t)?Q(t)?X(t)?S(t)?T(t)和σ(t).初条件指(U，Q;X，S;T，σ)及其对t的微商在t=0时的取值.历史条件可称为t<0时的热力学路径.有无穷多种路径可以到达t=0时给定的(U，Q ，σ)值.在数学上，作用为自变量，响应为作用的函数.
具有高级结构的体系一般不是宏观均匀的.但若高级结构是完全随机的，则可近似认为体系是宏观均匀的.高级结构完全随机分布的态称为原始态.实验证明，凝聚态电介质从原始态出发，热力学路径相同的测量结果是可以重现的[8，9].体系t=0的初态不一定是原始态.因此，在前述动力学公理中，更严格地应该用原始态代替初态.这样，t=0的时间原点就必须取在原始态而不能随意将时间原点平移;也不能将t作反演变换.这时t>t0>0的动力学结果就能描述0≤t≤t0的历史.注意初条件不一定是原始态，可以视t=t0的态为初条件，由t=0出发有许多不同的热力学路径可以达到t=t0时相同的初条件，在动力学理论中，只能用t=t0时的有限个参数值来描述初条件.
时间的平移和反演对称是统计物理中的常用基本假设.原始态概念的引入使这种假设不再成立，从而许多有关的理论结果也就不再完全正确.下面举出一动力学问题的例子.
在一个充满介质的电容器上加外电压U(t)，
U(t)=0，t≤0
U2，t>0(15)
测出流过电路的电荷Q(t)，它可写为(t≥0时)
Q(t)=Qs[1-Fr(t)]，Qs=εsC0Us
Fr(0)=1，Fr=0(∞)(16)
若外加电压改为
U(t)=U2，t≤0
0，t>0(17)
则t≥0时流过电路的电荷可写为(设电路电阻为零)
Q(t)=Qs[1-Ff(t)]，Qs=εsC0Us
Ff(0)=1，Ff=0(∞)(18)
以时间的平移和反演对称为公理的统计理论证明[1]，
Fr(t) Ff(t) F(t)(19)
并且F(t)在区间0≤t≤∞是单调下降的函数.从而，可以严格证明通过傅里叶变换给出复介电常量
ε(ω)=ε′-iε″=εh+(εs-εh)∫∞0- tF(t)e-i tt(110)
ω为用来测量复ε(ω)的交流电压的角频率，F(t)称为衰减函数，εh称为高频(红外或光频)介电常量.
从而，近百余年来都把介电极化动力学问题等价为复介电谱ε′(ω)和ε″(ω)的研究.直接的介电极化动力学长期被忽视了.事实上，在t>10-4s(不高于声频段)范围，至今还未找到一个固体或液体电介质样品具有Fr(t) Ff(t)的性质[10].一般说来，式(19)的理论结果是错误的.
高级结构的存在使体系可以不均匀，故要用式(12)代替式(11).高级结构的运动较慢，故t<10-4s时一级结构运动提供的快效应占主要地位，式(19)和式(110)等熟知物理学原理得以成立.t>10-4s时，高级结构运动提供的慢效应越来越成为主要的.这时式(11)和式(12)都可以成为不正确，而要用式(13)代之.在研究慢极化效应时，式(13)的εs被视为和时间t无关的常数.但当t>10-4s时，εs可以随时间t变化而出现疲劳或老化.高级结构的存在和运动使得要在广阔时间尺度范围研究极化的动力学，成为十分困难的问题.
1.3连续和重复测量
物理学是严格定量的科学，物理规律必须在实验中能够重现，故要考虑重复测量.此外，为得到Q随U变化的规律，需使U(t)在连续变化中作测量，Q和U的关系一般还可以是非线性的.式(15)和式(17)中的U(t)在t>0时是不变的.下面将考虑在t>0时U随t线性地变化的简单情况.若U(t)不是线性的，则问题更为复杂.
设样品直径为Φ，厚为l，底面有金属电极，上电极直径<Φ，这样可减少表面漏电的影响.考虑到高级结构的存在，样品的底表面和上表面的性质可能并不相同.在样品组成的电容C上加外电压U(t)如图1.1(a)所示.三角波电压示于图1.1(b)，峰值为±Up，周期为τ，设只作m/2个周期的测量，m为偶数.将U(t)分解为U+(t)和U-(t)，如图1.1(c)和(d)所示.U+(t)和U-(t)在各自出现的区间都是线性的.用U+(t)测量底表面释放正电荷的规律;用U-(t)测量上表面释放正电荷的规律.两种测量结果可能不同，必须分开讨论.底面释放的电荷记为Q+，上面释放的电荷记为Q-.电流底面和上面释放的电荷流动方向相反.
I=dQdt，I±=dQ±dt(111)
图1.1三角波电压
可用双通道同步采样方法测出Q+和U+或Q-和U-，得到实验函数关系Q+(U+)或Q-(U-).记t0=0，在区间tn-1≤t≤tn的结果称为第n支.Q+(U+)只定义于区间
t0≤t≤t1，t2≤t≤t3 tm≤t≤te(112)
记此区间的t的集合为m+.Q-(U-)只定义于区间
t1≤t≤t2，t3≤t≤t4 tm-1≤t≤tm(113)
记此区间的t的集合为m-.记集合
m={t t0≤t≤t } m+∪m-(114)
交集
m+∩m-={t t t1，t2 ，t }(115)
测量实际上只在集合m上作出.图1.1(b)在t<0和t>te的U=0上的粗黑线只表示此时样品短路放置.实际上此时并不存在外电压U(t)，也不能说明此时外电路有无电流.
其他各种传统理论中考虑的极化我们都称为快效应.当只有快极化而认为慢极化效应可以忽略时(如气体)，第n和(n+2)支(n>1)的测量结果重合，并且在t<0和t>te时I=0.但当存在慢效应时，这个结论不再正确.集合m上的测量结果一般地还和t<0时样品所经历的历史有关，尽管t=0时可以有相同的初条件I=0和Q=0.只有t=0时的初条件为原始态，m上的测量才可重现.但慢效应使得小n时的第n和(n+2)支结果不能重合，只有在n≥10时这两支结果才逐渐趋向重合[11].
因此，作为动力学问题，不存在式(12)的Q(U)确定关系.在研究慢效应时要将函数关系写为U(t)或Q(U，t)，而U U(t)为已知.在图1.1形式的电压U(t)作用下，为得到完整的可以重现的Q(t)，t=0的初态必须为原始态，而且应取m≥10，这时，表征体系性质的是集合m+上的Q+(t)和m-上的Q-(“
1.1引言
《电介质理论》一书归纳了大量实验结果，指出凝聚态电介质中普遍存在历史记忆效应.这是物理学发展中碰到的新问题.当涉及这个问题时，熟知的各种实验方法思想?理论概念原理乃至数学描述逻辑，都显得无能为力[1].现在面临的是根据所提出的新实验方法，讨论适用于研究历史记忆效应的数学原理.只有找到了数学手段，才能探讨有关的物理规律.
电介质的基本概念是认为电位移D和外力电场E之间有关系
D=εε0E(11)
相对介电常量ε≠1的物质称为电介质，只有真空才有ε=1.具体测量中可将电介质填充于两平行电极之间.设电极直径为，其间距为l0，在两电极上加外电压U，可观察到电极有电荷Q流出，而
Q=εC0U，C0=π2ε0/4l(12)
Q和U是直接测量的量.注意式(12)和式(11)并不等价.因为由式(12)过渡到式(11)必须附加一些假设条件.例如，设电介质的结构必须是宏观均匀的，而这对于凝聚态电介质一般都是不成立的.因此，我们将从更基本的式(12)出发.实验研究的是一个电容器，Q=εC0.电偶极矩端面的电荷称为极化电荷.观测到的Q称为屏蔽电荷，屏蔽电荷存在于电极还是存在于电介质表面这是传统讨论的老问题.但是，若电极与介质表面具有欧姆接触，则Q存在于电极或介质表面是等价的.因此，可以认为Q存在于介质表面，这可使问题大为简化.因为屏蔽电荷和极化电荷总是反号相等，故无论U为任何值，电介质的总电偶极矩均为零.这时引入极化强度P和电位移D的概念都成为不必要.
热力学理论要求式(11)和式(12)描述的是平衡态规律.但是，热力学本身不能说明什么时间t的体系才能建立平衡态.对于凝聚态电介质，实验证明即使令电容器两电极短路使U=0，仍可在很长时间内观察到I=dQ/dt≠0，这种现象称为慢效应.在介电?压电和热释电现象中都可以观察到慢效应，慢效应广泛存在于各种液态?固态?单晶?陶瓷?无机和有机电介质[1].慢效应电流I(t)的变化规律和样品数秒?数分钟?数小时?数天乃至更长时间以前经历过的外加作用有关.严格地说，慢效应和体系的全部热力学史有关，而且还和样品的形状尺寸有关.慢效应把样品的历史记忆下来了，这是历史记忆效应的一种表现.慢效应不遵从熟知的各种物理规律.为区别起见，符合一般物理规律的效应称为快效应[1].
为解释这些效应，需将宏观物质结构分级描述.结构粒子的理想规则排列为一级结构，一级结构的拓扑形变为二级结构，多个二级结构的聚集方式为三级结构，类似地，可定义更高级结构.定义可适用于无机物?有机物和生命物质.高于一级的结构称为高级结构.一级结构的运动提供快效应，高级结构的运动提供慢效应.高级结构有无限多种平衡态和亚稳态，这是历史记忆效应的基础[1].
铁电体的畴花样是二级结构.样品的不同电畴中电位移矢量可以不同，使体系不是宏观均匀的.故式(11)失去意义而只能从式(12)出发研究凝聚态电介质.样品的形状和尺寸无非是高级结构的一种表征，故实验观察到的慢效应与之有关[1，2，3].电介质物理的基本问题成为在已知U(t)作用下研究的变化规律Q(t).这时式(12)不再正确.只有在U(t)=Us为恒定值时式(12)才可正确地改为
Qs=CsUs，Cs=εsC0(13)
Cs为静态电容，εs为静态介电常量，Qs为平衡态电荷.研究快效应的时间尺度范围小于10-4s，这时慢效应可忽略.研究慢效应的时间尺度范围为10-4~105s，这时快和慢极化效应都要分开考虑.
材料或器件的老化和疲劳在技术应用中已被熟知.这是另外两种历史记忆效应:老化记忆了体系自然放置的历史，疲劳记忆了体系经受外加作用的历史.直到近年，才出现对部分特殊电介质的疲劳效应的初步定量研究[4].研究老化和疲劳的时间的尺度范围大于105s.这时，式(13)中的εs也将与时间t有关.可见历史记忆效应是十分复杂的问题.
近年出现的形状记忆合金为历史记忆效应提供了重要的技术应用[5].但一般作者仍只局限于参照电介质的平衡态热力学方法从理论上研究形状记忆.因此，虽可找到一些定性结果，但定量上不能和实验一致[6].形状记忆合金通过马氏体的高级结构提供历史记忆效应.
生命物质的自组装能力需凭DNA的历史记忆效应，属数字式，而慢极化?老化和疲劳的历史记忆效应属模拟式.
可见历史记忆效应是广泛存在的重要问题，其复杂性要求有合适的新的数学描述方法出现.
1.2动力学方程
在非相对论问题中，时间变量t和其他物理变量相比具有特殊意义.不管测量者的希望如何，t总要由小至大地不断变化下去，故可称为主动有变量.物理学是由力学开始发展起来的，力学的基本问题是在给定外力x(t)的条件下研究物体的位移y(t).力学原理可归结为y(t)决定的方程
f(t，y，dy/dt，d2y/dt2 ，dry/dtr)=0(14)
其中，r为正整数.式(14)称为动力学方程.经典力学的公理认为，只要t=0的初条件已知，则t≥0的y(t)可地完全由式(14)决定;而不需知道t<0的历史情况.电磁学和统计热力学是参照力学的方法建立起来的，力和位移被推广为广义力和广义位移.因此，现有物理学原理作为公理决定了t<0的历史条件不会改变t≥0的动力学规律.或者说，作为公理假设了t=0的初条件足以包括了t≤0的全部历史.故这种理论不能用来描述初条件相同而历史条件不同的历史记忆效应.
在宏观均匀的固态电介质中[7]，电场E?温度T?应力X等被视为广义力，可称为作用;而电位移D?熵σ?应变S等被视为广义位移，可称之为响应.这时式(11)~式(13)均成立，而式(11)和式(12)是等价的，因此，也可以用Q代替D为广义位移，用U代替E为广义力.历史条件定量地描述为t<0时的U(t)?Q(t)?X(t)?S(t)?T(t)和σ(t).初条件指(U，Q;X，S;T，σ)及其对t的微商在t=0时的取值.历史条件可称为t<0时的热力学路径.有无穷多种路径可以到达t=0时给定的(U，Q ，σ)值.在数学上，作用为自变量，响应为作用的函数.
具有高级结构的体系一般不是宏观均匀的.但若高级结构是完全随机的，则可近似认为体系是宏观均匀的.高级结构完全随机分布的态称为原始态.实验证明，凝聚态电介质从原始态出发，热力学路径相同的测量结果是可以重现的[8，9].体系t=0的初态不一定是原始态.因此，在前述动力学公理中，更严格地应该用原始态代替初态.这样，t=0的时间原点就必须取在原始态而不能随意将时间原点平移;也不能将t作反演变换.这时t>t0>0的动力学结果就能描述0≤t≤t0的历史.注意初条件不一定是原始态，可以视t=t0的态为初条件，由t=0出发有许多不同的热力学路径可以达到t=t0时相同的初条件，在动力学理论中，只能用t=t0时的有限个参数值来描述初条件.
时间的平移和反演对称是统计物理中的常用基本假设.原始态概念的引入使这种假设不再成立，从而许多有关的理论结果也就不再完全正确.下面举出一动力学问题的例子.
在一个充满介质的电容器上加外电压U(t)，
U(t)=0，t≤0
U2，t>0(15)
测出流过电路的电荷Q(t)，它可写为(t≥0时)
Q(t)=Qs[1-Fr(t)]，Qs=εsC0Us
Fr(0)=1，Fr=0(∞)(16)
若外加电压改为
U(t)=U2，t≤0
0，t>0(17)
则t≥0时流过电路的电荷可写为(设电路电阻为零)
Q(t)=Qs[1-Ff(t)]，Qs=εsC0Us
Ff(0)=1，Ff=0(∞)(18)
以时间的平移和反演对称为公理的统计理论证明[1]，
Fr(t) Ff(t) F(t)(19)
并且F(t)在区间0≤t≤∞是单调下降的函数.从而，可以严格证明通过傅里叶变换给出复介电常量
ε(ω)=ε′-iε″=εh+(εs-εh)∫∞0- tF(t)e-i tt(110)
ω为用来测量复ε(ω)的交流电压的角频率，F(t)称为衰减函数，εh称为高频(红外或光频)介电常量.
从而，近百余年来都把介电极化动力学问题等价为复介电谱ε′(ω)和ε″(ω)的研究.直接的介电极化动力学长期被忽视了.事实上，在t>10-4s(不高于声频段)范围，至今还未找到一个固体或液体电介质样品具有Fr(t) Ff(t)的性质[10].一般说来，式(19)的理论结果是错误的.
高级结构的存在使体系可以不均匀，故要用式(12)代替式(11).高级结构的运动较慢，故t<10-4s时一级结构运动提供的快效应占主要地位，式(19)和式(110)等熟知物理学原理得以成立.t>10-4s时，高级结构运动提供的慢效应越来越成为主要的.这时式(11)和式(12)都可以成为不正确，而要用式(13)代之.在研究慢极化效应时，式(13)的εs被视为和时间t无关的常数.但当t>10-4s时，εs可以随时间t变化而出现疲劳或老化.高级结构的存在和运动使得要在广阔时间尺度范围研究极化的动力学，成为十分困难的问题.
1.3连续和重复测量
物理学是严格定量的科学，物理规律必须在实验中能够重现，故要考虑重复测量.此外，为得到Q随U变化的规律，需使U(t)在连续变化中作测量，Q和U的关系一般还可以是非线性的.式(15)和式(17)中的U(t)在t>0时是不变的.下面将考虑在t>0时U随t线性地变化的简单情况.若U(t)不是线性的，则问题更为复杂.
设样品直径为Φ，厚为l，底面有金属电极，上电极直径<Φ，这样可减少表面漏电的影响.考虑到高级结构的存在，样品的底表面和上表面的性质可能并不相同.在样品组成的电容C上加外电压U(t)如图1.1(a)所示.三角波电压示于图1.1(b)，峰值为±Up，周期为τ，设只作m/2个周期的测量，m为偶数.将U(t)分解为U+(t)和U-(t)，如图1.1(c)和(d)所示.U+(t)和U-(t)在各自出现的区间都是线性的.用U+(t)测量底表面释放正电荷的规律;用U-(t)测量上表面释放正电荷的规律.两种测量结果可能不同，必须分开讨论.底面释放的电荷记为Q+，上面释放的电荷记为Q-.电流底面和上面释放的电荷流动方向相反.
I=dQdt，I±=dQ±dt(111)
图1.1三角波电压
可用双通道同步采样方法测出Q+和U+或Q-和U-，得到实验函数关系Q+(U+)或Q-(U-).记t0=0，在区间tn-1≤t≤tn的结果称为第n支.Q+(U+)只定义于区间
t0≤t≤t1，t2≤t≤t3 tm≤t≤te(112)
记此区间的t的集合为m+.Q-(U-)只定义于区间
t1≤t≤t2，t3≤t≤t4 tm-1≤t≤tm(113)
记此区间的t的集合为m-.记集合
m={t t0≤t≤t } m+∪m-(114)
交集
m+∩m-={t t t1，t2 ，t }(115)
测量实际上只在集合m上作出.图1.1(b)在t<0和t>te的U=0上的粗黑线只表示此时样品短路放置.实际上此时并不存在外电压U(t)，也不能说明此时外电路有无电流.
其他各种传统理论中考虑的极化我们都称为快效应.当只有快极化而认为慢极化效应可以忽略时(如气体)，第n和(n+2)支(n>1)的测量结果重合，并且在t<0和t>te时I=0.但当存在慢效应时，这个结论不再正确.集合m上的测量结果一般地还和t<0时样品所经历的历史有关，尽管t=0时可以有相同的初条件I=0和Q=0.只有t=0时的初条件为原始态，m上的测量才可重现.但慢效应使得小n时的第n和(n+2)支结果不能重合，只有在n≥10时这两支结果才逐渐趋向重合[11].
因此，作为动力学问题，不存在式(12)的Q(U)确定关系.在研究慢效应时要将函数关系写为U(t)或Q(U，t)，而U U(t)为已知.在图1.1形式的电压U(t)作用下，为得到完整的可以重现的Q(t)，t=0的初态必须为原始态，而且应取m≥10，这时，表征体系性质的是集合m+上的Q+(t)和m-上的Q-(“
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